we know that
\(\int _{ 0 }^{ \infty }{ { e }^{ -2x }{ x }^{ 5 }dx } \) = \(\frac { n! }{ { a }^{ n+1 } } \)
\(∴\int _{ 0 }^{ \infty }{ { e }^{ -2x }{ x }^{ 5 } } dx=\frac { 5! }{ { 2 }^{ 5+1 } } =\frac { 5! }{ { 2 }^{ 6 } } \)

\(\int _{ \frac { \pi }{ 6 } }^{ \frac { \pi }{ 3 } }{ \sin x } dx={ \left[ -\cos x \right] }_{ \frac { \pi }{ 6 } }^{ \frac { \pi }{ 3 } }\)
\(=-\left( \cos\frac { \pi }{ 3 } -\cos\frac { \pi }{ 6 } \right) \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } (\sqrt { 3 } -1)\)

\(Let\ I=\int { \frac { { e }^{ 2x } }{ { e }^{ 2x }-2 } } \)
\(put\ t={ e }^{ 2x }-2\)
\(\Rightarrow dt=2{ e }^{ 2x }dx\)
\(\Rightarrow \frac { dt }{ 2 } ={ e }^{ 2x }dx\)
\(\therefore I=\int { \frac { \frac { dt }{ 2 } }{ t } } =\frac { \log { \left| t \right| } }{ 2 } +c\)
\(=\log { \frac { \left| { e }^{ 2x }-2 \right| }{ 2 } } +c\)

\(\int { { \sin }^{ 2 }xdx } = \int { \frac { 1 }{ 2 } \left( 1-\cos2x \right) dx } \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \left[ \int { dx-\int { \cos2xdx } } \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \left[ x-\frac { \sin2x }{ 2 } \right] +c\)
[ Change into simple integrands cos2x = 1− 2sin² x 
\(\therefore \ \sin^{ 2 }x=\frac { 1 }{ 2 } (1-\cos2x)\)]

\(\int { { 3 }^{ 2x+3 }dx } =\int { { 3 }^{ 2x }.{ 3 }^{ 3 }dx } \)
\(={ 3 }^{ 3 }\int { { 3 }^{ 2x }dx } \)
\(=27\frac { { 3 }^{ 2x } }{ 2\log3 } +c\)
[ \(\int { ma^{ mx+n }dx } =\int { ma^{ mx+n }d(mx+n) } \frac { 1 }{ \log a } { a }^{ mx+n }\)+ c,a > 0 and a ≠ 1]

\(\int { \frac { { 3x }^{ 2 }+2x+1 }{ x } dx } =\int { \left( 3x+2+\frac { 1 }{ x } \right) dx } \)
\(=\frac { { 3x }^{ 2 } }{ 2 } +2x+log\left| x \right| +c\)

\(\int { \sqrt { 3x+5 } dx } \)
\(=\int { { \left( 3x+5 \right) }^{ 1/2 } } dx\)
\(=\frac { { \left( 3x+5 \right) }^{ 1/2+1 } }{ 3\left( \frac { 1 }{ 2 } +1 \right) } +c\)
\(\left[ \because \int { { \left( ax+b \right) }^{ n }dx=\frac { { \left( ax+b \right) }^{ n+1 } }{ a\left( n+1 \right) } } +c \right] \)
\(=\frac { { \left( 3x+5 \right) }^{ 3/2 } }{ 3\left( \frac { 3 }{ 2 } \right) } +c=\frac { { \left( 3x+5 \right) }^{ 3/2 } }{ \frac { 9 }{ 2 } } +c\)
\(=\frac { 2 }{ 9 } { \left( 3x+5 \right) }^{ 3/2 }+c\)

\( \int \sqrt{2 x+1} \ d x=\int(2 x+1)^{\frac{1}{2}} d x\)
\(=\frac { { \left( 2x+1 \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ 3 } +c\)

\(\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ x \sin x } dx=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ udv } \)
\(={ \left( uv \right) }_{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }-\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ vdu } \)
\(={ \left[ -x \cos x \right] }_{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }+\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \cos x } dx\)
\(=0+{ \left[ \sin x \right] }_{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }=1\)

ഽ\(\frac { dx }{ \sqrt { { x }^{ 2 }-3x+2 } } \)=ഽ\(\frac { dx }{ \sqrt { { \left( x-\frac { 3 }{ 2 } \right) }^{ 2 }{ -\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ 2 } } } \)
= \(\log\left| \left( x-\frac { 3 }{ 2 } \right) +\sqrt { { \left( x-\frac { 3 }{ 2 } \right) }^{ 2 }{ -\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ 2 } } \right| +c\)
= \(\log\left| \left( x-\frac { 3 }{ 2 } \right) \sqrt { { x }^{ 2 }-3x+2 } \right| +c\)

\(\int { x{ e }^{ -x }dx } \)
\(\text{Let u=x and dv=}{ e }^{ -x }dx\)
\(du=1dx,\ v=\frac { { e }^{ -x } }{ -1 } ={ -e }^{ -x }\)
Using integration by parts,
\(\int { udv=uv-\int { vdu } } \)
\(\int { { xe }^{ -x } } dx=x\left( { -e }^{ -x } \right) -\int { \left( { -e }^{ -x } \right) } dx\)
\(=-x{ e }^{ -x }+\int { { e }^{ -x } } dx\)
\(={ -xe }^{ -x }+\frac { { e }^{ -x } }{ -1 } +c\)
\(={ -xe }^{ -x }-{ e }^{ -x }+c\)
\({ -e }^{ -x }(x+1)+c\)

\(\int { } \)x³ logx dx = \(\int { udv } \)
\(=uv−\int { vdu } \)
\(=\frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } \log x-\frac { 1 }{ 4 } \int { { x }^{ 3 } } dx\)
\(=\frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } \log x-\frac { 1 }{ 4 } \left( \frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } \right) +c\)
\(=\frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } \left[ \log x-\frac { 1 }{ 4 } \right] +c\)

\(\int { \frac { { x }^{ 3 } }{ x+2 } } dx\)
\(=\int { \left( { x }^{ 2 }-2x+4-\frac { 8 }{ x+2 } \right) } dx\)

\(=\frac { { x }^{ 3 } }{ 3 } -{ x }^{ 2 }+4x-8\log\left| x+2 \right| +c\)

\(\int { \sqrt { x } } \left( { x }^{ 2 }-2x+3 \right) dx\)
\(=\int { { x }^{ \frac { 1 }{ 2 } } } \left( { x }^{ 3 }-2x+3 \right) dx\)
\(=\int { \left( { x }^{ 3+\frac { 1 }{ 2 } }-{ 2x }^{ 1+\frac { 1 }{ 2 } }+{ 3x }^{ \frac { 1 }{ 2 } } \right) } dx\)
\(=\frac { { x }^{ \frac { 7 }{ 2 } +1 } }{ \frac { 7 }{ 2 } +1 } -\frac { { 2x }^{ \frac { 3 }{ 2 } +1 } }{ \frac { 3 }{ 2 } +1 } +\frac { { 3x }^{ \frac { 1 }{ 2 } +1 } }{ \frac { 1 }{ 2 } +1 } +c\)
\(=\frac { { x }^{ \frac { 9 }{ 2 } } }{ \frac { 9 }{ 2 } } -2\frac { { x }^{ \frac { 5 }{ 2 } } }{ \frac { 5 }{ 2 } } +3\frac { { x }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ \frac { 3 }{ 2 } } +c\)


\(=\frac { 2 }{ 9 } { x }^{ \frac { 9 }{ 2 } }-\frac { 4 }{ 5 } { x }^{ \frac { 5 }{ 2 } }+{ 2x }^{ \frac { 3 }{ 2 } }+c\)

\(\int _{ a }^{ b }{ f(x)dx } =\lim _{ n\rightarrow \infty \\ h\rightarrow 0 }{ \sum _{ r=1 }^{ n }{ h } f(a+rh) } \)
Here a =1, b = 2, h = \(\frac { b-a }{ n } =\frac { 2-1 }{ n } =\frac { 1 }{ n } \) and f (x) = x²
Now, f (a + rh) = f\(\left( 1+\frac { r }{ n } \right) { =\left( 1+\frac { r }{ n } \right) }^{ 2 }=1+\frac { 2r }{ n } +\frac { { r }^{ 2 } }{ { n }^{ 2 } } \)
∴ \(\int _{ 1 }^{ 2 }{ { x }^{ 2 }dx } =\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \sum _{ r=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ n } } \left( 1+\frac { 2r }{ n } +\frac { { r }^{ 2 } }{ { n }^{ 2 } } \right) } \)
= \(\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \sum _{ r=1 }^{ n }{ \left( \frac { 1 }{ n } +\frac { 2r }{ { n }^{ 2 } } +\frac { { r }^{ 2 } }{ { n }^{ 3 } } \right) } } \)
= \(\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \left( \frac { 1 }{ n } \sum _{ r=1 }^{ n }{ 1+\frac { 2 }{ { n }^{ 2 } } } \sum _{ r=1 }^{ n }{ r } +\frac { 1 }{ { n }^{ 3 } } \sum _{ r=1 }^{ n }{ { r }^{ 2 } } \right) } \)
= \(\lim _{ n\leftarrow \infty }{ \left( \frac { 1 }{ n } (n)+\frac { 2 }{ { n }^{ 2 } } \frac { n(n+1) }{ 2 } +\frac { 1 }{ { n }^{ 3 } } \frac { n(n+1)(2n+1) }{ 6 } \right) } \)
= \(\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \left[ 1+\left( 1+\frac { 1 }{ n } \right) +\frac { \left( 1+\frac { 1 }{ n } \right) \left( 2+\frac { 1 }{ n } \right) }{ 6 } \right] } \)
= \(\left[ 1+1+\frac { (1)(2) }{ 6 } \right] \)
∴ \(\int _{ 1 }^{ 2 }{ x^{ 2 } } =\frac { 7 }{ 3 } \)