we know that
\(\int _{ 0 }^{ \infty }{ { e }^{ -2x }{ x }^{ 5 }dx } \) = \(\frac { n! }{ { a }^{ n+1 } } \)
\(∴\int _{ 0 }^{ \infty }{ { e }^{ -2x }{ x }^{ 5 } } dx=\frac { 5! }{ { 2 }^{ 5+1 } } =\frac { 5! }{ { 2 }^{ 6 } } \)

 \(\Gamma(\frac{7}{2})\) = \(\frac { 5 }{ 2 } \Gamma \left( \frac { 5 }{ 2 } \right) \)
= \(\frac { 5 }{ 2 } \frac { 5 }{ 2 } \Gamma \left( \frac { 5 }{ 2 } \right) \)
= \(\frac { 5 }{ 2 } \frac { 5 }{ 2 } \frac12\Gamma \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) \)
= \(\frac { 5 }{ 2 } \frac { 5 }{ 2 } \frac { 1 }{ 2 } \sqrt { \pi } =\frac { 15 }{ 8 } \sqrt { \pi } \)

Let I = \(\int _{ 0 }^{ \infty }{ { e }^{ -4x } } { x }^{ 4 }dx\)
Here n = 4 and a = 4
\(\therefore I=\frac { 4! }{ { 4 }^{ 4+1 } } =\frac { 4! }{ { 4 }^{ 5 } } \)
\(\left[ \because \int _{ 0 }^{ \infty }{ { x }^{ n }{ e }^{ -ax } } dx=\frac { n! }{ { a }^{ n+1 } } \right] \)

\(=\frac { 3 }{ 128 } \)

Let I = \(\int _{ 0 }^{ \infty }{ { e }^{ -mx } } { x }^{ 6 }dx\)
Gamma Integral \(\int _{ 0 }^{ \infty }{ { x }^{ n } } { e }^{ -ax }dx=\frac { n! }{ { a }^{ n+1 } } \)
Here n = 6, and a = m
\(\therefore I=\int _{ 0 }^{ \infty }{ { e }^{ -mx } } { x }^{ 6 }dx\)
\(=\frac { 6! }{ { m }^{ 6+1 } } =\frac { 6! }{ { m }^{ 7 } } \)

\(\Gamma \left( \frac { 9 }{ 2 } \right) =\frac { 7 }{ 2 } \Gamma \left( \frac { 7 }{ 2 } \right) \)
\(=\frac { 7 }{ 2 } \Gamma \left( \frac { 5 }{ 2 } \right) \)
\(=\frac { 7 }{ 2 } \times \frac { 5 }{ 2 } \times \Gamma \left( \frac { 3 }{ 2 } \right) \)
\(=\frac { 7 }{ 2 } \times \frac { 5 }{ 2 } \times \left( \frac { 3 }{ 2 } \right) \times \Gamma \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) \)
\(=\frac { 7 }{ 2 } \times \frac { 5 }{ 2 } \times \frac { 3 }{ 2 } \times \frac { 1 }{ 2 } \sqrt { \pi } \)
\(=\frac { 105 }{ 16 } \sqrt { \pi } \)

\(I=\int { \sqrt { { 2x }^{ 2 }-3 } dx } \)
= \(\int { \sqrt { 2\left( { x }^{ 2 }-\cfrac { 3 }{ 2 } \right) } dx } \)
= \(\sqrt { 2 } \int { \sqrt { { x }^{ 2 }-\left( \cfrac { \sqrt { 3 } }{ \sqrt { 2 } } \right) ^{ 2 } } dx } \)
\(\left[ \because \int { \sqrt { { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } dx=\cfrac { x }{ 2 } \sqrt { { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } -\cfrac { a^{ 2 } }{ 2 } \log\left| x+\sqrt { { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } \right| -c } \right] \)
= \(\sqrt { 2 } \left[ \cfrac { x }{ 2 } \sqrt { { x }^{ 2 }-\cfrac { 3 }{ 2 } } -\cfrac { 3 }{ 2(2) } \log|x+\sqrt { { x }^{ 2 }-\cfrac { 3 }{ 2 } } | \right] +c\)
= \(\sqrt { 2 } \left[ \cfrac { x }{ 2 } \cfrac { \sqrt { 2{ x }^{ 2 }-3 } }{ \sqrt { 2 } } -\cfrac { 3 }{ 4 } \log|\sqrt { 2x } +\sqrt { 2{ x }^{ 2 }-3 } \right] +c\)
= \(\cfrac { x }{ 2 } \sqrt { { 2x }^{ 3 }-3 } -\cfrac { 3\sqrt { 2 } }{ 4 } \log|\sqrt { 2x } +\sqrt { 2x^{ 2 }-3 } |+c\)

Gamma integral \(\Gamma \) (n+1) = n! where n is a positive integer.
∴ \(\Gamma \) (4) = (4-1)!
= 3! = 3\(\times\)2 = 6

\(\Gamma (6)\) = 5!
= 120

Let f(x) = x³ cos³x
f(-x) = (-x)³ [cos(-x)]³
= -x³ (cos x)³
[Since cos x is an even function]
= -f(x)
∴ f(-x) = -f(x) ⇒ f(x) is an odd function
By the property, \(\int _{ -a }^{ a }{ f\left( x \right) } dx=0\) if f(x) is an odd function.
\(\Rightarrow \int _{ \frac { -\pi }{ 4 } }^{ \frac { \pi }{ 4 } }{ { x }^{ 3 } } { cos }^{ 3 }x\ dx=0\)

\(\int _{ -1 }^{ 1 }{ ({ x }^{ 2 }+x)dx } \) = \(\int _{ -1 }^{ 1 }{ { x }^{ 2 } } dx+\int _{ -1 }^{ 1 }{ x } dx\)
= 2 \(\int _{ -1 }^{ 1 }{ { x }^{ 2 } } dx\) + 0 [∵ x² is an even function and x is an odd function]
= 2\({ \left[ \frac { { x }^{ 3 } }{ 3 } \right] }_{ 0 }^{ 1 }=2\left[ \frac { 1 }{ 3 } -0 \right] \)
= \(\frac { 2 }{ 3 } \)

Let f (x) = cos x
f (−x) = cos(−x) = cos x
⇒ f (x) = − f (x)
ஃ f (x) is an even function
ஃ \(\int _{ \frac { \pi }{ 2 } }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \cos x } \)dx = 2\(\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \cos x } \)
= 2 \({ \left[ \sin x \right] }_{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }\)
= \(\left[ \sin\frac { \pi }{ 2 } -\sin 0 \right] \)
= 2

Let f(x) = \(\frac { x^{ 5 } }{ { a }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } } \)
f (−x) = \(\frac { (-x)^{ 5 } }{ { a }^{ 2 }-{ (-x) }^{ 2 } } \) = \(\frac { -x^{ 5 } }{ { a }^{ 2 }{-x }^{ 2 } } \) = -f(x)
Here f (x) = − f (x)
ஃ f(x) is an odd function
⇒ \(\int _{ -1 }^{ 1 }{ \frac { { x }^{ 5 }dx }{ { a }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } } } \) = 0

\(\int _{ 0 }^{ \frac { 1 }{ 4 } }{ { \sqrt { 1-4x } } } dx=\int _{ 0 }^{ \frac { 1 }{ 4 } }{ { \left( 1-4x \right) }^{ \frac { 1 }{ 2 } } } dx\)
\(={ { { \left[ \frac { { \left( 1-4x \right) }^{ \frac { 1 }{ 2 } +1 } }{ -4\left( \frac { 1 }{ 2 } +1 \right) } \right] }_{ 0 } } }^{ \frac { 1 }{ 4 } }={ { \left[ \frac { { \left( 1-4x \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ -4\left( \frac { 3 }{ 2 } \right) } \right] }_{ 0 } }^{ \frac { 1 }{ 4 } }\)
\(={ { \left[ \frac { { \left( 1-4x \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ -6 } \right] }_{ 0 } }^{ \frac { 1 }{ 4 } }\)
\(=\frac { -1 }{ 6 } \left[ { \left( 1-4\left( \frac { 1 }{ 4 } \right) \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } }-{ \left( 1-4(0) \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } } \right] \)
\(=\frac { -1 }{ 6 } \left[ { 0 }^{ \frac { 3 }{ 2 } }-{ 1 }^{ \frac { 3 }{ 2 } } \right] \)
\(=\frac { -1 }{ 6 } (0-1)=\frac { 1 }{ 6 } \)

\(\int _{ 0 }^{ 1 }{ { e }^{ 2x } } dx\)
\(={ { \left[ \frac { { e }^{ 2x } }{ 2 } \right] }_{ 0 } }^{ 1 }=\frac { 1 }{ 2 } \left[ { e }^{ 2(1) }-{ e }^{ 2(0) } \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \left[ { e }^{ 2 }-{ e }^{ 0 } \right] \)  =\(\frac { 1 }{ 2 } \) [e² - 1]

(i) \(\int _{ -2 }^{ 1 }{ f(x) } dx=\int _{ -2 }^{ 1 }{ { x }^{ 2 }dx } ={ \left[ \frac { { x }^{ 3 } }{ 3 } \right] }_{ -2 }^{ 1 }=\frac { 1 }{ 3 } -\left( \frac { -8 }{ 3 } \right) =3\)
(ii) \(\int _{ 1 }^{ 2 }{ f(x) } dx=\int _{ 1 }^{ 2 }{ xdx } ={ \left[ \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right] }_{ 1 }^{ 2 }=\frac { 4 }{ 2 } -\frac { 1 }{ 2 } =\frac { 3 }{ 2 } \)
(iii) \(\int _{ 2 }^{ 3 }{ f(x) } dx=\int _{ 2 }^{ 3 }{ (x-4) } dx{ \left[ \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } -4x \right] }_{ 2 }^{ 3 }=\left( \frac { 9 }{ 2 } -12 \right) -\left( \frac { 4 }{ 2 } -8 \right) \) \(=\frac { 15 }{ 2 } +6=\frac { -3 }{ 2 } \)
(iv) \(\int_{-2}^{1.5} f(x) d x\) = \(\int_{-2}^{1} f(x) d x\) + \(\int_{1}^{1.5} f(x) d x\)
= 3 + \({ \left[ \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right] }_{ 1 }^{ 1.5 } \) 
=  3 + \(\frac { 225 }{ 2 } -\frac { 1 }{ 2 } = 3 + \frac { 125 }{ 2 } = 3.625\)
(v) \(\int_{1}^{3} f(x) d x\) = \(\int_{1}^{2} f(x) d x\) + \(\int_{2}^{3} f(x) d x\)
= \(\frac { 3 }{ 2 } + (\frac { -3 }{ 2 }) = 0\) using (ii) and (iii)

Given that \(\int _{ 1 }^{ a }{ { 3 }x^{ 2 } } dx=-1\)
\({ \left[ { x }^{ 3 } \right] }_{ 1 }^{ a }=-1\)
a³ −1 = –1
a³ = 0 ⇒ a = 0

\(\int _{ 0 }^{ \infty }{ { e }^{ -\frac { x }{ 2 } } } dx=-2{ \left[ { e }^{ -\frac { x }{ 2 } } \right] }_{ 0 }^{ \infty }\)
= − 2[0 −1] = 2

\(\int _{ \frac { \pi }{ 6 } }^{ \frac { \pi }{ 3 } }{ \sin x } dx={ \left[ -\cos x \right] }_{ \frac { \pi }{ 6 } }^{ \frac { \pi }{ 3 } }\)
\(=-\left( \cos\frac { \pi }{ 3 } -\cos\frac { \pi }{ 6 } \right) \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } (\sqrt { 3 } -1)\)

\(\int { \sqrt { { 4x }^{ 2 }-5 } } dx\)
\(=\int { \sqrt { 4\left( { x }^{ 2 }-\frac { 5 }{ 4 } \right) } } dx\)
\(=2\int { \sqrt { { x }^{ 2 }-{ \left( \frac { \sqrt { 5 } }{ 2 } \right) }^{ 2 } } } dx\)
\(=2\left[ \frac { x }{ 2 } \sqrt { { x }^{ 2 }-\frac { 5 }{ 4 } } -\frac { 5 }{ 4(2) } \log { \left| x+\sqrt { { x }^{ 2 }-\frac { 5 }{ 4 } } \right| } \right] +c\)
\(=\frac { x }{ 2 } \sqrt { { 4x }^{ 2 }-5 } -\frac { 5 }{ 4 } \log { \left| 2x+\sqrt { { 4x }^{ 2 }+5 } \right| } +c\)
= \(\frac { 1 }{ 4 } \left[ 2x\sqrt { { 4x }^{ 2 }-5 } -5log\left| 2x+\sqrt { { 4x }^{ 2 }-5 } \right| \right] +c\)

\(\int { \sqrt { { x }^{ 2 }-2 } } dx\)
\(=\int { \sqrt { { x }^{ 2 }-{ \left( \sqrt { 2 } \right) }^{ 2 } } } dx\)
\(=\frac { x }{ 2 } \sqrt { { x }^{ 2 }-2 } -\frac { 2 }{ 2 } \log { \left| x+\sqrt { { x }^{ 2 }-2 } \right| } +c\)
\(\left[ \because \int { \sqrt { { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } } dx=\frac { x }{ 2 } \sqrt { { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } -\frac { { a }^{ 2 } }{ 2 } \log { \left| x+\sqrt { { { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } } \right| +c } \right] \)
\(=\frac { x }{ 2 } \sqrt { { x }^{ 2 }-{ 2 } } -\log { \left| x+\sqrt { { x }^{ 2 }-{ 2 } } \right| } +c\)

\(\int { \frac { dx }{ \sqrt { { 9x }^{ 2 }-7 } } } \)
\(=\int { \frac { dx }{ \sqrt { 9\left( { x }^{ 2 }-\frac { 7 }{ 9 } \right) } } } \)
\(=\frac { 1 }{ 3 } \int { \frac { dx }{ \sqrt { { x }^{ 2 }{ \left( \frac { \sqrt { 7 } }{ 3 } \right) }^{ 2 } } } } \)
\(\left[ \because \int { \frac { dx }{ \sqrt { { x }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } } } =\log { \left| x+\sqrt { { x }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } } \right| +c } } \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 3 } \log { \left| x+\sqrt { { x }^{ 2 }-\frac { 7 }{ 9 } } \right| } +c\)
\(=\frac { 1 }{ 3 } \log { \left| x+\sqrt { \frac { { 9x }^{ 2 }-7 }{ 3 } } \right| } +c\)
\(=\frac { 1 }{ 3 } \log { \left| 3x+\sqrt { { 9x }^{ 2 }-7 } \right| } +c\)

\(\int { \frac { 1 }{ { 2x }^{ 2 }-9 } } dx\)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \int { \frac { dx }{ { x }^{ 2 }-\frac { 9 }{ 2 } } } \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \int { \frac { dx }{ { x }^{ 2 }-{ \left( \frac { 3 }{ \sqrt { 2 } } \right) }^{ 2 } } } \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \times \frac { 1 }{ 2\left( \frac { 3 }{ \sqrt { 2 } } \right) } \log { \left| \frac { x-\frac { 3 }{ \sqrt { 2 } } }{ x+\frac { 3 }{ \sqrt { 2 } } } \right| } +c\)
\(\left[ \because \int { \frac { dx }{ { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } } =\frac { 1 }{ 2a } \log { \left| \frac { x-a }{ x+a } \right| } \right] +c\)
\(=\frac { 1 }{ \frac { 12 }{ \sqrt { 2 } } } \log { \left| \frac { \sqrt { 2x } -3 }{ \sqrt { 2x } +3 } \right| } +c\)

\(=\frac { 1 }{ 6\times \sqrt { 2 } } \log { \left| \frac { \sqrt { 2x } -3 }{ \sqrt { 2x } +3 } \right| } +c\)

\(\int { \frac { 1 }{ 9-{ 16x }^{ 2 } } } dx\)
\(=\frac { 1 }{ 16 } \int { \frac { 1 }{ \frac { 9 }{ 16 } -{ x }^{ 2 } } } dx\)
\(=\frac { 1 }{ 16 } \int { \frac { 1 }{ { \left( \frac { 3 }{ 2 } \right) }^{ 2 }-{ x }^{ -2 } } } \)
\(=\frac { 1 }{ 16 } \left[ \frac { 1 }{ 2\left( \frac { 3 }{ 4 } \right) } \log\left| \frac { \frac { 3 }{ 4 } +x }{ \frac { 3 }{ 4 } -x } \right| \right] +c\)
\(\left[ \because \int { \frac { dx }{ { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } } =\frac { 1 }{ 2a } \log\left| \frac { x-a }{ x+a } \right| \right] +c\)
\(=\frac { 1 }{ 16 } \times \frac { 2 }{ 3 } \log { \left| \frac { \frac { \left( 3+4x \right) }{ 4 } }{ \frac { \left( 3-4x \right) }{ 4 } } \right| } +c\)
\(=\frac { 1 }{ 24 } \log { \left| \frac { 3+4x }{ 3-4x } \right| } +c\)

ഽ\(\sqrt { { 4x }^{ 2 }+9 } \) dx
= \(\frac { 1 }{ 2 } \sqrt { { (2x) }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 } } d(2x)\)
= \(\frac { 1 }{ 2 } \left[ \frac { 2x }{ 2 } \sqrt { { (2x) }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 } } +\frac { { 3 }^{ 2 } }{ 2 } \log\left| 2x+\sqrt { { (2x) }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 } } \right| \right] \) + c
= \(\frac { x }{ 2 } \sqrt { { 4x }^{ 2 }+9 } +\frac { 9 }{ 4 } \log\left| 2x+\sqrt { { 4x }^{ 2 }+9 } \right| +c\)

ഽ\(\sqrt { { x }^{ 2 }+5 } \) dx = ഽ\(\sqrt { { x }^{ 2 }+{ \left( \sqrt { 5 } \right) }^{ 2 } } \)dx
 \(=\frac { x }{ 2 } \sqrt { { x }^{ 2 }+{ \left( \sqrt { 5 } \right) }^{ 2 } } +\frac { { \left( \sqrt { 5 } \right) }^{ 2 } }{ 2 } \log\left| x+\sqrt { { x }^{ 2 }+{ \left( \sqrt { 5 } \right) }^{ } } \right| \) + c
= \(\frac { x }{ 2 } \sqrt { { x }^{ 2 }+5 } +\frac { 5 }{ 2 } \log\left| x+\sqrt { { x }^{ 2 }+5 } \right| +c\)

ഽ\(\sqrt { { x }^{ 2 }-16 } \) dx = ഽ\(\sqrt { { x }^{ 2 }-{ 4 }^{ 2 } } \) dx
= \(\frac { x }{ 2 } \sqrt { { x }^{ 2 }-{ 4 }^{ 2 } } -\frac { { 4 }^{ 2 } }{ 2 } \log\left| x+\sqrt { { x }^{ 2 }-{ 4 }^{ 2 } } \right| +c\)
= \(\frac { x }{ 2 } \sqrt { { x }^{ 2 }-16 } -8 \log\left| x+\sqrt { { x }^{ 2 }-16 } \right| +c\)

ഽ\(\frac { dx }{ \sqrt { { x }^{ 2 }+25 } } \) = ഽ\(\frac { dx }{ \sqrt { { x }^{ 2 }+5^2 } } \)
= \(\log\left| x+\sqrt { { x }^{ 2 }+{ 5 }^{ 2 } } \right| +c\) 
= \(\log\left| x+\sqrt { { x }^{ 2 }+{ 25 }^{ } } \right| +c\)

ഽ\(\frac { dx }{ \sqrt { { 4x }^{ 2 }-9 } } \)=ഽ\(\frac { dx }{ \sqrt { 4\left[ { x }^{ 2 }-\frac { 9 }{ 4 } \right] } } \)
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) ഽ\(\frac { dx }{ \sqrt { { x }^{ 2 }-{ \left( \frac { 3 }{ 2 } \right) }^{ 2 } } } \)
= \(\frac { 1 }{ 2 } \log\left| x+\sqrt { { x }^{ 2 }-{ \left( \frac { 3 }{ 2 } \right) }^{ 2 } } \right| +c\)
= \(\frac { 1 }{ 2 } \log\left| x\sqrt { { x }^{ 2 }-\frac { 9 }{ 4 } } \right| +c\)
= \(\frac { 1 }{ 2 } \log\left| 2x+\sqrt { 4{ x }^{ 2 }-9 } \right| +c\)

ഽ\(\frac { dx }{ { 4x }^{ 2 }-1 } \) = ഽ\(\frac { dx }{ 4\left( { x }^{ 2 }-\frac { 1 }{ 4 } \right) } \)
= \(\frac { 1 }{ 4 } \)ഽ\(\frac { dx }{ { x }^{ 2 }-{ \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ 2 } } \)
= \(\frac { 1 }{ 4 } \left[ \frac { 1 }{ 2\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) } \log\left| \frac { x-\frac { 1 }{ 2 } }{ x-\frac { 1 }{ 2 } } \right| \right] +c\)
= \(\frac { 1 }{ 4 } \log\left| \frac { 2x-1 }{ 2x+1 } \right| \) + c

ഽ\(\frac { dx }{ { 1-25x }^{ 2 } } \) = \(\frac { 1 }{ 25 } \) ഽ \(\frac { dx }{ { \left( \frac { 1 }{ 5 } \right) }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } } \)
= \(\frac { 1 }{ 25 } \left[ \frac { 1 }{ 2\left( \frac { 1 }{ 5 } \right) } \log\left| \frac { \frac { 1 }{ 5 } +x }{ \frac { 1 }{ 5 } -x } \right| \right] +c\)
\(=\frac { 1 }{ 10 } \log\left| \frac { 1+5x }{ 1-5x } \right| +c\)

ഽ\(\frac { dx }{ { 16-x }^{ 2 } } \) = ഽ \(\frac { dx }{ { 4^2-x }^{ 2 } } \)
= \(\frac { 1 }{ 2(4) } \log\left| \frac { 4+x }{ 4-x } \right| +c\)
= \(\frac { 1 }{ 8 } \log\left| \frac { 4+x }{ 4-x } \right| +c\)

\(Let\ I=\int { \frac { 1 }{ x \log x } } dx\)
put log x = t
\(\Rightarrow \frac { 1 }{ x } dx=dt\)
\(\therefore I=\int { \frac { 1 }{ t } } dt=\log { \left| t \right| } +c\)
\(=\log { \left| \log { x } \right| } +c\quad \left[ \because t=logx \right] \)

\(Let\ I=\int { { x }^{ 8 }{ \left( 1+{ x }^{ 9 } \right) }^{ 5 } } dx\)
\(put\ t=1+{ x }^{ 9 }\)
\(\Rightarrow dt=0+9\quad { x }^{ 8 }dx\)
\(\Rightarrow dt=9\quad { x }^{ 8 }dx\)
\(\Rightarrow \frac { dt }{ 9 } ={ x }^{ 8 }dx\)
\(\therefore I=\int { \frac { { t }^{ 5 } }{ 9 } } dt=\frac { 1 }{ 9 } \int { { t }^{ 5 } } dt\)
\(=\frac { 1 }{ 9 } \left[ \frac { { t }^{ 6 } }{ 6 } \right] +c=\frac { 1 }{ 54 } { t }^{ 6 }+c\)
\(=\frac { 1 }{ 54 } { \left( 1+{ x }^{ 9 } \right) }^{ 6 }+c\)

\(Let\ I=\int { \left( 4x+2 \right) } \sqrt { { x }^{ 2 }+x+1 } \ dx\)
\(put\ t={ x }^{ 2 }+x+1\)
dt = (2x+1) dx
\(\therefore I=2\int { \left( 2x+1 \right) } \sqrt { { x }^{ 2 }+x+1 } \ dx\)
\(=2\int { \sqrt { t } } dt\)
\(=2\int { { t }^{ \frac { 1 }{ 2 } } } dt=2\frac { { t }^{ \frac { 1 }{ 2 } +1 } }{ \frac { 1 }{ 2 } +1 } +c\)
\(=2\frac { { t }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ \frac { 3 }{ 2 } } +c\)
\(=\frac { 4 }{ 3 } { t }^{ \frac { 3 }{ 2 } }+c\)
\(=\frac { 4 }{ 3 } { \left( { x }^{ 2 }+x+1 \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } }+c\quad \left[ \because t={ x }^{ 2 }+x+1 \right] \)

\(Let\ I=\int { \frac { 6x+7 }{ \sqrt { { 3x }^{ 2 }+7x-1 } } } dx\)
\(Let\ t={ 3x }^{ 2 }+7x-1\)
\(\Rightarrow dt=(6x+7)dx\)
\(\therefore I=\int { \frac { dt }{ \sqrt { t } } } =\int { { t }^{ \frac { 1 }{ 2 } } } dt\)
\(=\frac { { t }^{ -\frac { 1 }{ 2 } +1 } }{ -\frac { 1 }{ 2 } +1 } +c=\frac { { t }^{ \frac { 1 }{ 2 } } }{ \frac { 1 }{ 2 } } +c\)
\(=2\sqrt { t } +c\)
\(=2\sqrt { { 3x }^{ 2 }+7x-1 } +c\)
\(\left[ \because t={ 3x }^{ 2 }+7x+c \right] \)

\(Let\ I=\int { \frac { { e }^{ 2x } }{ { e }^{ 2x }-2 } } \)
\(put\ t={ e }^{ 2x }-2\)
\(\Rightarrow dt=2{ e }^{ 2x }dx\)
\(\Rightarrow \frac { dt }{ 2 } ={ e }^{ 2x }dx\)
\(\therefore I=\int { \frac { \frac { dt }{ 2 } }{ t } } =\frac { \log { \left| t \right| } }{ 2 } +c\)
\(=\log { \frac { \left| { e }^{ 2x }-2 \right| }{ 2 } } +c\)

\(Let\ I =\int { \frac { 2x+5 }{ { x }^{ 2 }+5x-7 } } dx\)
\(Let\ t= { x }^{ 2 }+5x-7\)
\(\Rightarrow dt=(2x+5)\quad dt\)
\(\therefore I=\int { \frac { dt }{ t } } \)
\(=\log { \left| t \right| } +c\)
\(=\log { \left| { x }^{ 2 }+5x+-7 \right| } +c\)
\(\left[ \because t={ x }^{ 2 }+5x-7 \right] \)

\(\int { x } \sqrt { { x }^{ 2 }+1 }\ dx=\frac { 1 }{ 2 } \int { { \left( { x }^{ 2 }+1 \right) }^{ \frac { 1 }{ 2 } } } \left( 2x \right) dx\)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \int { [f(x){ ] }^{ \frac { 1 }{ 2 } }f'(x)dx } \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \frac { [f(x){ ] }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ \frac { 3 }{ 2 } } +c\)
\(=\frac { 1 }{ 3 } ({ x }^{ 2 }+1{ ) }^{ \frac { 3 }{ 2 } }+c\)
[ Take f (x) = x² +1
 \(\therefore \) f '(x) = 2x ]

\(\int { \frac { x }{ \sqrt { { x }^{ 2 }+1 } } dx } =\frac { 1 }{ 2 } \int { \frac { x }{ \sqrt { { x }^{ 2 }+1 } } } dx\)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \int { \frac { f'\left( x \right) }{ \sqrt { f\left( x \right) } } dx } \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } [2\sqrt { f(x) } ]+c\)
\(=\sqrt { { x }^{ 2 }+1+ } c\)
[ Take f (x) = x² +1
 \(\therefore \) f '(x) = 2x ]

\(\int { \frac { x }{ { x }^{ 2 }+1 } dx } =\frac { 1 }{ 2 } \int { \frac { 2x }{ { x }^{ 2 }+1 } } \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \int { \frac { f'(x) }{ f(x) } dx } \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \log[f(x)]+c\)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \log\left| { x }^{ 2 }+1 \right| +c\)
[ Take f (x) = x² +1 
\(\therefore \) f '(x) = 2x ]

\(\int { \sqrt { 1-\sin2x } dx } \)
\(=\int { \sqrt { { \sin }^{ 2 }x+{ \cos }^{ 2 }x-2\sin x \cos x } dx } \) [∵1 = sin²x + cos²x sin²x = 2sin x cos x]
\(=\int { \sqrt { { \left( \sin x-\cos x \right) }^{ 2 } } } dx\) [∵(a−b)²=a²−2ab+b²]
=∫(sinx − cosx)dx
=−cosx − sinx+ c
=−(cosx + sinx)+c

∫ (2 cos x - 3 sin x + 4 sec² x - 5cosec² x)dx
= 2 ∫cos x dx - 3∫sin x dx +4∫sec² x dx - 5 ∫cosec² x dx
= 2 (sin x) - 3 (-cos x) +4 tan x - 5 (-cot x) + c
= 2sin x + 3cos x + 4 tan x + 5cot x + c

\(\int { \sqrt { 1+\sin2x \ dx } } =\int { \sqrt { { \left( \sin x+\cos x \right) }^{ 2 }dx } } \)
=∫(sinx + cosx)dx
=−cos x + sin x + c
[ Change into simple integrands 
1+ sin2x = sin² x + cos² x + 2sin x cos x
= (sin x + cos x)² ]

\(\int { \frac { \cos2x }{ { \sin }^{ 2 }{ x \cos }^{ 2 }x } dx } =\int { \left( { cosec }^{ 2 }x-{ sec }^{ 2 }x \right) dx } \)
= −cot x − tan x + c
[ Change into simple integrands
\(\frac { \cos2x }{ { \sin }^{ 2 }{ x \cos }^{ 2 }x } =\frac { { \cos }^{ 2 }x{ -\sin }^{ 2 }x }{ { \sin }^{ 2 }x \cos^{ 2 }x } =\frac { 1 }{ { { \sin }^{ 2 }x } } -\frac { 1 }{ { \cos }^{ 2 }x } \)
\(=cosec^{ 2 }x−sec^{ 2 }x\)

\(\int { { \sin }^{ 2 }xdx } = \int { \frac { 1 }{ 2 } \left( 1-\cos2x \right) dx } \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \left[ \int { dx-\int { \cos2xdx } } \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \left[ x-\frac { \sin2x }{ 2 } \right] +c\)
[ Change into simple integrands cos2x = 1− 2sin² x 
\(\therefore \ \sin^{ 2 }x=\frac { 1 }{ 2 } (1-\cos2x)\)]

∫(2sin x − 5cos x )dx = 2∫sin x dx − 5∫cos x dx
= −2cos x −5sin x + c

\(\int { { \left( { e }^{ x }+\frac { 1 }{ { e }^{ x } } \right) }^{ 2 }dx } =\int { \left( { e }^{ 2x }+\frac { 1 }{ { e }^{ 2x } } +2 \right) dx } \)
\(=\int { \left( { e }^{ 2x }+e^{ -2x }+2 \right) dx } \)
\(=\frac { { e }^{ 2x } }{ 2 } -\frac { { e }^{ -2x } }{ 2 } +2x+c\)

\(\int { \frac { { e }^{ x }+7 }{ { e }^{ x } } } dx=\int { \left( 1+7{ e }^{ -x } \right) } dx\)
= x − 7e^−x + c

\(\int { { 3 }^{ 2x+3 }dx } =\int { { 3 }^{ 2x }.{ 3 }^{ 3 }dx } \)
\(={ 3 }^{ 3 }\int { { 3 }^{ 2x }dx } \)
\(=27\frac { { 3 }^{ 2x } }{ 2\log3 } +c\)
[ \(\int { ma^{ mx+n }dx } =\int { ma^{ mx+n }d(mx+n) } \frac { 1 }{ \log a } { a }^{ mx+n }\)+ c,a > 0 and a ≠ 1]

\(\int { { \left( \sqrt { 2x } -\frac { 1 }{ \sqrt { 2x } } \right) }^{ 2 } } dx\)

\(=\int { \left( 2x-2+\frac { 1 }{ 2x } \right) } dx\)
\(=2\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } -2x+\frac { 1 }{ 2 } \log { \left| x \right| +c } \)
\(={ x }^{ 2 }-2x+\frac { 1 }{ 2 } \log { \left| x \right| } +c\)

\(\int { \frac { 2 }{ 3x+5 } dx } =2\int { \frac { 1 }{ 3x+5 } dx } \)
\(=\frac { { 2 } }{ 3 } log\left| 3x+5 \right| +c\)
[\(\int { \frac { a }{ ax+b } dx } =\int { \frac { d\left( ax+b \right) }{ \left( ax+b \right) } } =log\left| ax+b \right| +c\)]

\(\int { \frac { { 3x }^{ 2 }+2x+1 }{ x } dx } =\int { \left( 3x+2+\frac { 1 }{ x } \right) dx } \)
\(=\frac { { 3x }^{ 2 } }{ 2 } +2x+log\left| x \right| +c\)

\(\int { \left( 3x+x \right) \left( 2-5x \right) } dx\)
\(=\int { \left( 6-15x+2x-{ 5x }^{ 2 } \right) } dx\)
\(=\int { \left( 6-13x-{ 5x }^{ 2 } \right) } dx\)
\(=6x-\frac { { 13x }^{ 2 } }{ 2 } -\frac { { 5x }^{ 3 } }{ 3 } +c\)

\(\int { { \left( { 9x }^{ 2 }-\frac { 4 }{ { x }^{ 2 } } \right) }^{ 2 } } dx\)

\(\left[ \because { \left( a-b \right) }^{ 2 }={ a }^{ 2 }-2ab+{ b }^{ 2 } \right] \)
\(=\int { \left( { 81x }^{ 4 }-72+\frac { 16 }{ { x }^{ 4 } } \right) } dx\)
\(=81\frac { { x }^{ 4+1 } }{ 4+1 } -72x+16\frac { { x }^{ -4+1 } }{ -4+1 } +c\)
\(\left[ \because \frac { 16 }{ { x }^{ 4 } } =16{ x }^{ -4 } \right] \)
\(=81\frac { { x }^{ 5 } }{ 5 } -72x+16\frac { { x }^{ -3 } }{ -3 } +c\)
\(=\frac { 81 }{ 5 } { x }^{ 5 }-72x-\frac { 16 }{ { 3x }^{ 3 } } +c\)

\(\int { \sqrt { 3x+5 } dx } \)
\(=\int { { \left( 3x+5 \right) }^{ 1/2 } } dx\)
\(=\frac { { \left( 3x+5 \right) }^{ 1/2+1 } }{ 3\left( \frac { 1 }{ 2 } +1 \right) } +c\)
\(\left[ \because \int { { \left( ax+b \right) }^{ n }dx=\frac { { \left( ax+b \right) }^{ n+1 } }{ a\left( n+1 \right) } } +c \right] \)
\(=\frac { { \left( 3x+5 \right) }^{ 3/2 } }{ 3\left( \frac { 3 }{ 2 } \right) } +c=\frac { { \left( 3x+5 \right) }^{ 3/2 } }{ \frac { 9 }{ 2 } } +c\)
\(=\frac { 2 }{ 9 } { \left( 3x+5 \right) }^{ 3/2 }+c\)

\(\int { \left( { x }^{ 3 }+7 \right) \left( x-4 \right) dx } \)
= \(\int { \left( { x }^{ 4 }-{ 4x }^{ 3 }+7x-28 \right) dx } \)
\(= \frac { { x }^{ 5 } }{ 5 } -{ x }^{ 4 }+\frac { { 7x }^{ 2 } }{ 2 } -28x+c\)

\(\int { { \left( x+\frac { 1 }{ x } \right) }^{ 2 }dx } \) = \(\int { { \left( { x }^{ 2 }+2+\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } \right) }dx } \)
\(=\int x^{2} d x+2 \int d x+\int \frac{1}{x^{2}} d x\)
\(=\frac { { x }^{ 3 } }{ 3 } +2x-\frac { 1 }{ x } +c\)

\(\int { \frac { dx }{ { \left( 2x+3 \right) }^{ 2 } } } \) =\(\int { { \left( 2x+3 \right) }^{ -2 }dx } \)
\(=-\frac { 1 }{ 2\left( 2x+3 \right) } +c\)

\( \int \sqrt{2 x+1} \ d x=\int(2 x+1)^{\frac{1}{2}} d x\)
\(=\frac { { \left( 2x+1 \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ 3 } +c\)