x₀=3, x₁ = 7, x₂ = 11, x₃ = 19, x = 15
y₀ = 42, y₁ = 43, y₂ = 47, y₃ = 60
\(y= \frac{\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)}{\left(x_0-x_1\right)\left(x_0-x_2\right)\left(x_0-x_3\right)} y_0 +\frac{\left(x-x_0\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)}{\left(x_1-x_0\right)\left(x_1-x_2\right)\left(x_1-x_3\right)} y_1 +\frac{\left(x-x_0\right)\left(x-x_1\right)\left(x-x_3\right)}{\left(x_2-x_0\right)\left(x_2-x_1\right)\left(x_2-x_3\right)} y_2 +\frac{\left(x-x_0\right)\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)}{\left(x_3-x_0\right)\left(x_3-x_1\right)\left(x_3-x_2\right)} y_3 \)
\(= \frac{(8)(4)(-4)}{(-4)(-8)(-16)}(42)+\frac{(12)(4)(-4)}{(4)(-4)(-12)}(43) +\frac{(12)(8)(-4)}{(8)(4)(-8)}(47)+\frac{(12)(8)(4)}{(16)(12)(8)}(60)\)
\(= \frac{42}{4}-43+\frac{47(3)}{2}+15 = 10.5-43+70.5+15=53 \)

y=f(x) = x³+2x+1, x=1,2,3,4,5

வரைபடத்திலிருந்து x = 4.8 எனும்போது y = 6.8

\(\mathrm{f}(x)  =x^2+3 x\) மற்றும் h =1
\(\Delta \mathrm{f}(x) =\mathrm{f}(x+\mathrm{h})-\mathrm{f}(x)=\mathrm{f}(x+1)-\mathrm{f}(x) \)
\(=(x+1)^2+3(x+1)-\left(x^2+3 x\right) \)
\(=x^2+2 x+1+3 x+3-x^2-3 x \)
=2 x+4
எனவே நிறுவப்பட்டது 

\(\Delta \log (a x) =\log a(x+h)-\log a x \)
\( =\log \left(\frac{a x+a h}{a x}\right)=\log \left(\frac{a x}{a x}+\frac{a h}{a x}\right)\)
\( =\log \left(1+\frac{h}{x}\right) \)

 Δ\(\left[ \frac { 5x+12 }{ { x }^{ 2 }+5x+6 } \right] \)
பகுதி பின்னமாக பிரித்தல் முறைப்படி
\(\frac { 5x+12 }{ { x }^{ 2 }5x+6 } =\frac { A }{ x+3 } +\frac { B }{ x+2 } \)
A=\(\frac { 5x+12 }{ x+2 } [x=-3]=\frac { -15+12 }{ -1 } =\frac { -3 }{ -1 } \)=3
B=\(\frac { 5x+12 }{ x+3 } [x=-2]=\frac { 2 }{ 1 } \)=2
\(\therefore \frac { 5x+12 }{ { x }^{ 2 }5x+6 } =\left[ \frac { 3 }{ x+3 } +\frac { 2 }{ x+2 } \right] \)
\(\triangle \left[ \frac { 5x+12 }{ { x }^{ 2 }5x+6 } \right] =\triangle \left[ \frac { 3 }{ x+3 } +\frac { 2 }{ x+2 } \right] \)
=\(\left[ \frac { 3 }{ x+1+3 } -\frac { 3 }{ x+3 } \right] +\left\{ \frac { 2 }{ x+1+2 } -\frac { 2 }{ x+2 } \right\} \)
=\(3\left[ \frac { 3 }{ x+1+3 } -\frac { 3 }{ x+3 } \right] +2\left[ \frac { 1 }{ x+3 } -\frac { 1 }{ x+2 } \right] \)
=\(\left[ \frac { -3 }{ (x+4)(x+3) } -\frac { 2 }{ (x+3)(x+2) } \right] \)
=\(\frac { -5x-14 }{ (x+2)(x+3)(x+4) } \)

இங்கு x -ன் மதிப்புகள் சம பிரிவற்றவை. எனவே இலெக்ராஞ்சியின் சூத்திரத்தை பயன்படுத்தவும்.
x₀=5, x₁=6, x₂=9, x₃=11
y₀=12, y₁=13, y₂=14, y₃=16
y=f(x)=\(\frac { (x-{ x }_{ 1 })(x-{ x }_{ 2 })(x-{ x }_{ 3 }) }{ (x_{ 0 }-{ x }_{ 1 })({ x }_{ 0 }-{ x }_{ 2 })({ x }_{ 0 }-{ x }_{ 3 }) } \times { y }_{ 0 }+\frac { (x-{ x }_{ 0 })(x-{ x }_{ 2 })(x-{ x }_{ 3 }) }{ (x_{ 1 }-{ x }_{ 0 })({ x }_{ 1 }-{ x }_{ 2 })({ x }_{ 1 }-{ x }_{ 3 }) } \times { y }_{ 1 }+\frac { (x-{ x }_{ 0 })(x-{ x }_{ 1 })(x-{ x }_{ 3 }) }{ (x_{ 2 }-{ x }_{ 0 })({ x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 })({ x }_{ 2 }-{ x }_{ 3 }) } \times y_{ 2 }+\frac { (x-{ x }_{ 0 })(x-{ x }_{ 1 })(x-{ x }_{ 2 }) }{ (x_{ 3 }-{ x }_{ 0 })({ x }_{ 3 }-{ x }_{ 1 })({ x }_{ 3 }-{ x }_{ 2 }) } \times { y }_{ 3 }\)
=\(\frac { (x-6)(x-9)(x-11) }{ (5-6)(5-6)(5-11) } (12)+\frac { (x-5)(x-9)(x-11) }{ (6-5)(6-9)(6-9) } (13)+\frac { (x-5)(x-6)(x-11) }{ (9-5)(9-6)(9-11) } (14)+\frac { (x-5)(x-6)(x-9) }{ (11-5)(11-6)(11-9) } (16)\)
x = 10 என்க.
y(10)=f(10)=\(\frac { 4(1)(-1) }{ (-1)(-4)(-6) } (12)+\frac { (5)(1)(-1) }{ (1)(-3)(-5) } (13)+\frac { 5(4)(-1) }{ 4(3)(-2) } (14)+\frac { (5)(4)(1) }{ 6(5)(2) } (16)\)
=\(\frac { 1 }{ 6 } (12)-\frac { 13 }{ 3 } +\frac { 5(14) }{ 3\times 2 } +\frac { 4\times 16 }{ 12 } \)
=14.6663

நிறை = x என்க. மாணவர்களின் எண்ணிக்கை = y என்க. கூட்டு நிகழ்வெண் பரவலில் மாற்றம் செய்த பிறகு கிடைக்கும் வேறுபாட்டு அட்டவணை.

70 க்கு கீழ் நிறை கொண்ட மாணவர்களின் எண்ணிக்கையை காண நாம் முன்நோக்கு இடைவெளி சூத்திரத்தை பயன்படுத்துவோம்.
y_(x=x0+nh)=\({ y }_{ 0 }+\frac { n }{ 1! } \triangle y_{ 0 }+\frac { n(n-1) }{ 2! } { \triangle }^{ 2 }{ y }_{ 0 }+\frac { n(n-1)(n-2) }{ 3! } { \triangle }^{ 0 }y_{ 0 }+....\) 
x= 70 இடத்து y-ஐ காண வேண்டும்  
∴  x₀+nh=70, x₀=40, h=20
40+N(20)=70 ⇒ N=1.5
∴ Y_(x=70)=250+1.5(120)+\(\frac { (1.5)(0.5) }{ 2! } (-20)+\frac { (1.5)(0.5)(-0.5) }{ 3! } (-10)+\frac { (1.5)(0.5)(-0.5)(-1.5) }{ 4! } (20)\)
=250+180-7.5-0.625+0.46875
=423.59
=424
60-க்கும் 70-க்கும் இடைப்பட்ட நிறை கொண்ட மாணவர்களின் எண்ணிக்கை
=y(70)-y(60)=424-370=54

f(x) -ல் ஐந்து மதிப்புகள் கொடுக்கப்பட்டிருந்தால், f(x) ஒரு நான்காம்படி பல்லுறுப்புக்கோவை என எடுத்துக் கொள்வோம். எனவே ஐந்தாம்நிலை வேறுபாடு பூச்சியமாகும்.
Δ⁵y_k=0 (ie) (E-1)⁵y_k=0
i.e., (E⁵-5E⁴+10E³-10E²+5E-1)yk=0
E⁵y_k-5E⁴y_k+10E³y_k-10E²y_k+5Ey_k-y_k=0   ....(1)
k = 0 என (1)-ல்  பிரதியிட
E⁵y₀-5E⁴y₀-10E²y₀+5Ey₀-y₀=0
y₅-5y₄+10y₃-10y₂+5y₁-y₀=0
y₅-5(350)+10y₃-10(260)+5(220)-200=0
y₅+10y₃=3450      .....(2)
k = 1 என (1)-ல்  பிரதியிட
E⁵y₁-5E⁴y₁-10E³y₁+5Ey³y₁-y₁=0
y₆-5y₅+10y₄-10y₃-y₁=0
430+5y₅+10(350)-10y₃+5(260)-220=0
5y₅+10y₃=5010     (3)
(3)-(2) ⇒ 4y₅=1560
y₅=390
(2)-ன் படி 390+10y₃=3450
10y₃=3450-390
y₃=306