Given MR = 20-5x+3x²
\(\Rightarrow \frac { dR }{ dx } =20-5x+3{ x }^{ 2 }\)
⇒ dR = (20 - 5x + 3x²)dx
⇒ഽdR = ഽ(20-5x+3x²)dx
\(\Rightarrow R=20x-\frac { { 5x }^{ 2 } }{ 2 } +\frac { { 3x }^{ 3 } }{ 3 } +k\)
When x = 0, R = 0 ⇒ k = 0
∴ R = 20x - \(\frac { 5{ x }^{ 2 } }{ x } +{ x }^{ 3 }\)

y - 2x - 4 = 0

Given y - 2.x - 4 = 0
⇒ y-4 = 2x
⇒
Since the area lies to the left of Y-axis, with the limits y = 1 &y = 3.
Area =\(\int _{ 1 }^{ 3 }{ -xdy } \)
\(=\int _{ 1 }^{ 3 }{ -\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) (y-4)dy } \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \int _{ 1 }^{ 3 }{ (4-y)dy } =\frac { 1 }{ 2 } { \left[ 4y-\frac { { y }^{ 2 } }{ 2 } \right] }_{ 1 }^{ 3 }\)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \left[ \left( 4(3)-\frac { { 3 }^{ 2 } }{ 2 } \right) -\left( 4(1)-\frac { { 1 }^{ 2 } }{ 2 } \right) \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \left[ \left( 12-\frac { 9 }{ 2 } \right) -\left( 4-\frac { 1 }{ 2 } \right) \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \left[ \left( \frac { 24-9 }{ 2 } \right) -\left( \frac { 8-1 }{ 2 } \right) \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \left[ \frac { 15 }{ 2 } -\frac { 7 }{ 2 } \right] =\frac { 1 }{ 2 } \left[ \frac { 8 }{ 2 } \right] \)

\(y=4{ - }x^{ 2 }\)
Required area = \(\int _{ 0 }^{ 2 }{ ydx } =\int _{ 0 }^{ 2 }{ (4- } { x }^{ 2 })dx\)
= \({ \left[ 4x-\frac { { x }^{ 2 } }{ 3 } \right] }_{ 0 }^{ 2 }=8-\frac { 8 }{ 3 } \)
= \(\frac { 16 }{ 3 } \) sq.units

Given MR = 6 − 3x² − x³
⇒ ഽMR =ഽ(6 − 3x² − x³)dx
\(\Rightarrow \mathrm{R}=6 x-\frac{\not{3} x^{3}}{\not3}-\frac{x^{4}}{4}+k\)
\(\Rightarrow 6x-{ x }^{ 3 }-\frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } +k\)
When x = 0, R = 0 ⇒ k = 0
\(\Rightarrow R=6x-{ x }^{ 3 }-\frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } \)
Demand function \(P=\frac { R }{ x } =6-{ x }^{ 2 }-\frac { { x }^{ 3 } }{ 4 } \)

Given MR = 14 - x + 9x²
⇒ \(\frac{dR}{dx}\) = 14 - 6x + 9x²
⇒ dR = (14 - 6x + 9x²)dx
⇒ ഽdR = ഽ(14 - 6x + 9x²)dx
\(\Rightarrow \ R=14x-\frac { 6{ x }^{ 2 } }{ 2 } +\frac { { 9x }^{ 3 } }{ 3 } +k\)
When x = 0, R = 0 ⇒ k = 0
R = 14x - 3x²+ 3x³
Demand function \(P=\frac { R }{ x } =\frac { 14x-3{ x }^{ 2 }+{ 3x }^{ 3 } }{ x } \)
⇒ P = 14 − 3x + 3x²