\(12\sqrt { 3 } \)

3πa²

2 sq.units

Given x = t², y = t - \(\frac { { t }^{ 3 } }{ 3 } \) 
Point of intersection of the curve with x-axis is obtained by putting y = 0.
∴ y = 0
⇒ \(t-\frac { { t }^{ 3 } }{ 3 } =0\)
⇒ t = 0 or ± \(\sqrt3\)
∴ The limit is from t = 0 to t = \(\sqrt { 3 } \)
∴ Volume = \(\pi \int _{ 0 }^{ \sqrt { 3 } }{ { y }^{ 2 }dx } =\pi \int _{ 0 }^{ \sqrt { 3 } }{ { \left( t-\frac { { t }^{ 3 } }{ 3 } \right) }^{ 2 }}(2t \ dt)\)
[∵ x = t² ⇒ dx = 2t dt]
\(=2\pi \int _{ 0 }^{ \sqrt { 3 } }{ { \left( \frac { 3t-{ t }^{ 3 } }{ 3 } \right) }^{ 2 }t \ dt } \)
\(=\frac { 2\pi }{ 9 } \int _{ 0 }^{ \sqrt { 3 } }{ (9{ t }^{ 2 }-6{ t }^{ 4 }+{ t }^{ 6 })t \ dt } \)
\(=\frac { 2\pi }{ 9 } \int _{ 0 }^{ \sqrt { 3 } }{ (9{ t }^{ 3 }-6{ t }^{ 5 }+{ t }^{ 7 })dt } \)
\(=\frac { 2\pi }{ 9 } { \left[ \frac { { 9 }t^{ 4 } }{ 4 } -\frac { 6{ t }^{ 6 } }{ 6 } +\frac { { t }^{ 8 } }{ 8 } \right] }_{ 0 }^{ \sqrt { 3 } }\)
\(=\frac { 2\pi }{ 9 } \left[ \frac { 81 }{ 4 } -27+\frac { 81 }{ 8 } -0 \right] \)
Volume \(=\frac { 2\pi }{ 9 } \left( \frac { 27 }{ 8 } \right) =\frac { 3\pi }{ 4 } \) cubic units

Area under the curve y = sin x between x = 0 and x = \(\frac { \pi }{ 3 } \) is
\({ A }_{ 1 }=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 3 } }{ ydx } =\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 3 } }{ sinxdx } =-{ \left[ cosx \right] }_{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 3 } }\)
\(=-(cos\frac { \pi }{ 3 } -cos0)=-\left( \frac { 1 }{ 2 } -1 \right) \)
\(=-\left( -\frac { 1 }{ 2 } \right) =\frac { 1 }{ 2 } \)
Area under the curve y = sin 2x between x = 0 and \(\frac { \pi }{ 3 } \) is
\({ A }_{ 2 }=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 3 } }{ { sin2 \ x \ dx=-\left[ \frac { cos2 \ x }{ 2 } \right] }_{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 3 } } } \)
\(=-\frac { 1 }{ 2 } [cos2\frac { \pi }{ 3 } -cos0]-\frac { 1 }{ 2 } \left[ -\frac { 1 }{ 2 } -1 \right] =-\frac { 1 }{ 2 } \left( -\frac { 3 }{ 2 } \right) =\frac { 3 }{ 4 } \)
\(\therefore \frac { { A }_{ 1 } }{ { A }_{ 2 } } =\frac { \frac { 1 }{ 2 } }{ \frac { 3 }{ 4 } } =\frac { 1 }{ 2 } \times \frac { 4 }{ 3 } =\frac { 2 }{ 3 } \)
∴ A₁:A₂ =2 : 3