\(\frac { 35 }{ 38 } m/h\)

\(\frac { 1 }{ 48\pi } cm/sec\)

Let r be the radius of the base, h be the height of the cone, I be the slant height and θ be the semi vertical angle.
In ΔOAB l² = h²+r²
⇒ r² =l²-h²
⇒ V =\(\frac { 1 }{ 3 } { \pi }r^{ 2 }h=\frac { \pi }{ 3 } \)(l²-h²)h
=\(\frac { \pi }{ 3 } \) (l²h - h³)
\(\frac { dv }{ dh } =\frac { \pi }{ 3 } \)(l²-3h²)

\(\frac { dv }{ dh } \)=0
⇒ \(\frac { \pi }{ 3 } \)(l² - 3h²) = 0
⇒ l² - 3h² = 0 ⇒ \(\frac { { l }^{ 2 } }{ { h }^{ 2 } } \) =3
⇒ \(\frac { l }{ h } \) = \(\sqrt { 3 } \)  ⇒ h=\(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \)
Now, \(\frac { d^{ 2 }V }{ dh^{ 2 } } =\frac { \pi }{ 3 } \)(-6h) = -2πh
at h =\(\frac { l }{ \sqrt { 3 } } ,\frac { d^{ 2 }V }{ dh^{ 2 } } =-2\pi \left( \frac { l }{ \sqrt { 3 } } \right) \) < 0
V is max at h =\(\frac { l }{ \sqrt { 3 } } \)
∴ r² =l²-\(\frac { { l }^{ 2 } }{ 3 } =\frac { 2{ l }^{ 2 } }{ 3 } \) =2h²
\(\\ \left[ \because h=\frac { l }{ \sqrt { 3 } } \Rightarrow h^{ 2 }=\frac { { l }^{ 2 } }{ 3 } \right] \)
∴ \(\frac { { r }^{ 2 } }{ { h }^{ 2 } } \) =2
⇒ \(\frac { r }{ h } =\sqrt { 2 } \)
⇒ tanθ =\(\sqrt { 2 } \)
⇒ θ = tan^-1(\(\sqrt { 2 } \))

Given 2y² = x³
⇒ y² = \(\frac { { x }^{ 3 } }{ 2 } \) ....(1)
⇒ y² = 32x  ...(2)
From (1) & (2),
\(\frac { { x }^{ 3 } }{ 2 } \) = 32x
⇒ x³ = 64x
⇒ x(x²-64) = 0
⇒ x = 0, 8, -8
when x = 0, y = 0
when x = 8, y²= 32(8)
⇒ y = ±16
when x = -8, y² = 32(-8)
which is not possible
∴ The point are (0, 0) (8, 16) (8, -16)
Differentiating 2y² = x³, with respect to 'x'
⇒ 4y\(\frac { dy }{ dx } \) = 3x²
⇒ \(\frac { dy }{ dx } =\frac { 3x^{ 2 } }{ 4y } \)
∴ m₁ = \(\left( \frac { dy }{ dx } \right) _{ (8,16) }=\frac { 3\times 8\times 8 }{ 4\times 16 } \)= 3
Differentiating y² = 32x with respect to 'x',
2y\(\frac { dy }{ dx } \) = 32
⇒ \(\frac { dy }{ dx } =\frac { 32 }{ 2y } =\frac { 16 }{ y } \)
∴ m₂ =\(\left( \frac { dy }{ dx } \right) _{ (8,16) }=\frac { 16 }{ 16 } \) = 1
Let θ be the angle between the given curves at (8, 16)
∴ tan θ = \(\left| \frac { { m }_{ 1 }-{ m }_{ 2 } }{ 1+{ m }_{ 1 }{ m }_{ 2 } } \right| =\frac { 3-1 }{ 1+3(1) } \)
=\(\frac { 2 }{ 4 } =\frac { 1 }{ 2 } \)
∴ θ = \({ tan }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) \).