இறுதிநிலைச் செலவு சார்பு
\(\mathrm{MC} =\frac{14000}{\sqrt{7 x+4}} \)
\(\frac{d C}{d x} =\frac{14000}{\sqrt{7 x+4}} \)
\(\int d C =14000 \int(7 x+4)^{-1 / 2} d x \)
\(C =14000\left[\frac{(7 x+4)^{1 / 2}}{7(1 / 2)}\right]+k\)
செலவுச் சார்பு:\(\mathrm{C}=4000(7 x+4)^{1 / 2}+\mathrm{k}\)
x=0 மற்றும் C=18,000 எனில்,k =10000
செலவுச் சார்பு : C =\(4000\sqrt { 7x+4 } +10000\)
சராசரி செலவு: AC =\(\frac { 4000 }{ x } \sqrt { 7x+4 } +\frac { 10000 }{ x } \)

y - 2x - 4 = 0

y - 2x - 4 = 0
⇒ y-4 = 2x
⇒
பரப்பு  =\(\int _{ 1 }^{ 3 }{ -xdy } \)
\(=\int _{ 1 }^{ 3 }{ -\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) (y-4)dy } \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \int _{ 1 }^{ 3 }{ (4-y)dy } =\frac { 1 }{ 2 } { \left[ 4y-\frac { { y }^{ 2 } }{ 2 } \right] }_{ 1 }^{ 3 }\)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \left[ \left( 12-\frac { 9 }{ 2 } \right) -\left( 4-\frac { 1 }{ 2 } \right) \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \left[ 4-8 \right] = 2\)
= 2 ச.அலகுகள்

y=4-x²
தேவையான பரப்பளவு=\(\int _{ 0 }^{ 2 }{ ydx } =\int _{ 0 }^{ 2 }{ (4-x^{ 2 }) } dx\)
=\(\left[ 4x-\frac { { x }^{ 3 } }{ 3 } \right] _{ 0 }^{ 2 }=8-\frac { 8 }{ 3 } \)
=\(\frac { 16 }{ 3 } \) சதுர அலகுகள்.

\( \mathrm{MR}=\frac{2}{x+3}-\frac{2 x}{(\mathrm{x}+3)^2}+5\)
\( \mathrm{R}=\int\left(\frac{2}{x+3}-\frac{2 x}{(x+3)^2}+5\right) d x \)
\( =2 \log (x+3)-2 \int \frac{x d x}{(x+3)^2}+5 x+k \)
\( \frac{x}{(x+3)^2}=\frac{x+3-3}{(x+3)^2} \)
\( =\frac{x+3}{(x+3)^2}-\frac{3}{(x+3)^2} \)
\(\mathrm{R}=2 \log |x+3|-2 \int \frac{x+3}{(x+3)^2} d x +6 \int \frac{d x}{(x+3)^2}+5 x+k \)
\(\mathrm{R}=2 \log |x+3|-2 \int \frac{d x}{(x+3)} +6 \int(x+3)^{-2} d x+5 x+k \)
\( =2 \log |x+3|-2 \log |x+3| +6 \frac{(x+3)^{-1}}{-1}+5 x+k \)
\(\mathrm{R}=\frac{-6}{(x+3)}+5 x+k \)
 x=0, R=0 எனில், k=2 
\( \mathrm{R}=\frac{-6}{x+3}+5 x+2 \)
\(=\frac{-6+2 x+6}{x+3}+5 x\)
\(R =\frac { 2 }{ x+3 } +5\)
தேவைச் சார்பு P= R/x  =\(\frac { 2 }{ x+3 } +5\)  எனவே நிறுவப்பட்டது.

கொடுக்கப்பட்டவை:  P_d=18-2x-x², P_s=2x-3.
சமநிலை விலையில், Pd=Ps
18-2x-x²=2x-3
x²+4x-21=0
(x-3)(x+7)=0
x=-7 அல்லது 3 (x ன் மதிப்பானது குறை எண்ணாக இருக்க முடியாது)
x₀=3, எனும்போது
∴ P₀=18-2(3)-(3)²=3
CS=\(\int _{ 0 }^{ x_{ 0 } }{ f(x) } dx-{ x }_{ 0 }{ p }_{ 0 }\)
=\(\int _{ 0 }^{ 3 }{ (18-2x-x^{ 2 }) } dx-3\times 3\)
=\(\left[ 18x-{ x }^{ 2 }-\frac { x^{ 3 } }{ 3 } \right] \)-9
=18(3)-(3)²-\(\left( \frac { { 3 }^{ 3 } }{ 3 } \right) \)-9
CS = 27 அலகுகள்
PS =\({ x }_{ 0 }{ p }_{ 0 }-\int _{ 0 }^{ { x }_{ 0 } }{ g(x) } dx\)
=(3 x  3) -\(\int _{ 0 }^{ 3 }{ (2x-3) } dx\)
=\(9-(x^{ 2 }-3x)_{ 0 }^{ 3 }\)
= 9 அலகுகள்.
சமநிலை விலையில்,
(i) நுகர்வோர் உபரி =27 அலகுகள்
(ii) உற்பத்தியாளர் உபரி =9 அலகுகள்

கொடுக்கப்பட்ட MR =35+7x-3x²
R =\(\int { (MR) } dx+k\)
=\(\int { (35+7x-3x^{ 2 } } )dx+k\)
R =35x+\(\frac { 7 }{ 2 } \)x²-x³+k
x=0 எனும்பொழுது R=0 ∴ k=0
R=35x+\(\frac { 7 }{ 2 } \)x²-x³
தேவையானச் சார்பு: p=\(\frac { R }{ x } \)
p=35+\(\frac { 7 }{ 2 } \)x-x²

x தொழிலாளர்களைக் கொண்டு அதிகபடியாக உற்பத்தி செய்யும் பொருள்கள் p என்க.
\(\frac { dp }{ dx } \)=300-5x2/3
p=\(\int _{ 0 }^{ 64 }{ \left( 300-5x^{ \frac { 2 }{ 3 } } \right) } dx\)
=\(\left[ 300x-3x^{ \frac { 5 }{ 3 } } \right] _{ 0 }^{ 64 }\)
=300 x 64-3(64)^5/3
=16128
∴ கூடுதலாக உற்பத்தி செய்யப்படும் அலகுகளின் எண்ணிக்கை 16,128 ஆகும்
⇒ 264 தொழிலாளர்களால் உற்பத்தி செய்யப்படும் மொத்த அலகுகளின் எண்ணிக்கை
= 50000+16128=66,128 அலகுகள்

y=x² என்பது மேல் நோக்கித் திறந்த பரவளையம். இது y - அச்சைப் பொறுத்து சமச்சீரானது.
பரப்பு \(=2 \int_c^4 x d y \)
\(x^2=\mathrm{y} \Rightarrow x=\sqrt{y} \)
பரப்பு \(=2 \int_0^4 y^{1 / 2} d y\)
\(=2\left[\frac{y^{3 / 2}}{3 / 2}\right]_0^4 \)
\( =\frac{4}{3}\left[4^{3 / 2}-0\right] \)
\(=\frac{4}{3}(8)=\frac{32}{3}\)
\(=\frac { 32 }{ 3 } \) ச.அலகுகள்

y²=16x என்பது வலது புறமாக திறந்திருக்கும் பரவளையமாகும்.
தேவைப்படும் பரப்பு =\(2\int _{ a }^{ b }{ y } dx\) 
=\(2\int _{ 0 }^{ 4 }{ \sqrt { 16x } } dx\) (பரவளையம் x -அச்சை பொறுத்து சமச்சீர்)
=\(8\int _{ 0 }^{ 4 }{ { x }^{ \frac { 1 }{ 2 } } } dx=8\left[ \frac { x^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ \frac { 3 }{ 2 } } \right] _{ 0 }^{ 4 }=\frac { 16 }{ 3 } \left( (4)^{ \frac { 3 }{ 2 } } \right) =\frac { 128 }{ 3 } \)சதுர அலகுகள்

பரப்பு \( =\int_c^d x d y=\int_1^2 y d y \)
\(=\left[\frac{y^2}{2}\right]_1^2=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} \) ச.அலகுகள்

\(\mathrm{R} =\int\left(35+7 x-3 x^2\right) d x \)
\( =35 x+\frac{7 x^2}{2}-\frac{3 x^3}{3}+k \)
x = 0 மற்றும் R = 0 எனில் k = 0
\(\mathrm{R}=35 x+\frac{7 x^2}{2}-x^3\)
சராசரி வருவாய்ச் சார்பு
\(\mathrm{AR}=\frac{R}{x}=35+\frac{7 x}{2}-x^2\)

பரப்பு \(=\int_0^4\left(4 x-x^2\right) d x=\left[\frac{4 x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^4 \)
\(=32-\frac{64}{3}=\frac{32}{3} \)ச.அலகுகள்