Let A be the origin, \(\vec { b } \) be the position vector of B and \(\vec {c } \) be the position vector of C .
Now D is the midpoint of BC , and so the position vector of D \(\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}\). There, we get

\({ \left| \vec { AD } \right| }^{ 2 }=\vec { AD } .\vec { AD } \)= \(\left( \frac { \vec { b } +\vec { c } }{ 2 } \right) .\left( \frac { \vec { b } +\vec { c } }{ 2 } \right) \)= \(\frac { 1 }{ 4 } ({ \left| \vec { b } \right| }^{ 2 }+{ \left| \vec { c } \right| }^{ 2 }+2\overrightarrow { b } .\vec { c } )\)....(1)
Now, \(\vec { BD } =\vec { AD } -\vec { AB } \) = \(\frac { \vec { b } +\vec { c } }{ 2 } -\vec { b }=\frac { \vec {c } -\vec { b} }{ 2 }\)
Then, we get, =\({ \left| \vec { BD } \right| }^{ 2 }=\vec { BD } .\vec {BD } \) = \(\left( \frac { \vec { c } -\vec { b} }{ 2 } \right) .\left( \frac { \vec { c } -\vec { b} }{ 2 } \right) \) = \(\frac { 1 }{ 4 } ({ \left| \vec { b } \right| }^{ 2 }+{ \left| \vec { c } \right| }^{ 2 }-2\overrightarrow { b } .\vec { c } )\)....(2)
Now, adding (1) and (2), we get
Therefore, \({ \left| \vec { AD } \right| }^{ 2 }+{ \left| \vec { BD } \right| }^{ 2 }=\frac { 1 }{ 4 } ({ \left| \vec { b } \right| }^{ 2 }+{ \left| \vec { c } \right| }^{ 2 }+2\overrightarrow { b } .\vec { c } )+\frac { 1 }{ 4 } ({ \left| \vec { b } \right| }^{ 2 }+{ \left| \vec { c } \right| }^{ 2 }-2\overrightarrow { b } .\vec { c } )=\frac { 1 }{ 2 } ({ \left| \vec { b } \right| }^{ 2 }+{ \left| \vec { c } \right| }^{ 2 })\)
⇒ \({ \left| \vec { AD } \right| }^{ 2 }+{ \left| \vec { BD } \right| }^{ 2 }=\frac { 1 }{ 2 } ({ \left| \vec { AB } \right| }^{ 2 }+{ \left| \vec { AC } \right| }^{ 2 })\)
Hence, \({ \left| \vec { AB } \right| }^{ 2 }+{ \left| \vec { AC } \right| }^{ 2 }=2({ \left| \vec { AD } \right| }^{ 2 }+{ \left| \vec { BD } \right| }^{ 2 })\)

We know that the line \(\vec { r } =(\hat { i } +2\hat { j } +4\hat { k } )+t(2\hat { i } +2\hat { j } +\hat { k } )\) is parallel to the vector \(2\hat { i } +2\hat { j } +\hat { k } \).
Direction ratios of the straight line joining the two given points (5, 1, 4) and (9, 2, 12) are 4,1,8 and hence this line is parallel to the vector \(\hat { 4i } +\hat { j } +8\hat { k } \)
Therefore, the angle between the given two straight lines is
\(\theta ={ cos }^{ -1 }\left( \frac { \left| \vec { b } .\vec { d } \right| }{ \left| \vec { b } \right| \left| \vec { d } \right| } \right) \), where \(​​\vec { b } \) = \(2\hat { i } +2\hat { j } +\hat { k } \) and \(\vec { d } \) = \(\hat { 4i } +\hat { j } +8\hat { k } \)
Therefore, \(\theta ={ cos }^{ -1 }\left( \frac { \left| (2\hat { i } +2\hat { j } +\hat { k } ).(4\hat { i } +\hat { j } +8\hat { k } ) \right| }{ \left| 2\hat { i } +2\hat { j } +\hat { k } \right| \left| 4\hat { i } +\hat { j } +8\hat { k } \right| } \right) ={ cos }^{ -1 }\left( \frac { 2 }{ 3 } \right) \)

Rewriting the given equations as\(​​\frac { x+2 }{ 4 } =\frac { y+3 }{ -2 } =\frac { 2z-6 }{ 3/2 } \) and comparing with \(\frac { x-{ x }_{ 1 } }{ { b }_{ 1 } } =\frac { y-{ y }_{ 1 } }{ { b }_{ 2 } } =\frac { z-{ z }_{ 1 } }{ { b }_{ 3 } } \) we have \(\vec { b } ={ b }_{ 1 }\hat { i } +{ b }_{ 2 }\hat { j } +{ b }_{ 3 }\hat { k } \) = \(-4\hat { i } -2\hat { j } +\frac { 3 }{ 2 } \hat { k } =-\frac { 1 }{ 2 } (8\hat { i } +4\hat { j } -3\hat { k } )\). Clearly, \(\vec { b } \) is parallel to the vector \(8\hat { i } +4\hat { j } -3\hat { k } \). Therefore, a vector equation of the required straight line passing through the given point (-4, 2, -3) and parallel to the vector \(8\hat { i } +4\hat { j } -3\hat { k } \) in parametric form is
\(\vec { r } =(-4\hat { i } +2\hat { j } -3\hat { k } )+t(8\hat { i } +4\hat { j } -3\hat { k } )\), t ∈ R
Therefore, Cartesian equations of the required straight line are given by
\(\frac { x-4 }{ 8 } =\frac { y-2 }{ 4 } =\frac { z+3 }{ -3 } \)

Given \(\vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } \) and \(\vec { d } \) are co-planar vectors.
\((\vec { a } \times \vec { b } )\times (\vec { c } \times \vec { d } )=[\vec { a } \vec { b } \vec { d } ]\vec { c } -[\vec { a } \vec { b } \vec { c } ]\vec { d } \)...(1)
If \(\vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } \) and \(\vec { d } \) are coplanar vectors then \(\vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } \) are coplanar or \(\vec { a } ,\vec { b } ,\vec { d } \) are also coplanar.
∴ \([\vec { a } \vec { b } \vec { c } ]\) = 0  [∵ They are coplanar]
Also \([\vec { a } \vec { b } \vec { c } ]\)  [∵ they are coplanar]
Substituting these values in (1) we get,
\((\vec { a } \times \vec { b } )\times (\vec { c } \times \vec { d } )=0(\vec { c } )-0(\vec { d } )=\vec { 0 } \)
∴ \((\vec { a } \times \vec { b } )\times (\vec { c } \times \vec { d } )=\vec { 0 } \).

LHS = \([\vec { a } -\vec { b } ,\vec { b } -\vec { c } ,\vec { c } -\vec { a } ]\) = 0
[∵ cross product is distributive]
\((\vec { a } -\vec { b } ).[(\vec { b } -\vec { c } )\times (\vec { c } -\vec { a } )]\)
= \((\vec { a } -\vec { b } ).[(\vec { b } \times \vec { c } -\vec { b } \times \vec { a } -\vec { c } \times \vec { c } +\vec { c } \times \vec { a } )\)
= \((\vec { a } -\vec { b } ).[\vec { b } \times \vec { c } -\vec { b } \times \vec { a } -0+\vec { c } \times \vec { a } ]\)
\([\because \vec { c } \times \vec { c } =0]\)
= \([\vec { a } \vec { b } \vec { c } ]-[\vec { a } \vec { b } \vec { a } ]+[\vec { a } \vec { c } \vec { a } ]-[\vec { b } \vec { b } \vec { c } ]+[\vec { b } \vec { b } \vec { a } ]-[\vec { b } \vec { c } \vec { a } ]\)
= \([\vec { a } \vec { b } \vec { c } ]-0+0-0+0-[\vec { b } \vec { c } \vec { a } ]\)
= \([\because [\vec { a } \vec { b } \vec { a } ]=[\vec { b } \vec { b } \vec { c } ]=0]\)
= \([\vec { a } \vec { b } \vec { c } ]-[\vec { a } \vec { b } \vec { c } ]\)
= 0 = RHS.

  \(|\vec { c } |\) = 1 and \(\vec { c } \bot \vec { a } \) & \(\vec { b } \)
Also, angle between \(\vec { a } \) and \(\vec { b } \) is \(\frac { \pi }{ 6 } \)
Consider \([\vec { a } \vec { b } \vec { c } ]=\vec { a } .(\vec { b } \times \vec { c } )\)
= \((\vec { a } \times \vec { b } ).\vec { c } \)
[∵ angle between \(\vec { a } \) and \(\vec { b } \) is \(\frac { \pi }{ 6 } \). \(\vec { c } \) 丄 both a & b]
= \(|\vec { a } ||\vec { b } |sin\frac { \pi }{ 6 } .\vec { c } .\vec { c } \)
= \(|\vec { a } ||\vec { b } |.\frac { 1 }{ 2 } \)(1)
= \(|\vec { a } ||\vec { b } |.\frac { 1 }{ 2 } \) [∵ \(\vec { c } .\vec { c } \) = 1]
∴ \([\vec { a } \vec { b } \vec { c } ]^{ 2 }=|\vec { a } |^{ 2 }|\vec { b } |^{ 2 }.\frac { 1 }{ 4 } =\frac { 1 }{ 4 } |\vec { a } |^{ 2 }|\vec { b } |^{ 2 }\).

Let \(\vec { { F }_{ 1 } } \) and \(\vec { { F }_{ 2 } } \) be the two forces given
Given \(|\vec { { F }_{ 1 } } |=5\sqrt { 2 } \) and its direction is along \(3\hat { i } +4\hat { j } +5\hat { k } \)
∴ \(\vec { { F }_{ 1 } } =5\sqrt { 2 } \) (unit vector of \(3\hat { i } +4\hat { j } +5\hat { k } \))
= \(5\sqrt { 2 } \frac { (3\hat { i } +4\hat { j } +5\hat { k } ) }{ \sqrt { { 3 }^{ 2 }+{ 4 }^{ 2 }+{ 5 }^{ 2 } } } \)   \(\left[ \because \hat { n } =\frac { \vec { n } }{ |\vec { n } | } \right] \)
= \(5\sqrt { 2 } \frac { (3\hat { i } +4\hat { j } +5\hat { k } ) }{ \sqrt { 9+16+25 } } =\frac { 5\sqrt { 2 } (3\hat { i } +4\hat { j } +5\hat { k } ) }{ 5\sqrt { 2 } } \)
= \(3\hat { i } +4\hat { j } +5\hat { k } \)
and  \(\vec { { F }_{ 2 } } =10\sqrt { 2 } \) (unit vector of \(10\hat { i } +6\hat { j } -8\hat { k } \))
= \(10\sqrt { 2 } \frac { (10\hat { i } +6\hat { j } -8\hat { k } ) }{ \sqrt { { 10 }^{ 2 }+{ 6 }^{ 2 }+(-8)^{ 2 } } } \)
\(=\frac{10 \sqrt{\not 2}(10 \hat{i}+6 \hat{j}-8 \hat{k})}{10 \sqrt\not {2}}\)
= \(10\hat { i } +6\hat { j } -8\hat { k } \)
∴ Resistant force \(\vec { F } =\vec { { F }_{ 1 } } +\vec { { F }_{ 2 } } \)
=\((3\hat { i } +4\hat { j } +5\hat { k } )+(10\hat { i } +6\hat { j } -8\hat { k } )\)
\(\vec { F } =13\hat { i } +10\hat { j } -3\hat { k } \)
\(\hat { d } \) = displacement to the point - displacement from the point
= \((6\hat { i } +\hat { j } -3\hat { k } )-(4\hat { i } -3\hat { j } -2\hat { k } )\)
= \(2\hat { i } +4\hat { j } -\hat { k } \)
∴ Work done
w = \(\vec { F } .\vec { d } =(13\hat { i } +10\hat { j } -3\hat { k } ).(2\hat { i } +4\hat { j } -\hat { k } )\)
w = 13(2) + 10(4) - 3(-1) = 26 + 40 + 3
w = 69 units.

  
Vector area of quadrilateral ABCD
= vector area of ΔABC + vector area of ΔACD
\(\frac { 1 }{ 2 } (\vec { AB } \times \vec { AC } )+\frac { 1 }{ 2 } (\vec { AC } \times \vec { AD } )\)
= \(-\frac { 1 }{ 2 } (\vec { AC } \times \vec { AB } )+\frac { 1 }{ 2 } (\vec { AC } \times \vec { AD } )\)
\(\left[ \because \ \vec { b } \times \vec { a } =-(\vec { a } \times \vec { b } ) \right] \)
= \(\frac { 1 }{ 2 } \vec { AC } \times (-\vec { AB } +\vec { AD } )\)
= \(\frac { 1 }{ 2 } \vec { AC } \times (\vec { BA } +\vec { AD } )\)  \([\because \vec { AB } =-\vec { BA } ]\)
= \(\frac { 1 }{ 2 } \vec { AC } \times \vec { BD } \) [By Δ law of addition]
∴ Area of the quadrilateral ABCD = \(\frac { 1 }{ 2 } \vec { AC } \times \vec { BD } \)

Let OACB be a rhombus. Taking O as the origin, let the position vectors of A and B be \(\vec { a } \) and \(\vec { b } \) respectively.
Then \(\vec { OA } =\vec { a } \) and \(\vec { OB } =\vec { b } \)  [∵ \(\vec { AC } =\vec { OB } \)]
So, the p.v. of C is \(\vec { a } +\vec { b } \)
∴ Position vector O f the miid-point of OC is \(\frac { \vec { a } +\vec { b } }{ 2 } \)
Similarly, the position vector of mid-point of AB is \(\frac { \vec { a } +\vec { b } }{ 2 } \).
Hence, the mid-point of OC coincides with the mid-point of AB.
Now, \(\vec { OC } .\vec { AB } =(\vec { a } +\vec { b } ).(\vec { b } -\vec { a } )=|\vec { b } |^{ 2 }-|\vec { a } |^{ 2 }\)
= OB²- OA² = 0   [∵ OB = OA]
⇒ \(\vec { OC } \bot \vec { AB } \).
Hence, the diagonals of a rhombus bisect each other at right angles.

Let \(\vec { a } ={ a }_{ 1 }\hat { i } +{ a }_{ 2 }\hat { j } +{ a }_{ 3 }\hat { k } \)
∴ LHS = \(\hat { i } \times (\vec { a } \times \hat { i } )+\hat { j } \times (\vec { a } \times \hat { j } )+\hat { k } \times \vec { a } \times \hat { k }\)
\((\hat { i }. \hat { i } )\vec { a } -(\hat { i } .\hat { a } )\hat { i } +(\hat { j } .\hat { j } )\vec { a } -(\hat { j } .\vec { a } )\hat { j } +(\hat { k } .\hat { k } )\vec { a } -(\hat { k } .\vec { a } )\hat { k } \)
\([\because \vec { a } \times (\vec { b } \times \vec { c } )=(\vec { a } .\vec { c } )\vec { b } -(\vec { a } .\vec { b } )\vec { c } ]\)
\(1.\vec { a } -{ a }_{ 1 }\hat { i } +1.\vec { a } -{ a }_{ 2 }\hat { j } +1.\vec { a } -{ a }_{ 3 }\hat { k } ]\)
\([\because \hat { i } .\hat { i } =\hat { j } .\hat { j } =\hat { k } .\hat { k } =1\)and
\(\hat { i } \vec { a } =\hat { i } ({ a }_{ 1 }\hat { i } +{ a }_{ 2 }\hat { j } +{ a }_{ 3 }\hat { k } )={ a }_{ 1 }\hat { j } .\vec { a } ={ a }_{ 2 }\quad \hat { k } .\vec { a } ={ a }_{ 3 }\)
\(3\vec { a } -({ a }_{ 1 }\hat { i } +{ a }_{ 2 }\hat { j } +{ a }_{ 3 }\hat { k } )\)
= \(3\vec { a } -\vec { a } =2\vec { a } \)
= RHS .
∴ LHS = RHS. Hence proved