சராசரி மற்றும் மாறுபாட்டளவை சமமாக உள்ள ஒரே பரவல், பாய்சான் பரவல் மட்டுமே.

X என்ற சமவாய்ப்பு மாறி பாய்சான் பரவலை பின்பற்றி அதனுடைய பண்பளவையான λ என்பது குறையற்ற மதிப்பினைப் பெற்றிருப்பின், அதன் நிகழ்தகவு அடர்த்திச் சார்பினை பின்வருமாறு வரையறை செய்யலாம்.
P(x, λ )= P(X=x)

சராசரி = np = 5
திட்டவிலக்கம்  
\(=\sqrt{n p q}=2 \)
\(n p q =4 \)
\(5 q =4 \Rightarrow q=\frac{4}{5} \)
\(p =1-q=1-\frac{4}{5}=\frac{1}{5} \)
\(n p=5 \Rightarrow n\left(\frac{1}{5}\right) =5 \Rightarrow \mathrm{n}=25\)
ஈருறுப்புப் பரவல்
\(\mathrm{P}(\mathrm{X}=x)=\mathrm{nC}_x \mathrm{p}^x \mathrm{q}^{\mathrm{n}-x}=25 C_x\left(\frac{1}{5}\right)^x\left(\frac{4}{5}\right)^{25-x}\)

X என்ற சமவாய்ப்பு மாறியானது, பெண் குழந்தைகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கிறது 
p = பெண் குழந்தைகளை தேர்ந்தெடுப்பதற்கான நிகழ்தகவு = 1/2
\( \mathrm{q}=1-\mathrm{p}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}, \quad \mathrm{n}=3\)
\( \mathrm{P}(\mathrm{X}=x)=\mathrm{nC}_x \mathrm{p}^x \mathrm{q}^{\mathrm{n}-x} \)
\( \mathrm{P}(\mathrm{X}=2)=3 C_2\left(\frac{1}{2}\right)^2\left(\frac{1}{2}\right)^1 \)
\(=3\left(\frac{1}{4}\right)\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{8}=0.375 \)

ஈருறுப்புப் பரவலைக் காணும் நிபந்தனைகளின்படி நாம் பயன்படுத்துகின்றோம் :
1. முயற்சிகளின் எண்ணிக்கை ‘n’ என்பது ஒரு முடிவுறு எண்ணாக இருத்தல் வேண்டும்.
2. முயற்சிகள் ஒன்றுக்கொன்று சார்பற்றவையாக இருத்தல் வேண்டும்.
3. வெற்றிக்கான நிகழ்தகவு p என்பது ஒவ்வொரு முயற்சியிலும் மாறிலியாக இருக்க வேண்டும்.
4. ஒவ்வொரு முயற்சிக்கும் இரண்டு விளைவுகளே சாத்தியமானது. அவை வெற்றி அல்லது தோல்வி மட்டுமே.

ஓர் ஈருறுப்புப் பரவல் சமச்சீர் பரவலாக இருப்பின் p = q = 1/2
சரியாக 2 தலைகள் மட்டும் கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு
P(X = 2) =\(\left( \begin{matrix} 6 \\ x \end{matrix} \right) \)p^xq^n-x
=\(\left( \begin{matrix} 6 \\ 2 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right) ^{ 2 }\left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right) ^{ 6-2 }\)
=\(\frac { 15 }{ 64 } \).

சராசரி 125 மற்றும் திட்டவிலக்கம் 18 கொண்ட மின்விளக்குகளின் வாழ்நாள்.
(i) 95 நாள்களுக்கும் குறைவாக X = 95 எனில்,
Z =\(\frac { X-\mu }{ \sigma } =\frac { 95-125 }{ 18 } \)=-1.667
P(X < 95) = P(Z < -1.667)
= P(Z > 1.667)
= 0.5 - P(0 < Z < 1.67)
= 0.5 - 0.4525
= 0.0475
900 மின்விளக்குகளில் 95 நாள்களுக்குள்ளாகப் பயனற்றுப்போகும் மின் விளக்குகளின் எதிர்பார்க்கப்படும் எண்ணிக்கை 900 × .0475 = 43 விளக்குகள்.

P(இரட்டை குழந்தைகள்) = p = 1/80 = 0.0125 மற்றும் n = 30
λ = np = 30 × 0.0125 = 0.375
X ஆனது பாய்சான் பரவலை பின்பற்றுகிறது
p(x)=\(\frac { { e }^{ -\lambda }{ \lambda }^{ x } }{ x! } \)
P(2 அல்லது அதற்கு மேல்) = 1 - [p (x = 0) + p (x =1)]=1-\(\left[ \frac { { e }^{ -0.375 }(0.375)^{ 0 } }{ 0! } +\frac { e^{ -0.375 }(0.375)^{ 1 } }{ 1! } \right] \)
= 1 - e^-0.375 [1+0.375]
= 1- (0.6873 × 1.375)
= 0.055

X என்ற சமவாய்ப்பு மாறியானது தேர்ந்தெடுக்கப்படும் வெளிநாட்டு மகிழுந்தைப் பயன்படுத்துபவர்களின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கிறது.
\( \mathrm{p}=\frac{18}{28}=0.6429 \)
\( \mathrm{q}=1-\mathrm{p}=0.3571, \mathrm{n}=5 \)
\( \mathrm{P}(\mathrm{X}=x)= \mathrm{nC}_x \mathrm{p}^x \mathrm{q}^{\mathrm{n}-x} \)
\( \mathrm{P}(\mathrm{X} \geq 3)= \mathrm{P}(\mathrm{X}=3)+\mathrm{P}(\mathrm{X}=4)+\mathrm{P}(\mathrm{X}=5) \)
\(= 5 \mathrm{C}_3(0.6429)^3(0.3571)^2+  5 \mathrm{C}_4(0.6429)^4(0.3571)+  5 \mathrm{C}_5(0.6429)^5 \)
\(=(0.6429)^3[10(0.1275)+ \left.5(0.6429)(0.3571)+(0.6429)^2\right] \)
= 0.2657[1.275+1.1479+0.4133] 
=(0.2657)(2.8362)=0.7535

ஈருறுப்புப் பரவலின் பண்பளவைகள் n மற்றும் p ஆகும்.
ஈருறுப்புப் பரவலின் சராசரியின் மதிப்பு np = 20
திட்டவிலக்கம் = \(\sqrt { npq } \)=4
∴ npq = 16
⇒ \(\frac { npq }{ np } =\frac { 16 }{ 20 } =\frac { 4 }{ 5 } \)
q=\(\frac { 4 }{ 5 } \)
⇒ p=1-q = 1-\(\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) =\frac { 1 }{ 5 } \)
np=20
n=\(\frac { 20 }{ p } \)
n=100

இங்கு சராசரி μ= 30 மற்றும் திட்டவிலக்கம் σ = 5
(i) X = 26 எனில், Z=(X−μ)/σ = (26 – 30)/5 = –0.8 மற்றும் X = 40 எனில், Z =\(\frac { 40-30 }{ 5 } \)=2
ஆகையால்,
P(26 < X < 40) ) = P(-0.8 ≤ Z < 2)
= P(-0.8 ≤ Z ≤ 0) + p(0 ≤ Z ≤ 2)
= P(0 ≤ Z ≤ 0.8) + P(0 ≤ Z ≤ 2)
= 0.2881 + 0.4772 (அட்டவணையிலிருந்து)
= 0.7653

(ii) X ≥ 45 எனும் போது நிகழ்தகவு X = 45 எனில்,
Z =\(\frac { X-\mu }{ \sigma } =\frac { 45-30 }{ 5 } \)=3
P( X ≥ 45) = P(Z ≥ 3)
= 0.5 - 0.49865
= 0.00135

ஊசிமூலம் மருந்து எடுத்துக்கொள்ளும் 2000 தனிநபர்களைக் கருத்தில் கொள்க. n = 2000
x=0,1,2,...2000
தனிநபர் எதிர்விளைவால் பாதிக்கப்படுவதற்கான நிகழ்தகவு p என்க. p =0.001
∴ q = 1- p = 1- 0.001 = 0.999
இங்கு n பெரியதாகவும் p சிறியதாகவும் உள்ளதால் இது பாய்சான் பரவலுக்கு உட்பட்டுள்ளது.
λ = np = 2000 × 0.001 = 2
(i) 2000, பேரில் சரியாக, 3 நபர்கள் எதிர்விளைவால் பாதிக்கப்படுவதற்கான நிகழ்தகவு
P(X = 3) =\(\frac { { e }^{ -\lambda }{ \lambda }^{ x } }{ x! } =\frac { e^{ -2 }{ 2 }^{ 3 } }{ 3! } \)=0.1804
(ii) 2000, பேரில் 2 தனி நபர்களுக்கு மேல் எதிர்விளைவால் பாதிக்கப்படுவதற்கான நிகழ்தகவு
= P(X > 2)
= 1- [(P(X ≤ 2)]
= 1 - [P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2)]
=1-\(\left[ \frac { e^{ -2 }{ 2 }^{ 0 } }{ 0! } +\frac { e^{ -2 }{ 2 }^{ 1 } }{ 1! } +\frac { e^{ -2 }{ 2 }^{ 2 } }{ 2! } \right] \)
=1-e^-2\(\left( \frac { { 2 }^{ 0 } }{ 0! } +\frac { { 2 }^{ 1 } }{ 1! } +\frac { { 2 }^{ 2 } }{ 2! } \right) \)
=0.323

p = வாடிக்கையாளர் ஒருவர் ஒரு வருடத்தில் விபத்துக்குள்ளாவதற்கான நிகழ்தகவு
= 0.1/100 = 1/1000
இங்கு n = 10,000
ஆகையால், λ=np =10000\(\left( \frac { 1 }{ 1000 } \right) \)=10
5-க்கு மிகாமல் வாடிக்கையாளர்கள் விபத்துக்குள்ளாவதற்கான நிகழ்தகவு
P(x≤5) = P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)
=e^-10\(\left[ 1+\frac { 10 }{ 1! } +\frac { { 1 }0^{ 2 } }{ 2! } +\frac { { 10 }^{ 3 } }{ 3! } +\frac { { 10 }^{ 4 } }{ 4! } +\frac { 10^{ 5 } }{ 5! } \right] \)
=0.06651

ஈருறுப்புப் பரவலின் சராசரி 
\(\mathrm{E}(\mathrm{X}) =\sum_{x=0}^n x\left(\begin{array}{l} n \\ x \end{array}\right) p^x q^{n-x} \)
\( =p \sum_{x=1}^n x \cdot\left(\frac{n}{x}\right)\left(\begin{array}{r} n-1 \\ x-1 \end{array}\right) p^{x-1} q^{n-x} \)
\( =n p(q+p)^{n-1} \quad[\text { since } p+q=1] \)
\(=n p \)
\(E(X) =n p \)
ஈருறுப்புப் பரவலின் சராசரி என்பது np ஆகும் 
\(\operatorname{Var}(X)=E\left(X^2\right)-\{E(X)\}^2 \)
இங்கு \( E\left(X^2\right)=\sum_{x=0}^n x^2\left(\begin{array}{l} n \\ x \end{array}\right) p^x q^{n-x} \)
\(=\sum_{x=0}^n\{x(x-1)+x\}\left(\begin{array}{l} n \\ x \end{array}\right) p^x q^{n-x} \)
\(=\sum_{x=0}^n\{x(x-1)\}\left(\begin{array}{l} n \\ x \end{array}\right) p^x q^{n-x}+\sum_{x=0}^n x\left(\begin{array}{l} n \\ x \end{array}\right) p^x q^{n-x} \)
\(=\sum_{x=2}^n\{x(x-1)\} p^2\left(\frac{n(n-1)}{x(x-1)}\right)\left(\begin{array}{c} n-2 \\ x-2 \end{array}\right) p^{x-2} q^{n-x} +\sum_{x=0}^n x\left(\begin{array}{l} n \\ x \end{array}\right) p^x q^{n-x} \)
\(=n(n-1) p^2\left\{\sum_{x=2}^n\left(\begin{array}{c} n-2 \\ x-2 \end{array}\right) p^{x-2} q^{n-x}\right\}+n p \)
\(=n(n-1) p^2(q+p)^{(n-2)}+n p \)
\(=n(n-1) p^2+n p \)
∴மாறுபாடு \( =E\left(X^2\right)-\{E(X)\}^2 \)
\(=n^2 p^2-n p^2+n p-n^2 p^2 \)
=n p(1-p)=n p q
ஈருறுப்புப் பரவலின் சராசரி np மற்றும் மாறுபாடு npq ஆகும்.

p என்பது சரியான பதிலைக் கணிப்பதாகும் p =\(\frac { 1 }{ 2 } \) ⇒ q =\(\frac { 1 }{ 2 } \)
பத்து வினாக்களில் சரியான பதிலைக் கணிப்பதற்கான நிகழ்தகவு
P(X = x) = p(x) =\({ n }_{ C_{ x } }\)p^xq^n-x =10Cx\(\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ x }\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 10-x }\)
சரியான 6 பதில்களை கணிப்பதற்கான நிகழ்தகவு
P(x ≥ 6) = P(6)+P(7)+P(8)+P(9)+P(10)
=\(\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 10 }\)[10C₆ + 10C₇ + 10C₈ + 10C₉ + 10C₁₀]
=\(\frac { 1 }{ 1024 } \)[210+120+45+10+1]
=\(\frac { 193 }{ 512 } \).

\(\mu=172, \sigma^2=25 \Rightarrow \sigma=5\)
\(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}=\frac{165-172}{5}=-1.4\)
\(Z=\frac{181-172}{5}=1.8\)

\(\mathrm{P}(165<\mathrm{X}<181)=\mathrm{P}(-1.4<\mathrm{Z}<1.8) \)
\(=\mathrm{P}(-1.4<\mathrm{Z}<0)+\mathrm{P}(0<\mathrm{Z}<1.8) \)
=0.4192+0.4641=0.8833=0.883

சராசரி = \(\lambda=n p=15 \times \frac{40}{100}=6\)

\( \mathrm{p}=\frac{2}{100}, \lambda=\mathrm{np}=50\left(\frac{2}{100}\right)=1 \)
\(P(X \leq 2) =\mathrm{P}(\mathrm{X}=0)+\mathrm{P}(\mathrm{X}=1)+\mathrm{P}(\mathrm{X}=2) \)
\(=\mathrm{e}^{-1}+\mathrm{e}^{-1}(1)+\frac{e^{-1}(1)}{2 !} \)
\( =e^{-1}\left[2+\frac{1}{2}\right]=2.5 \mathrm{e}^{-1}\)

\(f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \exp \left\{\frac{-1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2\right\}\)
வளைவு மாற்றப்புள்ளி \(x=\mu \pm \sigma\)
\(\mathrm{f}(x)  =\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \exp \left\{\frac{-1}{2}\left(\frac{\mu \pm \sigma-\mu}{\sigma}\right)^2\right\} \)
\(=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2}}\)