கொள்கை z² = \(\bar { z } \).
⇒ \({ \bar { \left| z \right| } }^{ 2 }=\left| z \right| \)
⇒  \(\left| z \right| (\left| z \right| -1)\) = 0
⇒ \(\left| z \right| \) = 0, அல்லது \(\left| z \right| \) = 1
\(\left| z \right| \) = 0 ⇒ z = 0 என்பது ஒரு தீர்வு \(\left| z \right| \) = 1 ⇒ z\(\bar { z } \) = 1 ⇒ \(\bar { z } \) = \(\frac12\)
கொள்கையிலிருந்து z² = \(\bar { z } \) ⇒ \({ z }^{ 2 }=\frac 1z \) ⇒ z³ = 1
இதற்கு 3 பூஜ்ஜியமற்ற தீர்வுகள் இருக்கும். ஆகவே பூஜ்ஜியத்தையும் சேர்த்து இதற்கு நான்கு தீர்வுகள் இருக்கும்.

z = (2 +3i)(1 - i) = (2 + 3)+ (3 - 2)i = 5 + i
⇒ z⁻¹ = \(\frac { 1 }{ z } =\frac { 1 }{ 5+i } \)
தொகுதி மற்றும் பகுதியை பகுதியின் இணை எண்ணால் பெருக்க
z⁻¹ = \(\frac { (5-i) }{ (5+i)(5-i) } =\frac { 5-i }{ { 5 }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 } } =\frac { 5 }{ 26 } -i\frac { 1 }{ 26 } \)
⇒ z⁻¹ = \(\frac { 5 }{ 26 } -i\frac { 1 }{ 26 } \)

i¹⁺⁵⁰ + i²⁺⁵⁰ + ... + i¹⁰⁺⁵⁰
= i⁵¹ + i⁵² + ..... + i⁶⁰
i⁵⁰ ஐ பொதுவாக எடுக்க கிடைப்பது.
i⁵⁰[(i + i² + i³ + i⁴) + (i⁵ + i⁶ + i + i⁸) + i⁹ + i¹⁰]
= i⁵⁰ [0 + (i⁴⁺¹ + i⁴⁺² + i⁴⁺³ + i⁴⁺⁴) + (i⁸⁺¹ + i⁸⁺²)]
= i⁵⁰ [0 + 0 + i + i²] [∵ i + i² + i³ + i⁴ = 0]
= i⁵⁰ [i - 1] = i⁴⁸⁺²(i-1)
= i²(i-1) [∵ i⁴⁸ = 1]
= -1 (i-1) = -i + 1 = 1 - i

= i . i ²i³ ...... i²⁰⁰⁰ = i^{1+2+3+ +2000}
= \({ i }^{ \frac { 2000\times 2001 }{ 2 } }[∵ 1+2+3+...n=\frac { n(n+1) }{ 2 } ]\)
= i^1000x2001 = i^2001000 = 1
[ \(\because\) 2001000 என்பது 4 ஆல் வகுப்படும் அதன் கடைசி இரண்டு எண்களும் 4 ஆல் வகுப்படும்]

\({ i }^{ 59 }+\frac { 1 }{ { i }^{ 59 } } = (-i) + \frac {1}{-i}\)
i^4x14+3 + i^-(4x14+3)
= (ⁱ⁴)¹⁴ . i³ + (i⁴)^-14 . i^-3
= 1. i³ + 1.i^-3 [∵ i⁴ = 1]
=-i+ i =0  [∵ i³ = -i மற்றும் i^-3 = i]

\(\sum _{ n=1 }^{ 12 }{ { i }^{ n } } \) = (i¹ + i² + i³ + i⁴) + (i⁵ + i-⁶+ i⁷ + i⁸) + (i⁹ + i¹⁰ + i¹¹ + i¹²)
= (i - 1-i + 1) + (i⁴⁺¹ + i⁴⁺² + i⁴⁺³ + (i⁴)²) + (i⁸⁺¹ + i⁸⁺² + i⁸⁺³ + (i⁴)³)
= 0 + (i +i² + i³ +i⁴) + (i¹ + i² + i³ + i⁴) [∵ i² = -1, i³ = -i, i⁴ = 1]
= 0 + (i -1 -i + 1) + (i -1 -i + 1)
=0+0+0=0

= (i⁴)⁴⁸⁷ _ [i^-1868 . i^-1]
= i¹⁴⁸⁷ - \([{ (i }^{ 4 }).\frac { 1 }{ i } ][{ i }^{ 4 }=1]\)
= 1-[1.(-i) [∵ i-1 = \(\frac { 1 }{ i } \) = -i] [1 -ன் அடுக்கும் 1 ஆகும்]
= 1 + i

இதற்கு நாம் முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நீளங்கள் சமம் என நிறுவினால் போதும்.
z₁ = 1, z₂ = \(\frac { -1 }{ 2 } +i\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \\ \)மற்றும் z₃ = \(\frac { -1 }{ 2 } -i\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \) என்க .
முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நீளங்களை காண்போம்
\(\left| { { z }_{ 1 }-z }_{ 2 } \right| =\left| 1-\left( \frac { -1 }{ 2 } +i \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) \right| =\left| \frac { 3 }{ 2 } -\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } i \right | =\sqrt { \frac { 9 }{ 4 } +\frac { 3 }{ 4 } } =\frac { 2\sqrt { 3 } }{ 2 } =\sqrt { 3 } \)
\(\left| { { z }_{ 2 }-z }_{ 3 } \right| =\left| \left( \frac { -1 }{ 2 } +i\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) -\left( \frac { -1 }{ 2 } -i\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) \right| =\sqrt { { \left( \sqrt { 3 } \right) }^{ 2 } } =\sqrt { 3 } \)
\(\left| { { z }_{ 3 }-z }_{ 1 } \right| =\left| \left( \frac { -1 }{ 2 } +i\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right)-1 \right| =\left| \frac { -3 }{ 2 } -\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } i \right| =\sqrt { \frac { 9 }{ 4 } +\frac { 3 }{ 4 } } =\sqrt { 3 } \)
பக்கங்களின் நீளங்கள் சமம் எனவே, கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தை அமைக்கும்.

z₁ மற்றும் z₂ ஆகியவற்றின் மதிப்புகளை பிரதியிட,
\(\frac { { { z }_{ 1 } } }{ { z }_{ 2 } } \) = \(\frac { 3-2i }{ 6+4i } =\frac { 3-2i }{ 6+4i } \times \frac { 6-4i }{ 6-4i } \)
= \(\frac { (18-8)+i(-12-12) }{ { 6 }^{ 2 }+{ 4 }^{ 2 } } =\frac { 10-24i }{ 52 } =\frac { 10 }{ 52 } -\frac { 24i }{ 52 } \)
= \(\frac { 5 }{ 6 } -\frac { 6 }{ 13 } i\)

\(\frac { z+3 }{ z-5i } =\frac { 1+4i }{ 2 } \) என்பதால்
⇒2(z + 3) = (1 + 4i)(z - 5i)
⇒ 2z + 6= (1 + 4i)z + 20 - 5i
⇒ (2 - 1 - 4i)z = 20 - 5i - 6
⇒ z = \(\frac { 14-5i }{ 1-4i } =\frac { (14-5i)(1+4i) }{ (1-4i)(1+4i) } =\frac { 34+51i }{ 17 } \) = 2 + 3i

\(\frac { 1+i }{ 1-i } =\frac { \left( 1+i \right) \left( 1+i \right) }{ \left( 1-i \right) \left( 1+i \right) } =\frac { 1-2i-1 }{ 1+1 } =\frac { 2i }{ 2 } =i\)
மேலும் \(\frac { 1-i }{ 1+i } ={ \left( \frac { 1+1 }{ 1-i } \right) }^{ -1 }=\frac { 1 }{ i } =-i\)
எனவே, \({ \left( \frac { 1+i }{ 1-i } \right) }^{ 3 }-{ \left( \frac { 1-i }{ 1+i } \right) }^{ 3 }\) = \({ i }^{ 3 }-{ (-i) }^{ 3 }\) = -i - i =- 2i 

\(\frac { 3+4i }{ 5-12i } \) - ன் மெய் மற்றும் கற்பனை பகுதிகளைக் காண இதனை x + iy என செவ்வக வடிவில் எழுத வேண்டும். இந்த பின்னத்தினை சுருக்க தொகுதி மற்றும் பகுதிகளை பகுதியிலுள்ள  கலப்பெண்ணின் இணை கலப்பெண்ணால் பெருக்கி பகுதியில் உள்ள i-ஐ நீக்கலாம்.
\(\frac { 3+4i }{ 5-12i } \) = \(\frac { (3+4i)(5+12i) }{ (5-12i)(5+12i) } \)
= \(\frac { (15-48)+(20+36)i }{ { 5 }^{ 2 }+{ 12 }^{ 2 } } \)
\(=\frac { -33+56i }{ 169 } =-\frac { 33 }{ 169 } +i\frac { 56 }{ 169 } \)
\(\frac { 3+4i }{ 5-12i } \) = \(-\frac { 33 }{ 169 } +i\frac { 56 }{ 169 } \) என்பது x  +iy வடிவில் உள்ளது.
ஆகவே மெய்பகுதி \(-\frac { 33 }{ 169 } \) மற்றும் கற்பனை பகுதி \(\frac { 56 }{ 169 } \)

கொள்கை \(\left| { z }_{ 1 } \right| =\left| { z }_{ 2 } \right| =\left| { z }_{ 3 } \right| =r\Rightarrow { z }_{ 1 }\bar { { z }_{ 1 } } ={ z }_{ 2 }\bar { { z }_{ 2 } } ={ z }_{ 3 }\bar { { z }_{ 3 } } ={ r }^{ 2 }\)
⇒ \({ z }_{ 1 }=\frac { { r }^{ 2 } }{ \bar { { z }_{ 1 } } } ,{ z }_{ 2 }=\frac { { r }^{ 2 } }{ \bar { { z }_{ 2 } } } ,{ z }_{ 3 }=\frac { { r }^{ 2 } }{ \bar { { z }_{ 3 } } } \)
ஆகவே, z₁ + z₂ + z₃ = \(\frac { { r }^{ 2 } }{ \bar { { z }_{ 1 } } } + \frac { { r }^{ 2 } }{ \bar { { z }_{ 2 } } }+ \frac { { r }^{ 2 } }{ \bar { { z }_{ 3 } } } \)
\(={ r }^{ 2 }\left( \frac { \bar { { z }_{ 2 } } \bar { { z }_{ 3 } } +\bar { { z }_{ 1 } } \bar { { z }_{ 3 } } +\bar { { z }_{ 1 } } \bar { { z }_{ 2 } } }{ \bar { { z }_{ 1 } } \bar { { z }_{ 2 } } \bar { { z }_{ 3 } } } \right) \)
\(\left| { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 }+{ z }_{ 3 } \right| =\left| { r }^{ 2 } \right| \left| \frac { \overline { z_{ 2 }{ z }_{ 3 }+{ z }_{ 1 }{ z }_{ 3 }+{ z }_{ 1 }{ z }_{ 2 } } }{ { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 }+{ z }_{ 3 } } \right| \) \((\because \bar { { z }_{ 1 } } +\bar { { z }_{ 2 } } =\overline { { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 } } )\)
= \(={ r }^{ 2 }\frac { \left| z_{ 2 }{ z }_{ 3 }+{ z }_{ 1 }{ z }_{ 3 }+{ z }_{ 1 }{ z }_{ 2 } \right| }{ \left| { z }_{ 1 } \right| \left| { z }_{ 2 } \right| \left| { z }_{ 3 } \right| } \) \((\because \left| z \right| \left| \bar { z } \right| \) மற்றும் \(\left| { z }_{ 1 }{ z }_{ 2 }{ z }_{ 3 } \right| =\left| { z }_{ 1 } \right| \left| { z }_{ 2 } \right| \left| { { z }_{ 3 } } \right| )\)
\(\left| { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 }+{ z }_{ 3 } \right| ={ r }^{ 2 }\frac { \left| z_{ 2 }{ z }_{ 3 }+{ z }_{ 1 }{ z }_{ 3 }+{ z }_{ 1 }{ z }_{ 2 } \right| }{ { r }^{ 3 } } =\frac { \left| z_{ 2 }{ z }_{ 3 }+{ z }_{ 1 }{ z }_{ 3 }+{ z }_{ 1 }{ z }_{ 2 } \right| }{ r } \)
⇒ \(\frac { \left| z_{ 2 }{ z }_{ 3 }+{ z }_{ 1 }{ z }_{ 3 }+{ z }_{ 1 }{ z }_{ 2 } \right| }{ \left| { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 }+{ z }_{ 3 } \right| } \) = r  (கொள்கையின் படி z₁ + z₂ + z₃ ≠ 0 )
எனவே, \(\left| \frac { \left| z_{ 2 }{ z }_{ 3 }+{ z }_{ 1 }{ z }_{ 3 }+{ z }_{ 1 }{ z }_{ 2 } \right| }{ { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 }+{ z }_{ 3 } } \right| \) = r

i) z = \({ (2+i\sqrt { 3 } ) }^{ 10 }+{ (2-i\sqrt { 3 } ) }^{ 10 }\) என்க.
இதிலிருந்து, \(\bar { z } =\overline { { (2+i\sqrt { 3 } ) }^{ 10 }+{ (2-i\sqrt { 3 } ) }^{ 10 } } \)
= \(\overline { { (2+i\sqrt { 3 } ) }^{ 10 } } +\overline { { (2-i\sqrt { 3 } ) }^{ 10 } } \)  \(\overline { (\because { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 } } =\bar { { z }_{ 1 } } +\bar { { z }_{ 2 } } )\)
= \({\overline { (2+i\sqrt { 3 } ) } }^{ 10 }+{ \overline { (2-i\sqrt { 3 } ) } }^{ 10 }\)  \((\because \bar { { (z }^{ n }) } ={ (\bar { z } ) }^{ n })\)
= \({ { (2+i\sqrt { 3 } ) } }^{ 10 }+{ { (2+i\sqrt { 3 } ) } }^{ 10 }\) = z
\(\bar { z } \)= z ⇒ z ஒரு மெய்யெண் ஆகும்.
ii)  \({ \left( \frac { 19+9i }{ 5-3i } \right) }^{ 15 }-{ \left( \frac { 8+i }{ 1+2i } \right) }^{ 15 }\) என்க.
இங்கு, \(\frac { 19+9i }{ 5-3i } =\frac { (19+9i)(5+3i) }{ (5-3i)(5+3i) } \)
= \(\frac { (95-27)+i(45+57) }{ { 5 }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 } } =\frac { 68+102i }{ 34 } \)
= 2 + 3i    ....(1)
மற்றும், \(\frac { 8+i }{ 1+2i } =\frac { (8+i)(1-2i) }{ (1+2i)(1-2i) } \)
= \(\frac { (8+2)+i(1-16) }{ { 1 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 } } =\frac { 10-15i }{ 5 } \)
= 2 - 3i     ...(2)
இப்பொழுது, z = \({ \left( \frac { 19+9i }{ 5-3i } \right) }^{ 15 }-{ \left( \frac { 8+i }{ 1+2i } \right) }^{ 15 }\)
⇒ z = (2 + 3i)¹⁵ - (2 - 3i)¹⁵ ((1) மற்றும் (2)லிருந்து)
வரையறையிலிருந்து, \(\bar { z } \) = \(\overline { { (2+3i) }^{ 15 }-{ (2-3i) }^{ 15 } } \)
= \({ \overline{ (2+3i) } }^{ 15 }-{ \overline { (2-3i) } }^{ 15 }\) (இணை எண் பண்புகளின்படி)
= (2 + 3i)¹⁵ - (2 - 3i)¹⁵ = - ((2 + 3i)¹⁵ - (2 - 3i)¹⁵ )
⇒ \(\bar { z } \) = −z.
ஆகவே, z = \({ \left( \frac { 19+9i }{ 5-3i } \right) }^{ 15 }-{ \left( \frac { 8+i }{ 1+2i } \right) }^{ 15 }\) என்பது முழுவதும் கற்பனை எண் ஆகும்.

\(|\sqrt {3} + i| = \sqrt {3+1} = 2\)
\(|3 i+4|  =\sqrt{9+16}=5 \)
\(|8+6 i|  =\sqrt{64+36}=10 \)
\(|z|  =\frac{2^3 \times 5^2}{10^2}=\frac{200}{100}=2\)

ஒரு கலப்பெண்ணின் இணை கலப்பெண் \(\frac { 1 }{ i-2 } \) 
கலப்பெண் \(z = \frac { 1 }{ -i-2 } = \frac { 1 }{-( i-2) } = \frac { -1 }{( i+2) } \)

z, iz மற்றும் z + iz ஆகிய கலப்பெண்களால் ஏற்படும் முக்கோணத்தின் பரப்பளவு
z = a + ib என்க. ⇒ புள்ளி (a,b)
iz = - b + ia ⇒புள்ளி (-b, a) 
z + iz = (a-b) + i(a+b) ⇒ புள்ளி ((a−b), (a+b))
முக்கோணத்தின் பரப்பளவு \( =\frac{1}{2}\left[x_1\left(y_2-y_3\right)+x_2\left(y_3-y_1\right)+x_3\left(y_1-y_2\right)\right] \)
\(=\frac{1}{2}[a(a-a-b)-b(a+b-b)+(a-b)(b-a)] \)
\(=\frac{1}{2}\left[-a b-a b+a b-a^2-b^2+a b\right] \)
\(=\frac{1}{2}\left|a^2+b^2\right|=\frac{1}{2}|z|^2\)

\(\sum_{n=1}^{13}\left(i^n+i^{n-1}\right)=  \left(\mathrm{i}^1+\mathrm{i}^2+\mathrm{i}^3+\ldots+\mathrm{i}^{13}\right)+ \left(\mathrm{i}^0+\mathrm{i}^1+\mathrm{i}^2+\ldots+\mathrm{i}^{12}\right) \)
\(=  \mathrm{i}^0+2\left(\mathrm{i}^1+\mathrm{i}^2+\mathrm{i}^3+\ldots+\mathrm{i}^{12}\right)+\mathrm{i}^{13} \)
\(=  1+2(\mathrm{i}-1-\mathrm{i}+1+\ldots+1)+\mathrm{i} \)
\(=  1+2(0)+\mathrm{i}=1+\mathrm{i}\)

\(\mathrm{i}^n+\mathrm{i}^{n+1}+\mathrm{i}^{n+2}+\mathrm{i}^{n+3}  =\mathrm{i}^n\left[1+i+i^2+i^3\right] \)
\( =i^n[1+i-1-i] =i^n(0)=0\)