y = sec^-1(-2) என்க. எனவே, sec y = -2
y = sec^-1x -ன் முதன்மை மதிப்பிற்குரிய வீச்சகம் [0,\(\pi\)]\\(\left\{ \frac { \pi }{ 2 } \right\} \)ஆகும்.
sec y = -2 என்றிருக்குமாறு [0, \(\pi\)]-\(\left\{ \frac { \pi }{ 2 } \right\} \)ல் y-ஐ காணவேண்டும்.
ஆனால் sec y = -2 \(\Rightarrow \) cos y = -\(\frac {1}{2}\).
இனி, \(\cos y=-\frac { 1 }{ 2 } =-\cos\frac { \pi }{ 3 } =\cos\left( \pi -\frac { \pi }{ 3 } \right) =\cos\frac { 2\pi }{ 3 } .\) எனவே \(y=\frac { 2\pi }{ 3 } \).
\(\frac { 2\pi }{ 3 } \in [0,\pi ]\)\\(\left\{ \frac { \pi }{ 2 } \right\} \) என்பதால், sec^-1 (-2)-ன் முதன்மை மதிப்பு \(\frac { 2\pi }{ 3 } \) ஆகும்.

Now, \({ \tan }^{ -1 }\left( \frac { x-1 }{ x-2 } \right) +{ \tan }^{ -1 }\left( \frac { x+1 }{ x+2 } \right) ={ \tan }^{ -1 }\left[ \frac { \frac { x-1 }{ x-2 } +\frac { x+1 }{ x+2 } }{ 1-\frac { x-1 }{ x-2 } \left( \frac { x+1 }{ x+2 } \right) } \right] =\frac { \pi }{ 4 } \)
எனவே, \(\frac { \frac { x-1 }{ x-2 } +\frac { x+1 }{ x+2 } }{ 1-\frac { x-1 }{ x-2 } \left( \frac { x+1 }{ x+2 } \right) } =1\), என்பதை சுருக்கினால் 2x²- 4 = -3 எனக்கிடைக்கிறது.
எனவே, \({ x }^{ 2 }=\frac { 1 }{ 2 } \) என்பதிலிருந்து \(x=\pm \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \) எனப் பெறுகிறோம்.

 cosec^-1(-1) = y என்க. எனவே, cosec y = -1
y = cosec^-1x-ன் முதன்மை மதிப்பிற்குரிய வீச்சகம்  \([-\frac { \pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 }]\)\{0} ஆகும்.
மேலும், cosec (−\(\frac{\pi}{2}\)) = −1 என்பதால், y = −\(\frac{\pi}{2}\) என்றிருக்க வேண்டும்.
இங்கு −\(\frac{\pi}{2}\)∈ \([\frac { \pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 }]\)\{0} என்பதை கவனிக்க.
எனவே, cosec⁻¹ (−1) -ன் முதன்மை மதிப்பு −\(\frac{\pi}{2}\) ஆகும்.

கொடுக்கப்பட்ட \(\frac { \pi }{ 2 } \) < cos^-1 (3x - 1) < π
cos \(\frac { \pi }{ 2 } \) < 3x - 1 < cos π ⇒ 0 < 3x - 1 < -1
0 + 1 < 3x < -1 + 1 ⇒ 1 < 3x < 0
\(\frac { 1 }{ 3 } \) < x < 0
0 < x < \(\frac { 1 }{ 3 } \) எனில் மட்டும் இந்த சமன்பாடு சரி.

கொடுக்கப்பட்ட (i) y = sin 7x
sin x- ன் வீச்சு 1 [சைன் வளைவரையின் மீப்பெரு மதிப்பு 1
⇒ sin 7x-ன் வீச்சு கூட 1.
சார்பின் காலம் p எனில் f(x + p) = f(x)
சைன் சார்பின் காலம் 2π. ஆதலால் sin 7x ன் காலம் \(\frac { 2\pi }{ 7 } \) 
(ii) y = -sin \((\frac{1}{3}x)\) sin x-ன் வீச்சு 1
⇒ -sin \((\frac{1}{3}x)\) ன் வீச்சும் மேலும் 1.
-sin \((\frac{1}{3}x)\) ன் காலம் \(\frac { 1 }{ 3 } \)x = 2π ⇒ x = 6π
(iii) y = 4 sin (-2x)
sin x-ன் வீச்சு 1
⇒ sin (-2x)- ன் வீச்சு 4 x 1 = 4
sin (-2x) ன் காலம் 2x = 2π ⇒ x = \(\frac { 2\pi }{ 2 } \) = π

sin^-1: [-1, 1] \(\rightarrow \left[ -\frac { \pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right] \) என்பது  sin^-1: x = y என கொடுக்கப்படத் தேவையானதும் மற்றும் போதுமானதுமான நிபந்தனை x = sin y ஆகும். இங்கு −1 ≤ x ≤ 1 மற்றும் - \(\frac { \pi }{ 2 } \le y \le \frac { \pi }{ 2 } \). எனவே
(i) \(\frac{\pi}{4}\) \(\in \left[ -\frac { \pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right] \)மற்றும் sin \(\frac { \pi }{ 4 } =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \) என்பதால் \({ \sin }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) \)\(-\frac{\pi}{4}\)
(ii) \( -\frac{\pi}{3}\)\(\in \left[ -\frac { \pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right] \)என்பதால் \({ \sin }^{ -1 }\left( \sin\left( -\frac { \pi }{ 3 } \right) \right) \)= -\(\frac{\pi}{3}\) ஆகும்.
(iii) \(\frac{\pi}{6}\) \(\in \left[ -\frac { \pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right] \)என்பதால் \(\sin ^{-1}\left(\sin \left(\frac{5 \pi}{6}\right)\right)=\sin ^{-1}\left(\sin \left(\pi-\frac{\pi}{6}\right)\right)=\sin ^{-1}\left(\sin \frac{\pi}{6}\right)=\frac{\pi}{6}\)

y = sin^-1 x-ன் சார்பகம் [-1, 1] என்பதாலும் 2 ∉ [-1, 1] என்பதாலும் sin^-1 (2)-க்கு முதன்மை மதிப்பு இல்லை.

\({ \sin }^{ -1 }\left( -\frac { 1 }{ 2 } \right) \) = y என்க. எனவே, sin y = -\(\frac{1}{2}\) ஆகும்.
sin^-1 x-ன் முதன்மை மதிப்புகளின் வீச்சகம் \(\left[ -\frac { \pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right] \) ஆகும். எனவே sin y = -\(\frac{1}{2}\) என்றவாறு \(y\in \left[ -\frac { \pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right] \\ \) ஐ  கண்டறிய வேண்டும். ஆகவே y = \(-\frac{\pi}{6}\) எனக் கிடைக்கின்றது. எனவே  \({ \sin }^{ -1 }\left( -\frac { 1 }{ 2 } \right) \)-ன்  முதன்மை மதிப்பு \(-\frac { \pi }{ 6 } \) ஆகும். அதன் ஒத்த மதிப்பு -30^o ஆகும்.

\({ \sin }^{ -1 }\left( \frac { x }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } \right) ={ \cos }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } \right) \).என அறிவோம்
எனவே, \(\cos\left( { \sin }^{ -1 }\left( \frac { x }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } \right) \right) +\frac { 1 }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } )\)     ...(1)
\({ \cot }^{ -1 }\left( \frac { 3 }{ 4 } \right) =\theta \). என்க. பின்னர் \(\cot\theta =\frac { 3 }{ 4 } \)மற்றும் \(\theta \) குறுங்கோணம்.
படத்திலிருந்து, நமக்கு கிடைக்கப்பெறுவது 
\(\sin\left\{ { \cot }^{ -1 }\left( \frac { 3 }{ 4 } \right) \right\} =\sin\theta =\frac { 4 }{ 5 } \)        ...(2)
(1) மற்றும் (2)-ஐ கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டில் பயன்படுத்தும்போது 
\(\frac { 1 }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } =\frac { 4 }{ 5 } \), என்பதிலிருந்து \(\sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } =\frac { 5 }{ 4 } \) எனவே, \(x=\pm \frac { 3 }{ 4 } \).

\(\cos\left( { \cos }^{ -1 }\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) +{ \sin }^{ -1 }\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) \right) \)
cos^-1 \(\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) \) = θ ⇒ \(\frac { 4 }{ 5 } \) = cos θ என்க.    ...(1)
மேலும் sin^-1 \(\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) \) = sin^-1 (cos θ)
= sin^-1\(\left( \sin\left( \frac { \pi }{ 2 } -\theta \right) \right) \)
[∵ cosθ = sin \(\sin\left( \frac { \pi }{ 2 } -\theta \right) \) ]
= \(\frac { \pi }{ 2 } -\theta \)    ...(2)
\(\therefore \cos\left( { \cos }^{ -1 }\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) +{ \sin }^{ -1 }\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) \right) \)
= cos \(\left( \theta +\frac { \pi }{ 2 } -\theta \right) \) [(1) மற்றும் (2) ஐ பயன்படுத்தி]
= cos \(\frac { \pi }{ 2 } =0\)

y = cos^-1 x  -ன் சார்பகம் \(-1\le x\le 1\) அதாவது |x| \(\le \)1 ஆகும். 
எனவே, \(-1\le\frac{2+\sin x}{3}\le1\)  என்பதை -3 \(\le\) 2 + sin x \(\le\) 3 எனலாம்.
எனவே, -5 \(\le \sin\ x\le1 \) என்பதை சுருக்கி, -1\(\le \sin\ x\le1 \), எனப் பெறலாம்.
sin^-1(1)\(\le x\le \sin^{-1}(1)\) அல்லது \(-\frac{\pi}{2}\le x\le \frac{\pi}{2}\) எனப் பெறலாம்.
ஆகையால் cos^-1 \((\frac{2+ \sin\ x}{3}) \) -ன் சார்பகம் \( [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\) ஆகும்.

கொடுக்கப்பட்ட f(x) = sin^-1 \(\left( \frac { { x }^{ 2 }+1 }{ 2x } \right) \)
நமக்கு தெரியும் sin^-1(x)-ன் சார்பகம் [-1,1]
\(\Rightarrow -1\le \frac { { x }^{ 2 }+1 }{ 2x } \le 1\)
கருதுக \(-1\le \frac { { x }^{ 2 }+1 }{ 2x } \)
\(\Rightarrow 0\le \frac { { x }^{ 2 }+1 }{ 2x } +1\Rightarrow \frac { { x }^{ 2 }+1+2x }{ 2x } \ge 0\)
\(\Rightarrow \frac { { (x+1) }^{ 2 } }{ 2x } \ge 0\) ⇒ x = -1 மற்றும் x < 0    .....(1)
கருதுக \(\frac { { x }^{ 2 }+1 }{ 2x } \le 1\Rightarrow \frac { { x }^{ 2 }+1 }{ 2x } -1\le 0\)
\(\Rightarrow \frac { { x }^{ 2 }-1+2x }{ 2x } \le 0\Rightarrow \frac { { (x-1) }^{ 2 } }{ 2x } \le 0\)
x = 1 மற்றும் x ≥ 0
(1) மற்றும் (2) லிருந்து சார்பகம் = {-1,1}

கொடுக்கப்பட்ட (i) sin x = 0
⇒ sin x = sin 0 ⇒ x = nπ, n ∈ z.
-10 π ≤ x ≤ 10π, n ஆனது -1 லிருந்து -10 லிருந்து + 10 எடுத்துக் கொள்வோம்.
∴ x = nπ, இங்கு n = 0, 土1, 土2, 土3, 土4, 土5, 土6, 土7, 土8, 土9, 土10
(ii) sin x = -1
⇒ sin x = sin^-1 \(\left( \frac { -\pi }{ 2 } \right) \) ⇒ x = \(\frac { -\pi }{ 2 } ,\frac { 3\pi }{ 2 } ,\frac { 7\pi }{ 2 } \)........,
⇒ x = (4n - 1) \(\frac { \pi }{ 2 } \), n ∈ Z. ⇒ x = (4n - 1) \(\frac { \pi }{ 2 } \), n எடுத்துக் கொள்ளும் மதிப்புகள் 0, 土1, 土2, 土3, மற்றும் 土4
ஆதலால் n = -4 எனில், x = \(\frac { -17\pi }{ 2 } \) < -8π.

கொடுக்கப்பட்ட  f(x) = sin^-1 \(\left( \frac { \left| x \right| -2 }{ 3 } \right) \) + cos^-1 \(\left( \frac { 1-\left| x \right| }{ 4 } \right) \)
sin^-1 x இன் வரையறையிலிருந்து 
-1≤ \( \frac { \left| x \right| -2 }{ 3 } \) ≤ 1
⇒ -3 ≤ |x| -2 ≤ 3
⇒ -3 + 2 ≤ |x| ≤ 3 + 2
⇒ -1≤ |x| ≤ 5
என்பதை சுருக்கி 0 ≤ |x| ≤ 5     ...(1)
⇒ 0 ≤ |x| மற்றும் |x| ≤ 5
⇒ |x| ≥ 0 மற்றும் -5 ≤ x ≤ 5
cos^-1 x ன் வரையறைப்படி -1 ≤ \(\frac { 1-\left| x \right| }{ 4 } \) ≤ 1
⇒ -4 ≤ 1 - |x| ≤ 4 ⇒ -4 - 1≤ - |x| ≤ 4 - 1
⇒ -5 ≤ - |x| ≤ 3 ⇒ -3 ≤ |x| ≤ 5
என்பதை சுருக்கி 0 ≤ |x| ≤ 5 - 5 ≤ x ≤ 5     ...(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து
சார்பகமானது [-5, 5] 

\(\therefore \cos 2 u=\cos 2\left(\frac{\pi}{2}\right)=\cos \pi=-1\)

\( \sin ^{-1}\left(2 \cos ^2 x-1\right)+\cos ^{-1}\left(1-2 \sin ^2 x\right) \\ =\sin ^{-1}(\cos 2 x)+\cos ^{-1}(\cos 2 x) \\ =\frac{\pi}{2} \quad\left[\because \sin ^{-1} x+\cos ^{-1} x=\frac{\pi}{2}\right] \)

\( -1 \leq x^2-3 \leq 1 \\ -1+3 \leq x^2 \leq 1+3 \\ \Rightarrow 2 \leq x^2 \leq 4 \\ \pm \sqrt{2} \leq x \leq \pm 2 \\ \therefore \quad[-2,-\sqrt{2}] \cup[\sqrt{2}, 2] \)

2sin⁻¹ \(\alpha\) -க்கு ஒரு தீர்வு இருந்தால்
\( -\frac{\pi}{2} \leq 2 \sin ^{-1} \alpha \leq \frac{\pi}{2} \\ -\frac{\pi}{4} \leq \sin ^{-1} \alpha \leq \frac{\pi}{4} \\ \sin \left(\frac{-\pi}{4}\right) \leq \alpha \leq \sin \frac{\pi}{4} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \leq \alpha \leq \frac{1}{\sqrt{2}} \\ |\alpha| \leq \frac{1}{\sqrt{2}} \)

\(\sin ^{-1}(\cos x)=\sin ^{-1}\left(\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right)=\frac{\pi}{2}-x\)