\(\vec { a } \)= 6\(\hat { i }\)+14\(\hat { j }\)+10\(\hat { k }\), \(\vec { b } \)= 14\(\hat { i }\)-10\(\hat { j }\)-6\(\hat { k }\)  மற்றும் \(\vec { c } \)= 2\(\hat { i }\) + 4\(\hat { j }\) - 2\(\hat { k }\) 
\(\vec { a },\ \vec { b }, \ \vec { c } \) என்ற வெக்டர்கள் ஒரு புள்ளியில் சந்திக்கும் விளிம்புகளை கொண்ட இணைகரத் திண்மத்தின் கனஅளவு \(\vec { a } .\left( \vec { b } \times \vec { c } \right) \)
\(\therefore \vec { a } .\left( \vec { b } \times \vec { c } \right) =\left| \begin{matrix} -6 & 14 & 10 \\ 14 & -10 & -6 \\ 2 & 4 & -2 \end{matrix} \right| \) 

= \(-6\left| \begin{matrix} -10 & -6 \\ 4 & -2 \end{matrix} \right| -14\left| \begin{matrix} 14 & -6 \\ 2 & -2 \end{matrix} \right| +10\left| \begin{matrix} 14 & -10 \\ 2 & 4 \end{matrix} \right| \)
= -6(20 + 24) - 14(-28 + 12) + 10(56 + 20)
= -6(44) - 14(-16) + 10(76)
= -264 + 224 + 760 = 720.
\(\therefore\) தேவையான இணைகரத்திண்மத்தின் கன அளவு = 720 கன அலகுகள்  

சாய்சதுரம் ABCD-ல்,
AB = BC = DC = AD .......(1)
மேலும், AB || DC,
\( \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{D C}=\vec{a}\) (என்க)
BC || AD,
\(\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A D}=\vec{b}\) (என்க)
(1)ஐப் பயன்படுத்த, நமக்கு கிடைப்பது
\(|\vec{a}|=|\vec{b}|\)                ...... (2)
\(\triangle \mathrm{ABC}\) - ல்,
\(\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}=\vec{a}+\vec{b} \)    ....(3)
\(\triangle A B D\) - ல்,
\( \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B D}=\overrightarrow{A D} \Rightarrow \overrightarrow{B D}=\overrightarrow{A D}-\overrightarrow{A B}=\bar{b}-\vec{a} \\ \overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{B D} =(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{b}-\vec{a}) \\ =(\vec{b}+\vec{a}) \cdot(\vec{b}-\vec{a}) \\ =|\vec{b}|^2-|\vec{a}|^2=0(\because|\vec{a}|=|\vec{b}|) \\ \overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{B D} =0 \Rightarrow \overrightarrow{A C} \perp \overrightarrow{B D} \)
எனவே நிறுவப்பட்டது.

\(\vec { r } =(\hat { i } +3\hat { j } -\hat { k } )+t(2\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } )\) என்ற கோட்டின் கார்டீசியன் சமன்பாடு
\(\frac { x-1 }{ 2 } =\frac { y-3 }{ 3 } =\frac { z+1 }{ 2 } \) = s(என்க)
இக்கோட்டின் மீதுள்ள ஏதேனுமொரு புள்ளியின் அமைப்பு (2s + 1, 3s + 3, 2s - 1) ....... (1)
இரண்டாவது கோட்டின் கார்டீசியன் சமன்பாடு \(\frac { x-2 }{ 1 } =\frac { y-4 }{ 2 } =\frac { z+3 }{ 4 } \) = t (என்க)
இக்கோட்டின் மீதுள்ள ஏதேனுமொரு புள்ளியின் அமைப்பு (t + 2, 2t + 4, 4t - 3) ..... (2)
கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் வெட்டிக் கொள்ளுமானால், ஒரு பொதுவான புள்ளி இருக்க வேண்டும். எனவே, ஒரு சில s, t ∊ R களுக்கு,
(2s + 1, 3s + 3, 2s - 1) = (t + 2, 2t + 4, 4t - 3)
x, y மற்றும் z -ன் அச்சுத்தூரங்களை சமப்படுத்த, நாம் பெறுவது
2s - 1 = 1, 3s - 2t = 1 மற்றும் s - 2t = -1.
இம்மூன்று சமன்பாடுகளில் முதல் இரண்டு சமன்பாடுகளின் தீர்வு காண்பதால் s = 1 மற்றும் t = 1 எனக் கிடைக்கிறது. s மற்றும் t -ன் இம்மதிப்புகள் மூன்றாவது சமன்பாட்டை நிறைவு செய்கின்றன. எனவே, கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் வெட்டும் கோடுகளாகும். இப்பொழுது, s -ன் மதிப்பை சமன்பாடு (1)-ல் அல்லது t -ன் மதிப்பை சமன்பாடு (2)-ல் பிரதியிட, இவ்விரு கோடுகளின் வெட்டும் புள்ளி (3, 6, 1) எனக் கிடைக்கிறது.
\(\vec { b } =2\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } \) மற்றும் \(\vec { d } =\hat { i } +2\hat { j } +4\hat { k } \) என எடுத்துக் கொண்டால்,
\(\vec { b } \times \vec { d } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 2 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{matrix} \right| =8\hat { i } -6\hat { j } +\hat { k } \) எனக் கிடைக்கிறது.
இவ்வெக்டர் கொடுக்கப்பட்ட இரு கோடுகளுக்கும் செங்குத்தான வெக்டராகும்.
எனவே, தேவையான நேர்க்கோடு (3, 6, 1) என்ற புள்ளி வழியாகச் செல்வதுடன் இரு நேர்க்கோடுகளுக்கும் செங்குத்தானதும் ஆகும். ஆகவே, தேவையான நேர்க்கோடு (3, 6, 1) என்ற புள்ளி வழியாகச் செல்வதுடன் \(8\hat { i } -6\hat { j } +\hat { k } \) என்ற வெக்டருக்கு இணையாகவும் இருக்கும். எனவே, தேவையான நேர்க்கோட்டின் வெக்டர் சமன்பாடு
\(\vec { r } =(3\hat { i } +6\hat { j } +\hat { k } )+m(8\hat { i } -6\hat { j } +\hat { k }) \), m ∊ R

\(\vec { a } =4\hat { i } +3\hat { j } -7\hat { k } \)  மற்றும் \(\vec { b } =2\hat { i } -6\hat { j } +7\hat { k } \) 
ஒரு புள்ளி \(\left( \vec { a } \right) \) வழிச் செல்லும் மற்றும் வெக்டர் \(\left( \vec { b } \right) \)க்கு இணையான கோட்டின் வெக்டர் சமன்பாட்டின் துணையலகு இல்லாத வடிவம் 
 \(\left( \vec { r } -\vec { a } \right) \times \vec { b } =\vec { 0 } \) 
\(\Rightarrow \left[ \vec { r } -\left( 4\hat { i } +3\hat { j } -7\hat { k } \right) \right] =\vec { 0 } \) 
அதனுடைய கார்டீசியன் சமன்பாடு 
\(\cfrac { x-{ x }_{ 1 } }{ { b }_{ 1 } } =\cfrac { y-{ y }_{ 1 } }{ { b }_{ 2 } } =\cfrac { z-{ z }_{ 1 } }{ { { b }_{ 3 } } } \)
 \(\Rightarrow \cfrac { x-4 }{ 2 } =\cfrac { y-3 }{ -6 } =\cfrac { z+7 }{ 7 } \) 
[\(\because\) (x₁,y₁,z₁),(43,-7) மற்றும்(b_1,b_2,b₃),(2,-6,7)]

கொடுக்கப்பட்ட இணைகரத்தின் ஒரு புள்ளியில் சந்திக்கும் வெக்டர்கள் \(\vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } \)  மற்றும் அதனுடைய கொள்ளளவு 4 கன அலகுகள்  
\(\therefore \vec { a } .\left( \vec { b } \times \vec { c } \right) =\pm 4\)  கன அலகுகள் கருதுக
\(\left( \vec { a } +\vec { b } \right) .\left( \vec { b } \times \vec { c } \right) +\left( \vec { b } +\vec { c } \right) .\left( \vec { c } \times \vec { a } \right) +\left( \vec { c } +\vec { a } \right) .\left( \vec { a } \times \vec { b } \right) \) 
= \(\left( \vec { a } +\vec { b } \right) .\left( \vec { b } \times \vec { c } \right) +\left( \vec { b } +\vec { c } \right) .\left( \vec { c } \times \vec { a } \right) +\left( \vec { c } +\vec { a } \right) .\left( \vec { a } \times \vec { b } \right) \) 
= \(\vec { a } .\left( \vec { b } \times \vec { c } \right) +0+\vec { b } .\left( \vec { c } \times \vec { a } \right) +0+\vec { c } .\left( \vec { a } \times \vec { b } \right) +0\) 
= \(\left[ \because \vec { a } .\left( \vec { a } \times \vec { b } \right) =0 \right] \) 
= \(\vec { a } .\left( \vec { b } \times \vec { c } \right) +\vec { a } .\left( \vec { b } \times \vec { c } \right) +\vec { a } .\left( \vec { b } \times \vec { c } \right) \) 
= \(\left[ \because \left[ \vec { a } \vec { b } \vec { c } \right] \right] =\left[ \vec { b } \vec { c } \vec { a } \right] =\left[ \vec { c } \vec { a } \vec { b } \right] \) 
= \(3\left[ \vec { a } .\left( \vec { b } \times \vec { c } \right) \right] \approx 3\left( 3\pm 4 \right) \) 
= \(\pm 12\)

இங்கு \(\vec { u } =\hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } ,\vec { n } =\hat { i } +2\hat { j } +4\hat { k } ,P=38\) ஆகும். \(\overset \rightarrow{ u } \) \(=\hat { i } +\hat { 2j } +\hat { 3k } \) என்ற புள்ளியின் பிம்பப் புள்ளி \(\overset \rightarrow{ v } \)-ன் நிலைவெக்டர் 
\(\vec { v } =\vec { u } +\frac { 2[p-(\vec { u } .\vec { n } )] }{ { \left| \vec { n } \right| }^{ 2 } } \vec { n } \) ஆகும்.
\(\vec { v } =(\hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } )+\frac { 2[38-(\hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } ).(\hat { i } +2\hat { j } +4\hat { k } ))] }{ (\hat { i } +2\hat { j } +4\hat { k } ).(\hat { i } +2\hat { j } +4\hat { k } ) } (\hat { i } +2\hat { j } +4\hat { k } )\)
அதாவது \(\vec { v } =(\hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } )+2(\frac { 38-17}{ 21 }) (\hat { i } +2\hat { j } +4\hat { k } )= (\hat {3 i } +6\hat { j } +11\hat { k } )\)
எனவே, \(\hat { i } +\hat { 2j } +\hat { 3k } \) என்ற நிலை வெக்டர் கொண்ட புள்ளியின் பிம்பப் புள்ளியின் நிலைவெக்டர் \((\hat {3 i } +6\hat { j } +11\hat { k } )\)ஆகும்.

\(\vec { r } =\vec { a } +t\vec { b } \) என்ற கோட்டிற்கும், செங்கோட்டு வெக்டர் \(\vec { n } \) கொண்ட தளத்திற்கும் இடைப்பட்ட கோணம் \(\theta =sin^{ -1 }\left( \frac { |\vec { b } .\vec { n } | }{ |\vec { b } ||\vec { n } | } \right) \) ஆகும்.
இங்கு \(\vec { b } =\hat { i } -\hat { j } +\hat { k } \) மற்றும் \(\vec { n } =2\hat { i } -\hat { j } +\hat { k } \)ஆகும்.
ஆகவே, \(\theta =\sin^{ -1 }\left( \frac { |\vec { b } .\vec { n } | }{ |\vec { b } ||\vec { n } | } \right) =\sin^{ -1 }\left( \frac { |(\hat { i } -\hat { j } +\hat { k } ).(2\hat { i } -\hat { j } +\hat { k } )| }{ |\hat { i } -\hat { j } +\hat { k } ||2\hat { i } -\hat { j } +\hat { k } | } \right) =\sin^{ -1 }\left( \frac { 2\sqrt { 2 } }{ 3 } \right) \).

இங்கு, \(\vec { a } =\hat { i } +2\hat { j } -3\hat { k } ,\vec { b } =2\hat { i } -\hat { j } +2\hat { k } ,\vec { c } =3\hat { i } +\hat { j } -\hat { k } \)
\(\vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } \) என்ற வெக்டர்கள் ஒரு தள வெக்டர்களாகத் தேவையானதும் மற்றும் போதுமானதுமான நிபந்தனை \([\vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } ]\) = 0 ஆகும். இங்கு, \([\vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } ]\) = \(\left| \begin{matrix} 1 & 2 & -3 \\ 2 & -1 & 2 \\ 3 & 1 & -1 \end{matrix} \right| \) = 0 எனவே, கொடுக்கப்பட்ட மூன்று வெக்டர்களும் ஒரு தள வெக்டர்களாகும்.

 \(\vec{a} \times(\vec{b} \times \vec{c})  =\frac{\vec{b}}{\sqrt{2}}+\frac{\vec{c}}{\sqrt{2}} \\ (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b}-(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}  =\frac{\vec{b}}{\sqrt{2}}+\frac{\vec{c}}{\sqrt{2}} \\  -\vec{a} \cdot \vec{b}  =\frac{1}{\sqrt{2}} .\)
\( \vec{a} \cdot \vec{b} =\frac{-1}{\sqrt{2}} \\ |\vec{a} \| \vec{b}| \cos \theta =\frac{-1}{\sqrt{2}} \\ \text { (1)(1) } \cos \theta =\frac{-1}{\sqrt{2}} \\ \theta =\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3 \pi}{4} \)

\( \left(x_1, y_1, z_1\right)=(0,0,0), d=7 \\ \quad(a, b, c)=(3,-6,2) \\ d=\frac{\left|a x_1+b y_1+c z_1+d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\frac{|7|}{\sqrt{9+36+4}}=\frac{7}{7}=1 \)

\( \vec{b} =2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}, \quad \vec{n}=\hat{i}+\hat{j} \\ \sin \theta =\frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| \vec{n} \mid}=\frac{2+1+0}{\sqrt{4+1+4} \sqrt{1+1}}=\frac{3}{\sqrt{9} \sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \sin \theta =\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \theta =\sin ^{-1} \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\pi}{4} \)
or 45⁰

கொடுக்கப்பட்டது \(\vec{a} \cdot \vec{b}=\vec{b} \cdot \vec{c}=\vec{c} \cdot \vec{a}=0\)
\(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) என்பன ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்து
\({[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] }  =(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}=(|\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta \cdot \hat{n}) \cdot \vec{c} \\  =|\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta|\vec{c}| \cos \alpha\)
\((\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) என்பன ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்து என்பதால், \(\alpha=0, \theta=\frac{\pi}{2})\) 
\(=\left|\vec{a}\left\|\vec{b}\left|\sin \frac{\pi}{2} \cos 0^{\circ}\right| \vec{c}|=| \vec{a}\right\| \vec{b} \| \vec{c}\right|\)

\(\vec{\alpha}\) என்பது \(\vec{\beta}\ \& \ \vec{\gamma} \)ஆகியவற்றின் தளத்தில் அமைவதால், \(\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}\) ஆகியவை ஒரே தளத்தில் அமைவனவானாகும்.
\(\therefore[\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}]=\overrightarrow{0} \text {. }\)

கொடுக்கப்பட்ட இணைகரத் திண்மத்தின் கன அளவு \([\vec{a} \times \vec{b}, \vec{b} \times \vec{c}, \vec{c} \times \vec{a}]=8\)
இணைகரத் திண்மத்தின் கன அளவு
\({[(\vec{a} \times \vec{b}) \times(\vec{b} \times \vec{c}),(\vec{b} \times \vec{c}) \times(\vec{c} \times \vec{a}),(\vec{c} \times \vec{a}) \times(\vec{a} \times \vec{b})] }   =8^2 \\ =64\)