இங்கு ஒற்றைப் படியுள்ள உறுப்புகளின் கெழுக்களின் கூடுதலும் இரட்டைப் படியுள்ள உறுப்புகளின் கெழுக்களின் கூடுதலும் சமமாக இருக்கின்றது. எனவே, -1 என்பது இச்சமன்பாட்டின் ஒரு மூலமாகும். இனி பிற மூலங்களைக் கண்டறிய 2x³ +11x² − 9x −18 -ஐ x+1 ஆல் வகுத்து 2x²+ 9x -18 என்பதை ஈவாகப் பெறுகிறோம். இதனைத் தீர்ப்பதன் மூலம், \(\\ \frac { 3 }{ 2 } \) மற்றும் -6 ஆகியவற்றை மூலங்களாக பெறுகிறோம். எனவே கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டிற்கு -6,-1,\(\\ \frac { 3 }{ 2 } \) ஆகியவை தீர்வுகளாக அமையும்.

கொடுக்கப்பட்டுள்ள சமன்பாடு x⁴-9x²+20=0 ஆகும்.
இது ஒரு நாற்படிச் சமன்பாடாகும். x²=y எனப் பிரதியிட y²-9y+20=0 எனும் இருபடி சமன்பாடு கிடைக்கிறது. இதன் தீர்வு 4 மற்றும் 5ஆகும். இனி x²=4 மற்றும் x²=5 என எடுத்துக் கொண்டால், கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டிற்கு 2,-2,\(\sqrt { 5 } \), -\(\sqrt { 5 } \) என்பது தீர்வுகளாகும்.
மேற்கண்ட வழிமுறையை x⁶ −17x³ + 30 = 0, ax^2k + bx^k + c = 0 மற்றும் பல்லுறுப்புக் கோவைச் சமன்பாடுகளுக்கும் மற்றும் a_nx^kn + a_n-1kⁿ⁻¹ + .....+ a₁x^k + a₀ (இங்கு k என்பது ஏதேனும் ஒரு முழு எண்) என்ற முறையில் அமையும் பொதுவான பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாட்டிற்கும் பயன்படுத்தலாம் என்பது குறிப்பிடத்தக்கது.

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு 2x²+kx+k=0
இங்கு a=2, b=k, c=k
பண்புகாட்டி

Δ=b²-4ac=k²-4(2)(k)
=k²-8k=k(k-8)
k மெய் ஆகையால் k-க்கு சாத்தியமான மதிப்புகள்
k<0, k=0 அல்லது 8, 08 நிலை (i) k<0 எனில், Δ=k(k-8)>0
⇒ அது மெய் மூலங்களை கொண்டிருக்கும்.
(∵ k என்பது மெய்)
நிலை (ii) k=0 அல்லது 8 எனில், Δ=0,
∴ மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமம்
நிலை (iii) 0 நிலை (iv) k>8 எனில், Δ=k(k-8)>0
⇒ மூலங்கள் மெய் மற்றும் வெவ்வேறானவை.

பொருத்தமான ஆயக்கூறு அச்சுகளைத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம் வட்டத்தின் சமன்பாடு x²+y²=r² எனவும், நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு y = mx + c எனவும் கொள்க. வட்டமும் நேர்க்கோடும் வெட்டிக்கொள்ளும் புள்ளிகள் கீழ்க்காணும் ஒருங்கமைச் சமன்பாடுகளின் தீர்வாகும் என நாம் அறிவோம்.
x²+y²=r²    .........(1)
y=mx+c     .........(2)
சமன்பாடு (1)-ல் y=mx+c எனப் பிரதியிட
x²+(mx+c)²-r² =0
எனக் கிடைக்கும் இச்சமன்பாட்டினை
(1+m²)x²+2mcx+(c²-r²)=0              ............(3)
என்ற இருபடிச் சமன்பாடாக எழுதலாம்.
இச்சமன்பாட்டிற்கு இரண்டிற்கு மேற்பட்டத் தீர்வுகள் இல்லை என்பதால் ஒரு கோடும் ஒரு வட்டமும் இரு புள்ளிகளுக்கு மேல் வெட்டிக்கொள்ளாது.
இரு மாறிகள் கொண்ட இரு சமன்பாடுகளின் தொகுப்பானது ஒரு பிரதியிடல் மூலம் ஒரு இருபடி சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் கணக்காக மாறுவது கவனிக்கத்தக்கது.
மேலும் அவ்வாறு குறைக்கப்பட்டு அமையும் இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாட்டின் கெழுக்கள் மெய்யெண்களாக இருப்பதால், இரு மூலங்களுமே மெய் எண்களாகவோ அல்லது இரு மூலங்களுமே மெய்யற்ற எண்களாகவோ அமையும். அவ்வாறு இரு மூலங்களுமே மெய்யற்ற கலப்பெண்கள் எனில், வட்டமும் நேர்க்கோடும் ஒன்றையொன்று வெட்டிக் கொள்ளாது. மெய்யெண் மூலங்களைப் பொருத்தவரையில் அவை ஒன்றுக்கொன்று வேறுபட்டவையாகவோ பல்லுறுப்புக் கோவையின் மூலங்களின் மடங்குகளாகவோ அமையும். அவை வேறுபட்டவை எனில், சமன்பாடு (2)-ல் பிரதியிட y க்கு இரு வேறுபட்ட மதிப்புகள் கிட்டும் என்பதால் இரு புள்ளிகளில் வெட்டிக்கொள்ளும். அவை இரண்டுமே சமமான மூலங்களாக இருப்பின் வட்டத்தில் நேர்க்கோடு தொடுகோடாக அமையும். சமன்பாடு (3)-ல் குறிப்பிட்டுள்ள பல்லுறுப்புக் கோவைக்கு ஒரே ஒரு எளிமையான மெய்யெண் மூலம் இருப்பதால் ஒரு நேர்க்கோடு ஒரு வட்டத்தை ஒரே ஒரு புள்ளியில் வெட்டாது.

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு 2x⁴-8x³+6x²-3=0
இங்கு a=2, b=-8, c=6, d=0, e=-3
α,β,\(\gamma \) மற்றும் δ என்பது சமன்பாடு (1)-ன் மூலங்கள் என்க.
வியட்டாவின் சூத்திரப்படி,
Σ₁=\(\alpha +\beta +\gamma +\delta =\frac { -b }{ a } =\frac { -(-8) }{ 2 } \)=4
Σ₂=\(\alpha \beta +\alpha \gamma +\alpha \delta +\beta \gamma +\beta \delta +\gamma \delta =\frac { c }{ a } =\frac { 6 }{ 2 } \)=3
Σ₃=\(\alpha \beta \gamma +\alpha \beta \delta +\alpha \gamma \delta +\beta \gamma \delta =\frac { -d }{ a } =\frac { 0 }{ a } \)
Σ₄=αβ\(\gamma \)δ  =\(\frac { e }{ a } =\frac { -3 }{ 2 } \)
இப்பொழுது (a+b+c+d)²=a²+b²+c²+d²+2(ab+ac+ad+bc+cd)
⇒ α²+β²+\(\gamma \)²+δ² =(α+β+\(\gamma \)+δ)²-2(αβ+α\(\gamma \)+αδ+β\(\gamma \)+βδ+\(\gamma \)δ)
α²+β²+\(\gamma \)²+δ²=4²-2(3)=16-6=10

கொடுக்கப்பட்ட முப்படி சமன்பாடு
3x³-16x²+23x-6=0
\(\alpha ,\frac { 1 }{ \alpha } \) மற்றும் \(\gamma \) என்பது சமன்பாட்டின் மூலங்கள்
[∵ இரண்டு மூலங்களின் பெருக்கல் பலன் 1]
(1) ⟶ \({ x }^{ 3 }-\frac { 16 }{ 3 } x^{ 2 }+\frac { 23 }{ 3 } -2\)=0  ....(1)
(1) ஒப்பிடும் போது
\({ x }^{ 3 }-\left( \frac { \alpha +\beta +\gamma }{ \alpha } \right) +\left( \alpha \frac { 1 }{ \alpha } .\gamma +\gamma \alpha \right) \)
\(-\alpha ,\frac { 1 }{ \alpha } .\gamma \)=0     ......(2)
கிடைப்பது,
\(\alpha ,\frac { 1 }{ \alpha } +\gamma =\frac { 16 }{ 3 } \)     ...(3)
\(1+\frac { \gamma }{ \alpha } +\gamma \alpha =\frac { 23 }{ 3 } \)
\(\alpha ,\frac { 1 }{ \alpha } .\gamma \) =2 ⇒ \(\gamma \)=2   ......(4)
\(\gamma \)=2
என (3)-ல் பிரதியிட கிடைப்பது
\(\alpha ,\frac { 1 }{ \alpha } +2=\frac { 16 }{ 3 } \)
⇒ \(\alpha ,\frac { 1 }{ \alpha } =\frac { 16 }{ 3 } -2=\frac { 16-6 }{ 3 } =\frac { 10 }{ 3 } \)
⇒ \(\frac { \alpha ^{ 2 }+1 }{ \alpha } =\frac { 10 }{ 3 } \)
3x²+3=10α
3α²-10α+3=0
α=\(\frac { -10 }{ 3 } \)
அல்லது α=\(\frac{1}{3}\)
(3α+10)(3α-1)=0
α=\(\frac { -10 }{ 3 } \) சாத்தியமில்லை 
⇒ α=\(\frac{1}{3}\)
[∵ α=\(\frac { -10 }{ 3 } \) (5) ஐ நிறைவு செய்யவில்லை]
∴ மூலங்கள் 3,\(\frac{1}{3}\),2.

மூலங்கள் p:q:r எனும் விகிதத்தில் இருப்பதால், மூலங்களை pλ, qλ மற்றும் rλ எனக் கொள்க. இனி,
Σ₁ =pλ+qλ+rλ =-a      .......(1)
Σ₂=(pλ)(qλ)+(qλ)(rλ)+(rλ)(pλ)=b    .....(2)
Σ₃=(pλ)(qλ)(rλ)=-c,     .....(3)
(1) ⇒ λ = -\(\frac { a }{ p+q+r } \)    .....(4)
(3) ⇒ λ³=-\(\frac { c }{ pqr } \)     ........(5)
(4)-ஐ (5)-ல் பிரதியிட, நமக்கு கிடைப்பது
\(\left(- \frac { a }{ p+q+r } \right) ^{ 3 }=-\frac { c }{ pqr } \) ⇒ pqra³ =c(p+q+r)³

\(2+i\sqrt { 3 } \) பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஒரு மூலம் ஆதலால் அதனுடைய இணை மேலும் 2-i \(\sqrt { 3 } \) யும் சமன்பாட்டிற்கும் ஒரு மூலமாகும்.
\(\sqrt { 3 } \) யும் அந்த சமன்பாட்டிற்கு ஒரு மூலமாகும்.
∴ மூலங்களின் கூடுதல் =2+i\(\sqrt { 3 } \)+2-i\(\sqrt { 3 } \)=4
மூலங்களின் பெருக்கல் பலன் =(2+i\(\sqrt { 3 } \))(2-i\(\sqrt { 3 } \))
=2²+(\(\sqrt { 3 } \))²
[∵ (a+ib)(a-ib)=a²+b²
=4+3=7
எனவே குறைந்தபட்ச படியுடன் விகிதமுறு கெழுக்களையுடைய பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாடு
x²-x (மூலங்களின் கூடுதல்)+மூலங்களின் பெருக்கல் பலன் =0
⇒ x²-x(4)+7=0
⇒ x²-4x+7=0

மூலங்கள் விகிதமுறு எண்களாக இருக்க வேண்டுமெனில், Δ = b² - 4ac =(-2p)²- 4(p² - q² + 2qr - r²) என இருக்க வேண்டும்.
ஆனால் இதனைச் சுருக்கினால் 4(q² - 2qr + r²) அல்லது 4(q - r)² எனும் முழு வர்க்க எண்ணாகும். எனவே, மூலங்கள் விகிதமுறு எண்களாக இருக்கும்.

இங்கு மூலங்கள் சமம் என்பதால் Δ =b² - 4ac = 0 ஆகும். இதிலிருந்து 4(k+2)² = 4(9)k எனக் கிடைக்கும். இதிலிருந்து k-ன் மதிப்பு 4 அல்லது 1 ஆகும்.

Δ =b²-4ac=-20 < 0. எனவே மூலங்கள் கற்பனை எண்களாகும்.

பண்புகாட்டி Δ=(4p)²-4(4)(p+2)=16(p²-p-2)=16(p+1)(p-2) ஆகும்.
எனவே,
−1< p < 2 எனில், Δ< 0
p = −1 அல்லது p = 2 எனில், Δ = 0
−∞ < p < −1 அல்லது 2 < p < ∞ எனில், Δ > 0
எனவே, கொடுக்கப்பட்டுள்ள பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு,
−1< p < 2 எனில், கலப்பெண் மூலங்களைப் பெற்றிருக்கும் ;
p = -1 அல்லது p = 2 எனில், சமமான மெய்யெண் மூலங்களைப் பெற்றிருக்கும் ;
− ∞ < p < −1 அல்லது 2 < p < ∞ எனில், வெவ்வேறான மெய்யெண் மூலங்களைப் பெற்றிருக்கும்.

மூலங்கள் பெருக்குத் தொடர்முறையில் உள்ளன என்க. எனவே, அவற்றை \(\frac { \alpha }{ \lambda } \),α,αλ எனக் கருதுக.
வியட்டாவின் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்த நமக்குக் கிடைப்பது
∑₁ =\(\alpha \left( \frac { 1 }{ \lambda } +1+\lambda \right) =-\frac { b }{ a } \)     ....(1)
∑₂ =\(\alpha ^{ 2 }\left( \frac { 1 }{ \lambda } +1+\lambda \right) =\frac { c }{ a } \)      ....(2)
∑₃ =\({ \alpha }^{ 3 }=-\frac { d }{ a } \)      ..........(3)
சமன்பாடு (2)-ஐ சமன்பாடு (1)-ஆல் வகுக்க
α=-\(\frac { c }{ b } \)     .........(4)
(4)-ஐ (3)-இல் பிரதியிட \(\left( -\frac { c }{ b } \right) ^{ 3 }=-\frac { d }{ a } \)  ⇒ ac³=db³.

α,β,\(\gamma \) என்பது சமன்பாட்டின் மூலங்கள் என்க.
கொடுக்கப்பட்ட \(\frac { \alpha }{ \beta } =\frac { 3 }{ 2 } \Rightarrow 2\alpha =3\beta \Rightarrow \alpha =\frac { 3 }{ 2 } \beta \)
∴ \(\frac { 3 }{ 2 } \beta ,\beta ,\gamma \) என்பது கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் மூலங்கள் வியட்டாவின் சூத்திரப்படி,
\(\frac { 3 }{ 2 } \beta +\beta +\gamma =\frac { -b }{ a } =\frac { -(-9) }{ 1 } \)
\(\frac { 5 }{ 2 } \beta +\gamma =9\Rightarrow \gamma =9-\frac { 5 }{ 2 } \beta \)
⇒ \(\gamma \)=\(\frac { 18-5\beta }{ 2 } \)           .........(2)
மேலும் \(\frac { 3 }{ 2 } \beta (\beta )+\beta \gamma +\left( \frac { 3 }{ 2 } \beta \right) \gamma =\frac { c }{ a } =\frac { 14 }{ 1 } \)=14
⇒ \(\frac { 3 }{ 2 } \beta ^{ 2 }+\frac { 5 }{ 2 } \gamma \)=14
⇒ \(\frac { 3 }{ 2 } \beta ^{ 2 }+\frac { 5 }{ 2 } \beta \left( \frac { 18-5\beta }{ 2 } \right) \)=14  [(2) ஐ பயன்படுத்தி]
⇒ \(\frac { 3 }{ 2 } { \beta }^{ 2 }+\frac { 90\beta }{ 4 } -\frac { 25\beta ^{ 2 } }{ 4 } \)=14
4 ஆல் பெருக்க 6β²+90β-25β²=56
19β²-90β+56=0
⇒ (β-4)(19β-14)=0
⇒ β=4
β=\(\frac { 14 }{ 19 } \)
β =4 எனில் மற்ற மூலங்கள்
\(\frac { 3 }{ 2 } (4),4,\frac { 18-5 }{ 2 } (4)\)
⇒ 6,4,-1
β =\(\frac { 14 }{ 19 } \) எனில் மற்ற மூலங்கள் \(\frac { 3 }{ 2 } \beta ,\beta ,\frac { 18-5\beta }{ 2 } \)  [(2)-ன் படி]
⇒ \(\frac { 3 }{ 2 } \left( \frac { 14 }{ 19 } \right) ,\frac { 14 }{ 19 } ,\frac { 18-5\left( \frac { 14 }{ 19 } \right) }{ 2 } \Rightarrow \frac { 21 }{ 19 } ,\frac { 14 }{ 19 } ,\frac { 136 }{ 19 } \).

a < 0 எனில், ஒரே ஒரு குறிமாற்றம் மட்டுமே கிடைக்கும்.

\(\alpha+\beta+\gamma=-p, \quad \alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha=q, \alpha \beta \gamma=-r \)
\(\sum \frac{1}{\alpha}=\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}=\frac{\beta \gamma+\alpha \gamma+\alpha \beta}{\alpha \beta \gamma}=\frac{q}{-r}\)

\(x^3 =-64 \)
\(x^3 =-4 \times-4 \times-4=(-4)^3 \)
\(x =-4\)