A=\(\left[ \begin{matrix} 3 & -1 & 1 \\ -15 & 6 & -5 \\ 5 & -2 & 2 \end{matrix} \right] \) என்க 
இங்கு \(|A|=\begin{vmatrix} 6 & -5 \\ -2 & 2 \end{vmatrix}+1\begin{vmatrix} -15 & -5 \\ 5 & 2 \end{vmatrix}+1\begin{vmatrix} -15 & 6 \\ 5 & -2 \end{vmatrix}\)
=3(12-10)+1(-30+25)+1(30-30)
=3(2)+1(-5)+0=6-5=1≠0
∴ A-ன் தரம் என்பது 3.

இங்கு மதிப்பிடப்பட வேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை 3.
தொகுப்பின் அணி வடிவம் AX = B, இங்கு
A = \(\left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & -2 & 2 \\ 3 & -3 & 3 \end{matrix} \right] ,X=\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] \) மற்றும் B =\(\left[ \begin{matrix} -9 \\ -18 \\ -27 \end{matrix} \right] \)
[A|B] என்ற விரிவுபடுத்தப்பட்டஅணியில் தொடக்கநிலை நிரைச் செயலிகளைப் பயன்படுத்தக் கிடைப்பது
[A|B]  = \(\left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & -2 & 2 \\ 3 & -3 & 3 \end{matrix}|\begin{matrix} -9 \\ -18 \\ -27 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-2{ R }_{ 1 },\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-3{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}|\begin{matrix} -9 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
எனவே  ρ(A) = ρ([A|B]) =  1 < 3
ஏறுபடி வடிவத்திலுள்ள அணியிலிருந்து கிடைக்கும் சமான சமன்பாடுகளின் தொகுப்பானது x - y + z = - 9, 0 = 0 =, 0 = 0
முரண்பாடான முடிவுகள் கிடைக்கப் பெறாமையினால், தரப்பட்டத் தொகுப்பு  பொருத்தமுடையது. இங்கு ஒரு வெளிப்படையற்ற சமன்பாடு மட்டுமே உள்ளது மற்றும் தொகுப்பிற்கு 3 மாறிகள் உள்ளன
y = s, z = t என தன்னிச்சையாக எடுத்துக்கொள்ள நமக்குக் கிடைப்பது x - s + t = -9; அல்லது x = -9 + s - t.
எனவே தீர்வானது (x = -9 + s - t, y = s, z = t), இங்கு s மற்றும் t என்பன மெய்யெண்  சாராமாறிகள் (parameters).
மேல் உள்ள தீர்வுக்கணம் இரு சாராமாறிக் குடும்பத் தீர்வுகளாக அமைகின்றன.
இங்கு தொகுப்பானது ஒருங்கமைவு உடையது மற்றும் எண்ணற்ற தீர்வுகளைப் பெற்றுள்ளது. இத்தீர்வுகள், இரு சாராமாறிக் குடும்பத் தீர்வுகளாக இருக்கின்றன.

தொகுப்பின் அணி வடிவம் AX =  B, இங்கு A =\(\left[ \begin{matrix} 5 & 2 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right] ,X=\left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right] ,B=\left[ \begin{matrix} 3 \\ 5 \end{matrix} \right] \)
|A| = \(\left| \begin{matrix} 5 & 2 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right| \) = 10-6 = 4 ≠ 0. எனவே A^-1 காண இயலும். மற்றும் A^-1 = \(\frac { 1 }{ 4 } \left[ \begin{matrix} 2 & -2 \\ -3 & 5 \end{matrix} \right] \)
X = A^-1B என்ற சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தக் கிடைப்பது
\(\left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 4 } \left[ \begin{matrix} 2 & -2 \\ -3 & 5 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 3 \\ 5 \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 4 } \left[ \begin{matrix} 6-10 \\ -9+25 \end{matrix} \right] =\frac {1}{4}\left[ \begin{matrix} -4 \\ 16 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} \frac { -4 }{ 4 } \\ \frac { 16 }{ 4 } \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} -1 \\ 4 \end{matrix} \right] \)
எனவே தீர்வானது (x = -1, y = 4)

A என்பது சமச்சீர் அணி என்க. எனவே A^T = A மற்றும் adj a (λ A) = λ^{n −1}adj(A) λ என்பது பூச்சியமற்ற திசையிலி இன் படி கிடைப்பது 
adj(A^T) = (adj A)^T ⇒ adj A = (adj A)^T ⇒ adj A ஆனது சமச்சீராகும்.

முதலில் சேர்ப்பு அணி காண்போம்.
வரையறைப்படி, adj A = \(\left[ \begin{matrix} +M_{ 11 } & { -M }_{ 12 } \\ -{ M }_{ 21 } & +{ M }_{ 22 } \end{matrix} \right] ^{ T }=\left[ \begin{matrix} d & -c \\ -b & a \end{matrix} \right] ^{ T }=\left[ \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right] \)
A ஆனது பூச்சியமற்றக் கோவை அணி, எனவே |A| = ad-bc ≠ 0.
A^-1 = \(\frac { 1 }{ |A| } \) adj A, என்பதால் A^-1 = \(\frac { 1 }{ ad-bc } \left[ \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right] \)

விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியில் தொடக்கநிலை நிரை செயலிகள் பயன்படுத்தக் கிடைப்பது.
\([A|B]=\left[ \begin{matrix} 2 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & -2 \\ 3 & 1 & 3 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 1 }\leftrightarrow { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & -2 \\ 2 & 3 & -1 \\ 3 & 1 & 3 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-{ 2R }_{ 1 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-{ 3R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & -2 \\ 0 & 5 & 3 \\ 0 & 4 & 9 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-\frac { 4 }{ 5 } { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & -2 \\ 0 & 5 & 3 \\ 0 & 0 & \frac { 33 }{ 5 } \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
இங்குρ(A)=3 மற்றும் ρ([A|0])=3
∴ ρ(A)=ρ([A|0])=3= மதிப்பிட வேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை 
ஆகையால் தொகுப்பு ஒருங்கமைவுடன் ஒரே ஒரு தீர்வை கொண்டிருக்கும்.
ஆகையால் தொகுப்பு வெளிப்படை தீர்வை மட்டும் கொண்டிருக்கும்.

5x − 2y +16 = 0, x + 3y − 7 = 0
கொடுக்கப்பட்ட \(\Delta =\left| \begin{matrix} 5 & -2 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right| =15+2=17\)
\({ \Delta }_{ 1 }=\left| \begin{matrix} -16 & -2 \\ 7 & 3 \end{matrix} \right| =-48+14=-34\)
\({ \Delta }_{ 2 }=\left| \begin{matrix} 5 & -16 \\ 1 & 7 \end{matrix} \right| =35+16=51\)
\(\therefore x=\frac { { \Delta }_{ 1 } }{ \Delta } =\frac { -34 }{ 17 } =-2\)
\(y=\frac { { \Delta }_{ 2 } }{ \Delta } =\frac { 51 }{ 17 } =3\)
∴ தீர்வுக் கணம் {-2,3}

A = \(\left[ \begin{matrix} 5 & 3 \\ -1 & -2 \end{matrix} \right] \)
\({ A }^{ 2 }= A \times A =\left[ \begin{matrix} 5 & 3 \\ -1 & -2 \end{matrix} \right] \begin{bmatrix} 5 & 3 \\ -1 & -2 \end{bmatrix}=\left[ \begin{matrix} 25-3 & 15-6 \\ -5+2 & -3+4 \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} 22 & 9 \\ -3 & 1 \end{matrix} \right] \)
-3A = \(-3\left[ \begin{matrix} 5 & 3 \\ -1 & -2 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} -15 & -9 \\ 3 & 6 \end{matrix} \right] \)
-7I₂ = \(-7\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 & 0 \\ 0 & -7 \end{bmatrix}\)
\(\therefore { A }^{ 2 }-3A-{ 7I }_{ 2 }\)
\(=\begin{bmatrix} 22 & 9 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}-3\left[ \begin{matrix} 5 & 3 \\ -1 & -2 \end{matrix} \right] -7\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)
\(=\left[ \begin{matrix} 22-15-7 & 9-9+0 \\ -3+3+0 & 1+6-7 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right] ={ O }_{ 2 }\)
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.
\(\therefore { A }^{ 2 }-3A-{ 7I }_{ 2 }=0\)
பின்புறமாக A^-1 ஆல் பெருக்க கிடைப்பது,
A².A^-1-3AA^-1-7I₂A^-1=0.A^-1
⇒ A(AA^-1)-3(AA^-1)-7(A^-1) = 0
[∵I₂A^-1 = A^-1 மற்றும் |(0)A^-1 = 0]
⇒ AI-3I-7A^-1 = 0 [ ∵ AA^-1 = I]
⇒ AI-3I = 7A-1
⇒A^-1 = \(\frac{1}{7}[A-3I]\) [∵ AI = A]
\(\Rightarrow { A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ 7 } =\left[ \left[ \begin{matrix} 5 & 3 \\ -1 & -2 \end{matrix} \right] -3\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \right] \)
\(\Rightarrow { A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ 7 } \begin{bmatrix} 5-3 & 3-0 \\ -1-0 & -2-3 \end{bmatrix}=\frac { 1 }{ 7 } \left[ \begin{matrix} 2 & 3 \\ -1 & -5 \end{matrix} \right] \)
\(\therefore { A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ 7 } \left[ \begin{matrix} 2 & 3 \\ -1 & -5 \end{matrix} \right] \)

\(\left[ \begin{matrix} 0 \\ -1 \\ 4 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 6 \\ 5 \\ 0 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 1 }\leftrightarrow { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} -1 \\ 0 \\ 4 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 5 \\ 6 \\ 0 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }+4{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 8 \end{matrix}\begin{matrix} 5 \\ 6 \\ 20 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-\frac { 2 }{ 3 } { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ \frac { 22 }{ 3 } \end{matrix}\begin{matrix} 5 \\ 6 \\ 16 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { 3R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 22 \end{matrix}\begin{matrix} 5 \\ 6 \\ 48 \end{matrix} \right] \)

|A|=(2)(7)-(9)(1) = 14-9=5. எனவே, A^-1 =\(\frac { 1 }{ 5 } \left[ \begin{matrix} 7 & -9 \\ -1 & 2 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} \frac { 7 }{ 5 } & -\frac { 9 }{ 5 } \\ -\frac { 1 }{ 5 } & \frac { 2 }{ 5 } \end{matrix} \right] \)
எனவே, (A^-1)^T = \(\left[ \begin{matrix} \frac { 7 }{ 5 } & -\frac { 1 }{ 5 } \\ -\frac { 9 }{ 5 } & \frac { 2 }{ 5 } \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 5 } \left[ \begin{matrix} 7 & -1 \\ -9 & 2 \end{matrix} \right] \) ... (1)
A^T=\(\left[ \begin{matrix} 2 & 1 \\ 9 & 7 \end{matrix} \right] \)எனவே |A^T| =(2)(7)-(1)(9) = 5
(A^T)^-1 = \(\frac { 1 }{ 5 } \left[ \begin{matrix} 7 & -1 \\ -9 & 2 \end{matrix} \right] \)... (2)
(1) மற்றும் (2)-லிருந்து கிடைப்பது, (A^-1)^T =(A^T)^-1 எனவே கொடுத்துள்ள பண்பு சரிபார்க்கப்பட்டது.

ஒரு தோசையின் விலை ரூ.x என்க.
ஒரு இட்லியின் விலை ரூ. y என்க.
ஒரு வடையின் விலை ரூ.z என்க.
கொடுக்கப்பட்ட தரவின்படி, 
2x+3y+2z=150
2x+2y+4z=200
5x+4y+2z=250
\(\therefore \Delta =\left| \begin{matrix} 2 & 3 & 2 \\ 2 & 2 & 4 \\ 5 & 4 & 2 \end{matrix} \right| \)
\(=2\left| \begin{matrix} 2 & 4 \\ 4 & 2 \end{matrix} \right| -3\left| \begin{matrix} 2 & 4 \\ 5 & 2 \end{matrix} \right| +2\left| \begin{matrix} 2 & 2 \\ 5 & 4 \end{matrix} \right| \)
=2(4-16)-3(4-20)+2(8-10)
=2(-12)-3(-16)+2(-2)
=-24+48-4=20 ≠ 0 
\({ \Delta }_{ 1 }=\left| \begin{matrix} 150 & 3 & 2 \\ 200 & 2 & 4 \\ 250 & 4 & 2 \end{matrix} \right| \)
C₃ லிருந்து 50ஐ பொதுவில் எடுக்க கிடைப்பது 
\(=50\left| \begin{matrix} 3 & 3 & 1 \\ 4 & 2 & 2 \\ 5 & 4 & 1 \end{matrix} \right| \)
\(=50\left[ 3\left| \begin{matrix} 2 & 2 \\ 4 & 1 \end{matrix} \right| -3\left| \begin{matrix} 4 & 2 \\ 5 & 1 \end{matrix} \right| +1\left| \begin{matrix} 4 & 2 \\ 5 & 4 \end{matrix} \right| \right] \)
= 50[3(4 - 16) - 3(8 - 20) + 2(16 - 10)]
= 50[- 36 + 36 + 12] = 600
\({ \Delta }_{ 2 }=\left| \begin{matrix} 2 & 150 & 2 \\ 2 & 200 & 4 \\ 5 & 250 & 2 \end{matrix} \right| =50\left| \begin{matrix} 2 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 5 & 5 & 1 \end{matrix} \right| \)
\(=50\left[ \left| \begin{matrix} 4 & 2 \\ 5 & 1 \end{matrix} \right| -3\left| \begin{matrix} 2 & 2 \\ 5 & 1 \end{matrix} \right| +1\left| \begin{matrix} 2 & 4 \\ 5 & 5 \end{matrix} \right| \right] \)
= 50 [2(8-20)-3(4-20)+2(10-20)]
= 50[-24+48-20] = 200
\({ \Delta }_{ 3 }=\left| \begin{matrix} 2 & 3 & 150 \\ 2 & 2 & 200 \\ 5 & 4 & 250 \end{matrix} \right| =50\left| \begin{matrix} 2 & 3 & 3 \\ 2 & 2 & 4 \\ 5 & 4 & 5 \end{matrix} \right| \)
\(=50\left[ 2\left| \begin{matrix} 2 & 4 \\ 4 & 5 \end{matrix} \right| -3\left| \begin{matrix} 2 & 4 \\ 5 & 5 \end{matrix} \right| +3\left| \begin{matrix} 2 & 2 \\ 5 & 4 \end{matrix} \right| \right] \)
=50[2(10-16)-3(10-20)+3(8-10)]
=50[2(-6)-3(-10)+3(-2)]
=50[-12+30-6]=50[12]=600
\(\therefore x=\frac { { \Delta }_{ 1 } }{ \Delta } =\frac { 600 }{ 20 } =30\)
\(y=\frac { { \Delta }_{ 2 } }{ \Delta } =\frac { 200 }{ 20 } =10\)
\(z=\frac { { \Delta }_{ 3 } }{ \Delta } =\frac { 600 }{ 20 } =30\)
ஆகையால் ஒரு தோசையின் விலை ரூ.30, ஒரு இட்லியின் விலை ரூ. 10 மற்றும் 1 வடையின் விலை ரூ.30.
மேலும் 3 தோசைகள், ஆறு இட்லிகள் மற்றும் 6 வடைகளின் விலை
=3x+6y+6z =3(30)+6(10)+6(30)
=90+60+180=ரூ.330
அக்குடும்பத்தினரிடம் ரூ.350 இருப்பதால் சாப்பிட்ட செலவிற்கான தொகையை அவர்களிடமிருந்த பணத்தைக் கொண்டு செலுத்த முடியும்.

(i) \(A=\left[ \begin{matrix} -3 & 4 \\ 6 & 2 \end{matrix} \right] \)= \(\left[\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right]\)என்க.
[ ∵ a₂₂, a₁₁ ஆகியவற்றை பரிமாற்றம் செய்க மற்றும் a₁₂, a₂₁ ஆகியவற்றை குறி மாற்றம் செய்க.]
adj A = \(\left[ \begin{matrix} 2 & -4 \\ -6 & -3 \end{matrix} \right] \)
(ii) A = \(\left[ \begin{matrix} 2 & 3 & 1 \\ 3 & 4 & 1 \\ 3 & 7 & 2 \end{matrix} \right] \)
adj A = \(\left( \begin{matrix} +\left| \begin{matrix} 4 & 1 \\ 7 & 2 \end{matrix} \right| \\ -\left| \begin{matrix} 3 & 1 \\ 7 & 2 \end{matrix} \right| \\ +\left| \begin{matrix} 3 & 1 \\ 4 & 1 \end{matrix} \right| \end{matrix}\begin{matrix} -\left| \begin{matrix} 3 & 1 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right| \\ +\left| \begin{matrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right| \\ -\left| \begin{matrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{matrix} \right| \end{matrix}\begin{matrix} +\left| \begin{matrix} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{matrix} \right| \\ -\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 3 & 7 \end{matrix} \right| \\ +\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{matrix} \right| \end{matrix} \right) ^{ T }\)
= \({ \left[ \begin{matrix} +(8-7) \\ -(6-7) \\ +(3-4) \end{matrix}\begin{matrix} -(6-3) \\ +(4-3) \\ -(2-3) \end{matrix}\begin{matrix} +(21-12) \\ -(14-9) \\ +(8-9) \end{matrix} \right] }^{ T }\)
= \({ \left[ \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} -3 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 9 \\ -5 \\ -1 \end{matrix} \right] }^{ T }\)
\(adj\ A=\left[ \begin{matrix} 1 \\ -3 \\ 9 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -5 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{matrix} \right] \)
(iii) \(A=\frac{1}{3}\left[\begin{array}{ccc} 2 & 2 & 1 \\ -2 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & 2 \end{array}\right]_{3 \times 3}\)
adj (kA) = k^n-1 adj A
\(=\operatorname{adj} \mathrm{A}=\left(\frac{1}{3}\right)^2{ \left[ \begin{matrix} +\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ -2 & 2 \end{matrix} \right| \\ -\left| \begin{matrix} 2 & 1 \\ -2 & 2 \end{matrix} \right| \\ +\left| \begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right| \end{matrix}\begin{matrix} -\left| \begin{matrix} -2 & 2 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right| \\ +\left| \begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right| \\ -\left| \begin{matrix} 2 & 1 \\ -2 & 2 \end{matrix} \right| \end{matrix}\begin{matrix} +\left| \begin{matrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{matrix} \right| \\ -\left| \begin{matrix} 2 & 2 \\ 1 & -2 \end{matrix} \right| \\ +\left| \begin{matrix} 2 & 2 \\ -2 & 1 \end{matrix} \right| \end{matrix} \right] }^{ T }\)
\(=\frac { 1 }{ 9 } { \left[ \begin{matrix} +(2+4) \\ -(4+2) \\ +(4-1) \end{matrix}\begin{matrix} -(-4-2) \\ +(4-1) \\ -(4+2) \end{matrix}\begin{matrix} +(4-1) \\ +(-4-2) \\ +(2+4) \end{matrix} \right] }^{ T }\)
\(=\frac { 1 }{ 9 } { \left[ \begin{matrix} 6 \\ -6 \\ 3 \end{matrix}\begin{matrix} 6 \\ 3 \\ -6 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 6 \\ 6 \end{matrix} \right] }^{ T }=\frac { 1 }{ 9 } { \left[ \begin{matrix} 6 \\ 6 \\ 3 \end{matrix}\begin{matrix} -6 \\ 3 \\ 6 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ -6 \\ 6 \end{matrix} \right] }\)
\(=\frac { 1 }{ 3 } \left[ \begin{matrix} 2 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & +2 & 2 \end{matrix} \right] \)

(i) A = \(\left[ \begin{matrix} 3 & 2 & 5 \\ 1 & 1 & 2 \\ 3 & 3 & 6 \end{matrix} \right] \) என்க. A ஆனது 3 x 3 வரிசையுடைய அணி. எனவே \(\rho \)(A) ≤ min{3,3} = 3
உச்ச சிற்றணிக்கோவையின் வரிசை 3.
A-விற்கு ஒரே ஒரு 3 வரிசையுடைய சிற்றணிக்கோவைதான் உண்டு. அதன் மதிப்பு
\(\left| \begin{matrix} 3 & 2 & 5 \\ 1 & 1 & 2 \\ 3 & 3 & 6 \end{matrix} \right| \) = 3(6-6)-2(6-6)+5(3-3) = 0. எனவே, \(\rho \)(A) < 3
அடுத்து 2 வரிசையுடைய சிற்றணிக்கோவை தேர்வு செய்வோம். அதில் ஒரு 2 வரிசையுடைய சிற்றணிக்கோவை \(\left| \begin{matrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right| \) = 3-2 = 1 ≠ 0. எனவே \(\rho \)(A) = 2.
(ii) A = \(\left[ \begin{matrix} 4 \\ -3 \\ 6 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ -1 \\ 7 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -2 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 4 \\ 2 \end{matrix} \right] \) என்க. A ஆனது 3 x 4 வரிசையுடைய அணி.
எனவே \(\rho \)(A) ≤ min{3, 4} = 3
உச்ச சிற்றணிக்கோவையின் வரிசை 3. அவை
\(\left| \begin{matrix} 4 & 3 & 1 \\ -3 & -1 & -2 \\ 6 & 7 & -1 \end{matrix} \right| =0;\left| \begin{matrix} 4 & 3 & -2 \\ -3 & -1 & 4 \\ 6 & 7 & 2 \end{matrix} \right| =0;\left| \begin{matrix} 4 & 1 & -2 \\ -3 & -2 & 4 \\ 6 & -1 & 2 \end{matrix} \right| =0;\left| \begin{matrix} 3 & 1 & -2 \\ -1 & -2 & 4 \\ 7 & -1 & 2 \end{matrix} \right| =0\)
எனவே, \(\rho \)(A) < 3 அடுத்து 2-ஆம் வரிசையின் பூச்சியமற்ற சிற்றணிக்கோவை ஏதேனும் ஒன்று A உள்ளதா எனப்பார்ப்போம். இது சாத்தியமாகும்.
ஏனெனில் \(\left| \begin{matrix} 4 & 3 \\ -3 & -1 \end{matrix} \right| \)= -4 + 9 = 5 ≠ 0
எனவே, \(\rho \)(A) = 2.

\(\lambda A^{-1} =A \)
\(\lambda I=A^2 =\left[\begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 5 & -2 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 5 & -2 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 4+15 & 6-6 \\ 10-10 & 15+4 \end{array}\right] \)
\(\lambda\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc} 19 & 0 \\ 0 & 19 \end{array}\right] \Rightarrow \lambda=19 \)

(A^TA^-1)^T = A^TA^-1
(A^-1)^T (A^T)^T =  A^TA^-1
(A^T)^-1 A = A^TA^-1
A^T(A^T)^-1AA = (A^T) A^T A^-1 A
(A^T மற்றும் A ஆல் முறையே முன்பெருக்கம் மற்றும் பின்பெருக்கம் செய்ய) A² = (A^T)²

\(|\operatorname{adj} \mathrm{A}| =|\mathrm{A}|^{\mathrm{n}-1} \)
\(1(-6+0)-x(-2) =4^2 \)
\(-6+2 x =16 \)
\(2 x=16+6 =22 \Rightarrow x=11\)

|A| = 14 - 12 = 2 ≠ 0
\( \text { adj } A=\left[\begin{array}{cc} 2 & -3 \\ -4 & 7 \end{array}\right] \)
\(A^{-1}=\frac{1}{|A|} \operatorname{adj} A\)
\(A^{-1}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc} 2 & -3 \\ -4 & 7 \end{array}\right]=2 A^{-1} = \left[\begin{array}{cc} 2 & -3 \\ -4 & 7 \end{array}\right]\)
\(\begin{aligned} & 9I-A=9\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]-\left[\begin{array}{ll} 7 & 3 \\ -4 & -3 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 9 & 0 \\ 0 & 9 \end{array}\right]-\left[\begin{array}{ll} 7 & 3 \\ 4 & 2 \end{array}\right] \end{aligned}\)
\(=\left[\begin{array}{cc} 2 & -3 \\ -4 & 7 \end{array}\right] = 2A^{-1}\)

AA^T = A^TA மற்றும் B=A^-1A^T
B^T = (A^-1A^T)^T = (A^T)^T (A^-1)^T=A (A^-1)^T
BB^T = (A^-1A^T) (A(A^-1)^T) = A^-1(A^TA)(A^-1)^T
= A^-1(AA^T) (A^-1)^T = (A^-1A) (A^T(A^T)^-1) = I₃