\(\Delta =\left| \begin{matrix} 6 & -7 \\ 9 & -5 \end{matrix} \right| =-30+63=33\)
\({ \Delta }_{ 1 }=\left| \begin{matrix} 16 & -7 \\ 35 & -5 \end{matrix} \right| =80+245=165\)
\({ \Delta }_{ 2 }=\left| \begin{matrix} 6 & 16 \\ 9 & 35 \end{matrix} \right| =210-144=66\)
\(\therefore x=\frac { { \Delta }_{ 1 } }{ \Delta } =\frac { 165 }{ 33 } =5\)
\(y=\frac { { \Delta }_{ 2 } }{ \Delta } =\frac { 66 }{ 33 } =2\)
∴ தீர்வு கணம் {6,2}

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு தொகுப்பிற்கான அணி வடிவம் 
\(\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 2 \\ 1 & -3 & -3 \\ 2 & 1 & k \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
AX=B இங்கு \(A=\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 2 \\ 1 & -3 & -3 \\ 2 & 1 & k \end{matrix} \right] \)
சமப்படித்தான் சமன்பாடுகளின் தொகுப்பிற்கு வெளிப்படையான தீர்வுகள் மட்டுமே உண்டெனில் |A|≠0
\(\therefore \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 2 \\ 1 & -3 & -3 \\ 2 & 1 & k \end{matrix} \right] \neq 0\)
R₁ மூலம் விரிவுபடுத்த 
\(\Rightarrow 1\left| \begin{matrix} -3 & -3 \\ 1 & k \end{matrix} \right| -2\left| \begin{matrix} 1 & -3 \\ 2 & k \end{matrix} \right| +2\left| \begin{matrix} 1 & -3 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right| \neq 0\)
⇒ 1(-3k+3)-2(k+6)+2(1+6)≠0
⇒ -3k+3-2k-12+14≠0
⇒-5k+5≠0
⇒-5k≠-5⇒k≠\(\frac{-5}{-5}=1\)
⇒ k≠1

\(A=\left[ \begin{matrix} 4 & 5 & -6 \\ 7 & -3 & 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 8 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-2{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 4 & 5 & -6 \\ -1 & -3 & 12 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 6 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 1 }\leftrightarrow { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} -1 & -3 & 12 \\ 4 & 5 & -6 \end{matrix}\begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 1 }+{ (-1) }R_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 13 & -12 \\ 4 & 5 & -6 \end{matrix}\begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-4{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 13 & -12 \\ 0 & -47 & 42 \end{matrix}\begin{matrix} -6 \\ 25 \end{matrix} \right] \)
சமான ஏறுபடி வடிவ அணியில் இரண்டு அபூச்சிய நிரைகள் உள்ளன.
∴ ρ(A)=2

கொடுக்கப்பட்ட A³=I ⇒|A³|=|I|
⇒ |A.A.A|=1
⇒ |A|.|A|.|A|=1
⇒ |A|³=1
∴ |A|≠0
எனவே, A ஒரு பூச்சியமற்ற கோவை அணி 

\(\left [ \begin{matrix} 2& 3\\ 1& 6\\ \end{matrix} \right ]\left [ \begin{matrix} x \\ y\\ \end{matrix} \right ]=\left [ \begin{matrix} 10\\ 4\\ \end{matrix} \right ]\)
\(\Delta =\left|\begin{matrix} 2& 3\\ 1& 6\\ \end{matrix} \right|\) = 12 - 3 = 9
\(\Delta_{x} =\left|\begin{matrix} 10& 3\\ 4& 6\\ \end{matrix} \right|\) = 60 - 12 = 48
\(\Delta_{y} =\left|\begin{matrix} 2& 10\\ 1& 4\\ \end{matrix} \right|\) = 8 - 10 = -2
\(x \Rightarrow \frac{\Delta x}{\Delta}=\frac{48}{9}=\frac{16}{3}\)
\(y\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta }=\frac{-2}{9}\)

A=\(\left[ \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ -6 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ -3 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \right] \)என்க 
A ஒரு (2 x 4) வரிசை அணி 
∴ρ(A) ≤ (2,4)-ன் மீச்சிறு=2
A-ன் பூச்சியமற்ற சிற்றணிக் கோவைகளின் உச்சவரிசை 2 ஆகும்.
அது \(\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 3 & -6 \end{vmatrix}=-6+6=0\)
\(\begin{vmatrix} -2 & -1 \\ -6 & -3 \end{vmatrix}=6-6=0\)
மேலும், \(\left| \begin{matrix} -1 & 0 \\ -3 & 1 \end{matrix} \right| =-1+0=-1\neq 0\)
\(\therefore \rho (A)=2\)

A=\(\left[ \begin{matrix} -1 \\ 4 \\ 3 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ -7 \\ -4 \end{matrix} \right] \)என்க.  
A ஒரு 3 x 2 வரிசை அணி 
∴ ρ(A)≤(2,2)-ன் மீச்சிறு =2
A-ன் பூச்சியமற்ற சிற்றணிக் கோவைகளின் உச்ச வரிசை 2 ஆகும்.
அது \(\left| \begin{matrix} -1 & 3 \\ 4 & -7 \end{matrix} \right| \)=7-12=-5≠0
∴ ρ(A)=2

A =\(\left[ \begin{matrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{matrix} \right] \)பின்பு, A^T = \(\left[ \begin{matrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{matrix} \right] ^{ T }=\left[ \begin{matrix} cos\theta & sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \end{matrix} \right] \)
எனவே
AA^T = \(\left[ \begin{matrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} cos\theta & sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \end{matrix} \right] \)
= \(\left[ \begin{matrix} { cos }^{ 2 }\theta +{ sin }^{ 2 }\theta & cos\theta sin\theta -sin\theta cos\theta \\ sin\theta cos\theta -cos\theta sin\theta & { sin }^{ 2 }\theta +{ cos }^{ 2 }\theta \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \) = I₂
இதேபோல் A^TA = I₂. எனவே AA^T = A^TA = I₂ ⇒ A ஆனது செங்குத்து அணியாகும்.

A என்பது சமச்சீர் அணி என்க. எனவே A^T = A மற்றும் adj a (λ A) = λ^{n −1}adj(A) λ என்பது பூச்சியமற்ற திசையிலி இன் படி கிடைப்பது 
adj(A^T) = (adj A)^T ⇒ adj A = (adj A)^T ⇒ adj A ஆனது சமச்சீராகும்.

A என்பது 2m+1 வரிசையுடைய பூச்சியமற்றக் கோவை அணி என்க. இங்கு m = 0,1,2, .... எனவே |A| ≠ 0 மற்றும் தேற்றம் |adj A| = |A|^{n - 1}இன் படி கிடைப்பது |adj A| = |A|^(2m+1)-1 = |A|^2m
|A|^2m என்பது எப்பொழுதும் மிகை, எனவே |adj A| ஆனது மிகை.

முதலில் சேர்ப்பு அணி காண்போம்.
வரையறைப்படி, adj A = \(\left[ \begin{matrix} +M_{ 11 } & { -M }_{ 12 } \\ -{ M }_{ 21 } & +{ M }_{ 22 } \end{matrix} \right] ^{ T }=\left[ \begin{matrix} d & -c \\ -b & a \end{matrix} \right] ^{ T }=\left[ \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right] \)
A ஆனது பூச்சியமற்றக் கோவை அணி, எனவே |A| = ad-bc ≠ 0.
A^-1 = \(\frac { 1 }{ |A| } \) adj A, என்பதால் A^-1 = \(\frac { 1 }{ ad-bc } \left[ \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right] \)

விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியில் தொடக்கநிலை நிரை செயலிகள் பயன்படுத்தக் கிடைப்பது.
\([A|B]=\left[ \begin{matrix} 2 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & -2 \\ 3 & 1 & 3 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 1 }\leftrightarrow { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & -2 \\ 2 & 3 & -1 \\ 3 & 1 & 3 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-{ 2R }_{ 1 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-{ 3R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & -2 \\ 0 & 5 & 3 \\ 0 & 4 & 9 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-\frac { 4 }{ 5 } { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & -2 \\ 0 & 5 & 3 \\ 0 & 0 & \frac { 33 }{ 5 } \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
இங்குρ(A)=3 மற்றும் ρ([A|0])=3
∴ ρ(A)=ρ([A|0])=3= மதிப்பிட வேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை 
ஆகையால் தொகுப்பு ஒருங்கமைவுடன் ஒரே ஒரு தீர்வை கொண்டிருக்கும்.
ஆகையால் தொகுப்பு வெளிப்படை தீர்வை மட்டும் கொண்டிருக்கும்.

A=\(\left[ \begin{matrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & 4 & -6 \\ 5 & 1 & -1 \end{matrix} \right] \)என்க 
A ஒரு 3 x 3 வரிசை அணி 
∴ ρ(A)≤(3,3)-ன் மீச்சிறு =3
A-ன் பூச்சியமற்ற சிற்றணிக் கோவைகளின் உச்சவரிசை 3 ஆகும்.
\(\left| \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 4 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ -6 \\ -1 \end{matrix} \right| =1\begin{vmatrix} 4 & -6 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}+2\begin{vmatrix} 2 & -6 \\ 5 & -1 \end{vmatrix}+3\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 5 & 1 \end{vmatrix}\)
[R₁-ன் மூலம் விரிவுபடுத்தப்பட்டது]
=1(-4+6)+2(-2+30)+3(2-20)
=1(2)+2(28)+3(-18)
=2+56-54=58-54=4≠0
∴ ρ(A)=3.

\(\left[ \begin{matrix} 3 & -1 & 2 \\ -6 & 2 & 4 \\ -3 & 1 & 2 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }+2{ R }_{ 1 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }+R_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 3 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 4 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-\frac { 1 }{ 2 } { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 3 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right] \)

|adj A| = \(\left| \begin{matrix} -1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{matrix} \right| \) = 9
எனவே A^-1 = \(\pm \frac { 1 }{ \sqrt { |adj(A)| } } adj(A)=\pm \frac { 1 }{ \sqrt { 9 } } \left[ \begin{matrix} -1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{matrix} \right] =\pm \frac { 1 }{ 3 } \left[ \begin{matrix} -1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{matrix} \right] \).

(i) A= \(\left[ \begin{matrix} -2 & 4 \\ 1 & -3 \end{matrix} \right] \) என்க 
\(|A|=\left| \begin{matrix} -2 & 4 \\ 1 & -3 \end{matrix} \right| =6-4=2\neq 0\)
A பூச்சியமற்றக் கோவை அணி ஆதலால் A^-1 காணலாம்.
\({ A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ |A| } adjA\)
இங்கு \(adj\quad A=\frac { 1 }{ 2 } \left[ \begin{matrix} -3 & -4 \\ -1 & -2 \end{matrix} \right] \)
[முதன்மை மூலைவிட்ட உறுப்புகளை இடமாற்றம் மற்றும் மூலைவிட்டத்தில் இல்லாத உறுப்புகளின் குறியை மாற்றுக]
\(\therefore { A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ 2 } \left[ \begin{matrix} -3 & -4 \\ -1 & -2 \end{matrix} \right] \)
(ii) A = \(\left[ \begin{matrix} 5 & 1 & 1 \\ 1 & 5 & 1 \\ 1 & 1 & 5 \end{matrix} \right] \)என்க
= 5(25-1)-1(5-1)+1(1-5)
= 5(24)-1(4)+1(-4)
= 120-4-4 = 120 - 8 = 112 ≠ 0 
R₁ மூலம் விரிவுபடுத்த,
\(|A|=5\left| \begin{matrix} 5 & 1 \\ 1 & 5 \end{matrix} \right| -3\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 5 \end{matrix} \right| +1\left| \begin{matrix} 1 & 5 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right| \)
A ஒரு பூச்சியமற்ற கோவை எனில் A^-1 சாத்தியம்
\(adj\quad A={ \left[ \begin{matrix} +\left| \begin{matrix} 5 & 1 \\ 1 & 5 \end{matrix} \right| \\ -\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 5 \end{matrix} \right| \\ +\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 5 & 1 \end{matrix} \right| \end{matrix}\begin{matrix} -\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 5 \end{matrix} \right| \\ +\left| \begin{matrix} 5 & 1 \\ 1 & 5 \end{matrix} \right| \\ -\left| \begin{matrix} 5 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right| \end{matrix}\begin{matrix} +\left| \begin{matrix} 1 & 5 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right| \\ -\left| \begin{matrix} 5 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right| \\ +\left| \begin{matrix} 5 & 1 \\ 1 & 5 \end{matrix} \right| \end{matrix} \right] }^{ T }\)
\(={ \left[ \begin{matrix} +(25-1) \\ -(5-1) \\ +(1-5) \end{matrix}\begin{matrix} -(5-1) \\ +(25-1) \\ +(5-1) \end{matrix}\begin{matrix} +(1-5) \\ -(5-1) \\ +(25-1) \end{matrix} \right] }^{ T }\)
\(={ \left[ \begin{matrix} 24 \\ -4 \\ -4 \end{matrix}\begin{matrix} -4 \\ 24 \\ -4 \end{matrix}\begin{matrix} -4 \\ -4 \\ 24 \end{matrix} \right] }^{ T }={ \left[ \begin{matrix} 24 \\ -4 \\ -4 \end{matrix}\begin{matrix} -4 \\ 24 \\ -4 \end{matrix}\begin{matrix} -4 \\ -4 \\ 24 \end{matrix} \right] }\)
ஒவ்வொரு உறுப்பிலிருந்து 4 ஐ பொதுவில் எடுக்க,
\(\therefore { A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ |A| } adj\ A=\frac { 1 }{ 112 } ={ \left[ \begin{matrix} 24 \\ -4 \\ -4 \end{matrix}\begin{matrix} -4 \\ 24 \\ -4 \end{matrix}\begin{matrix} -4 \\ -4 \\ 24 \end{matrix} \right] }\)
\(=\frac { 1 }{ 28 } \left[ \begin{matrix} 6 \\ -1 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ 6 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ -1 \\ 6 \end{matrix} \right] \)
(iii) A =\(\left[ \begin{matrix} 2 & 3 & 1 \\ 3 & 4 & 1 \\ 3 & 7 & 2 \end{matrix} \right] \)என்க 
= 2(8-7)-3(6-3)+1(21-12)
= 2(1)-3(3)+1(9)

R₁ மூலம் விரிவுபடுத்த கிடைப்பது,
\(|A|=2\left| \begin{matrix} 4 & 1 \\ 7 & 2 \end{matrix} \right| -3\left| \begin{matrix} 3 & 1 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right| +1\left| \begin{matrix} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{matrix} \right| \)
A ஒரு பூச்சியமற்றக் கோவை அணி ஆதலால் A^-1 சாத்தியம் 
\(adj\quad A={ \left[ \begin{matrix} +\left| \begin{matrix} 4 & 1 \\ 7 & 2 \end{matrix} \right| \\ -\left| \begin{matrix} 3 & 1 \\ 7 & 2 \end{matrix} \right| \\ +\left| \begin{matrix} 3 & 1 \\ 4 & 1 \end{matrix} \right| \end{matrix}\begin{matrix} -\left| \begin{matrix} 3 & 1 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right| \\ +\left| \begin{matrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right| \\ -\left| \begin{matrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{matrix} \right| \end{matrix}\begin{matrix} +\left| \begin{matrix} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{matrix} \right| \\ -\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 3 & 7 \end{matrix} \right| \\ +\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{matrix} \right| \end{matrix} \right] }^{ T }\)
\(={ \left[ \begin{matrix} +(8-7) \\ -(6-7) \\ +(3-4) \end{matrix}\begin{matrix} -(6-3) \\ +(4-3) \\ +(2-3) \end{matrix}\begin{matrix} +(21-12) \\ +(14-9) \\ +(8-9) \end{matrix} \right] }^{ T }\)
\(={ \left[ \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} -3 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 9 \\ -5 \\ -1 \end{matrix} \right] }^{ T }\)
\(adj\quad A=\left[ \begin{matrix} 1 \\ -3 \\ 9 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -5 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{matrix} \right] \)
இங்கு, \({ A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ |A| } adj\quad A\)
\(\Rightarrow { A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ 2 } \left[ \begin{matrix} 1 \\ -3 \\ 9 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -5 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{matrix} \right] \)

(i) \(A=\left[ \begin{matrix} -3 & 4 \\ 6 & 2 \end{matrix} \right] \)= \(\left[\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right]\)என்க.
[ ∵ a₂₂, a₁₁ ஆகியவற்றை பரிமாற்றம் செய்க மற்றும் a₁₂, a₂₁ ஆகியவற்றை குறி மாற்றம் செய்க.]
adj A = \(\left[ \begin{matrix} 2 & -4 \\ -6 & -3 \end{matrix} \right] \)
(ii) A = \(\left[ \begin{matrix} 2 & 3 & 1 \\ 3 & 4 & 1 \\ 3 & 7 & 2 \end{matrix} \right] \)
adj A = \(\left( \begin{matrix} +\left| \begin{matrix} 4 & 1 \\ 7 & 2 \end{matrix} \right| \\ -\left| \begin{matrix} 3 & 1 \\ 7 & 2 \end{matrix} \right| \\ +\left| \begin{matrix} 3 & 1 \\ 4 & 1 \end{matrix} \right| \end{matrix}\begin{matrix} -\left| \begin{matrix} 3 & 1 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right| \\ +\left| \begin{matrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right| \\ -\left| \begin{matrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{matrix} \right| \end{matrix}\begin{matrix} +\left| \begin{matrix} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{matrix} \right| \\ -\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 3 & 7 \end{matrix} \right| \\ +\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{matrix} \right| \end{matrix} \right) ^{ T }\)
= \({ \left[ \begin{matrix} +(8-7) \\ -(6-7) \\ +(3-4) \end{matrix}\begin{matrix} -(6-3) \\ +(4-3) \\ -(2-3) \end{matrix}\begin{matrix} +(21-12) \\ -(14-9) \\ +(8-9) \end{matrix} \right] }^{ T }\)
= \({ \left[ \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} -3 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 9 \\ -5 \\ -1 \end{matrix} \right] }^{ T }\)
\(adj\ A=\left[ \begin{matrix} 1 \\ -3 \\ 9 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -5 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{matrix} \right] \)
(iii) \(A=\frac{1}{3}\left[\begin{array}{ccc} 2 & 2 & 1 \\ -2 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & 2 \end{array}\right]_{3 \times 3}\)
adj (kA) = k^n-1 adj A
\(=\operatorname{adj} \mathrm{A}=\left(\frac{1}{3}\right)^2{ \left[ \begin{matrix} +\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ -2 & 2 \end{matrix} \right| \\ -\left| \begin{matrix} 2 & 1 \\ -2 & 2 \end{matrix} \right| \\ +\left| \begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right| \end{matrix}\begin{matrix} -\left| \begin{matrix} -2 & 2 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right| \\ +\left| \begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right| \\ -\left| \begin{matrix} 2 & 1 \\ -2 & 2 \end{matrix} \right| \end{matrix}\begin{matrix} +\left| \begin{matrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{matrix} \right| \\ -\left| \begin{matrix} 2 & 2 \\ 1 & -2 \end{matrix} \right| \\ +\left| \begin{matrix} 2 & 2 \\ -2 & 1 \end{matrix} \right| \end{matrix} \right] }^{ T }\)
\(=\frac { 1 }{ 9 } { \left[ \begin{matrix} +(2+4) \\ -(4+2) \\ +(4-1) \end{matrix}\begin{matrix} -(-4-2) \\ +(4-1) \\ -(4+2) \end{matrix}\begin{matrix} +(4-1) \\ +(-4-2) \\ +(2+4) \end{matrix} \right] }^{ T }\)
\(=\frac { 1 }{ 9 } { \left[ \begin{matrix} 6 \\ -6 \\ 3 \end{matrix}\begin{matrix} 6 \\ 3 \\ -6 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 6 \\ 6 \end{matrix} \right] }^{ T }=\frac { 1 }{ 9 } { \left[ \begin{matrix} 6 \\ 6 \\ 3 \end{matrix}\begin{matrix} -6 \\ 3 \\ 6 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ -6 \\ 6 \end{matrix} \right] }\)
\(=\frac { 1 }{ 3 } \left[ \begin{matrix} 2 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & +2 & 2 \end{matrix} \right] \)

(i) A=\(\left[ \begin{matrix} 2 & 0 & -7 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \) என்க. A-ஆனது 3 x 3 வரிசையுடைய அணி மற்றும் \(\rho \)(A) ≤ 3
மூன்றாம் வரிசையுடைய சிற்றணிக்கோவை |A|=\(\left| \begin{matrix} 2 & 0 & -7 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right| \)=(2)(3)(1)=6≠0
எனவே, \(\rho \)(A)=3
எனவே இங்கு மூன்று அபூச்சிய நிரைகள் உள்ளன என்பதைக் கூர்ந்து நோக்குக.
(ii) A=\(\left[ \begin{matrix} -2 & 2 & -1 \\ 0 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right] \) என்க. A ஆனது 3 x 3 வரிசையுடைய அணி எனவே \(\rho \)(A)≤3.
மூன்றாம் வரிசையுடைய சிற்றணிக்கோவை |A| = \(\left| \begin{matrix} -2 & 2 & -1 \\ 0 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right| \) = (2)(5)(0) = 0. எனவே \(\rho \)(A) ≤ 2.
பல இரண்டாம் வரிசையுடைய சிற்றணிக்கோவைகள் உள்ளன. அவற்றுள் ஒன்று \(\left| \begin{matrix} -2 & 2 \\ 0 & 5 \end{matrix} \right| \) =(-2)(5) = -10 ≠ 0. எனவே, \(\rho \)(A) = 2
இங்கு இரண்டு அபூச்சிய நிரைகள் உள்ளன என்பதை நோக்குக. மூன்றாவது நிரை பூச்சிய நிரையாகும்.
(iii) A=\(\left[ \begin{matrix} 6 \\ 0 \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{matrix}\begin{matrix} -9 \\ 0 \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{matrix} \right] \)என்க. A ஆனது 4 x 3 வரிசையுடைய அணியாகும் மற்றும் \(\rho \)(A) ≤3. அனைத்து மூன்றாம் வரிசையுடைய சிற்றணிக் கோவைகளின் மதிப்பு 0 ஆகும். எனவே \(\rho \)(A) <3.
கடைசி இரு நிரைகள் பூச்சிய நிரைகளாகும். நிறைய இரண்டாம் வரிசையுடைய சிற்றணிக்கோவைகள் உள்ளன. அவற்றுள் ஒன்று \(\left| \begin{matrix} 6 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right| \)=(6) (2)=12≠0. எனவே, \(\rho \)(A)=2
இரண்டு அபூச்சிய நிரைகள் உள்ளன என்பதை நோக்குக மூன்றாவது மற்றும் நான்காவது நிரைகள் பூச்சிய நிரைகளாகும்.

(i) A = \(\left[ \begin{matrix} 3 & 2 & 5 \\ 1 & 1 & 2 \\ 3 & 3 & 6 \end{matrix} \right] \) என்க. A ஆனது 3 x 3 வரிசையுடைய அணி. எனவே \(\rho \)(A) ≤ min{3,3} = 3
உச்ச சிற்றணிக்கோவையின் வரிசை 3.
A-விற்கு ஒரே ஒரு 3 வரிசையுடைய சிற்றணிக்கோவைதான் உண்டு. அதன் மதிப்பு
\(\left| \begin{matrix} 3 & 2 & 5 \\ 1 & 1 & 2 \\ 3 & 3 & 6 \end{matrix} \right| \) = 3(6-6)-2(6-6)+5(3-3) = 0. எனவே, \(\rho \)(A) < 3
அடுத்து 2 வரிசையுடைய சிற்றணிக்கோவை தேர்வு செய்வோம். அதில் ஒரு 2 வரிசையுடைய சிற்றணிக்கோவை \(\left| \begin{matrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right| \) = 3-2 = 1 ≠ 0. எனவே \(\rho \)(A) = 2.
(ii) A = \(\left[ \begin{matrix} 4 \\ -3 \\ 6 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ -1 \\ 7 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -2 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 4 \\ 2 \end{matrix} \right] \) என்க. A ஆனது 3 x 4 வரிசையுடைய அணி.
எனவே \(\rho \)(A) ≤ min{3, 4} = 3
உச்ச சிற்றணிக்கோவையின் வரிசை 3. அவை
\(\left| \begin{matrix} 4 & 3 & 1 \\ -3 & -1 & -2 \\ 6 & 7 & -1 \end{matrix} \right| =0;\left| \begin{matrix} 4 & 3 & -2 \\ -3 & -1 & 4 \\ 6 & 7 & 2 \end{matrix} \right| =0;\left| \begin{matrix} 4 & 1 & -2 \\ -3 & -2 & 4 \\ 6 & -1 & 2 \end{matrix} \right| =0;\left| \begin{matrix} 3 & 1 & -2 \\ -1 & -2 & 4 \\ 7 & -1 & 2 \end{matrix} \right| =0\)
எனவே, \(\rho \)(A) < 3 அடுத்து 2-ஆம் வரிசையின் பூச்சியமற்ற சிற்றணிக்கோவை ஏதேனும் ஒன்று A உள்ளதா எனப்பார்ப்போம். இது சாத்தியமாகும்.
ஏனெனில் \(\left| \begin{matrix} 4 & 3 \\ -3 & -1 \end{matrix} \right| \)= -4 + 9 = 5 ≠ 0
எனவே, \(\rho \)(A) = 2.