Given \(\overset { \rightarrow }{ a } .\overset { \rightarrow }{ b } =\overset { \rightarrow }{ a } .\overset { \rightarrow }{ c } =0\)] ⇒ \(\overset { \rightarrow }{ a } \) 丄 \(\overset { \rightarrow }{ b } \)and \(\overset { \rightarrow }{ a } \)丄 \(\overset { \rightarrow }{ c } \) 
⇒ \(\overset { \rightarrow }{ a } \) 丄^r to the plane containing \(\overset { \rightarrow }{ b } \)and \(\overset { \rightarrow }{ c } \) 
Also, \(\overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ c } =\left| \overset { \rightarrow }{ b } \right| \left| \overset { \rightarrow }{ c } \right| \) Since \(\overset { \wedge }{ n } \) [where θ is the angle between \(\overset { \rightarrow }{ b } \)and \(\overset { \rightarrow }{ c } \)]
= 1 \(\times\) 1. sin \(\frac { \pi }{ 6 } \).\(\overset { \rightarrow }{ a } \)
[Since \(\overset { \rightarrow }{ b } \) and \(\overset { \rightarrow }{ c } \) are unit vectors \(\overset { \rightarrow }{ a } \) 丄 both \(\overset { \rightarrow }{ b } \)and \(\overset { \rightarrow }{ c } \)  \(\overset { \rightarrow }{ { n } } \) = \(\overset { \rightarrow }{ a } \)]
\(=\frac { 1 }{ 2 } \overset { \rightarrow }{ a } \)
\( \overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ c } =\frac { 1 }{ 2 } \overset { \rightarrow }{ a } \)
\(\Rightarrow \overset { \rightarrow }{ a } =\pm 2\left( \overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ c } \right) \)

The planes \(\overset { \rightarrow }{ r } .\overset { \rightarrow }{ { n }_{ 1 } } ={ d }_{ 1 }\) and \(\overset { \rightarrow }{ r } .\overset { \rightarrow }{ { n }_{ 2 } } ={ d }_{ 2 }\) are perpendicular if \(\overset { \rightarrow }{ { n }_{ 1 } } .\overset { \rightarrow }{ { n }_{ 2 } } =0\)
Here \(\overset { \rightarrow }{ { n }_{ 1 } } =\overset { \wedge }{ i } +2\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } \) and \(\overset { \rightarrow }{ { n }_{ 2 } } =\lambda \overset { \wedge }{ i } +2\overset { \wedge }{ j } -7\overset { \wedge }{ k } \)
\(\therefore \overset { \rightarrow }{ { n }_{ 1 } } .\overset { \rightarrow }{ { n }_{ 2 } } =\left( \overset { \wedge }{ i } +2\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } \right) .\left( \lambda \overset { \wedge }{ i } +2\overset { \wedge }{ j } -7\overset { \wedge }{ k } \right) =0\)
⇒ λ + 4 - 21 = 0
⇒ λ - 17 = 0
⇒ λ = 17

The parametric form of vector equation of a line passing through a point \(\left( \overset { \rightarrow }{ a } \right) \) and parallel to \(\overset { \rightarrow }{ b } \) is
\({ \overset { \rightarrow }{ r } }=\overset { \rightarrow }{ a } +t\overset { \rightarrow }{ b } \), t ∈ R
⇒ Here \(\overset { \rightarrow }{ a } =2\overset { \wedge }{ i } -\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } \) and \(\overset { \rightarrow }{ b } =2\overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } -2\overset { \wedge }{ k } \)
\(\therefore { \overset { \rightarrow }{ r } }=\left( 2\overset { \wedge }{ i } -\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } \right) +t\left( 2\overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } -2\overset { \wedge }{ k } \right) \), t ∈ R which is the required equation of a line.

Let \(\overset { \rightarrow }{ F } \) be the resultant of given forces. 
\(\overset { \rightarrow }{ F } =\left( 2\overset { \wedge }{ i } +7\overset { \wedge }{ j } \right) +\left( 2\overset { \wedge }{ i } -5\overset { \wedge }{ j } +6\overset { \wedge }{ k } \right) +\left( -\overset { \wedge }{ i } +2\overset { \wedge }{ j } -3\overset { \wedge }{ k } \right) \)
\(=3\overset { \wedge }{ i } +4\overset { \wedge }{ j } +5\overset { \wedge }{ k } \)
\(\overset { \rightarrow }{ r } \)= P. V od P - P. V. of Q
\(=\left( 4\overset { \wedge }{ i } -3\overset { \wedge }{ j } +2\overset { \wedge }{ k } \right) -\left( 6\overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } -3\overset { \wedge }{ k } \right) \)
\(=-2\overset { \wedge }{ i } -4\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \)
\(\therefore \tau =\overset { \rightarrow }{ r } \times \overset { \rightarrow }{ F } =\left| \begin{matrix} \overset { \wedge }{ i } \\ 3 \\ -2 \end{matrix}\begin{matrix} \overset { \wedge }{ j } \\ 4 \\ -4 \end{matrix}\begin{matrix} \overset { \wedge }{ k } \\ 5 \\ 1 \end{matrix} \right| \)
\(=\overset { \wedge }{ i } (-20-4)-\overset { \wedge }{ j } (-10-3)+\overset { \wedge }{ k } (-8+12)\)
\(=-24\overset { \wedge }{ i } +13\overset { \wedge }{ j } +4\overset { \wedge }{ k } \)

\(\overset { \rightarrow }{ F } =\frac { 6\left( \overset { \wedge }{ 2i } -2\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \right) }{ \sqrt { 4+4+1 } } =\frac { 6 }{ 3 } \left( \overset { \wedge }{ 2i } -2\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \right) =\overset { \wedge }{ 4i } -4\overset { \wedge }{ j } +2\overset { \wedge }{ k } \)
\(\overset { \rightarrow }{ d } \) = (5, 3, 7) - (1, 2, 3) = (4, 1, 4) =\(\overset { \wedge }{ 4i } +\overset { \wedge }{ j } +4\overset { \wedge }{ k } \)
∴ Work done (w)
= \(\overset { \rightarrow }{ F } .\overset { \rightarrow }{ d } =\left( \overset { \wedge }{ 4i } -4\overset { \wedge }{ j } +2\overset { \wedge }{ k } \right) .\left( \overset { \wedge }{ 4i } +\overset { \wedge }{ j } +4\overset { \wedge }{ k } \right) \)
= 16 - 4 + 8 = 20 units