இறுதிநிலைச் செலவு சார்பு
\(\mathrm{MC} =\frac{14000}{\sqrt{7 x+4}} \)
\(\frac{d C}{d x} =\frac{14000}{\sqrt{7 x+4}} \)
\(\int d C =14000 \int(7 x+4)^{-1 / 2} d x \)
\(C =14000\left[\frac{(7 x+4)^{1 / 2}}{7(1 / 2)}\right]+k\)
செலவுச் சார்பு:\(\mathrm{C}=4000(7 x+4)^{1 / 2}+\mathrm{k}\)
x=0 மற்றும் C=18,000 எனில்,k =10000
செலவுச் சார்பு : C =\(4000\sqrt { 7x+4 } +10000\)
சராசரி செலவு: AC =\(\frac { 4000 }{ x } \sqrt { 7x+4 } +\frac { 10000 }{ x } \)

y - 2x - 4 = 0

y - 2x - 4 = 0
⇒ y-4 = 2x
⇒
பரப்பு  =\(\int _{ 1 }^{ 3 }{ -xdy } \)
\(=\int _{ 1 }^{ 3 }{ -\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) (y-4)dy } \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \int _{ 1 }^{ 3 }{ (4-y)dy } =\frac { 1 }{ 2 } { \left[ 4y-\frac { { y }^{ 2 } }{ 2 } \right] }_{ 1 }^{ 3 }\)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \left[ \left( 12-\frac { 9 }{ 2 } \right) -\left( 4-\frac { 1 }{ 2 } \right) \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \left[ 4-8 \right] = 2\)
= 2 ச.அலகுகள்

\(I=\int { \cfrac { dx }{ { e }^{ x }+6+\frac { 5 }{ { e }^{ x } } } } \)
= \(\int { \cfrac { { e }^{ x }dx }{ { e }^{ 2x }+6{ e }^{ x }+5 /e ^x } }\)
\({ e }^{ x }=t\Rightarrow { e }^{ x }dx=dt\)
\(\Rightarrow I=\int { \cfrac { dt }{ { t }^{ 2 }+6t+5 } } \)
\(I=\int { \cfrac { dt }{ \left( t+3 \right) ^ 2-\left( 2 \right)^ 2 } } \)
= \(\cfrac { 1 }{ 2(2) } \log\left| \cfrac { t+3-2 }{ t+3+2 } \right| +c\)
\(=\cfrac { 1 }{ 4 } \log\left| \cfrac { { e }^{ x }+1 }{ { e }^{ x }+5 } \right| +c\)

\(\Gamma \)(6) =5!
=120

\(\int { \sqrt { { x }^{ 2 }-16 } } dx=\int { \sqrt { { x }^{ 2 }-{ 4 }^{ 2 } } } \)dx
=\(\frac { x }{ 2 } \sqrt { { x }^{ 2 }-{ 4 }^{ 2 } } -\frac { { 4 }^{ 2 } }{ 2 } \log|x+\sqrt { { x }^{ 2 }-4^{ 2 } } |+c\)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \sqrt { { x }^{ 2 }-16 } -8\log\left| { x }+\sqrt { { x }^{ 2 }-16 } \right| +c\)

\(\int \frac { { x }^{ 3 } }{ x+2 } dx\)

\(x^{ 3 }=(x+2)\left( x^{ 2 }-2x+4 \right) -8\)
\(\int \frac { x^{ 3 } }{ x+2 } dx=\int \left( x^{ 2 }-2x+4 \right) dx-8\int \frac { dx }{ x+2 }\)
\(=\frac { x^{ 3 } }{ 3 } -\frac { 2x^{ 2 } }{ 2 } +4x-8\log |x+2|+c\)
\(=\frac { x^{ 3 } }{ 3 } -x^{ 2 }+4x-8\log |x+2|+c\)

A =\(\left( \begin{matrix} 5 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & -4 \\ -2 & -4 & 8 \end{matrix} \right) \)என்க.
A-ன் வரிசை 3 x 3 ∴ ρ(A) ≤3
வரிசை மூன்று உடைய சிற்றணிக்கோவையை கருத, நாம் பெறுவது \(\left| \begin{matrix} 5 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & -4 \\ -2 & -4 & 8 \end{matrix} \right| \)=0
∴ மூன்றாம் வரிசைக் கொண்ட சிற்றணிக்கோவை பூச்சியமாவதால், ρ(A)≠ 3 ஆகும்.
இரண்டாம் வரிசை கொண்ட ஒரு சிற்றணிக்கோவையை கருத, நாம் பெறுவது \(\left| \begin{matrix} 5 & 3 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right| \)=7≠ 0 ஆகும்.
⇒ பூச்சியமற்ற சிற்றணிக்கோவையின் வரிசை 2 ஆகும்.  ∴ ρ(A) =3

ஒரு வணிகக் கணித புத்தகத்தின் விலை ரூ.x என்க.
ஒரு கணக்குப்பதிவியல் புத்தகத்தின் விலை ரூ.y என்க.
ஒரு வணிகவியல் புத்தகத்தின் விலை ரூ.z என்க.
கொடுக்கப்பட்ட விவரங்களைக் கொண்டு, கீழ்காணும் சமன்பாடுகளை பெறலாம்.
∴ 3x+2y+z=840
2x+y+z=570
x+y+2z=630
இங்கு Δ=\(\left| \begin{matrix} 3 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{matrix} \right| \)=-2≠0,
Δ_x=\(\left| \begin{matrix} 840 & 2 & 1 \\ 570 & 1 & 1 \\ 630 & 1 & 2 \end{matrix} \right| \)=-240
Δ_y=\(\left| \begin{matrix} 3 & 840 & 1 \\ 2 & 570 & 1 \\ 1 & 630 & 2 \end{matrix} \right| \)=-300
Δ_z=\(\left| \begin{matrix} 3 & 2 & 840 \\ 2 & 1 & 570 \\ 1 & 1 & 630 \end{matrix} \right| \)=-360
∴ கிரேமரின் விதிப்படி
x=\(\frac { \triangle x }{ \triangle } =\frac { -240 }{ -2 } \)=120
y=\(\frac { \triangle y }{ \triangle } =\frac { -300 }{ -2 } \)=150
z=\(\frac { \triangle z }{ \triangle } =\frac { -360 }{ -2 } \)=-180
∴ ஒரு வணிகக் கணித புத்தகத்தின் விலை ரூ.120.
ஒரு கணக்குப்பதிவியல் புத்தகத்தின் விலை ரூ.150 மற்றும் ஒரு வணிகவியல் புத்தகத்தின் விலை ரூ.180.

சமன்பாடுகள் முறையே,
2x+3y=7
3x+5y=9
இங்கு Δ=\(\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{matrix} \right| \)=1≠0
ஆதலால் கிரேமர் விதியை பயன்படுத்தலாம்.
இப்பொழுது, Δ_x=\(\left| \begin{matrix} 7 & 3 \\ 9 & 5 \end{matrix} \right| \)=8, Δ_y=\(\left| \begin{matrix} 2 & 7 \\ 3 & 9 \end{matrix} \right| \)=-3
∴ கிரேமரின் விதிப்படி, x=\(\frac { \triangle x }{ \triangle } =\frac { 8 }{ 1 } \)=8, y=\(\frac { \triangle y }{ \triangle } =\frac { -3 }{ 1 } \)=-3
∴ தீர்வு x=8, y=-3

P = a + bl + cm என்பது உற்பத்தி சமன்பாடு ஆகும்.
கொடுக்கப்பட்ட மதிப்புகளிலிருந்து
6,950 = a + 40b + 10c
6,725 = a + 35b + 9c
7,100 = a + 40b + 12c
தரப்பட்ட சமன்பாட்டு தொகுப்புக்குரிய அணிச் சமன்பாடானது
\(\left( \begin{matrix} 1 & 40 & 10 \\ 1 & 35 & 9 \\ 1 & 40 & 12 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 6950 \\ 6725 \\ 7100 \end{matrix} \right) \)
A X =B

∴ தரப்பட்ட சமன்பாட்டு தொகுப்புக்குரிய சமானமான அணிச் சமன்பாடு
\(\left( \begin{matrix} 1 & 40 & 10 \\ 0 & -5 & -1 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 6950 \\ -225 \\ 150 \end{matrix} \right) \)
a+40b+10c=6950    (1)
-5b-c=-225          (2)
2c=150        (3)
c=75
இப்பொழுது,(2) ⇒ -5b-75=-225
b=30
மற்றும் (1) ⇒ a+1200+750=6950
a=5000
a=5000, b=30, c=75
∴ உற்பத்தி சமன்பாடு P=5000+30l+75m
l=50, m=15 இல் P=5000+30(50)+75(15)
=7625
∴ உற்பத்தி =7,625 அலகுகள்.

கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பிற்கான அணிச் சமன்பாடு 
\(\left( \begin{matrix} 5 & 3 & 7 \\ 3& 26& 2\\ 7& 2& 10\end{matrix} \right) \)\(\left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \)=\(\left( \begin{matrix} 4\\ 9\\ 5\end{matrix} \right) \)
   AX =B 
விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி 
(A ,B ) = \(\left( \begin{matrix} 5 \\ 3 \\ 7 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 26 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 7 \\ 2 \\ 10\end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ 9 \\5 \end{matrix} \right) \)
 ~  \(\left( \begin{matrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 121 \\ -11 \end{matrix}\begin{matrix} 7 \\ -11 \\ 1\end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ 33 \\-3 \end{matrix} \right) \)R₂ ⟶ 5R₂ - 3R₁
                                    R₃ ⟶ 5R₃ - 7R₁
~\(\left( \begin{matrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 11 \\ -11 \end{matrix}\begin{matrix} 7 \\ -1 \\ 1\end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ 3\\-3 \end{matrix} \right) \)\({ { R }_{ 2} }\rightarrow \frac { { R }_{ 2 } }{ 11 } \)
~\(\left( \begin{matrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 11 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 7 \\ -1 \\ 0\end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ 3\\0\end{matrix} \right) \) R₃ ⟶ R₃ + R₂
இதுவே முக்கோண அமைப்பில் உள்ள கடைசி சமான அணியாகும் .
பூச்சியமற்ற நிரைகளின்  எண்ணிக்கை  = 2
ρ(A,B ) = ρ(A) =2 < 3 (மாறிகளின் எண்ணிக்கை )
எனவே , சமன்பாட்டுத் தொகுப்பானது ஒருங்கமைவுடையது மற்றும் ஒரே ஒரு தீர்வைக் கொண்டிருக்கும்.
கடைசி சமான அணியின் மாற்றப்பட்ட அணிச் சமன்பாடு 
\(\left( \begin{matrix} 5 & 3 & 7 \\ 0& 11& -1\\ 0& 0& 0\end{matrix} \right) \)\(\left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \)=\(\left( \begin{matrix} 4\\ 3\\ 0\end{matrix} \right) \)
5x +3y  +7z  = 4
11y -z =3
z =k என்க ,k \(\epsilon \)R (k ஒரு மெய்யெண் )
(2)ல் பதிலிட \(\Rightarrow \)11y = 3+k 
y = \(\frac { 3+k }{ 11 } \)
(1) ல்  பதிலிட
5x +3\(\frac { k+3 }{ 11 } \) +7k =4
55x +3k +9+77k =44
55x =35 - 80k 
x =\(\frac { 35-80}{ 55 } \)
x =5\(\frac { (7-16k )}{ 55 } \)
= \(\frac {7-16k }{11 } \)
தீர்வுக் கணம் ={\(\frac {7-16k }{11 } \),\(\frac { 3+k }{ 11 } \),k } k \(\epsilon \)R 

y²=16x என்பது வலது புறமாக திறந்திருக்கும் பரவளையமாகும்.
தேவைப்படும் பரப்பு =\(2\int _{ a }^{ b }{ y } dx\) 
=\(2\int _{ 0 }^{ 4 }{ \sqrt { 16x } } dx\) (பரவளையம் x -அச்சை பொறுத்து சமச்சீர்)
=\(8\int _{ 0 }^{ 4 }{ { x }^{ \frac { 1 }{ 2 } } } dx=8\left[ \frac { x^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ \frac { 3 }{ 2 } } \right] _{ 0 }^{ 4 }=\frac { 16 }{ 3 } \left( (4)^{ \frac { 3 }{ 2 } } \right) =\frac { 128 }{ 3 } \)சதுர அலகுகள்

தேவைப்படும் பரப்பு=\(\\ \int _{ -1 }^{ 0 }{ -xdx } +\int _{ 0 }^{ 2 }{ xdx } \)
=\(-\left[ \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right] _{ -1 }^{ 0 }+-\left[ \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right] _{ 0 }^{ 2 }=-\left[ 0-\frac { 1 }{ 2 } \right] +\left[ \frac { 4 }{ 2 } -0 \right] \)
=\(\frac { 5 }{ 2 } \) சதுர அலகுகள்.

\(\int { } \)x³e^xdx = \(\int { } \)udv
= uv − u'v₁ + u''v₂ − u'''v₃ + ...
= x³e^x −3x² e^x + 6xe^x −6e^x + c
= e^x (x³ −3x² +6x −6)+ c

x ,y என்பன முறையே இரண்டு கணக்குகளிலும் முதலீடு செய்யப்பட்ட தொகை என்க.
x + y = 8600   ..(1)
\(4\cfrac { 3 }{ 4 } \times \cfrac { x }{ 100 } +6\cfrac { 1 }{ 2 } \times \cfrac { y }{ 100 } =431.25\)
\(\Rightarrow \cfrac { 19x }{ 400 } +\cfrac { 13y }{ 3200 } =431.25\)
\(\Rightarrow \cfrac { 19x+26y }{ 400 } =431.25\)
19x + 26y = 172500
x + y = 8600
19x + 26y = 172500   ...(2)
\(\Delta =\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 19 & 26 \end{matrix} \right| =1(26)-1(19)\)
= 26-19 =7 
\({ \Delta }x=\left| \begin{matrix} 8600 & 1 \\ 172500 & 26 \end{matrix} \right| =8600(26)-1(172500)\)
= 223600 - 172500 = 51100
\(\Delta y=\left| \begin{matrix} 1 & 8600 \\ 19 & 172500 \end{matrix} \right| =1(172500)-19(8600)\)
= 172500 - 163400 = 9100
\(x=\cfrac { \Delta x }{ \Delta } -\cfrac { 51100 }{ 7 } =7300\)
\(y=\cfrac { \Delta y }{ \Delta } =\cfrac { 9100 }{ 7 } =1300\)
\(\therefore\)  4\(\frac{3}{4}\)% -ல் முதலீடு செய்யப்பட்ட தொகை ரூ.7,300
6\(\frac{1}{2}\)% -ல் முதலீடு செய்யப்பட்ட தொகை ரூ.1300

\(\mathrm{R}  =\int\left(100-9 x^2\right) d x=100 x-\frac{9 x^3}{3}+k\)
x  =0 மற்றும் R=0 எனில்,k=0 
\(\mathrm{R}  =100 x-3 x^3 \)
\(\mathrm{p}  =\frac{R}{x}=100-3 x^2\)

t = e^x என்க. ⇒ dt = e^x dx ⇒ \(dx = \frac {dt}{e^x} = \frac {dt}{t }\)
\(\int \sqrt {e^ x }dx = \int \sqrt {t } \frac {dt}{t} = \int \frac {dt}{ \sqrt t} \)
\(= \int t^ {\frac {-1}{2}}dt = 2\sqrt {t} \)
= 2\(\sqrt { { e }^{ x } } +c\)

|adjA|= |A|^n-1
243 = 3^{n - 1}
3⁵ = 3^n-1
n - 1 = 5 ⇒ n = 6