\(\mathrm{MR} =6=3 x^2-x^3 \)
\(\mathrm{R} =\int\left(6-3 x^2-x^3\right) d x \)
\(\mathrm{R} =6 x-\frac{3 x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+k \)
x  =0,R=0 எனில்  k=0
\(\mathrm{R}  =6 x-x^3-\frac{x^4}{4} \)
\(\mathrm{p}  =\frac{R}{x}=6-x^2-\frac{x^3}{4} \)

இறுதிநிலை வருவாய்ச் சார்பு MR =14-6x+9x²
வருவாய்ச் சார்பு \(\mathrm{R} =\int\left(14-6 \mathrm{x}+9 \mathrm{x}^2\right) d x \)
\(\mathrm{R} =14 x-\frac{6 x^2}{2}+\frac{9 x^3}{3}+k \)
x = 0, R = 0 எனில்  k  =0
\(\mathrm{R}  =14 x-3 x^2+3 x^3 \)
தேவை சார்பு: \(\mathrm{p}  =\frac{R}{x} \)
\( =14-3 x+3 x^2\)

2y + x = 8

x	0	8
y	4	0

2y + x = 8
2y = 8-x
y = \(\frac{1}{2}\) (8-x)
பரப்பு \(A=\int _{ a }^{ b }{ y\ dx } \)
\(\frac { 1 }{ 2 } \int _{ 2 }^{ 4 }{ (8-x)dx } =\frac { 1 }{ 2 } { \left[ 8x-\frac { { x }^{ 2 } }{ x } \right] }_{ 2 }^{ 4 }\)
\(=\frac { 1 }{ 2 } [(32-8)-(16-21)]\)
\(=\frac { 1 }{ 2 } [24-14]\)
A = 5 ச.அலகுகள்

x-2y-12=0
x=2y+12


தேவைப்படும் பரப்பு
=\(\int _{ 2 }^{ 5 }{ xdy } \)
=\(\int _{ 2 }^{ 5 }{ \left[ 2y+12 \right] } dy=\left[ y^{ 2 }+12y \right] _{ 2 }^{ 5 }\)
=(25+60)-(4+24)=57 சதுர அலகுகள்.

(ii) கொடுக்கப்பட்ட MC=2+5e^x 
C=\(\int { MC } dx+k\)
=\(\int { (2+5{ e }^{ x }) } dx+k\)
=2x+5e^x+k
சராசரி விலை =\(\frac { C }{ x } =\frac { 2x+{ 5e }^{ x }+95 }{ x } \)
AC=\(2+\frac { 4e^{ x } }{ x } +\frac { 95 }{ x } \).

கொடுக்கப்பட்டவை:  P_d=18-2x-x², P_s=2x-3.
சமநிலை விலையில், Pd=Ps
18-2x-x²=2x-3
x²+4x-21=0
(x-3)(x+7)=0
x=-7 அல்லது 3 (x ன் மதிப்பானது குறை எண்ணாக இருக்க முடியாது)
x₀=3, எனும்போது
∴ P₀=18-2(3)-(3)²=3
CS=\(\int _{ 0 }^{ x_{ 0 } }{ f(x) } dx-{ x }_{ 0 }{ p }_{ 0 }\)
=\(\int _{ 0 }^{ 3 }{ (18-2x-x^{ 2 }) } dx-3\times 3\)
=\(\left[ 18x-{ x }^{ 2 }-\frac { x^{ 3 } }{ 3 } \right] \)-9
=18(3)-(3)²-\(\left( \frac { { 3 }^{ 3 } }{ 3 } \right) \)-9
CS = 27 அலகுகள்
PS =\({ x }_{ 0 }{ p }_{ 0 }-\int _{ 0 }^{ { x }_{ 0 } }{ g(x) } dx\)
=(3 x  3) -\(\int _{ 0 }^{ 3 }{ (2x-3) } dx\)
=\(9-(x^{ 2 }-3x)_{ 0 }^{ 3 }\)
= 9 அலகுகள்.
சமநிலை விலையில்,
(i) நுகர்வோர் உபரி =27 அலகுகள்
(ii) உற்பத்தியாளர் உபரி =9 அலகுகள்

\(C^{\prime}(\mathrm{x}) =\frac{x^2}{200}+4 \)
\(\frac{d C}{d x} =\frac{x^2}{200}+4 \)
\(\mathrm{C} =\int\left(\frac{x^2}{200}+4\right) d x=\left[\frac{x^3}{600}+4 x\right]+k \)
\(x =0, \mathrm{C}=0\) எனில் \(\mathrm{k}=0 \)
\(\mathrm{C} =\frac{x^3}{600}+4 x \)
\(x =200 \) எனில் 
\(\mathrm{C} =13333.33+800=₹ 14133.33 \)
= ரூ.14,133.33

இங்கு I(x)=200-0.2x
C₁=Rs.3.5
T=30
மொத்த  தேக்கச் செலவு=\({ C }_{ 1 }\int _{ 0 }^{ T }{ I(x) } dx=3.5\int _{ 0 }^{ 30 }{ (200-0.2x) } dx\)
=\(3.5\left( 200x-\frac { 0.2x^{ 2 } }{ 2 } \right) _{ 0 }^{ 30 }\)
= ரூ.20,685
 

செலவு சேமிப்பு S(t) =\(\int _{ 0 }^{ t }{ 20000t } dt\)
=10000t²
மொத்த செலவை ஈடுசெய்வதற்கான காலம்
10000t²=640000
t²=64
t=8
8 ஆண்டுகளில் இயந்திரத்தின் செலவை ஈடு செய்யலாம்.

கொடுக்கப்பட்ட இறுதிநிலை செலவு சார்பு: MC =6+10x-6x²
C=\(\int { MC } dx+k\)
=\(\int { (6+10x-6x^{ 2 }) } dx+k\)
=6x+5x²-2x³+k      .....(1)
x=2 எனும் போது C=12
∴ 12=12+20-16+k
k=-4
C=6x+5x²-2x³-4
சராசரி செலவு: \(\frac { C }{ x } =\frac { 6x+5x^{ 2 }-2x^{ 3 }-4 }{ x } \)
=6+5x-2x²-\(\frac { 4 }{ x } \).

y=x² என்பது மேல் நோக்கித் திறந்த பரவளையம். இது y - அச்சைப் பொறுத்து சமச்சீரானது.
பரப்பு \(=2 \int_c^4 x d y \)
\(x^2=\mathrm{y} \Rightarrow x=\sqrt{y} \)
பரப்பு \(=2 \int_0^4 y^{1 / 2} d y\)
\(=2\left[\frac{y^{3 / 2}}{3 / 2}\right]_0^4 \)
\( =\frac{4}{3}\left[4^{3 / 2}-0\right] \)
\(=\frac{4}{3}(8)=\frac{32}{3}\)
\(=\frac { 32 }{ 3 } \) ச.அலகுகள்

y-1 = x

x	0	-1
y	1	0

y - 1 = x ⇒ y = x + 1
பரப்பு \(=\int _{ b }^{ a }{ ydx }\)
\(=\int _{ -1 }^{ -2 }{ ydx } +\int _{ -1 }^{ 3 }{ ydx } \left[ \because \int _{ a }^{ b }{ f(x)dx=-\int _{ b }^{ a }{ f(x)dx } } \right] \)
\(=\int _{ -1 }^{ -2 }{ (x+1)dx+\int _{ -1 }^{ 3 }{ (x+1)dx } } \)
\(={ \left( \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +x \right) }_{ -1 }^{ -2 }+{ \left( \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +x \right) }_{ -1 }^{ 3 }\)
\(=-\left( +\frac { 1 }{ 2 } -1 \right) -\left( 2 -2 \right) +\left( \frac { 9 }{ 2 } +3 \right) -\left( \frac { 1 }{ 2 } -1 \right) \)
\(=- +\frac { 1 }{ 2 } -1 + \frac { 9 }{ 2 } +3 - \frac { 1 }{ 2 } -1 = \frac { 7 }{ 2 } +5\) \(=\frac { 17 }{ 2 } \) ச.அலகுகள்

y² = 4 என்பது வலப்புறம் திறந்த பரவளையத்தைக் குறிக்கிறது.இது x - அச்சைப் பொறுத்து சமச்சீரானது.

⇒ y = \(2\sqrt { a } \sqrt { x } \) .
∴ பரப்பு  \(=2\int _{ 0 }^{ a }{ ydx } \)
\(=2\int _{ 0 }^{ a }{ 2\sqrt { a } \sqrt { x } dx } \)
\(=4\sqrt { a } \int _{ 0 }^{ a }{ \sqrt { x } dx } =4\sqrt { a } \int _{ 0 }^{ a }{ { x }^{ \frac { 1 }{ 2 } }dx } \)
\(=4\sqrt { 3 } { \left[ \frac { { x }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ \frac { 3 }{ 2 } } \right] }_{ 0 }^{ a }=4\sqrt { a } \times \frac { 2 }{ 3 } { \left( { x }^{ \frac { 3 }{ 2 } } \right) }_{ 0 }^{ a }\)
\(=8\frac { \sqrt { a } }{ 3 } \left( { a }^{ \frac { 2 }{ 3 } }-0 \right) \)
\(=\frac { 8 }{ 3 } { a }^{ 2 }\) 
\(=\frac { 8{ a }^{ 2 } }{ 3 } \) ச.அலகுகள்

y²=16x என்பது வலது புறமாக திறந்திருக்கும் பரவளையமாகும்.
தேவைப்படும் பரப்பு =\(2\int _{ a }^{ b }{ y } dx\) 
=\(2\int _{ 0 }^{ 4 }{ \sqrt { 16x } } dx\) (பரவளையம் x -அச்சை பொறுத்து சமச்சீர்)
=\(8\int _{ 0 }^{ 4 }{ { x }^{ \frac { 1 }{ 2 } } } dx=8\left[ \frac { x^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ \frac { 3 }{ 2 } } \right] _{ 0 }^{ 4 }=\frac { 16 }{ 3 } \left( (4)^{ \frac { 3 }{ 2 } } \right) =\frac { 128 }{ 3 } \)சதுர அலகுகள்

y=|x+3| =\(\begin{cases} x+3, & x\ge -3 \\ -(x+3), & x<-3 \end{cases}\)
தேவைப்படும் பரப்பு =\(\int _{ -6 }^{ 0 }{ y } dx\)
=\(\int _{ -6 }^{ -3 }{ y } dx+\int _{ -3 }^{ 0 }{ y } dx\)
=\(\int _{ -6 }^{ -3 }{ -(x+3)dx } +\int _{ -3 }^{ 0 }{ (x+3) } dx\)
=\(\left[ \frac { (x+3)^{ 2 } }{ 2 } \right] _{ -6 }^{ -3 }+\left[ \frac { (x+3)^{ 2 } }{ 2 } \right] _{ -3 }^{ 0 }\)
\(=\left[ 0-\frac { 9 }{ 2 } \right] +\left[ \frac { 9 }{ 2 } -0 \right] \)=9 சதுர அலகுகள்

y =8x²-4x+6 என்பது மேல் நோக்கித் திறந்த பரவளையம் 
பரப்பு \(=\int_0^b y d x \)
\( =\int_0^2\left(8 x^2-4 x+6\right) d x \)
\(=\left[\frac{8 x^3}{3}-\frac{4 x^2}{2}+6 x\right]_0^2 \)
\(=\frac{64}{3}-8+12-0=\frac{64}{3}+4 \)
\( =\frac{76}{3} \)
\(=\frac{76}{3}\) சதுர அலகுகள் 

இறுதிநிலை செலவு சார்பு C'(x)=5+0.13x
\(C(x) =\int(5+0.13 x) d x \)
\( =5 x+\frac{0.13 x^2}{2}+k_1\)
\( =5 x+0.065 x^2+\mathrm{k}_1\)
x  =0, C=120 எனில்,\(\mathrm{k}_1=120\)
செலவுச் சார்பு : \( C(x)=5 x+0.065 x^2+120 \)
\( R^{\prime}(\mathrm{x})=18 \)
வருவாய்ச் சார்பு : \( \mathrm{R}=\int 18 d x=18 x+\mathrm{k}_2 \)
x = 0, R = 0 எனில் 
\( \mathrm{k}_2=0 \)
\( \mathrm{R}=18 x \)
இலாபச் சார்பு : \(\text { P(x ) }=\mathrm{R}(x)-\mathrm{C}(x) \)
\(=18 x-5 x-0.065 x^2-120 \)
\(=13 x-0.065 x^2-120 \)

\(\frac{d C}{d x} =100-10 x+0.1 x^2 \)
\(\mathrm{C} =\int\left(100-10 \mathrm{x}+0.1 \mathrm{x}^2\right) d x \)
\(\mathrm{C} =\left[100 x-\frac{10 x^2}{2}+\frac{0.1 x^3}{3}\right]+k \)
\(\mathrm{k} =500 \) எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது 
\(\mathrm{C} =100 x-5 x^2+\frac{0.1 x^3}{3}+500 \)
\(\mathrm{AC} =\frac{C}{x}=100-5 x+\frac{0.1 x^2}{3}+\frac{500}{x}\)
\( =100-5 x+\frac{x^2}{30}+\frac{500}{x} \)

பரப்பு \(=\int_0^1 e^x d x=\left[e^x\right]_0^1=e^1-e^0=\mathrm{c}-1\)

\(p_d =p_s \)
\((x-5)^2 =x^2+x+3 \)
\(x^2-10 x+25 =x^2+x+3 \)
\(-11 x =-22 \)
x  = 2

\(\mathrm{CS}=\int^{x_2}_ 0 f(x) d x-x_0 p_0=\int^5_ 0\left(28-x^2\right) d x-15\)
\( =\left[28 x-\frac{x^3}{3}\right]_{10}^5-15 \)
\( =140-\frac{125}{3}-15=\frac{250}{3} \) அலகுகள்

\(\mathrm{D}(x) =\mathrm{S}(x) \)
\(20-5 x =4 x+8 \)
\(12 =9 x \Rightarrow x=\frac{4}{3} \)
\(\mathrm{D} =20-\frac{20}{3}=\frac{40}{3} \)

இலாபச் சார்பு \(\mathrm{P} =\int(M R-M C) d \)
\(=\int(54-9 x) d x \)
\( =\left[54 x-\frac{9 x^2}{2}\right]+k \)

பரப்பு \(=\int_0^4\left(4 x-x^2\right) d x=\left[\frac{4 x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^4 \)
\(=32-\frac{64}{3}=\frac{32}{3} \)ச.அலகுகள்