Given \(\overset { \rightarrow }{ OA } =6\overset { \wedge }{ i } -7\overset { \wedge }{ j } ,\overset { \rightarrow }{ OB } =16\overset { \wedge }{ i } -29\overset { \wedge }{ j } -4\overset { \wedge }{ k } ,\overset { \rightarrow }{ OC } =3\overset { \wedge }{ i } -6\overset { \wedge }{ j } \) and \(\overset { \rightarrow }{ OD } =2\overset { \wedge }{ i } +5\overset { \wedge }{ j } +10\overset { \wedge }{ k } \)
\(\overset { \rightarrow }{ AB } =\overset { \rightarrow }{ OB } -\overset { \rightarrow }{ OA } =10\overset { \wedge }{ i } -22\overset { \wedge }{ j } -4\overset { \wedge }{ k } \)
\(\overset { \rightarrow }{ AC } =\overset { \rightarrow }{ OC } -\overset { \rightarrow }{ OA } =-6\overset { \wedge }{ i } +10\overset { \wedge }{ j } -6\overset { \wedge }{ k } \)
\(\overset { \rightarrow }{ AD } =\overset { \rightarrow }{ OD } -\overset { \rightarrow }{ OA } =-4\overset { \wedge }{ i } +12\overset { \wedge }{ j } +10\overset { \wedge }{ k } \)
\(\therefore \left[ \overset { \rightarrow }{ AB } \overset { \rightarrow }{ AC } \overset { \rightarrow }{ AD } \right] =\left| \begin{matrix} 10 \\ -6 \\ -4 \end{matrix}\begin{matrix} -22 \\ -10 \\ 12 \end{matrix}\begin{matrix} -4 \\ -6 \\ 10 \end{matrix} \right| \)
= 10 (100 + 75) + 22(-60 -24) -4(-72 +40)
= 1720 - 1848 + 128 = 0
Hence , the given points are coplanar.

Let AOB be right angled triangle, right angled at O.
Take O as origin.
Then \(\overset { \rightarrow }{ OA } =\overset { \rightarrow }{ a } ,\overset { \rightarrow }{ OB } =\overset { \rightarrow }{ b } \)
\(\therefore \overset { \rightarrow }{ AB } =\overset { \rightarrow }{ OB } -\overset { \rightarrow }{ OA } =\overset { \rightarrow }{ b } -\overset { \rightarrow }{ a } \)
\(\therefore \overset { \rightarrow }{ OA } \bot \overset { \rightarrow }{ OA } =\overset { \rightarrow }{ a } \bot \overset { \rightarrow }{ b } \Rightarrow \overset { \rightarrow }{ a } .\overset { \rightarrow }{ b } =0\)
\(\therefore { AB }^{ 2 }={ \left| \overset { \rightarrow }{ AB } \right| }^{ 2 }=\overset { \rightarrow }{ AB } .\overset { \rightarrow }{ AB } \)
\(=0=\left( \overset { \rightarrow }{ b } -\overset { \rightarrow }{ a } \right) .\left( \overset { \rightarrow }{ b } -\overset { \rightarrow }{ a } \right) \)
\(=\overset { \rightarrow }{ b } .\overset { \rightarrow }{ b } -\overset { \rightarrow }{ b } .\overset { \rightarrow }{ a } -\overset { \rightarrow }{ a } .\overset { \rightarrow }{ b } +\overset { \rightarrow }{ a } .\overset { \rightarrow }{ a } \)
\(={ \left| \overset { \rightarrow }{ b } \right| }^{ 2 }-2\overset { \rightarrow }{ a } .\overset { \rightarrow }{ b } +{ \left| \overset { \rightarrow }{ a } \right| }^{ 2 }\)
= OB² - 0 + OA²    \(\left[ \because \overset { \rightarrow }{ a } .\overset { \rightarrow }{ b } =0 \right] \)
⇒ AB² = OA² + OB²
Hence the Pythagoras theorem

\(\overset { \rightarrow }{ a } -\overset { \rightarrow }{ b } \)= \(\overset { \rightarrow }{ a } -\overset { \rightarrow }{ b } =\left( \overset { \wedge }{ i } -\overset { \wedge }{ j } \right) -\left( \overset { \wedge }{ j } -\overset { \wedge }{ k } \right) =\left( \overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ k } \right) \)
\(\overset { \rightarrow }{ b } -\overset { \rightarrow }{ c } =\left( \overset { \wedge }{ j } -\overset { \wedge }{ k } \right) -\left( \overset { \wedge }{ k } -\overset { \wedge }{ i } \right) =\overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } -2\overset { \wedge }{ k } \)
\(\overset { \rightarrow }{ c } -\overset { \rightarrow }{ a } =\left( \overset { \wedge }{ k } -\overset { \wedge }{ i } \right) -\left( \overset { \wedge }{ i } -\overset { \wedge }{ j } \right) =-2\overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \)
\(\therefore \left[ \overset { \rightarrow }{ a } -\overset { \rightarrow }{ b } ,\overset { \rightarrow }{ b } -\overset { \rightarrow }{ c } ,\overset { \rightarrow }{ c } -\overset { \rightarrow }{ a } \right] =\left| \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{matrix} \right| \)
= 1 ( 1 + 2) + 0 + 1( 1+ 2)
= 3 + 3 = 6

The equation of the requir d plane through the intersection of the given plane is
(2x - 3y + z - 4) + λ (x- y + z + 1) = 0      (1)
⇒ (2 + λ) x - (3 + λ) y + (1 + λ) z - 4 + λ = 0
Since this plane perpendicular to x + 2y - 3z + 6 - 0,
We have 1(2 + λ) - 2(3 + λ) - 3(1 + λ)= 0
⇒ 2 + λ - 6 - 2λ - 3 - 3λ = 0
⇒ -4λ - y = 0
⇒ \(\lambda =\frac { 7 }{ 4 } \)
Substituting \(\lambda =\frac { 7 }{ 4 } \) in (1) we get,
(2x - 3y + z - 4) - \(\frac { -7 }{ 4 } \) (x - y + z + 1) = 0
⇒ 4 (2x - 3y + z -4) -7 (x - y + z + 1) = 0
⇒ x - 5y - 3z - 23 = 0 which is the equation of the required plane.

Let \(\overset { \rightarrow }{ a } =\overset { \wedge }{ 3i } -5\overset { \wedge }{ k } ,\overset { \rightarrow }{ b } =2\overset { \wedge }{ i } +7\overset { \wedge }{ j } \) and \(\overset { \rightarrow }{ c } =\overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \)
Let the required vector be \(\overset { \rightarrow }{ r } =x\overset { \wedge }{ i } +y\overset { \wedge }{ j } +z\overset { \wedge }{ k } \)
Given \(\overset { \rightarrow }{ r } .\overset { \rightarrow }{ a } =-1\)
\(\Rightarrow \left( x\overset { \wedge }{ i } +y\overset { \wedge }{ j } +z\overset { \wedge }{ k } \right) .\left( \overset { \wedge }{ 3i } -5\overset { \wedge }{ k } \right) =-1\)
⇒ 3x - 5z = -1     (1)
\(\overset { \rightarrow }{ r } .\overset { \rightarrow }{ b } =6\)
\(\Rightarrow \left( x\overset { \wedge }{ i } +y\overset { \wedge }{ j } +z\overset { \wedge }{ k } \right) .\left( 2\overset { \wedge }{ i } +7\overset { \wedge }{ j } \right) \)= 2x + 7y = 6       (2)
\(\overset { \rightarrow }{ r } .\overset { \rightarrow }{ i } =5\)
\(\Rightarrow \left( x\overset { \wedge }{ i } +y\overset { \wedge }{ j } +z\overset { \wedge }{ k } \right) .\left( \overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \right) \)= x + y + z = 5   (3)
Solving (1), (2) and (3) we get
x = 3, y = 0 and z = 2.
\(\therefore \overset { \rightarrow }{ r } =\overset { \wedge }{ 3i } +2\overset { \wedge }{ k } \)