\(x+iy=2-i2=r(cos\theta +isin\theta )\) என்க.
r = எண் மதிப்பு = \(r=\sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } =\sqrt { 2^{ 2 }+(2{ ) }^{ 2 } } =\sqrt { 4+4 } \)
\(=\sqrt { 8 } =2\sqrt { 2 } \)
\(\alpha ={ tan }^{ -1 }\left| \frac { y }{ x } \right| ={ tan }^{ -1 }\left| \frac { -2 }{ -2 } \right| ={ tan }^{ -2 }(1)=\frac { \pi }{ 4 } \)
-2-2i என்ற கலப்பெண் மூன்றாம் காலப்பகுதியின் அமைவதால் [x குறை y குறை]
அதன் துருவ வடிவம்
\(-2-2i=2\sqrt { 2 } \)
\(2\sqrt { 2 } \left( cos\left( 2k\pi +\frac { 3\pi }{ 4 } \right) +isin\left( 2k\pi +\frac { 3\pi }{ 4 } \right) \right) \), k ∈ Z

z = -6 + 8i என்க
\(\left| z \right| =\sqrt { ({ -6) }^{ 2 }+{ 8 }^{ 2 } } \)
\(\sqrt { 36+64 } =\sqrt { 100 } =10\)
\(\sqrt { a+ib } =\pm \left( \sqrt { \frac { \left| z \right| +a }{ 2 } } +i\frac { b }{ \left| b \right| } \sqrt { \frac { \left| z \right| -a }{ 2 } } \right) \) [இங்கு \(\left| z \right| =10,a=-6,b=8\)]
\(\sqrt { -6+8i } =\pm \left( \sqrt { \frac { 10-6 }{ 2 } } +\frac { 8 }{ \left| 8 \right| } \sqrt { \frac { 10+6 }{ 2 } } \right) \)
\(=\pm \left( \sqrt { \frac { 4 }{ 2 } } +i\sqrt { \frac { 16 }{ 2 } } \right) \)
\(=\pm (\sqrt { 2 } +i\sqrt { 8 } )\)
\(=\pm (\sqrt { 2 } +i2\sqrt { 2 } )\)

= (5 - 2i)(-1 + 3i)
= -5 + 15i + 2i - 6i²
=-5+ 17i-6(-1)
= -5 + 17i + 6 = 1 + 17i

|z - 4| = 16
கொடுக்கப்பட்டது z = x + iy
|z - 4| = 16
\(\Rightarrow \left| x+iy-4 \right| =16\)
\(\Rightarrow \left| (x-4)+iy \right| =16\)
\(\Rightarrow \sqrt { { (x-4) }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } =16\)
\(\Rightarrow { (x-4) }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }={ 16 }^{ 2 }\) [இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த]
⇒ x² - 8x + 16 + y² = 256
⇒ x² - 8x + y²+ 16 - 256 = 0
⇒ x² - 8x + y² - 240 = 0 என்பது தேவையான கார்டீசியன் சமன்பாடு ஆகும்.

கொள்கை z² = \(\bar { z } \).
⇒ \({ \bar { \left| z \right| } }^{ 2 }=\left| z \right| \)
⇒  \(\left| z \right| (\left| z \right| -1)\) = 0
⇒ \(\left| z \right| \) = 0, அல்லது \(\left| z \right| \) = 1
\(\left| z \right| \) = 0 ⇒ z = 0 என்பது ஒரு தீர்வு \(\left| z \right| \) = 1 ⇒ z\(\bar { z } \) = 1 ⇒ \(\bar { z } \) = \(\frac12\)
கொள்கையிலிருந்து z² = \(\bar { z } \) ⇒ \({ z }^{ 2 }=\frac 1z \) ⇒ z³ = 1
இதற்கு 3 பூஜ்ஜியமற்ற தீர்வுகள் இருக்கும். ஆகவே பூஜ்ஜியத்தையும் சேர்த்து இதற்கு நான்கு தீர்வுகள் இருக்கும்.

கொடுக்கப்பட்ட z₁ = 2 - i மற்றும் z₂ = - 4 + 3i
z₁ z₂ = (2 + i)(- 4 + 3i)
= - 8 + 6i + 4i - 3i²
= -8 + 10i - 3(-1)
= -8 + 10i + 3 = - 5 + 10i
z₁ z₂ -ன் நேர்மாறு என்பது \(\frac { 1 }{ { z }_{ 1 }{ z }_{ 2 } } \)
= \(\frac { 1 }{ -5+10i } \times \frac { -5-10i }{ -5-10i } \)
= \(\frac { -5-10i }{ { (-5) }^{ 2 }-({ 10i })^{ 2 } } \)
= \(\frac { -5-10i }{ { 25-{ 100i }^{ 2 } } } \)
= \(\frac { -5-10i }{ 25+100 } \)  [∵ i²=1]

∴ z₁z₂ - ன் நேர்மாறு என்பது \(\frac { 1 }{ 25 } (-1-2i)\)
\(\frac { { z }_{ 1 } }{ { z }_{ 2 } } \) - ன் நேர்மாறு என்பது \(\frac { 1 }{ \frac { { z }_{ 1 } }{ { z }_{ 2 } } } =\frac { { z }_{ 2 } }{ { z }_{ 1 } } \)
∴ நேர்மாறு \(\frac { { z }_{ 1 } }{ { z }_{ 2 } } =\frac { { z }_{ 2 } }{ { z }_{ 1 } } =\frac { -4+3i }{ 2-i } \times \frac { 2+i }{ 2+i } \)
\(=\frac { -4+3i }{ 2-i } \times \frac { 2+i }{ 2+i } \)
\(=\frac { -8-4i+6i+{ 3 }i^{ 2 } }{ { 2 }^{ 2 }-{ (i }^{ 2 }) } \)
\(=\frac { -8+2i-3 }{ 4+1 } =\frac { -11+2i }{ 5 } =\frac { 1 }{ 5 } (-11+2i)\)
∴ \(\frac { { z }_{ 1 } }{ { z }_{ 2 } } \) - ன் நேர்மாறு என்பது \(\frac { 1 }{ 5 } (-11+2i)\)

= i . i ²i³ ...... i²⁰⁰⁰ = i^{1+2+3+ +2000}
= \({ i }^{ \frac { 2000\times 2001 }{ 2 } }[∵ 1+2+3+...n=\frac { n(n+1) }{ 2 } ]\)
= i^1000x2001 = i^2001000 = 1
[ \(\because\) 2001000 என்பது 4 ஆல் வகுப்படும் அதன் கடைசி இரண்டு எண்களும் 4 ஆல் வகுப்படும்]

\(z^3+27=0\)
\(z^3=-27=27(-1) \)
\(=27[\cos (\pi+2 k \pi)+i \sin (\pi+2 k \pi)], k \in \mathrm{Z} \)
\(\therefore z=(27)^{\frac{1}{3}}[\cos (2 k+1) \pi+i \sin (2 k+1) \pi]^{\frac{1}{3}}, k \in \mathrm{Z}\)
\(=3\left[\cos \frac{(2 k+1) \pi}{3}+i \sin \frac{(2 k+1) \pi}{3}\right], k=0,1,2\)
k = 0 எனில், \(\mathrm{z}=3\left(\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}\right)\)
k = 1 எனில், = 3[cos π + i sin π]= 3 (- 1 + 0) = - 3
k = 2 எனில், \(\mathrm{z}=3\left(\cos \frac{5 \pi}{3}+i \sin \frac{5 \pi}{3}\right)\)

\(\sin\frac { \pi }{ 6 } +i \cos\frac { \pi }{ 6 } =i\left( \cos \frac { \pi }{ 6 } -i\sin \frac { \pi }{ 6 } \right) \) ஆக எழுதலாம்.
இருபுறமும் 18-ன் அடுக்கிற்கு உயர்த்த,
\({ \left( sin\frac { \pi }{ 6 } +icos\frac { \pi }{ 6 } \right) }^{ 18 }={ \left( i \right) }^{ 18 }{ \left( \cos \frac { \pi }{ 6 } - i\sin \frac { \pi }{ 6 } \right) }^{ 18 }\)
= \((-1)\left( cos\frac { 18\pi }{ 6 } -isin\frac { 18\pi }{ 6 } \right) \)
= -(cos 3π - isin 3π) = 1 + 0i
ஆகவே, \({ \left( sin\frac { \pi }{ 6 } +icos\frac { \pi }{ 6 } \right) }^{ 18 }\)  = 1

கொடுக்கப்பட்டது z³ + 2\(\bar { z } \) = 0
\(\Rightarrow { z }^{ 3 }=-2\bar { z } \)
இருபுறமும் மட்டுப்படுத்த, \(\left| { z }^{ 3 } \right| =\left| -2\bar { z } \right| \)
\(\Rightarrow { \left| z \right| }^{ 3 }=2\left| z \right| \)
\(\Rightarrow \left| z \right| \left[ { \left| z \right| }^{ 2 }-2 \right] =0\)
\(\left| z \right| =0\) அல்லது \({ \left| z \right| }^{ 2 }-2=0\)
\(\Rightarrow z =0\) ஒரு தீர்வு ...(1)
\(\left| { z }^{ 2 } \right| =2\)
\(\Rightarrow { \left| z \right| }^{ 2 }=2\Rightarrow (z{ \bar { z } ) }^{ 2 }=2\)
\(\Rightarrow z\bar { z } =\sqrt { 2 } \Rightarrow \bar { z } =\frac { \sqrt { 2 } }{ z } \)
கொடுக்கப்பட்ட z³ + 2\(\bar { z } \) = 0
\(\Rightarrow { z }^{ 3 }+2.\frac { \sqrt { 2 } }{ z } =0\)
\(\Rightarrow { z }^{ 4 }+2\sqrt { 2 } =0\) ...(2)
z⁴ = -4
இது 4 பூஜ்யமற்ற தீர்வுகளை கொண்டிருக்கும்.
எனவே (1) மற்றும் (2) லிருந்து, z³ + 2\(\bar { z } \) க்கு 5 தீர்வுகள்.

z₁ =(2 + i)x + (1 - i)y + 2i - 3 = (2x + y - 3) + i(x - y + 2) மற்றும்
z₂ = x + ( -1 + 2i)y + 1 + i = (x - y  + 1) i(2y + 1) என்க.
z₁ = z₂ எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
எனவே, (2x + y - 3) + i(x - y + 2) = (x - y  + 1) + i(2y + 1)
மெய் மற்றும் கற்பனைப் பகுதிகளைச் சமப்படுத்த
2x + y - 3 = x - y + 1 ⇒ x + 2y = 4
x - y + 2 = 2y + 1 ⇒ x - 3y = -1
மேற்கண்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க
x = 2 மற்றும் y = 1 எனப்பெறலாம்.

\(2-2i=r(cos\theta +isin\theta )\) என்க
\(\\ r=\sqrt { { 2 }^{ 2 }+({ -2) }^{ 2 } } =\sqrt { 4+4 } =\sqrt { 8 } =2\sqrt { 2 } \)
முதன்மை மதிப்பு \(\alpha ={ tan }^{ -1 }\left| \frac { y }{ x } \right| ={ tan }^{ -1 }\left| \frac { -z }{ z } \right| \)
= \({ tan }^{ -1 }(1)=\frac { \pi }{ 4 } \)
2 - 2i என்ற கலப்பெண் கால்பகுதியில் அமைந்துள்ளதால், \(\theta =-\alpha =-\frac { \pi }{ 4 } \)
\(\therefore 2-2i=2\sqrt { 2 } { \left[ cos\left( -\frac { \pi }{ 4 } \right) +isin\left( -\frac { \pi }{ 4 } \right) \right] }^{ \frac { 1 }{ 3 } }\)
\(\therefore { (2-2i) }^{ \frac { 1 }{ 3 } }={ \left( 2\sqrt { 2 } \right) }^{ \frac { 1 }{ 3 } }{ \left[ cos\left( -\frac { \pi }{ 4 } \right) +isin\left( -\frac { \pi }{ 4 } \right) \right] }^{ \frac { 1 }{ 3 } }\)
\(={ 8 }^{ \frac { 1 }{ 6 } }\left[ cos\frac { 1 }{ 3 } \left( 2k\pi -\frac { \pi }{ 4 } \right) +isin\frac { 1 }{ 3 } \left( 2k\pi -\frac { \pi }{ 4 } \right) \right] \)
k  = 0,1,2 மூலங்கள்
∴ k = 0 எனில், \({ 8 }^{ \frac { 1 }{ 6 } }cis\left( -\frac { \pi }{ 12 } \right) \)
k = 1 எனில், \({ 8 }^{ \frac { 1 }{ 6 } }cis\left( \frac { 7\pi }{ 12 } \right) \)
k = 2 எனில், \({ 8 }^{ \frac { 1 }{ 6 } }cis\left( \frac { 15\pi }{ 12 } \right) \)
∴ மூலங்களின் பெருக்கல் பலன்
\(={ 8 }^{ \frac { 1 }{ 6 } }cis\left( -\frac { \pi }{ 12 } +\frac { 7\pi }{ 12 } +\frac { 15\pi }{ 12 } \right) \)
= \({ 8 }^{ \frac { 1 }{ 6 } }cis\left( \frac { 21\pi }{ 12 } \right) \) = \({ 8 }^{ \frac { 1 }{ 6 } }cis\left( \frac { 7\pi }{ 12 } \right) \)
= \({ 8 }^{ \frac { 1 }{ 6 } }cis\left( 2\pi -\frac { \pi }{ 4 } \right) ={ 8 }^{ \frac { 1 }{ 6 } }cis\left( -\frac { \pi }{ 4 } \right) \)
= \({ 8 }^{ \frac { 1 }{ 6 } }\left[ cos\left( -\frac { \pi }{ 4 } \right) +isin\left( -\frac { \pi }{ 4 } \right) \right] \) 
\(={ 8 }^{ \frac { 1 }{ 6 } }\left[ cos\left( \frac { \pi }{ 4 } \right) +isin\left( \frac { \pi }{ 4 } \right) \right] \)
\(={ 8 }^{ \frac { 1 }{ 6 } }\left[ \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } -\frac { i }{ \sqrt { 2 } } \right] ={ 2 }^{ 2\times \frac { 1 }{ 6 } }\left( \frac { 1-i }{ \sqrt { 2 } } \right) ={ 2 }^{ 1/2 }\left( \frac { 1-i }{ \sqrt { 2 } } \right) \)
= 1 - i 

கொடுக்கப்பட்ட z = x + iy
\(\left( \frac { z-i }{ z+2 } \right) =\frac { \pi }{ 4 } \)
\(\Rightarrow arg(z-i)-arg(z+2)=\frac { \pi }{ 4 } \)
⇒ arg (x + iy - i) - arg(x + iy + 2) = \(\frac { \pi }{ 4 } \)
⇒ arg (x + iy- 1) - arg(x + 2) + iy) = \(\frac { \pi }{ 4 } \)
\(\Rightarrow { \tan }^{ -1 }\left( \frac { y-1 }{ x } \right) -{ \tan }^{ -1 }\left( \frac { y }{ x+2 } \right) =\frac { \pi }{ 4 } \)
\(\Rightarrow { tan }^{ -1 }\left( \frac { \frac { y-1 }{ x } -\frac { y }{ x+2 } }{ 1+\frac { y-1 }{ x } .\frac { y }{ x+2 } } \right) =\frac { \pi }{ 4 } \)
\([\because { tan }^{ -1 }x-{ tan }^{ -1 }y={ tan }^{ -1 }\left( \frac { x-y }{ 1+xy } \right) ]\)

\(\Rightarrow \frac { (x+2)(y-1)-xy }{ x(x+2)+y(y-1) } =1\)
⇒ x + 2y - 2 = x² + 2x + y² - y
⇒ x²+ 2x + y - y + x - 2y + 2 = 0
⇒ x² + y² + 3x - 3y + 2 = 0
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

\( \left(\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}\right)^{\frac{3}{4}}=\left[\cos \left(\frac{\pi}{3} \times 3\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{3} \times 3\right)\right]^{3/4}\)
\( =\cos \frac{(2 k \pi+\pi)}{4}+i \sin \frac{(2 k \pi+\pi)}{4}, k=0,1,2,3 \)
\(\mathrm{k}=0 \) எனில் \(\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4} \)
k = 1 எனில்  \(\cos \frac{3 \pi}{4}+i \sin \frac{3 \pi}{4} \)
k = 2 எனில்  \(\cos \frac{5 \pi}{4}+i \sin \frac{5 \pi}{4}\)
k = 3 எனில் \(\cos \frac{7 \pi}{4}+i \sin \frac{7 \pi}{4} \)
எல்லா மதிப்புகளின் பெருக்குத் தொகை 
\(=\cos \left(\frac{\pi}{4}+\frac{3 \pi}{4}+\frac{5 \pi}{4}+\frac{7 \pi}{4}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{4}+\frac{3 \pi}{4}+\frac{5 \pi}{4}+\frac{7 \pi}{4}\right) \)
\(=\cos 4 \pi+i \sin 4 \pi=1+0=1\)

\(\frac{3}{-1+i}=\frac{3}{-1+i} \times \frac{-1-i}{-1-i}=\frac{3}{2}(-1-i) \)
\(\theta=\tan ^{-1}\left(\frac{-1}{-1}\right)=\frac{\pi}{4}\)
மெய் மற்றும் கற்பனைப் பகுதிகள் குறை மதிப்புகள் என்பதால் 'θ' ஆனது 3 ஆம் கால் வட்டப் பகுதியில் அமைகிறது.
முதன்மை வீச்சு \(=-\frac{3 \pi}{4} \quad\left[\because \frac{\pi}{4}-\pi\right]\)

\(2 \mathrm{i} z^2=\bar{z} \text {. } \)
\(\therefore \quad\left|2 i z^2\right|=|\bar{z}| \)
\(ie \ |2| \cdot|i| \cdot|z|^2=|z| \Rightarrow 2 \times 1 \times|z|^2=|z|\)
\(\frac{|z|^2}{|z|}=\frac{1}{2} \Rightarrow|z|=\frac{1}{2}\)

\(\mathrm{i}^n+\mathrm{i}^{n+1}+\mathrm{i}^{n+2}+\mathrm{i}^{n+3}  =\mathrm{i}^n\left[1+i+i^2+i^3\right] \)
\( =i^n[1+i-1-i] =i^n(0)=0\)

(1) (sin θ + i cosθ)ⁿ = sin nθ + i cos nθ
குறிப்பு: 1, 3 மற்றும் 4 டி மாய்வரின் தேற்றத்தின் பயன்பாடு

(4) |z|

(4) |z₁ + z₂| ≥ |z₁| + |z₂|

(2) z₁ = \({ \bar { z } }_{ 2 }\)