Consider -2x² + 4x - 2 = -2(x²-2x+1)
= -2(x-1)²
∴ \({ e }^{ -2x^{ 2 }+4x-2 }=e^{ -2(x-1)^{ 2 } }\)
\({ e }^{ -\frac { 1 }{ 2 } \frac { (x-1)^{ 2 } }{ \frac { 1 }{ 4 } } }=e^{ -\frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { x-1 }{ \frac { 1 }{ 2 } } \right) ^{ 2 } }\)
i.e \(K{ e }^{ -2x^{ 2 }+4x-2 }=\frac { 1 }{ \sigma \sqrt { 2\pi } } .e^{ -\frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { x-\mu }{ \sigma } \right) }\)
⇒ \(Ke^{ -\frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { x-1 }{ \frac { 1 }{ 2 } } \right) ^{ 2 } }=\frac { 1 }{ \sigma \sqrt { 2\pi } } .e^{ -\frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { x-\mu }{ \sigma } \right) }\)
⇒ σ = \(\frac{1}{2}\), μ = 1 and K = \(\frac { 1 }{ \sigma \sqrt { 2\pi } } \)
⇒ K = \(\frac { 1 }{ \frac { 1 }{ 2 } .\sqrt { 2\pi } } \Rightarrow K=\sqrt { \frac { 2 }{ \pi } } \).

The p.d.f for the normal distribution is
f(x) = \(\frac { 1 }{ \sigma \sqrt { 2\pi } } .e^{ -\frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { x-\mu }{ \sigma } \right) ^{ 2 } }\), -∞ Given
f(x) = \(\frac { 1 }{ K } { e }^{ 8x-4x^{ 2 } }\)
= \(\frac { 1 }{ K } e^{ -4 }({ x }^{ 2 }-2x)\)
= \(\frac { 1 }{ K } e^{ -4 }({ x }^{ 2 }-2x+1-1)\)
\(\frac { 1 }{ K } e^{ -4 }(x-1)^{ 2 }+4\)
=\(\frac { 1 }{ K } .{ e }^{ 4 }e^{ -\frac { 1 }{ 2 } \frac { x-1^{ 2 } }{ \frac { 1 }{ 8 } } }\)
=\(\frac { 1 }{ 4 } { e }^{ 4 }e^{ -\frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { x-1 }{ \frac { 1 }{ \sqrt { 8 } } } \right) ^{ 2 } }\) ...(2)
From (1) & (2), μ = 1, σ = \(\frac { 1 }{ \sqrt { 8 } } \) and
\(\frac { 1 }{ \sigma \sqrt { 2\pi } } =\frac { 1 }{ K } e^{ 4 }\)
\(\frac { 1 }{ \frac { 1 }{ \sqrt { 8 } } .\sqrt { 2 } \pi } =\frac { 1 }{ K } e^{ 4 }\)
⇒ \(\frac { \sqrt { 8 } }{ \sqrt { 2\pi } } =\frac { 1 }{ K } e^{ 4 }\)
\(\sqrt { \frac { 4 }{ \pi } } =\frac { 1 }{ K } { e }^{ 4 }\)
∴ K = \({ e }^{ 4 }\times \sqrt { \frac { \pi }{ 4 } } \)

Given P(X = 2) = 9 P(X = 4) + 90 P(X = 6)
Since X follows Poisson distribution with
P(X,λ) = \(\frac { { e }^{ -\lambda }.{ \lambda }^{ 0 } }{ x! } \)
\(\frac { { e }^{ -\lambda }.{ \lambda }^{ 2 } }{ 2! } =\frac { { e }^{ -\lambda }.{ \lambda }^{ 4 } }{ 4! } +\frac { { 90e }^{ -\lambda }.{ \lambda }^{ 6 } }{ 6! } \)

⇒ \(\frac { 1 }{ 2 } =\frac { 3{ \lambda }^{ 2 }+\lambda ^{ 4 } }{ 8 } \)
⇒ λ⁴+3λ² = 4
⇒ λ⁴+ 3λ²-4 = 0
Put λ² = t
⇒ t² + 3t-4 = 0  ⇒ (t-1)(t + 4) = 0
⇒ t = 1 or t = -4
∴ t = 1 [t = -4 is not possible]
∴ λ² = 1 ⇒ λ = 1
∴ Mean = 1
For Poisson distribution, mean = variance = 1

Given n = 16, S.D = 2 ⇒ \(\sqrt { npq } \) =2
⇒ npq = 4
∴ 16(pq) = 4 ⇒ pq =\(\frac { 4 }{ 16 } =\frac { 1 }{ 4 } \)
⇒ q = \(\frac { 1 }{ 4p } \)...(1)
Since p + q = 1 ⇒ p+\(\frac { 1 }{ 4p } \)=1
⇒ \(\frac { 4{ p }^{ 2 }+1 }{ 4p } \) = 1
⇒ 4p²+1 = 4p ⇒ 4p² -4p+1 = 0
⇒ (2p-1)² = 0 ⇒ 2p-1 = 0
⇒ 2p = 1 ⇒ p = \(\frac { 1 }{ 2 } \)
∴ q = 1-p = \(1-\frac { 1 }{ 2 } =\frac { 1 }{ 2 } \)
Mean = np = 16 x \(\frac { 1 }{ 2 } \) = 8

p = 0.4, n = 3
q =1 - P = 1 - 0.4 = 0.6
P(X = x) = nC_x p^xq^n-x
P(X≥1) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)
=3C₁ (0.4)¹ (0.6)² + 3C₂ (0.4)² (0.6) + 3C₃ (0.4)³ (0.6)⁰
=3 x \(\left( \frac { 4 }{ 10 } \right) \left( \frac { 36 }{ 100 } \right) +3\left( \frac { 16 }{ 100 } \right) \left( \frac { 6 }{ 100 } \right) +\left( \frac { 64 }{ 1000 } \right) \)
= \(\frac { 1 }{ 1000 } \)(432+288+64) =\(\frac { 784 }{ 1000 } \)
P(X≥1) = 0.784