நேர்காணல் குழுவில் உள்ள பெண்களின் எதிர்பார்ப்பு எண்ணிக்கை
\(E\left( X \right) =\underset { x }{ \Sigma } x{ P }_{ x }\left( x \right) \)
= \(\left[ \left( 0\times \cfrac { 2 }{ 11 } \right) +\left( 1\times \cfrac { 5 }{ 11 } \right) +\left( 2\times \cfrac { 4 }{ 11 } \right) \right] \)
= \(\cfrac { 13 }{ 11 } \) (தோராயமாக ஒரு பெண்)

\(\mathrm{E}(\mathrm{X}) =\sum_x x P_x(x) \)
=0+0.1+0.8+0.9=1.8
∴∴ எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு 1.8

சாத்தியமான மதிப்புகளால்‌ வரையறுக்கப்பட்ட எண்களை ஏற்றுக்கொள்ளக்‌ கூடிய ஒரு மாறி அல்லது ஒரு எண்ணத்தக்க மெய்யெண்களின்‌ முடிவிலாத்‌ தொடரானது தனித்த சமவாய்ப்பு மாறி என வரையறுக்கப்படுகிறது.

ஒரு சமவாய்ப்பு மாறி X என்பது S என்ற கூறுவெளியின்‌ மீது வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு மெய்‌ மதிப்பீட்டுச்‌ “சார்பு என வரையறுக்கப்படுகிறது. மேலும்‌ இது (-∞, ∞) இல்‌ மதிப்புகளைப்‌ பெற்றிருக்கும்‌ அல்லது இது ஒரு சமவாய்ப்பு சோதனையின்‌ சாத்தியமுள்ள மதிப்புகளின்‌ எண்‌ வெளிப்பாடுகள்‌ எனவும்‌ கூறலாம்‌.

மகிழுந்துகளின் எண்ணிக்கை X என்க

(i) \(p(x_{ i })\ge \forall \) மற்றும்
(ii) \(\sum _{ i=1 }^{ \infty }{ p({ x }_{ i })=p(0)+p(1)+p(2)+p(3)+p(4) } \)
= 0.03+0.32+0.38+0.19+0.08 = 1
எனவே , p(x_i)ஒரு நிகழ்தகவு நிறை சார்பு ஆகும்.

நீலபந்து பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு : \(P=\frac { 1 }{ 4 } =0.25\)
மொத்த சோதனைகள் ; N =30
சோதனைகளின் மதிப்பு = சோதனைகளின் எண்ணிக்கை X நிகழ்தகவு
= N x p 
= 30 x 0.25 = 7.50
எனவே, நீலப்பந்தைப் பெறுவதற்கான எதிர்பார்க்கத்தக்க மதிப்பு தோராயமாக 8 ஆகும்.

இது நிகழ்தகவு நிறை சார்பு என்பதால் 
\(\sum_{i=1}^{\infty} p\left(x_i\right) =1 \)
\(p(2)+p(4)+p(6)+p(8) =1 \)
\(2 k+4 k+6 k+k(8-2) =1 \)
\(2 k+4 k+6 k+6 k =1 \)
\(18 k =1 \)
\(k =\frac{1}{18}\) எனவே நிறுவப்பட்டது.

கூறுவெளி (S) ={ (HHH), (HHT), (HTH), (HTT),(THH),(THT),(TTH),(TTT)}
X ஏற்கும் மதிப்புகள் : 3, 2, 2, 1, 2, 1, 1 மற்றும் 0

இவ்வாறாக,

நிரூபிக்க: \(\int_{-\infty}^\infty f(x) d x=1\)
அதாவது \(\int_{-3}^3 f(x) d x=1\)
\(\text { LHS }=  \int_{-3}^3 f(x) d x \)
\(= \int_{-3}^{-1} \frac{1}{16}(3+x)^2 d x+\int_{-1}^1 \frac{1}{16}\left(6-2 x^2\right) d x +\int_1^3 \frac{1}{16}(3-x)^2 d x \)
\(=  \frac{1}{16}\left[\frac{(3+x)^3}{3}\right]_{-3}^{-1}+\frac{1}{16}\left[6 x-\frac{2 x^3}{3}\right]_{-1}^1+ \frac{1}{16}\left[\frac{(3-x)^3}{-3}\right]_{3}^{1} \)
\(=  \frac{1}{48}\left[2^3-0\right]+\frac{1}{16}\left[6-\frac{2}{3}-\left(-6+\frac{2}{3}\right)\right] - \frac{1}{48}\left[0 -2^3\right] \)
\(=  \frac{8}{48}+\frac{1}{16}\left[6-\frac{2}{3}+6-\frac{2}{3}\right]+\frac{8}{48}\)
\( =\frac{16}{48}+\frac{1}{16}\left[12-\frac{4}{3}\right] \)
\( =\frac{1}{3}+\frac{1}{16}\left[\frac{32}{3}\right]=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=\frac{3}{3}=1=\text { RHS } \) எனவே நிறுவப்பட்டது 

\(\mathrm{E}[\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X})]^2 =E(X-\bar{X})^2 \)
\( =E\left(X^2-2 X \bar{X}+(\bar{X})^2\right) \)
\( =\sum x^2 p_t-2 \bar{x} \sum x_i p_i+(\bar{x})^2 \sum p_i \)
\( =E\left(X^2\right)-2 \bar{x}(\bar{x})+(\bar{x})^2\)
\( =E\left(X^2\right)-2(\bar{x})^2+(\bar{x})^2 \)
\(=E\left(X^2\right)-(\bar{x})^2=\mathrm{E}\left(\mathrm{X}^2\right)-[\mathrm{E}(X)]^2\)
\(=\mathrm{V}(\mathrm{X}) \)