வெக்டர் இயற்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள்

12ஆம் வகுப்பு Maths / கணிதவியல் தமிழ் மீடியம் | மாதிரி வினாத்தாள்கள் | முக்கிய வினாக்கள் | கேள்வி விடை தொகுப்பு | வினாத்தாள்கள் | பொதுத்தேர்வு மாதிரி வினாத்தாள்கள் , Maths / கணிதவியல் பாடத்திற்கான மாதிரி வினாத்தாள்கள், முக்கிய கேள்வி-விடைகள், ஒருமார்க் கேள்விகள், காலாண்டு & பொதுத்தேர்வு கேள்வித் தொகுப்புகள்

Questions:

Multiple Choice Question

20 x 1 = 20

\(a\hat { i } +\hat { j } +\hat { k } ,\hat { i } +b\hat { j } +\hat { k } \) மற்றும் \(\hat { i } +\hat { j } +c\hat { k } \) (a ≠ b ≠ c ≠ 1) ஒரு தள வெக்டர்கள் எனில் \(\frac { 1 }{ 1-a } +\frac { 1 }{ 1-b } +\frac { 1 }{ 1-c } \) =

(a)

(b)

(c)

(d)

\(\frac { abc }{ (1-a)(1-b)(1-c) } \)

நேர்கோடுகள் \(\frac { x-3 }{ 2 } =\frac { y+5 }{ 4 } =\frac { z-1 }{ -13 } \) மற்றும் \(\frac { x+1 }{ 3 } =\frac { y-4 }{ 5 } =\frac { z+2 }{ 2 } \) என்பது

(a)

இணை

(b)

செங்குத்து

(c)

45⁰ சாய்வு

(d)

இவற்றுள் ஏதுமில்லை

3x + 3y + 3z - 1 = 0 மற்றும் x + y - z + 5 = 0 என்ற இரண்டு தளங்கள்

(a)

ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்து

(b)

இணை

(c)

45⁰ ல் சாய்வு

(d)

30 ல் சாய்வு

\(\vec { a } =\left| \vec { a } \right| \vec { e } \) எனில் \(\vec { e } .\vec { e } \) என்பது

(a)

(b)

(c)

(d)

\(\vec { 0 } \)

தளம் 2x - y + 2z = 5 க்கு செங்குத்து அலகு வெக்டர்கள் ____________________

(a)

\(\overset { \wedge }{ 2i } -\overset { \wedge }{ j } +2\overset { \wedge }{ k } \)

(b)

\(\frac { 1 }{ 3 } \left( \overset { \wedge }{ 2i } -\overset { \wedge }{ j } +2\overset { \wedge }{ k } \right) \)

(c)

\(-\frac { 1 }{ 3 } \left( \overset { \wedge }{ 2i } -\overset { \wedge }{ j } +2\overset { \wedge }{ k } \right) \)

(d)

\(\pm \frac { 1 }{ 3 } \left( \overset { \wedge }{ 2i } -\overset { \wedge }{ j } +2\overset { \wedge }{ k } \right) \)

2x + y - z = 9 மற்றும் x + 2y + z = 7 தளங்களுக்கு இடையேயான கோணம் _________________

(a)

cos^-1 (5/6)

(b)

cos^-1 (5/36)

(c)

cos^-1 (1/2)

(d)

cos^-1 (1/12)

P என்ற புள்ளியின் நிலை வெக்டர் OP ஆனது X மற்றும் Y அச்சுடன் முறையே 60⁰ மற்றும் 45⁰ கோணத்தை ஏற்படுத்துகிறது. சாய்வு \(\overset { \rightarrow }{ OP } \) Z அச்சுடன் ஏற்படுத்தும் கோணம்.

(a)

75⁰

(b)

60⁰

(c)

45⁰

(d)

\(\overset { \rightarrow }{ a } =3\overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } -2\overset { \wedge }{ k } \) மற்றும் \(\overset { \rightarrow }{ b } =\overset { \wedge }{ i } +3\overset { \wedge }{ j } +4\overset { \wedge }{ k } \) வை மூலைவிட்டங்களாக கொண்ட இணைகரத்தின் பரப்பு

(a)

(b)

\(2\sqrt { 3 } \)

(c)

\(4\sqrt { 3 } \)

(d)

\(5\sqrt { 3 } \)

\(\overset { \rightarrow }{ a } ,\overset { \rightarrow }{ b } ,\overset { \rightarrow }{ c } \) என்பன மூன்று ஒரு தளம் அமையா வெக்டர்கள் மற்றும் \(\overset { \rightarrow }{ p } ,\overset { \rightarrow }{ q } ,\overset { \rightarrow }{ r } \) வெக்டர்கள் வரையறுக்கப்படும் தொடர்புகள் \(\overset { \rightarrow }{ p } =\frac { \overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ c } }{ \left[ \overset { \rightarrow }{ a } \overset { \rightarrow }{ b } \overset { \rightarrow }{ c } \right] } \) , \(\overset { \rightarrow }{ q } =\frac { \overset { \rightarrow }{ c } \times \overset { \rightarrow }{ a } }{ \left[ \overset { \rightarrow }{ a } \overset { \rightarrow }{ b } \overset { \rightarrow }{ c } \right] } ,\overset { \rightarrow }{ r } =\frac { \overset { \rightarrow }{ a } \times \overset { \rightarrow }{ b } }{ \left[ \overset { \rightarrow }{ a } \overset { \rightarrow }{ b } \overset { \rightarrow }{ c } \right] } \) பிறகு மதிப்பு \(\left( \overset { \rightarrow }{ a } +\overset { \rightarrow }{ b } \right) .\overset { \rightarrow }{ p } +\left( \overset { \rightarrow }{ b } +\overset { \rightarrow }{ c } \right) .\overset { \rightarrow }{ q } +\left( \overset { \rightarrow }{ c } +\overset { \rightarrow }{ a } \right) .\overset { \rightarrow }{ r } =\)

(a)

(b)

(c)

(d)

10.

ஆதியிலிருந்து, என்ற தளத்திற்கு வரை வரையப்படும் செங்குத்தின் நீளம் \(\frac { 1 }{ 5 } \) எனில் \(\lambda \) -ன் மதிப்பு _______.

(a)

\(2\sqrt { 3 } \)

(b)

\(3\sqrt { 2 } \)

(c)

(d)

11.

ஆதியிலிருந்து (1,1,1) என்ற புள்ளிக்கு உள்ள தொலைவானது x + y + z + k = 0 என்ற தளத்திலிருந்து அப்புள்ளிக்கு உள்ள தொலைவில் பாதி எனில், k -ன் மதிப்புகள் _______.

(a)

± 3

(b)

± 6

(c)

-3, 9

(d)

3, -9

12.

ஒரு கோட்டின் திசைக்கொசைன்கள் \(\frac { 1 }{ c } ,\frac { 1 }{ c } ,\frac { 1 }{ c } \) எனில், _______.

(a)

c ± 3

(b)

c ± \(\sqrt3\)

(c)

c > 0

(d)

0 < c < 1

13.

\(\vec { r } =(6\hat { i } -\hat { j } -3\hat { k } )+t(-\hat { i } +4\hat { j } )\) என்ற கோடு \(\vec { r } .(\hat { i } +\hat { j } -\hat { k } )\) = 3 என்ற தளத்தை சந்திக்கும் புள்ளியின் அச்சுத்தூரங்கள்_______.

(a)

(2, 1, 0)

(b)

(7, -1, -7)

(c)

(1, 2, -6)

(d)

(5, -1, 1)

14.

\(\left[ \vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } \right] \)= 1 எனில் \(\cfrac { \vec { a } .\left( \vec { b } \times \vec { c } \right) }{ \left( \vec { c } \times \vec { a } \right) .\vec { b } } +\cfrac { \vec { b } .\left( \vec { c } \times \vec { a } \right) }{ \left( \vec { a } \times \vec { b } \right) .\vec { c } } +\cfrac { \vec { c } .\left( \vec { a } \times \vec { b } \right) }{ \left( \vec { c } \times \vec { c } \right) .\vec { b } } \) ன் மதிப்பு _______.

(a)

(b)

-1

(c)

(d)

15.

\(\frac { x-2 }{ 3 } =\frac { y-1 }{ -5 }= \frac { z+2 }{ 2 } \) என்ற கோடு x + 3y - αz + β = 0 என்ற தளத்தின் மீது இருந்தால், பின்னர் (α, β ) என்பது _______.

(a)

(-5, 5)

(b)

(-6, 7)

(c)

(5, -5)

(d)

(6, -7)

16.

\(\vec { a } .\vec { b } =\vec { b } .\vec { c } =\vec { c } .\vec { a } =0\) எனில் \(\left[ \vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } \right] \) ன் மதிப்பு _______.

(a)

\(\left| \vec { a } \right| \left| \vec { b } \right| \left| \vec { c } \right| \)

(b)

\(\cfrac { 1 }{ 3 } \left| \vec { a } \right| \left| \vec { b } \right| \left| \vec { c } \right| \)

(c)

(d)

-1

17.

\(\vec { \beta } \) மற்றும் \(\vec { \gamma } \) ஆகியவை அமைக்கும் தளத்தில் \(\vec { \alpha } \) அமைந்துள்ளது எனில் _______.

(a)

\(\left[ \vec { \alpha } ,\vec { \beta } ,\vec { \gamma } \right] =1\)

(b)

\(\left[ \vec { \alpha } ,\vec { \beta } ,\vec { \gamma } \right] =-1\)

(c)

\(\left[ \vec { \alpha } ,\vec { \beta } ,\vec { \gamma } \right] =0\)

(d)

\(\left[ \vec { \alpha } ,\vec { \beta } ,\vec { \gamma } \right] =2\)

18.

\(\vec { a } \) மற்றும் \(\vec { b } \) என்பன இணை வெக்டர்கள் எனில் \(\left[ \vec { a } ,\vec { c } ,\vec { b } \right] \) ன் மதிப்பு _______.

(a)

(b)

-1

(c)

(d)

19.

\(\vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } \) என்பன \(\vec { b } .\vec { c } \) ≠ 0 மற்றும் \(\vec { a } .\vec { b } \) ≠ 0 எனுமாறுள்ள மூன்று வெக்டர்கள் என்க. \(\vec { a }\times (\vec { b } \times \vec { c } )=(\vec { a } \times \vec { b } )\times \vec { c } \) எனில், \(\vec { a } \) மற்றும் \(\vec { c } \) என்பவை _______.

(a)

செங்குத்தானவை

(b)

இணையானவை

(c)

\(\frac { \pi }{ 3 } \) என்ற கோணத்தை தாங்குபவை

(d)

\(\frac { \pi }{ 6 } \) என்ற கோணத்தை தாங்குபவை

20.

\(\vec { a } \times \vec { b } ,\vec { b } \times \vec { c } ,\vec { c } \times \vec { a } \) ஆகியவற்றை ஒரு புள்ளியில் சந்திக்கும் விளிம்புகளாகக் கொண்ட இணைகரத் திண்மத்தின் கன அளவு 8 கன அலகுகள் எனில், \((\vec { a } \times \vec { b } )\times (\vec { b } \times \vec { c } )\times (\vec { b } \times \vec { c } )\times (\vec { c } \times \vec { a } )\) மற்றும் \((\vec { c } \times \vec { a } )\times (\vec { a } \times \vec { b } )\) ஆகியவற்றை ஒரு புள்ளியில் சந்திக்கும் விளிம்புகளாகக் கொண்ட இணைகரத் திண்மத்தின் கன அளவு _______.

(a)

8 கன அலகுகள்

(b)

512 கன அலகுகள்

(c)

64 கன அலகுகள்

(d)

24 கன அலகுகள்

Match the following

10 x 1 = 10

21.

\([\vec { a } +\vec { b } ,\vec { b } +\vec { c } ,\vec { c } +\vec { a } ]\)

22.

\([\vec { a } \vec { b } \vec { c }] \)

23.

\(\frac { x-1 }{ 4 } =\frac { 2-y }{ 6 } =\frac { z-4 }{ 12 } \)

24.

திசை விகிதங்கள்

25.

கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள்

26.

x, y, z ல் முதல் படி சமன்பாடு

27.

ஆய அச்சுகளின் வெட்டுத்துண்டுகள்

28.

\(\left( \overset { \rightarrow }{ r } -\overset { \rightarrow }{ a } \right) \)

29.

\(\left( \overset { \rightarrow }{ r } -\overset { \rightarrow }{ a } \right) .\left( \overset { \rightarrow }{ b } -\overset { \rightarrow }{ c } \right) \)

30.

முனை

Visit QB365-SLMS - https://www.qb365.in/slms/

Answers Key:

Multiple Choice Question

20 x 1 = 20

(b)
1

(b)
செங்குத்து

(b)
இணை

(d)
\(\pm \frac { 1 }{ 3 } \left( \overset { \wedge }{ 2i } -\overset { \wedge }{ j } +2\overset { \wedge }{ k } \right) \)

(b)
60⁰

(d)
\(5\sqrt { 3 } \)

(d)
3

10.

\( \delta=\frac{|d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \Rightarrow \frac{1}{5}=\frac{|-1|}{\sqrt{4+9+\lambda^2}} \\ 5=\sqrt{4+9+\lambda^2} \Rightarrow 25=4+9+\lambda^2 \\ 25=13+\lambda^2 \Rightarrow \lambda^2=12 \Rightarrow \lambda= \pm 2 \sqrt{3} \\ \because \lambda>0, \lambda=2 \sqrt{3} \)

11.

\(d=\sqrt{(1-0)^2+(1-0)^2+(1-0)^2}=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3} \)
கொடுக்கப்பட்டது \(\sqrt{3}=\frac{1}{2}\left|\frac{3+k}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}\right| \)
\(\sqrt{3}=\frac{1}{2}\left|\frac{3+k}{\sqrt{3}}\right| \Rightarrow 6=|3+k| \\ \Rightarrow \pm 6=3+\mathrm{k} \Rightarrow \mathrm{k}=3,-9\)

12.

\( \cos ^2 \alpha+\cos ^2 \beta+\cos ^2 \gamma =1 \\ \frac{1}{c^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{c^2} =1 \Rightarrow \frac{3}{c^2}=1 \\ c^2 =3 \Rightarrow c= \pm \sqrt{3} \)

13.

கொடுக்கப்பட்டது \(\vec{r}=(6 \hat{i}-\hat{j}-3 \hat{k})+t(-\hat{i}+4 \hat{k})\)
\(\frac{x-6}{-1}=\frac{y+1}{0}=\frac{z+3}{4}=t \Rightarrow(-t+6,-1,4 t-3)\)
என்பது \(x+y-z=3\) ஐச் சந்திக்கிறது.
\(-t+6-1-4 t+3 =3 \Rightarrow-5 t+5=0 \\ 5 t =5 \Rightarrow t=1\)
\(\therefore (5,-1,1)\)

14.

\( \frac{\vec{a} \cdot(\vec{b} \times \vec{c})}{(\vec{c} \times \vec{a}) \cdot \vec{b}} +\frac{\vec{b} \cdot(\vec{c} \times \vec{a})}{(\vec{a} \times \vec{b})+\vec{c}}+\frac{\vec{c} \cdot(\vec{a} \times \vec{b})}{(\vec{c} \times \vec{b}) \cdot \vec{a}} \\ =\frac{[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]}{[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]}+\frac{[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]}{[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]}-\frac{[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]}{[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]} \\ =1+1-1=1 \)

15.

கொடுக்கப்பட்ட தளம் \(x+3 y-\alpha z+\beta=0\)
(2, 1, -2) என்ற புள்ளி தளத்தின் மீது அமைந்துள்ளது.
2+3+2 \(\alpha+\beta \) = 0
\(\Rightarrow 2 \alpha+\beta =-5\) ....(1)
\(\vec{r} . \vec{d}=\mathrm{p}, \vec{d}\) என்பது \(\left(b_1, b_2, b_3\right)=(3,-5,2)\) என்ற திசைக் கொசைன் கொண்ட செங்குத்தான வெக்டர் ஆகும்.
\(\therefore b_1 d_1+b_2 d_2+b_3 d_3 =0 \\\Rightarrow 3(1)-5(3)+2(-\alpha)=0 \\ -12-2 \alpha =0 \Rightarrow \alpha=-6\)
\(\alpha=6 \) என (1) ல் பிரதியிட,
\(2(-6)+\beta=-5 \Rightarrow-12+\beta=-5 \Rightarrow \beta=7\)
எனவே \((\alpha, \beta)=(-6,7)\)

16.

கொடுக்கப்பட்டது \(\vec{a} \cdot \vec{b}=\vec{b} \cdot \vec{c}=\vec{c} \cdot \vec{a}=0\)
\(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) என்பன ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்து
\({[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] } =(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}=(|\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta \cdot \hat{n}) \cdot \vec{c} \\ =|\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta|\vec{c}| \cos \alpha\)
\((\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) என்பன ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்து என்பதால், \(\alpha=0, \theta=\frac{\pi}{2})\)
\(=\left|\vec{a}\left\|\vec{b}\left|\sin \frac{\pi}{2} \cos 0^{\circ}\right| \vec{c}|=| \vec{a}\right\| \vec{b} \| \vec{c}\right|\)

17.

\(\vec{\alpha}\) என்பது \(\vec{\beta}\ \& \ \vec{\gamma} \)ஆகியவற்றின் தளத்தில் அமைவதால், \(\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}\) ஆகியவை ஒரே தளத்தில் அமைவனவானாகும்.
\(\therefore[\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}]=\overrightarrow{0} \text {. }\)

18.

\( \vec {a}\) மற்றும் \(\vec{b}\) என்பன இணையாதலால், \(\vec{a}=\lambda \vec{b}\)
\([\vec{a}, \vec{c}, \vec{b}]=[\lambda \vec{b}, \vec{c}, \vec{b}]=\lambda[\vec{b}, \vec{c}, \vec{b}]=\lambda(0)=0\)

19.

\( \vec{a} \times(\vec{b} \times \vec{c}) =(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} \\ (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b}-(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} =(\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b}-(\vec{b} \cdot \vec{c}) \vec{a} \\ \vec{c} =\frac{\vec{b} \cdot \vec{c}}{\vec{a} \cdot \vec{b}} \vec{a}=\lambda \vec{a}\)
\( \Rightarrow \vec{a} \) என்பது \(\vec{c}\) க்கு இணையானவை

20.

கொடுக்கப்பட்ட இணைகரத் திண்மத்தின் கன அளவு \([\vec{a} \times \vec{b}, \vec{b} \times \vec{c}, \vec{c} \times \vec{a}]=8\)
இணைகரத் திண்மத்தின் கன அளவு
\({[(\vec{a} \times \vec{b}) \times(\vec{b} \times \vec{c}),(\vec{b} \times \vec{c}) \times(\vec{c} \times \vec{a}),(\vec{c} \times \vec{a}) \times(\vec{a} \times \vec{b})] } =8^2 \\ =64\)

Match the following

10 x 1 = 10

21.

22.

23.