Let I = \(\int _{ 0 }^{ 3 }{ \frac { xdx }{ \sqrt { x+1 } +\sqrt { 5x+1 } } } \)
\(I=\int _{ 0 }^{ 3 }{ \cfrac { x\left( \sqrt { x+1 } -\sqrt { 5x+1 } \right) }{ \left( \sqrt { x+1 } +\sqrt { 5x+1 } \right) \left( \sqrt { x+1 } -\sqrt { 5x+1 } \right) } } \)
= \(\int _{ 0 }^{ 3 }{ \cfrac { x\left( \sqrt { x+1 } -\sqrt { 5x+1 } \right) dx }{ \left( x+1 \right) -\left( 5x+1 \right) } } \)
\(\left[ \because \left( a+b \right) \left( a-b \right) ={ a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 } \right] \)

= \(-\cfrac { 1 }{ 4 } \int _{ 0 }^{ 3 }{ \left( \sqrt { x+1 } -\sqrt { 5x+1 } \right) dx } \)
=  \(-\cfrac { 1 }{ 4 } \left[ \cfrac { \left( x+1 \right) ^{ \cfrac { 3 }{ 2 } } }{ \cfrac { 3 }{ 2 } } -\cfrac { \left( 5x+1 \right) ^{ \cfrac { 3 }{ 2 } } }{ 5\left( \cfrac { 3 }{ 2 } \right) } \right] _{ 0 }^{ 3 }\)
= \(-\cfrac { 1 }{ 4 } \left[ \cfrac { 2 }{ 3 } \left( x+1 \right) ^{ \frac { 3 }{ 2 } }-\cfrac { 1 }{ 15 } \left( 5x+1 \right) ^{ \frac { 3 }{ 2 } } \right] _{ 0 }^{ 3 }\)
= \(-\cfrac { 1 }{ 2 } \left[ \cfrac { 1 }{ 3 } \left( x+1 \right) ^{ \cfrac { 3 }{ 2 } }-\cfrac { 1 }{ 15 } \left( 5x+1 \right) ^{ \cfrac { 3 }{ 2 } } \right] _{ 0 }^{ 3 }\)
= \(-\cfrac { 1 }{ 2 } \left[ \cfrac { 1 }{ 3 } (4)^{ \cfrac { 3 }{ 2 } }-\cfrac { 1 }{ 15 } \left( 16 \right) ^{ \cfrac { 3 }{ 2 } } \right] -\left[ \cfrac { 1 }{ 3 } \left( 1 \right) ^{ \cfrac { 3 }{ 2 } }-\cfrac { 1 }{ 15 } \left( 1 \right) ^{ \cfrac { 3 }{ 2 } } \right] \)
= \(-\cfrac { 1 }{ 2 } \left[ \left( \cfrac { 1 }{ 3 } \left( 4 \right) \sqrt { 4 } -\cfrac { 1 }{ 15 } 16\sqrt { 16 } \right) -\left( \cfrac { 1 }{ 3 } -\cfrac { 1 }{ 15 } \right) \right] \)
= \(\cfrac { 1 }{ 2 } \left[ \left( \cfrac { 8 }{ 3 } -\cfrac { 64 }{ 15 } \right) -\cfrac { 1 }{ 3 } +\cfrac { 1 }{ 5 } \right] \)
= \(-\cfrac { 1 }{ 2 } \left[ \cfrac { 8 }{ 3 } -\cfrac { 64 }{ 15 } -\cfrac { 1 }{ 3 } +\cfrac { 1 }{ 15 } \right] \)
= \(-\cfrac { 1 }{ 2 } \left[ \cfrac { 8 }{ 3 } -\cfrac { 1 }{ 3 } -\cfrac { 64 }{ 15 } +\cfrac { 1 }{ 15 } \right] \)
= \(-\cfrac { 1 }{ 2 } \left[ \cfrac { 7 }{ 3 } -\cfrac { 63 }{ 15 } \right] =-\cfrac { 1 }{ 2 } \left[ \cfrac { 105-189 }{ 45 } \right] \)
= \(-\cfrac { 1 }{ 2 } \left[ \cfrac { -84 }{ 45 } \right] =\cfrac { 42 }{ 45 } =\cfrac { 14 }{ 15 } \)
\(\therefore\) \(I=\cfrac { 14 }{ 15 } \)

\(\int _{ a }^{ b }{ f(x)dx } =\underset { n\rightarrow \infty \\ h\rightarrow 0 }{ lim } \sum _{ r=1 }^{ n }{ h.f\left( a+rh \right) } \)
Here a = 0, b = 1
\(h=\cfrac { b-a }{ n } =\cfrac { 1-0 }{ n } =\cfrac { 1 }{ n } \)
and f(x) = x²
Now^, \(f(a+rh)=f\left( 0+r.\cfrac { 1 }{ n } \right) =f\left( \cfrac { r }{ n } \right) \)
⁼ \(\left( \cfrac { r }{ n } \right) ^{ 2 }=\cfrac { { r }^{ 2 } }{ { n }^{ 2 } } \)
\(\therefore \int _{ 0 }^{ 1 }{ { x }^{ 2 }dx } =\underset { n\rightarrow \infty }{ lim } \sum _{ r=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ n } } \left( \frac { { r }^{ 2 } }{ { n }^{ 2 } } \right) \)
= \(\underset { n\rightarrow \infty }{ lim } \frac { 1 }{ { n }^{ 3 } } .\frac { n(n+1)(2n+1) }{ 6 } \)
\(\left[ \therefore \sum _{ r=1 }^{ n }{ { r }^{ 2 }=\cfrac { n(n+1)(2n+1) }{ 6 } } \right] \)

[Taking n common from each bracket]
= \(\cfrac { 1 }{ 6 } .\underset { n\rightarrow \infty }{ lim } \left( 1+\cfrac { 1 }{ n } \right) \left( 2+\cfrac { 1 }{ n } \right) \)
= \(\cfrac { 1 }{ 6 } \left( 1+0 \right) \left( 2+0 \right) \)


= \(\cfrac { 1 }{ 3 } \)

\(\int _{ a }^{ b }{ f(x)dx } =\underset { n\rightarrow \infty \\ h\rightarrow 0 }{ lim } \sum _{ r=1 }^{ n }{ h.f\left( a+rh \right) } \)
Here a = 1, b = 3
\(h=\cfrac { b-a }{ n } =\cfrac { 3-1 }{ n } =\cfrac { 2 }{ n } \)
and f(x) = 2x + 3
\(\therefore f(a+rh)=f\left( 1+r+r.\cfrac { 2 }{ n } \right) =f\left( 1+\cfrac { 2r }{ n } \right) \)
= \(2\left( 1+\cfrac { 2r }{ n } \right) +3\)
= \(2+\cfrac { 4r }{ n } +3=5+\cfrac { 4r }{ n } \)
\(\therefore \int _{ 1 }^{ 3 }{ (2x+3) } dx=\underset { n\rightarrow \infty }{ lim } \sum _{ r=1 }^{ n }{ \frac { 2 }{ n } } \left( 5+\frac { 4r }{ n } \right) \)
= \(\underset { n\rightarrow \infty }{ lim } \sum _{ r=1 }^{ n }{ \left( \frac { 10 }{ n } +\frac { 8r }{ { n }^{ 2 } } \right) } \)
= \(\underset { n\rightarrow \infty }{ lim } \left( \frac { 10 }{ n } .\sum _{ r=1 }^{ n }{ .1+\frac { 8 }{ { n }^{ 2 } } \cdot \sum _{ r=1 }^{ n }{ \cdot r } } \right) \)

\(\left[ \because \Sigma 1=n\& \sum _{ r=1 }^{ n }{ r } =\cfrac { n(n+1) }{ 2 } \right] \)

= \(10+4.\underset { n\rightarrow \infty }{ lim } \left( 1+\frac { 1 }{ n } \right) \)
=  10 + 4(1 +0)

= 10 + 4 = 14

\(\int _{ a }^{ b }{ f\left( x \right) } dx=\lim _{ n\rightarrow \infty \\ h\rightarrow 0 }{ \sum _{ r=1 }^{ n }{ h.f(a+rh) } } \)
Here a = 1, b = 3
\(h=\frac { b-a }{ n } =\frac { 3-1 }{ n } =\frac { 2 }{ n } \)
and f (x) = x
Now \(f(a+rh)=f\left( 1+r\cfrac { 2 }{ n } \right) =f\left( 1+\cfrac { 2r }{ n } \right) \)
\(\therefore \int _{ 1 }^{ 3 }{ xdx } =\underset { n\rightarrow \infty }{ lim } .\cfrac { 2 }{ n } \left( 1+\cfrac { 2r }{ n } \right) \)
= \(\underset { n\rightarrow \infty }{ lim } \sum _{ r=1 }^{ n }{ \left( \cfrac { 2 }{ n } +\cfrac { 4r }{ { n }^{ 2 } } \right) } \)
= \(\underset { n\rightarrow \infty }{ lim } \left( \cfrac { 2 }{ n } .\sum _{ r=1 }^{ n }{ .1+\cfrac { 4 }{ { n }^{ 2 } } .\sum _{ r=1 }^{ n }{ .r } } \right) \)
\(\left( \because \sum _{ r=1 }^{ n }{ 1=n } \right) \)

\(\left[ \sum _{ r=1 }^{ n }{ r } =\cfrac { n(n+1) }{ 2 } \right] \)

= \(2+\underset { n\rightarrow \infty }{ lim } \left( 1+\cfrac { 1 }{ n } \right) ^{ 2 }\)
= \(2+n\underset { n\rightarrow \infty }{ lim } \left( 2+\cfrac { 2 }{ n } \right) \)
= \(2+2\underset { n\rightarrow \infty }{ +lim } \left( 2+\cfrac { 2 }{ n } \right) \)

= 2 + 2 + 0
= 4

\(\int _{ a }^{ b }{ f\left( x \right) } dx=\lim _{ x\rightarrow \infty \\ h\rightarrow 0 }{ \sum _{ r=1 }^{ n }{ h\ f(a+rh) } } \)
Here a = 0, b = 0
and f(x) = x + 4
f (a + rh) = \(f\left( 0+\frac { r }{ n } \right) =f\left( \frac { r }{ n } \right) \)
\(=\frac { r }{ n } +4\)
\(\therefore \int _{ 0 }^{ 1 }{ \left( x+4 \right) } dx=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \sum _{ r=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ n } } } \left( \frac { r }{ n } +4 \right) \)
\(=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \sum _{ r=1 }^{ n }{ \left( \frac { r }{ { n }^{ 2 } } +\frac { 4 }{ n } \right) } } \)
\(=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \left( \frac { 1 }{ { n }^{ 2 } } \sum _{ r=1 }^{ n }{ r } +\frac { 4 }{ n } \sum _{ r=1 }^{ n }{ 1 } \right) } \)

\(\left( \sum _{ r=1 }^{ n }{ 1=n)\sum _{ r=1 }^{ n }{ r } =\frac { n(n+2) }{ 2 } } \right) \)

\(=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 1+\frac { 1 }{ n } }{ 2 } } +4\)
\(=\frac { 1+0 }{ 2 } 4\)
[∵ when \(n\rightarrow \infty ,\frac { 1 }{ n } \rightarrow 0\)]
\(=\frac { 1 }{ 2 } +4=\frac { 1+8 }{ 2 } =\frac { 9 }{ 2 } \)

\(\int _{ a }^{ b }{ f(x)dx } =\lim _{ n\rightarrow \infty \\ h\rightarrow 0 }{ \sum _{ r=1 }^{ n }{ h } f(a+rh) } \)
Here a =1, b = 2, h = \(\frac { b-a }{ n } =\frac { 2-1 }{ n } =\frac { 1 }{ n } \) and f (x) = x²
Now, f (a + rh) = f\(\left( 1+\frac { r }{ n } \right) { =\left( 1+\frac { r }{ n } \right) }^{ 2 }=1+\frac { 2r }{ n } +\frac { { r }^{ 2 } }{ { n }^{ 2 } } \)
∴ \(\int _{ 1 }^{ 2 }{ { x }^{ 2 }dx } =\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \sum _{ r=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ n } } \left( 1+\frac { 2r }{ n } +\frac { { r }^{ 2 } }{ { n }^{ 2 } } \right) } \)
= \(\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \sum _{ r=1 }^{ n }{ \left( \frac { 1 }{ n } +\frac { 2r }{ { n }^{ 2 } } +\frac { { r }^{ 2 } }{ { n }^{ 3 } } \right) } } \)
= \(\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \left( \frac { 1 }{ n } \sum _{ r=1 }^{ n }{ 1+\frac { 2 }{ { n }^{ 2 } } } \sum _{ r=1 }^{ n }{ r } +\frac { 1 }{ { n }^{ 3 } } \sum _{ r=1 }^{ n }{ { r }^{ 2 } } \right) } \)
= \(\lim _{ n\leftarrow \infty }{ \left( \frac { 1 }{ n } (n)+\frac { 2 }{ { n }^{ 2 } } \frac { n(n+1) }{ 2 } +\frac { 1 }{ { n }^{ 3 } } \frac { n(n+1)(2n+1) }{ 6 } \right) } \)
= \(\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \left[ 1+\left( 1+\frac { 1 }{ n } \right) +\frac { \left( 1+\frac { 1 }{ n } \right) \left( 2+\frac { 1 }{ n } \right) }{ 6 } \right] } \)
= \(\left[ 1+1+\frac { (1)(2) }{ 6 } \right] \)
∴ \(\int _{ 1 }^{ 2 }{ x^{ 2 } } =\frac { 7 }{ 3 } \)

\(\int _{ a }^{ b }{ f(x) } =\lim _{ n\rightarrow \infty \\ h\rightarrow 0 }{ \sum _{ r=1 }^{ n }{ h } f(a+rh) } \)
Here a = 1, b = 2, \(h=\frac { b-a }{ n } =\frac { 2-1 }{ n } =\frac { 1 }{ n } \) and f(x) = 2x + 1
f (a + rh) = f\(\left( 1+\frac { r }{ n } \right) \)
= \(2\left( 1+\frac { r }{ n } \right) +1\)
= \(2+\frac { 2r }{ n } +1\)
f (a + rh) = 3 + \(\frac {2r }{ n } \)
\(\int _{ 1 }^{ 2 }{ (x) } dx=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \sum _{ r=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ n } \left( 3+\frac { 2r }{ n } \right) } } \)
\(=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \sum _{ r=1 }^{ n }{ \frac { }{ } \left( \frac{3}{n}+\frac { 2r }{ n } \right) } } \)
=\(\overset { lt }{ n\rightarrow \infty } \left[ \frac { 3 }{ n } \sum _{ r=1 }^{ n }{ 1 } +\frac { 2 }{ { n }^{ 2 } } \sum _{ r=1 }^{ n }{ r } \right] \)
= \(\lim _{ n\leftarrow \infty }{ \left[ \frac { 3 }{ n } n+\frac { 2 }{ { n }^{ 2 } } \frac { n(n+1) }{ 2 } \right] } \)
= \(3+\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \left( 1+\frac { 1 }{ n } \right) } \)
\(\int _{ 1 }^{ 2 }{ f(x) } dx\) = 3 +1 = 4

\(\int _{ a }^{ b }{ f(x) } dx=\lim _{ n\rightarrow \infty \\ h\rightarrow 0 }{ \sum _{ r=1 }^{ n }{ h } f(a+rh) } \)
Here a = 0, b = 1, \(h=\frac { b-a }{ n } =\frac { 1-0 }{ n } =\frac { 1 }{ n } \) and f(x) = x
Now f(a+rh) = \(f (0+ \frac{r}{h}) = f (\frac{r}{n}) = r/n\)
On substituting in (1) we have
\(\int _{ 0 }^{ 1 }{ x } dx=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \sum _{ r=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ n } . } \frac { r }{ n } } \)
\(=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ { n }^{ 2 } } \sum _{ r=1 }^{ n }{ r } } \)
\(=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ { n }^{ 2 } } \frac { n(n+1) }{ 2 } } \)
\(=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ { n }^{ 2 } } } .\frac { { n }^{ 2 }\left( 1+\frac { 1 }{ n } \right) }{ 2 } \)
\(=\frac { 1+0 }{ 2 } =\frac { 1 }{ 2 } \)
∴ \(\int _{ 0 }^{ 1 }{ x } dx=\frac { 1 }{ 2 } \)

Let I = \(\int _{ 0 }^{ 1 }{ \frac { x }{ { \left( 1-x \right) }^{ \frac { 3 }{ 4 } } } } dx\)
\(=-\int _{ 0 }^{ 1 }{ \frac { -x }{ { \left( 1-x \right) }^{ \frac { 3 }{ 4 } } } } dx\)
[Multiply and divide by -1]
\(=-\int _{ 0 }^{ 1 }{ \frac { 1-x-1 }{ { \left( 1-x \right) }^{ \frac { 3 }{ 4 } } } } dx\)
[Adding and subtracting 1 in the numberator]
\(=\int _{ 1 }^{ 0 }{ \frac { 1-x-1 }{ { \left( 1-x \right) }^{ \frac { 3 }{ 4 } } } } dx\)
\(\left[ \because \int _{ a }^{ b }{ f\left( x \right) } dx=-\int _{ b }^{ a }{ f\left( x \right) dx } \right] \)
\(=\int _{ 1 }^{ 0 }{ \left( \frac { 1-x }{ { \left( 1-x \right) }^{ \frac { 3 }{ 4 } } } -\frac { 1 }{ { \left( 1-x \right) }^{ \frac { 3 }{ 4 } } } \right) } dx\)
\(=\int _{ 1 }^{ 0 }{ \left( { \left( 1-x \right) }^{ 1-\frac { 3 }{ 4 } }-{ \left( 1-x \right) }^{ -\frac { 3 }{ 4 } } \right) } dx\)
\(=\int _{ 1 }^{ 0 }{ { \left( 1-x \right) }^{ \frac { 1 }{ 4 } }dx-\int _{ 1 }^{ 0 }{ { \left( 1-x \right) }^{ -\frac { 3 }{ 4 } } } } dx\)
\(={ \left[ \frac { { \left( 1-x \right) }^{ \frac { 1 }{ 4 } +1 } }{ -1\left( \frac { 1 }{ 4 } +1 \right) } -\frac { { \left( 1-x \right) }^{ -\frac { 3 }{ 4 } +1 } }{ -1\left( -\frac { 3 }{ 4 } +1 \right) } \right] }_{ 1 }^{ 0 }\)
\(={ \left[ -\frac { { { \left( 1-x \right) }^{ \frac { 5 }{ 4 } } } }{ \frac { 5 }{ 4 } } +\frac { { \left( 1-x \right) }^{ \frac { 1 }{ 4 } } }{ \frac { 1 }{ 4 } } \right] }_{ 1 }^{ 0 }\)
\(={ \left[ -\frac { 4 }{ 5 } { \left( 1-x \right) }^{ \frac { 5 }{ 4 } }+4{ \left( 1-x \right) }^{ \frac { 1 }{ 4 } } \right] }_{ 1 }^{ 0 }\)
\(=-\frac { 4 }{ 5 } \left( { 1 }^{ \frac { 5 }{ 4 } } \right) +4\left( { 1 }^{ \frac { 1 }{ 4 } } \right) -0\)
\(=-\frac { 4 }{ 5 } (1)+4(1)=-\frac { 4 }{ 5 } +4\)
\(=\frac { -4+20 }{ 5 } =\frac { 16 }{ 5 } \)

Let I = \(\int _{ 0 }^{ 1 }{ \log { \left( \frac { 1 }{ x } -1 \right) } } dx\)
\(I=\int _{ 0 }^{ 1 }{ \log { \left( \frac { 1-x }{ x } \right) } } dx\) ---(1)
By the property, \(\int _{ 0 }^{ a }{ f\left( x \right) dx=\int _{ 0 }^{ a }{ f\left( a-x \right) } } dx\)
\(I=\int _{ 0 }^{ 1 }{ \log { \left( \frac { 1-(1-x) }{ 1-x } \right) } } dx\)
\(I=\int _{ 0 }^{ 1 }{ \log { \left( \frac { 1-1+x }{ 1-x } \right) } } dx\)
\(=\int _{ 0 }^{ 1 }{ \log { \left( \frac { x }{ 1-x } \right) } } dx\)  ---(2)
Adding (1) and (2) we get,
\(2I=\int _{ 0 }^{ 1 }{ \left[ \log { \left( \frac { 1-x }{ x } \right) } +\log { \left( \frac { x }{ 1-x } \right) } \right] } dx\)

[∵ log m + log n= log mn]
 \(=\int _{ 0 }^{ 1 }{ \log { 1 } } dx=0\)   [∵ log 1 = 0]
2I = 0
⇒ I = 0

Let I = \(\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \frac { { \sin }^{ 7 }x }{ { \sin }^{ 7 }x+{ \cos }^{ 7 }x } dx } \)     ---(1)
By the property, \(\int _{ 0 }^{ a }{ f\left( x \right) } dx=\int _{ 0 }^{ a }{ f(a-x) } dx\)
\(I=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \frac { { \sin }^{ 7 }\left( \frac { \pi }{ 2 } -x \right) }{ { \sin }^{ 7 }\left( \frac { \pi }{ 2 } -x \right) +{ \cos }^{ 7 }\left( \frac { \pi }{ 2 } -x \right) } } dx\)
\(I=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \frac { { \cos }^{ 7 }x \ dx }{ { \cos }^{ 7 }x+{ \sin }^{ 7 }x } } \) ---(2)
\(\left[ \because sin\left( \frac { \pi }{ 2 } -x \right) = \text {cos x and cos} \left( \frac { \pi }{ 2 } -x \right) =x \right] \)
Adding (1) and (2) we get,
\(2I=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \left( \frac { { \sin }^{ 7 }x }{ { \sin }^{ 7 }x+{ \cos }^{ 7 }x } +\frac { \cos^{ 7 }x }{ { \cos }^{ 7 }x+{ \sin }^{ 7 }x } \right) } dx\)

\(=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ dx } ={ \left[ x \right] }_{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }=\frac { \pi }{ 2 } -0=\frac { \pi }{ 2 } \)
\(\therefore 2I=\frac { \pi }{ 2 } \)
\(\Rightarrow I=\frac { \pi }{ 4 } \)

Let I = \(\int _{ 2 }^{ 5 }{ \frac { \sqrt { x } }{ \sqrt { x } +\sqrt { 7-x } } } \)  dx ...(1)
I = \(\int _{ 2 }^{ 5 }{ \frac { \sqrt { 2+5-x } }{ \sqrt { 2+5-x } +\sqrt { 7-(2+5-x) } } } \) dx  \(​​\left[∵ \int _{ 0 }^{ a }{ f(x) } dx=\int _{ 0 }^{ a }{ f(a+b-x)dx } \right] \)
I = \(\int _{ 2 }^{ 5 }{ \frac { \sqrt { 7-x } }{ \sqrt { 7-x } +\sqrt { x } } } \)dx ..... (2)
(1) + (2) ⇒
2I = \(\int _{ 2 }^{ 5 }{ \left[ \frac { \sqrt { x } }{ \sqrt { x } +\sqrt { 7-x } } +\frac { \sqrt { 7+x } }{ \sqrt { 7-x } +\sqrt { x } } \right] } \) dx
= \(\int _{ 2 }^{ 5 }{ \left[ \frac { \sqrt { x } +\sqrt { 7-x } }{ \sqrt { x } +\sqrt { 7-x } } \right] } \) dx
= \(\int _{ 2 }^{ 5 }{ dx } \) = \({ \left[ x \right] }_{ 2 }^{ 5 }\) = 3
ஃ I = \(\frac { 3 }{ 2 } \)

Let I = \(\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \frac { \sin x }{ \sin x+ \cos x } } \)dx  .......(1)
I = \(\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \frac { \sin\left( \frac { \pi }{ 2 } -x \right) }{ \sin\left( \frac { \pi }{ 2 } -x \right) +\cos\left( \frac { \pi }{ 2 } -x \right) } } \) dx  \(\left[∵ \int _{ 0 }^{ a }{ f(x) } dx=\int _{ 0 }^{ a }{ f(a-x)dx } \right] \)
\(\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \frac { \cos x }{ \cos x+\sin x } } \)dx ....(2)
(1) + (2) ⇒
\(2I=\int _{ \frac { \pi }{ 2 } }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \left[ \frac { \sin x }{ \sin x+\cos x } +\frac { \cos x }{ \cos x+ \sin x } \right] } \)dx
\(=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ dx } ={ [x] }_{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }=\frac { \pi }{ 2 } \)
\(\therefore I=\frac { \pi }{ 4 } \)

\(\int _{ 2 }^{ 3 }{ \frac { { x }^{ 4 }+1 }{ { x }^{ 2 } } } dx=\int _{ 2 }^{ 3 }{ ({ x }^{ 2 }+{ x }^{ -2 }) } dx\)
= \({ \left[ \frac { { x }^{ 3 } }{ 3 } -\frac { 1 }{ x } \right] }_{ 2 }^{ 3 }\)
= \(\left( 9-\frac { 1 }{ 3 } \right) -\left( \frac { 8 }{ 3 } -\frac { 1 }{ 2 } \right) =\frac { 13 }{ 2 } \)

\(Let\ I=\int { { e }^{ x } } \left[ \frac { x-1 }{ { \left( x+1 \right) }^{ 3 } } \right] \)
\(=\int { { e }^{ x } } \left[ \frac { x-1+1-1 }{ { \left( x+1 \right) }^{ 3 } } \right] dx\)
[Adding and subtracting 1 in the numerator]
\(=\int { { e }^{ x } } \left[ \frac { x+1-2 }{ { \left( x+1 \right) }^{ 3 } } \right] dx\)
\(=\int { { e }^{ x } } \left( \frac { x+1 }{ { \left( x+1 \right) }^{ 3 } } -\frac { 2 }{ { \left( x+1 \right) }^{ 3 } } \right) dx\)
\(=\int { { e }^{ x } } \left( \frac { 1 }{ { \left( x+1 \right) }^{ 3 } } -\frac { 2 }{ { { \left( x+1 \right) } }^{ 3 } } \right) dx\)
\(Let\ f\left( x \right) =\frac { 1 }{ { \left( x+1 \right) }^{ 2 } } ={ \left( x+1 \right) }^{ -2 }\)
\(\Rightarrow f^{ ' }\left( x \right) =-2{ \left( x+1 \right) }^{ -2-1 }\)
\(=-2{ \left( x+1 \right) }^{ -3' }\)
\(=\frac { -2 }{ { \left( x+1 \right) }^{ 3 } } \)
\(\therefore I=\int { { e }^{ x }\left[ f\left( x \right) +f^{ ' }\left( x \right) \right] } dx\)
\(={ e }^{ x }\quad f\left( x \right) +c\)
\(={ e }^{ x }\frac { 1 }{ { \left( x+1 \right) }^{ 2 } } +c\)
\(=\frac { { e }^{ x } }{ { \left( x+1 \right) }^{ 2 } } +c\)

\(Let\ I=\int { \frac { 1 }{ x\left( { x }^{ 2 }+1 \right) } } dx\)
(multiplying and dividing by 2 in the second integral)
\(=\log { \left| x \right| } -\frac { 1 }{ 2 } \log { \left| { x }^{ 2 }+1 \right| } +c\quad \)
\(\left[ \because t={ x }^{ 2 }+1\Rightarrow dt=2x\quad dx\ \therefore \int { \frac { 2x\ dx }{ { x }^{ 2 }+1 } } =\int { \frac { dt }{ t } =\log { \left| t \right| =\log { \left| { x }^{ 2 }+1 \right| } } } \right] \)
\(\frac { 1 }{ x\left( { x }^{ 2 }+1 \right) } =\frac { A }{ x } +\frac { Bx+C }{ { x }^{ 2 }+1 } \)
\(\Rightarrow 1=A\left( { x }^{ 2 }+1 \right) +\left( Bx+C \right) (x)\)
\(Put\ x=0\Rightarrow 1=A\)
\(Put\ x=1\)
⇒ 1 = 2A + B + C
⇒ 1 = 2 + B + C
⇒ B + C = -1
Put x = -1
1 = 2A-1(-B + C)
1 = 2A + B - C ⇒ 1 = 2 + B-C

 ⇒ B = -1
∴ -1 + C = -1
⇒ C = -1+1
C = 0
\(=\int { \left( \frac { A }{ x } +\frac { Bx+C }{ { x }^{ 2 }+1 } \right) } dx\)
\(=\int { \left( \frac { 1 }{ x } +\frac { -x+0 }{ { x }^{ 2 }+1 } \right) } dx\)
\(=\int { \frac { 1 }{ x } } dx-\int { \frac { x }{ { x }^{ 2 }+1 } } dx\)
\(=\log { \left| x \right| } -\frac { 1 }{ 2 } \int { \frac { 2x\quad dx }{ { x }^{ 2 }+1 } } \)

Let I = ∫ e^x(1+x) log(xe^x)dx
Put t = x e^x
⇒ dt = (x.e^x + e^x(1))dx
= e^x(x+1)dx
∴ I = ∫ log t.dt
Let u = log t; dv = dt
\(du=\frac { 1 }{ t } dt;v=t\)
∴Using integration by parts we get,
I = ∫udv = vu - ∫vdu
= t log t - ∫dt = t logt - t + c
= t log t - t + c
= xe^x log(xe^x) - (xe^x) + c  [∵ t = xe^x]
= xe^x (log(xe^x)-1)+c

\(Let\ I=\int { \frac { x }{ { 2x }^{ 4 }-{ 3x }^{ 2 }-2 } } dx\)
\(=\int { \frac { x }{ \left( { x }^{ 2 }-2 \right) \left( { 2x }^{ 2 }+1 \right) } } dx\)
putting x² = t,we get
\(2x\quad dx=dt\Rightarrow xdx=\frac { dt }{ 2 } \)

\(\frac { 1 }{ \left( t-2 \right) \left( 2t+1 \right) } =\frac { A }{ t-2 } +\frac { B }{ 2t+1 } \)
\(\Rightarrow 1=A(2t+1)+B(t-2)\)
\(put\quad t=2\)
\(\Rightarrow 1=5A\ \Rightarrow A=\frac { 1 }{ 5 } \)
\(put\quad t=0\)
\(\Rightarrow 1=A-2B\)
\(\Rightarrow 1=\frac { 1 }{ 5 } -2B\)
\(\Rightarrow 2B=\frac { 1 }{ 5 } -1=\frac { 1-5 }{ 5 } \)
\(\Rightarrow 2B=-\frac { 4 }{ 5 } \)
\(\Rightarrow B=-\frac { 2 }{ 5 } \)
\(\therefore I=\frac { 1 }{ 2 } \int { \frac { dt }{ \left( t-2 \right) \left( 2t+1 \right) } } \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \int { \left( \frac { A }{ t-2 } +\frac { B }{ 2t+1 } \right) } dt\)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \int { \left( \frac { \frac { 1 }{ 5 } }{ t-2 } +\frac { \frac { 2 }{ 5 } }{ 2t+1 } \right) } dt\)
\(\frac { 1 }{ 2 } \left[ \frac { 1 }{ 5 } \log { \left| t-2 \right| -\frac { 2 }{ 5 } \frac { \log { \left| 2t+1 \right| } }{ 2 } } \right] +c\)
\(=\frac { 1 }{ 10 } \left[ \log { \left( t-2 \right) -\log { \left| 2t+1 \right| } } \right] +c\)
\(=\frac { 1 }{ 10 } \log { \left| \frac { t-2 }{ 2t+1 } \right| } +c\)
\(=\frac { 1 }{ 10 } \log { \left| \frac { { x }^{ 2 }-2 }{ { 2x }^{ 2 }+1 } \right| } +c\ \left[ \because t={ x }^{ 3 } \right] \)

ഽ\(\left[ \frac { 1 }{ \log x } -\frac { 1 }{ { \left( \log x \right) }^{ 2 } } \right] dx\) = ഽ\(\left[ \frac { 1 }{ z } -\frac { 1 }{ { z }^{ 2 } } \right] { e }^{ z }dx\)
= ഽ e^x [ f(z) +f'(z)] dx
= e^z f(z) + c
= e^z \(\left[ \frac { 1 }{ z } \right] \) + c
= \(\frac { x }{ \log\ x } \) + c

ഽ\(\frac { { xe }^{ x } }{ { \left( 1+x \right) }^{ 2 } } dx\)
= ഽe^x \(\left[ \frac { 1 }{ 1+x } +\frac { -1 }{ { \left( 1+x \right) }^{ 2 } } \right] \)dx
= ഽe^x [f(x) + f'(x)] dx
= e^x f (x) + c
= \(\frac { { e }^{ x } }{ 1+x } +c\)

\(\int { { \left( \log x \right) }^{ 2 } } dx= \int { udv } \)
= uv − \(\int { } \)vdu
= x (log x)² − 2\(\int { } \) logxdx...(*)
\(=x(\log x)^{ 2 }-2\int { udv } \)
\(=x(\log x)^{ 2 }-2[uv-\int { udv } ]\)
\(=x(\log x)^{ 2 }-2[x \log x-\int { dx] } \)
\(=x(\log x)^{ 2 }-2x \log x+x+c\)
\(=x[(\log{ ) }^{ 2 }-\log{ x }^{ 2 }+2]+c\)

\(\int { \frac { { 3x }^{ 2 }-2x56 }{ \left( x-1 \right) -\left( { x }^{ 2 }+5 \right) } } dx\)
⇒ 3x²-2x+5 = A (x²+5) + (Bx+c) (x-1)
Putting x =1,
3 - 2+5 = A (1+ 5)
⇒ 6 = A (6)
⇒ A = 1
Putting x = 0,
5 = 5 A - C
⇒ 5 = 5 - C    [∵ A = 1]
⇒ C = 5 - 5 ⇒ C = 0
Putting x = -1,
3 + 2+ 5 = A (6) + (C-B) (-2)
⇒ 10 = 6A + 2B - 2C
⇒ 10 = 6 + 2B + 0
⇒ 10 - 6 = 2B ⇒ 4 = 2B
⇒ B = 2
\(=\int { \left( \frac { A }{ x-1 } +\frac { Bx+c }{ { x }^{ 2 }+5 } \right) } dx\)
\(=\int { \left( \frac { 1 }{ x-1 } +\frac { 2x+0 }{ { x }^{ 2 }+5 } \right) } dx\)
\(=\int { \frac { 1 }{ x-1 } } dx+\int { \frac { 2x }{ { x }^{ 2 }+5 } } dx\)
\(=\log { \left| x-1 \right| } +\log { \left| { x }^{ 2 }+5 \right| } +c\)
\(\left[ \because \int { \frac { { f }^{ 1 }(x) }{ f(x) } dx=\log { \left| f\left( x \right) \right| +c } } \right] \)
\(=\log { \left| \left( { x }^{ 2 }+5 \right) \left( x-1 \right) \right| } +c\)
[∵ log m + log n = log mn]
\(=\log { \left| { x }^{ 3 }-{ x }^{ 2 }+5x-5 \right| } +c\)
\(=\frac { { 3x }^{ 2 }-2x+5 }{ \left( x-1 \right) \left( { x }^{ 2 }+5 \right) } =\frac { A }{ (x-1) } +\frac { Bx+C }{ \left( { x }^{ 2 }+5 \right) } \)

\(\int { \frac { { 4x }^{ 2 }+2x+6 }{ { \left( x+1 \right) }^{ 2 }-(x-3) } } dx\)
\(=\int { \left( \frac { A }{ x+1 } +\frac { B }{ { \left( x+1 \right) }^{ 2 } } +\frac { C }{ x-3 } \right) } dx\)
\(=\left( \frac { 1 }{ x+1 } +\frac { -2 }{ { \left( x+1 \right) }^{ 2 } } +\frac { 3 }{ x-3 } \right) dx\)
4x²+2x+6 = A (x+1) (x-3) + B(x-3) + (x+1)²
⇒ Putting x = -1, 4-2+6 = B(-4)
⇒ 8 = B(-4) ⇒ B = -2
Putting x = 3
36 + 6 + 6 = C (16)
⇒ 48 = 16C
⇒ C = 3
Putting x = 0,
6 = -3A -3B + C
⇒ 6 = -3A + 6 + 3
⇒ 3A = 3
⇒ A = 1
\(=\log { \left| x+1 \right| } -2\int { { \left( x+1 \right) }^{ -2 } } dx+3\log { \left| x-3 \right| } +c\)
\(=\log { \left| x+1 \right| } -2\frac { { \left( x+1 \right) }^{ -2+1 } }{ -2+1 } +3\log { \left| x-3 \right| } +c\)
\(=\log { \left| x+1 \right| } +2{ \left( x+1 \right) }^{ -1 }+3\log { \left| x-3 \right| } +c\)
\(=\log { \left| x+1 \right| } +\frac { 2 }{ x+1 } +3\log { \left| x-3 \right| } +c\)

\(\int { \frac { { 3x }^{ 2 }+6x+1 }{ \left( x+3 \right) \left( { x }^{ 2 }+1 \right) } } dx =\int { \left[ \frac { 1 }{ \left( x+3 \right) } \frac { 2x }{ \left( { x }^{ 2 }+1 \right) } \right] } dx\)
\(\int { \frac { dx }{ \left( x+3 \right) } +\int { \frac { 2x }{ \left( { x }^{ 2 }+1 \right) } } } dx\)
\(=\log\left| x+3 \right| +\log\left| { x }^{ 2 }+1 \right| +c\)
\(=\log\left| \left( x+3 \right) \left( { x }^{ 2 }+1 \right) \right| +c\)
\(=\log\left| { x }^{ 3 }+{ 3x }^{ 2 }+x+3 \right| +c\)
[ By partial fractions,
\(\frac { { 3x }^{ 2 }+6x+1 }{ \left( x+3 \right) \left( { x }^{ 2 }+1 \right) } =\frac { A }{ \left( x+3 \right) } +\frac { Bx+C }{ \left( { x }^{ 2 }+1 \right) } \Rightarrow \frac { { 3x }^{ 2 }+6x+1 }{ \left( x+3 \right) \left( { x }^{ 2 }+1 \right) } =\frac { 1 }{ \left( x+3 \right) } +\frac { 2x }{ \left( { x }^{ 2 }+1 \right) } \)

\(\int { \frac { 3x+2 }{ { \left( x-2 \right) }^{ 2 }\left( x-3 \right) } dx } =\int { \left[ \frac { 11 }{ \left( x-2 \right) } -\frac { 8 }{ { \left( x-2 \right) }^{ 2 } } +\frac { 11 }{ \left( x-3 \right) } \right] } dx\)
\(=11\int { \frac { dx }{ \left( x-2 \right) } -8 } \int { \frac { dx }{ { \left( x-2 \right) }^{ 2 } } +11 } \int { \frac { dx }{ \left( x-3 \right) } } \)
\(=11\log\left| x-2 \right| +\frac { 8 }{ x-2 } +11\log\left| x-3 \right| +c\)
\(=11\log\left| \frac { x-3 }{ x-2 } \right| +\frac { 8 }{ x-2 } +c\)
[ By partial fractions,
\(\frac { 3x+2 }{ { (x-2) }^{ 2 }(x-3) } =\frac { A }{ (x-2) } +\frac { B }{ (x-2)^{ 2 } } +\frac { C }{ (x-3) } \Rightarrow \frac { 3x+2 }{ { (x-2) }^{ 2 }(x-3) } =- \frac { 11 }{ (x-2) } - \frac { 8 }{ (x-2)^{ 2 } } +\frac { 11 }{ (x-3) } \)]