From the line \(\frac { x-1 }{ 3 } =\frac { y+1 }{ 2 } =\frac { z-1 }{ 5 } \)
(x₁, y₁, z₁) is (1, -1, 1)
(l₁, m₁, n₁) is (3, 2, 5)
From the line \(\frac { x+2 }{ 4 } =\frac { y-1 }{ 3 } =\frac { z+1 }{ -2 } \)
we get, (x₂, y₂, z₂) is (-2, 1, -1)
(l₂, m₂, n₂) is 4, 3, -2
The Condition for intersecting lines is 
\(\left| \begin{matrix} { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } \\ { l }_{ 1 } \\ { l }_{ 2 } \end{matrix}\begin{matrix} { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } \\ { m }_{ 1 } \\ { m }_{ 2 } \end{matrix}\begin{matrix} { z }_{ 2 }-{ z }_{ 1 } \\ { n }_{ 1 } \\ { n }_{ 2 } \end{matrix} \right| =0\)
\(\Rightarrow \left| \begin{matrix} -2-1 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}\begin{matrix} 1+1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}\begin{matrix} -1-1 \\ 5 \\ -2 \end{matrix} \right| \)
\(\Rightarrow \left| \begin{matrix} -3 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 5 \\ -2 \end{matrix} \right| \)
= -3 (-4 -15) -2 (-6 -20) -2 (9 - 8)
= -3(-19) - 2(-26) -2 (1)
= 57 + 52 - 2 = 57 + 50
= 107 ≠ 0
Hence the given lines do not intersect

Let \(\overset { \rightarrow }{ a } =\overset { \wedge }{ 3i } -5\overset { \wedge }{ k } ,\overset { \rightarrow }{ b } =2\overset { \wedge }{ i } +7\overset { \wedge }{ j } \) and \(\overset { \rightarrow }{ c } =\overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \)
Let the required vector be \(\overset { \rightarrow }{ r } =x\overset { \wedge }{ i } +y\overset { \wedge }{ j } +z\overset { \wedge }{ k } \)
Given \(\overset { \rightarrow }{ r } .\overset { \rightarrow }{ a } =-1\)
\(\Rightarrow \left( x\overset { \wedge }{ i } +y\overset { \wedge }{ j } +z\overset { \wedge }{ k } \right) .\left( \overset { \wedge }{ 3i } -5\overset { \wedge }{ k } \right) =-1\)
⇒ 3x - 5z = -1     (1)
\(\overset { \rightarrow }{ r } .\overset { \rightarrow }{ b } =6\)
\(\Rightarrow \left( x\overset { \wedge }{ i } +y\overset { \wedge }{ j } +z\overset { \wedge }{ k } \right) .\left( 2\overset { \wedge }{ i } +7\overset { \wedge }{ j } \right) \)= 2x + 7y = 6       (2)
\(\overset { \rightarrow }{ r } .\overset { \rightarrow }{ i } =5\)
\(\Rightarrow \left( x\overset { \wedge }{ i } +y\overset { \wedge }{ j } +z\overset { \wedge }{ k } \right) .\left( \overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \right) \)= x + y + z = 5   (3)
Solving (1), (2) and (3) we get
x = 3, y = 0 and z = 2.
\(\therefore \overset { \rightarrow }{ r } =\overset { \wedge }{ 3i } +2\overset { \wedge }{ k } \)

Given \(\vec { a } \) = \(2\hat { i } +6\hat { j } +3\hat { k } \)
\(\vec { n } \) = \(\hat { i } +3\hat { j } +5\hat { k } \)
Vector form of the evaluation of the plane passing through one point (\(\vec { a } \)) and normal to a vector (\(\vec { n } \)) is
\(\vec { r } .\vec { n } =\vec { a } .\vec { n }\)
\(=\vec { r } .(\hat { i } +3\hat { j } +5\hat { k } )=(2\hat { i } +6\hat { j } +3\hat { k } ).(\hat { i } +3\hat { j } +5\hat { k } )\)
= 2 + 18 + 15
\(\Rightarrow \vec { r } .(\hat { i } +3\hat { j } +5\hat { k } )=35\)
Its Cartesian equation will be
\(a(x-{ x }_{ 1 })+b(y-{ y }_{ 1 })+c(z-{ z }_{ 1 })=0\)
1(x-2)+3(y-6)+5(z-3) = 0
[\(\because ({ x }_{ 1 },{ y }_{ 1 },{ z }_{ 1 }\) is (2, 6, 3) and a, b, c = 1, 3, 5]
\(\Rightarrow\) x-2 + 3y-18 + 5z-15 = 0
\(\Rightarrow\) x + 3y + 5z - 35 = 0
\(\Rightarrow\) x + 3y + 5z = 35

Let \(\vec { b } =5\hat { i } +6\hat { j } +7\hat { k } \) and \(\vec { a } =7\hat { i } +9\hat { j } +13\hat { k } \) 
The parametric form of vector equation of a straight line passing through two points \(\vec { a } \) and \(\vec { b } \) is
\(\vec { r } =\vec { a } +t(\vec { b } -\vec { a } )\)
∴ \(\vec { r } =(7\hat { i } +9\hat { j } +13\hat { k } )+t(7-5)\hat { i } +(9-6)\hat { j } +(13-7)\hat { k } \)
\(\vec { r } =(7\hat { i } +9\hat { j } +13\hat { k } )+t(2\hat { i } +3\hat { j } +6\hat { k } ),t\in R\)
The Cartesian equation of a straight line passing through two points as
\(\frac { x-{ x }_{ 1 } }{ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } } =\frac { y-{ y }_{ 1 } }{ { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } } =\frac { z-{ z }_{ 1 } }{ { z }_{ 2 }-{ z }_{ 1 } } \) [(x₁,y₁,z₁) is (7,9,13) (x₂,y₂,z₂) is (5,6,7))
\(\frac { x-7 }{ 5-7 } =\frac { y-9 }{ 6-9 } =\frac { z-13 }{ 7-13 } \)
⇒ \(\frac { x-7 }{ -2 } =\frac { y-9 }{ -3 } =\frac { z-13 }{ -6 } \)
= \(\frac { x-7 }{ 2 } =\frac { y-9 }{ 3 } =\frac { z-13 }{ 6 } \)

  \(|\vec { c } |\) = 1 and \(\vec { c } \bot \vec { a } \) & \(\vec { b } \)
Also, angle between \(\vec { a } \) and \(\vec { b } \) is \(\frac { \pi }{ 6 } \)
Consider \([\vec { a } \vec { b } \vec { c } ]=\vec { a } .(\vec { b } \times \vec { c } )\)
= \((\vec { a } \times \vec { b } ).\vec { c } \)
[∵ angle between \(\vec { a } \) and \(\vec { b } \) is \(\frac { \pi }{ 6 } \). \(\vec { c } \) 丄 both a & b]
= \(|\vec { a } ||\vec { b } |sin\frac { \pi }{ 6 } .\vec { c } .\vec { c } \)
= \(|\vec { a } ||\vec { b } |.\frac { 1 }{ 2 } \)(1)
= \(|\vec { a } ||\vec { b } |.\frac { 1 }{ 2 } \) [∵ \(\vec { c } .\vec { c } \) = 1]
∴ \([\vec { a } \vec { b } \vec { c } ]^{ 2 }=|\vec { a } |^{ 2 }|\vec { b } |^{ 2 }.\frac { 1 }{ 4 } =\frac { 1 }{ 4 } |\vec { a } |^{ 2 }|\vec { b } |^{ 2 }\).

We get \([\vec { a } +\vec { c } ,\vec { a } +\vec { b } ,\vec { a } +\vec { b } +\vec { c } ]\) = \(\left| \begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} \right| \)\([\vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } ]\) = \([\vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } ]\)

Let OACB be a rhombus. Taking O as the origin, let the position vectors of A and B be \(\vec { a } \) and \(\vec { b } \) respectively.
Then \(\vec { OA } =\vec { a } \) and \(\vec { OB } =\vec { b } \)  [∵ \(\vec { AC } =\vec { OB } \)]
So, the p.v. of C is \(\vec { a } +\vec { b } \)
∴ Position vector O f the miid-point of OC is \(\frac { \vec { a } +\vec { b } }{ 2 } \)
Similarly, the position vector of mid-point of AB is \(\frac { \vec { a } +\vec { b } }{ 2 } \).
Hence, the mid-point of OC coincides with the mid-point of AB.
Now, \(\vec { OC } .\vec { AB } =(\vec { a } +\vec { b } ).(\vec { b } -\vec { a } )=|\vec { b } |^{ 2 }-|\vec { a } |^{ 2 }\)
= OB²- OA² = 0   [∵ OB = OA]
⇒ \(\vec { OC } \bot \vec { AB } \).
Hence, the diagonals of a rhombus bisect each other at right angles.

Resultant of the given forces is \(\vec { F } \) = \((\hat { 3i } -\hat { 2j } +\hat { 2k } )\) + \((\hat { 2i } +\hat { j } -\hat { k } )\) = \(​​\hat { 5i } -\hat { j } +\hat { k } \)
The displacement of the particle is given by
\(\vec { d } \) =  \((\hat { 4i } -\hat { j } +\hat { \lambda k } )-(\hat { i } +3\hat { j } -\hat { k } )\) =  \((3\hat { i } -\hat { 4j } +(\lambda +1)\hat { k } )\)
As the work done by the forces is 16 units, we have
\(\vec { F } \).\(\vec { d } \) = 16
That is \((\hat { 5i } -\hat { j } +\hat { k } ).(3\hat { i } -\hat { 4j } +(\lambda +1))\hat { k } \)  = 16 ⇒ λ + 20 = 16
So, λ = - 4

With usual notations in triangle ABC, let \(\vec { BC } =\vec { a } ,\vec { CA } =\vec { b } \)  and  \(\vec { AB } =\vec { c } \).
Then \(\left| \vec { BC } \right| =a\) , \(\left| \vec { CA } \right| =b\), \(\left| \vec { AB} \right| =c\), and \(\vec { BC } +\vec { CA } +\vec { AB } =\vec { 0 } \)
So, \(\vec { BC } =-\vec { CA } -\vec { AB } \)
Applying dot product, we get
\(\vec { BC } .\vec { BC } =-\vec { BC } .\vec { CA }-\vec { BC }. \vec { AB } \)
⇒ \({ \left| \vec { BC } \right| }^{ 2 }=-\left| \vec { BC } \right| \left| \vec { CA } \right| \) cos(兀-c)-\(\left| \vec { BC } \right| \left| \vec { AB} \right| \)cos(兀-B)
⇒ a² = ab cos C + ac cos B
Therefore a = b cos C + c cos B
The results (ii) and (iii) are proved in a similar way

With usual notations in triangle ABC, we have \(\vec { BC } =\vec { a } ,\vec { CA } =\vec { b } \) \(\vec { AB } =\vec { c } \).
Then \(\left| \vec { BC } \right| =a\) , \(\left| \vec { CA } \right| =b\), \(\left| \vec { AB} \right| =c\), and \(\vec { BC } +\vec { CA } +\vec { AB } =\vec { 0 } \)
So, \(\vec { BC } =-\vec { CA } -\vec { AB } \)
Then applying dot product, we get
\(\vec { BC } .\vec { BC } =(-\vec { CA } -\vec { AB } ).(-\vec { CA } -\vec { AB } )\)
⇒ \({ \left| \vec { BC } \right| }^{ 2 }={ \left| \vec { CA } \right| }^{ 2 }+{ \left| \vec { AB } \right| }^{ 2 }+\vec { 2CA } .\vec { AB } \)
⇒ a² = b²+c²+2bc cos (\(\pi\) - A)
⇒ a² = b²+c²−2bc cos A.
The results (ii) and (iii) are proved in a similar way.

The normal vector to the planes
x + 2y + 3z - 7 = 0, 2x - 3y + 4z = 0 are 
\(\overset { \rightarrow }{ b } =\overset { \wedge }{ i } +2\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } \) and \(\overset { \rightarrow }{ c } =2\overset { \wedge }{ i } -3\overset { \wedge }{ j } +4\overset { \wedge }{ k } \)
∴ The required planes passes through the point \(\overset { \rightarrow }{ a } =\overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \) and parallel to two vector 5 namely \(\overset { \rightarrow }{ b } \) and \(\overset { \rightarrow }{ c } \) 
∴ The Parametric form of vectors equation of the plans is \(\overset { \rightarrow }{ r } =\overset { \rightarrow }{ a } +s\overset { \rightarrow }{ b } +t\overset { \rightarrow }{ c } \) s, t ∈ R
\(\overset { \rightarrow }{ r } =\left( \overset { \rightarrow }{ i } +\overset { \rightarrow }{ j } -\overset { \rightarrow }{ k } \right) +s\left( \overset { \rightarrow }{ i } +2\overset { \rightarrow }{ j } +3\overset { \rightarrow }{ k } \right) +t\left( 2\overset { \rightarrow }{ i } -3\overset { \rightarrow }{ j } +4\overset { \rightarrow }{ k } \right) ,\)
Cartesian equation is \(\left| \begin{matrix} x-{ x }_{ 1 } \\ { b }_{ 1 } \\ { c }_{ 1 } \end{matrix}\begin{matrix} y-{ { y }_{ 1 } } \\ { b }_{ 2 } \\ { c }_{ 2 } \end{matrix}\begin{matrix} z-{ { z }_{ 1 } } \\ { b }_{ 3 } \\ { c }_{ 3 } \end{matrix} \right| =0\)
\(\Rightarrow \left| \begin{matrix} x-1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} y-1 \\ 2 \\ -3 \end{matrix}\begin{matrix} z+1 \\ 3 \\ 4 \end{matrix} \right| =0\)
⇒ (x - 1) (8 + 9) - (y - 1)(4 - 6) + (z + 1)(-3 -4) = 0
⇒ 17 (x - 1) +2 (y - 1) -7 (z + 1) = 0
⇒ 17x - 17 + 2y - 2 - 7z - 7 = 0
⇒ 17x + 2y - 7z - 26 = 0

Given \(\overset { \rightarrow }{ OA } =2\overset { \wedge }{ i } -\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } ,\overset { \rightarrow }{ OB } =\overset { \wedge }{ i } -3\overset { \wedge }{ j } -5\overset { \wedge }{ k } ,\) and \(\overset { \rightarrow }{ OC } =3\overset { \wedge }{ i } -4\overset { \wedge }{ j } +4\overset { \wedge }{ k } \)

\(\therefore \overset { \rightarrow }{ AB } =\overset { \rightarrow }{ OB } -\overset { \rightarrow }{ OA } =-\overset { \wedge }{ i } -2\overset { \wedge }{ j } -6\overset { \wedge }{ k } \)
\(\overset { \rightarrow }{ BC } =\overset { \rightarrow }{ OC } -\overset { \rightarrow }{ OB } =2\overset { \wedge }{ i } -\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \)
\(\overset { \rightarrow }{ CA } =\overset { \rightarrow }{ OA } -\overset { \rightarrow }{ OC } =\overset { \wedge }{ -i } +3\overset { \wedge }{ j } +5\overset { \wedge }{ k } \)
\(\overset { \rightarrow }{ AB } +\overset { \rightarrow }{ BC } +\overset { \rightarrow }{ CA } =\overset { \rightarrow }{ 0 } \)
Also, \(\overset { \rightarrow }{ BC } \). \(\overset { \rightarrow }{ CA } \)=\(\left( 2\overset { \wedge }{ i } -\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \right) .\left( \overset { \wedge }{ -i } +3\overset { \wedge }{ j } +5\overset { \wedge }{ k } \right) \)
= -2 -3 + 5 = 0
\(\Rightarrow \overset { \rightarrow }{ BC } .\overset { \rightarrow }{ CA } \Rightarrow \angle BCA=\frac { \pi }{ 2 } \)
Hence, ABC is a right angled triangle.
\(\cos { A } =\frac { \overset { \rightarrow }{ AB } .\overset { \rightarrow }{ AC } }{ \left| \overset { \rightarrow }{ AB } \right| \left| \overset { \rightarrow }{ AC } \right| } \)
\(=\frac { \left( -\overset { \wedge }{ i } -2\overset { \wedge }{ j } -6\overset { \wedge }{ k } \right) .\left( \overset { \wedge }{ -i } -3\overset { \wedge }{ j } -5\overset { \wedge }{ k } \right) }{ \sqrt { 1+4+36 } .\sqrt { 1+9+25 } } \)
\(=\frac { 35 }{ \sqrt { 41 } .\sqrt { 35 } } =\sqrt { \frac { 35 }{ 41 } } =A={ Cos }^{ -1 }\left( \sqrt { \frac { 35 }{ 41 } } \right) \)
\(\cos { B } =\frac { \overset { \rightarrow }{ BA. } \overset { \rightarrow }{ BC } }{ \left| \overset { \rightarrow }{ BA } \right| \left| \overset { \rightarrow }{ BC } \right| } =\frac { \left( \overset { \wedge }{ i } +2\overset { \wedge }{ j } +6\overset { \wedge }{ k } \right) .\left( 2\overset { \wedge }{ i } -\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \right) }{ \sqrt { 1+4+36 } +\sqrt { 4+1+1 } } \)
\(=\sqrt { \frac { 6 }{ 41 } } \Rightarrow B={ Cos }^{ -1 }\left( \sqrt { \frac { 6 }{ 41 } } \right) \)

Gives
\(\frac { x-2 }{ 1 } =\frac { y-3 }{ 1 } =\frac { z-4 }{ 3 } \) and \(\frac { x-1 }{ -3 } =\frac { y-4 }{ 2 } =\frac { z-5 }{ 1 } \)
\(\therefore \vec { a } =-2\hat { i } -3\hat { j } -4\hat { k } ,\vec { b } =\hat { i } +\hat { j } +3\hat { k } \)
\(\vec { c } =-\hat { i } -4\hat { j } -5\hat { k } ,\vec { d } =-3\hat { i } +2\hat { j } +\hat { k } \)
The two given lines are co-planar
\(y\left( \vec { c } -\vec { a } \right) .\left( \vec { b } \times \vec { d } \right) \)
\(\left( \vec { c } -\vec { a } \right) =-\hat { i } +\hat { j } +\hat { k } \)
\(\vec { b } \times \vec { d } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 1 & 1 & 3 \\ -3 & 2 & 1 \end{matrix} \right| =\sqrt { 2 } \)
= \(\hat { i } \left( 1-6 \right) -\hat { j } (1+9)+\hat { k } \left( 2+3 \right) \)
= \(-5\hat { i } -10\hat { j } +5\hat { k } \)
\(\therefore \left( \vec { c } -\vec { a } \right) .\left( \vec { b } \times \vec { d } \right) =\left( -\hat { i } +\hat { j } +\hat { k } \right) .\left( -5\hat { i } -10\hat { j } +5\hat { k } \right) \)
= 5-10 + 5= 10-10 = 0
Hence, the given lines are co-planar. Its Cartesian equation is
\(\left| \begin{matrix} x-{ x }_{ 2 } & y-{ y }_{ 2 } & z-{ z }_{ 2 } \\ { b }_{ 1 } & { b }_{ 2 } & { b }_{ 3 } \\ { d }_{ 1 } & { d }_{ 2 } & { d }_{ 3 } \end{matrix} \right| =0\)
\(\Rightarrow \left| \begin{matrix} x-1 & y-4 & z-5 \\ 1 & 1 & 3 \\ -3 & 2 & 1 \end{matrix} \right| =0\)
\(\Rightarrow \left( x-1 \right) \left( 1-6 \right) -\left( y-6 \right) \left( 1+9 \right) +\left( z-5 \right) \left( 2+3 \right) =0\)
\(\Rightarrow \left( x-1 \right) \left( -5 \right) -\left( y-5 \right) \left( 10 \right) +\left( z-5 \right) \left( 5 \right) =0\)
\(\Rightarrow -5x+5-10y+40+5z-25=0\)
\(\Rightarrow -5x-10y+5z+20=0\)
\(\div\) -5, we get
x + 2y - z - 4 = 0 which is the equation of the plane containing the given lines

We observe that the required plane is parallel to the vectors \(\vec { b } =2\hat { i } +3\hat { j } +6\hat { k } \), \(\vec { c } =\hat { i } +\hat { j } -\hat { k } \) and passing through the point(0,1,-5) with position vector \(\vec { a } \). We observe that \(\vec { b } \) is not parallel to \(\vec { c } \).
Then the vector equation of the plane in non-parametric form is given by \((\vec { r } -\vec { a } ).(\vec { b } \times \vec { c } )=0\) ..(1)
Substituting \(\vec { a } =\hat { j } -5\hat { k } \) and \(\vec { b } \times \vec { c } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 2 & 3 & 6 \\ 1 & 1 & -1 \end{matrix} \right| =-9\hat { i } +8\hat { j } -\hat { k } \) in equation (1), we get
\((\vec { r } (-\hat { j } -5\hat { k } )).(-9\hat { i } +8\hat { j } -\hat { k } )=0\), which implies that
\(\vec { r } (-9\hat { i } +8\hat { j } -\hat { k } )=13\)
\(\vec { r } =x\hat { i } +y\hat { j } +z\hat { k } \) is the position vector of an arbitrary point on the plane, then from the above equation, we get the Cartesian equation of the plane as -9x + 8y - z = 13 or 9x - 8y + z + 13 = 0

  Given \(\vec { a } =2\hat { i } +3\hat { j } -\hat { k } ,\vec { b } =3\hat { i } +5\hat { j } +2\hat { k } \) and \(\vec { c } =-\hat { i } -2\hat { j } +3\hat { k } \)
Consider \((\vec { a } \times \vec { b } )=\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 2 & 3 & -1 \\ 3 & 5 & 2 \end{matrix} \right| \)
= \(\hat { i } \left| \begin{matrix} 3 & -1 \\ 5 & 2 \end{matrix} \right| -\hat { j } \left| \begin{matrix} 2 & -1 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right| +\hat { k } \left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{matrix} \right| \)
= \(\\ \hat { i } (6+5)-\hat { j } (4+3)+\hat { k } (10-9)=11\hat { i } -7\hat { j } +\hat { k } \)
∴ LHS = \((\vec { a } \times \vec { b } )\times \vec { c } \)
= \(\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 2 & 3 & -1 \\ 3 & 5 & 2 \end{matrix} \right| =\hat { i } \left| \begin{matrix} -7 & 1 \\ -2 & 3 \end{matrix} \right| -\hat { j } \left| \begin{matrix} 11 & 1 \\ -1 & 3 \end{matrix} \right| +\hat { k } \left| \begin{matrix} 11 & -7 \\ -1 & -2 \end{matrix} \right| \)
= \(\hat { i } (-21+2)+\hat { j } (33+1)+\hat { k } (-22-7)\)
= \(-19\hat { i } -34\hat { j } -29\hat { k } \) ..............(1)
For RHS
\(\vec { a } .\vec { i } =(2\hat { i } +3\hat { j } -\hat { k } ).(-\hat { i } -2\hat { j } +3\hat { k } )\)
= -2-6-3 = -11
\(\vec { b } .\vec { c } =(3\hat { i } +5\hat { j } +2\hat { k } ).(-\hat { i } -2\hat { j } +3\hat { k } )\)
= -3-10+6 = -7
∴ RHS = \((\vec { a } .\vec { c } )\vec { b } -(\vec { b } .\vec { c } )\vec { a } \)
= \(-11(3\hat { i } +5\hat { j } +2\hat { k } )+7(2\hat { i } +3\hat { j } -\hat { k } )\)
= \(-33\hat { i } -55\hat { j } -22\hat { k } +14\hat { i } +21\hat { j } -7\hat { k } \)
= \(-19\hat { i } -34\hat { j } -29\hat { k } \)  ............... (2)
From (1) & (2), LHS = RHS
Hence \((\vec { a } \times \vec { b } )\times \vec { c } =(\vec { a } .\vec { c } )\vec { b } -(\vec { b } .\vec { c } )\vec { a } \)
(ii) \(\vec { b } \times \vec { c } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 3 & 5 & 2 \\ -1 & -2 & 3 \end{matrix} \right| \)
= \(\hat { i } \left| \begin{matrix} 5 & 2 \\ -2 & 3 \end{matrix} \right| -\hat { j } \left| \begin{matrix} 3 & 2 \\ -1 & 3 \end{matrix} \right| +\hat { k } \left| \begin{matrix} 3 & 5 \\ -1 & -2 \end{matrix} \right| \)
= \(\hat { i } (15+4)-\hat { j } (9+2)+\hat { k } (-6+5)\)
= \(19\hat { i } -11\hat { j } -\hat { k } \)
∴ \(\vec { a } (\vec { b } \times \vec { c } )=\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 2 & 3 & -1 \\ 19 & -11 & -1 \end{matrix} \right| \)
= \(\hat { i } \left| \begin{matrix} 3 & -1 \\ -11 & -1 \end{matrix} \right| -\hat { j } \left| \begin{matrix} 2 & -1 \\ 19 & -1 \end{matrix} \right| +\hat { k } \left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 19 & -11 \end{matrix} \right| \)
= \(\hat { i } (-3-11)-\hat { j } (-2+19)+\hat { k } (-22-57)\)
= \(-14\hat { i } -17\hat { j } -79\hat { k } \) ............(1)
For RHS
\(\vec { a } .\vec { c } =-11\Rightarrow (\vec { a } .\vec { c } )\vec { b } =-11(3\hat { i } +5\hat { j } +2\hat { k } )\)
= -\(33\hat { i } -55\hat { j } -22\hat { k } \)
\(\vec { a } .\vec { b } =(2\hat { i } +3\hat { j } -\hat { k } ).(3\hat { i } +5\hat { j } +2\hat { k } )\)
= 6+15-2 = 19
\((\vec { a } .\vec { b } )\vec { c } =19(-\hat { i } -2\hat { j } +3\hat { k } )=-19\hat { i } -38\hat { j } +57\hat { k } \)
RHS = \((\vec { a } .\vec { c } )\vec { b } -(\vec { a } .\vec { b } )\vec { c } \)
= \(-33\hat { i } -55\hat { j } -22\hat { k } -(-19\hat { i } -38\hat { j } +57\hat { k } )\)
= \(-14\hat { i } -17\hat { j } -79\hat { k } \) ............(2)
From (1) & (2), LHS = RHS
∴ \(\vec { a } \times (\vec { b } \times \vec { c } )=(\vec { a } .\vec { c } )\vec { b } -(\vec { a } .\vec { b } )\vec { c } \)

By definition, \(\vec { a } \times \vec { b } \) \(=\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ -2 & 3 & -2 \\ 3 & -1 & 3 \end{matrix} \right| =7\hat { i } -7\hat { k } \)
Then, \((\vec { a } \times \vec { b } )\times \vec { c } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 7 & 0 & -7 \\ 2 & -5 & 1 \end{matrix} \right| =-35\hat { i } -21\hat { j } -35\hat { k } \)......(1)
\(\vec { b } \times \vec { c } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 3 & -1 & 3 \\ 2 & -5 & 1 \end{matrix} \right| =14\hat { i } +3\hat { j } -13\hat { k } \)
\(\vec { a } (\vec { b } \times \vec { c } )=\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ -2 & 3 & -2 \\ 14 & 3 & -13 \end{matrix} \right| =-33\hat { i } -54\hat { j } -48\hat { k } \)....(2)
Therefore, equations (1) and (2) show that \((\vec { a } \times \vec { b } )\times \vec { c } \)\(​​\neq \)\((\vec { a } \times \vec { b } )\times \vec { c } \)
 

Let \(\hat { a } =\vec { OA } \) and \(\hat { b } =\vec { OB } \) be the unit vectors and which make angles α,β respectively with positive x-axis
Draw AL and BM 丄 to x-axis
Then \(|\vec { OL } |=|\vec { OA } |cos\alpha \Rightarrow \vec { OL } =\vec { |OL| } \hat { i } =cos\alpha \hat { i } \)
\(|\vec { LA } |=|\vec { OB } |\) sin α
⇒ \(\vec { LA } =|\vec { OB } |\hat { j } =sin\alpha (-\hat { j } )=-sin\alpha \hat { j } \)
[\(\vec { LA } \) is in the opp direction of y axis]
\(\hat { a } =\vec { OA } =\vec { OL } +\vec { LA } =cos\alpha \hat { i } -sin\alpha \check { j } \) ..(1)
Similarly \(\hat { b } =\vec { OB } =\vec { OM } +\vec { MB } =cos\beta \hat { i } +sin\beta \hat { j } \) ...(2)
Now \(\hat { a } \times \hat { b } =|\hat { a } ||\hat { b } |sin(\alpha +\beta )\hat { k } =sin(\alpha +\beta )\hat { k } \) ....(3)
[\(|\hat { a } |=|\hat { b } |\) = 1]
Also \(\hat { a } \times \hat { b } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ cos\alpha & -sin\alpha & 0 \\ cos\beta & cos\beta & 0 \end{matrix} \right| \)
= \(\hat { i } (0)-\hat { j } (0)+\hat { k } \)(cosα sinβ + sinα cosβ)
= (sin α cos β + cos α sin β)\(\hat { k } \) .(4)
using (3) and (4), sin(α+β) = sin α cos β + cos α sin β

Let the position vector of the vertices of ΔABC be  \(\vec { a } \), \(\vec { b } \) and  \(\vec { c } \) respectively.
Since G is the centroid of ΔABC, \(\vec { OG } =\frac { \vec { a } +\vec { b } +\vec { c } }{ 3 } \)
Are of ΔGAB, = \(|\vec { AB } \times \vec { AG } |=|(\vec { OB } -\vec { OA } )\times (\vec { OG } -\vec { OA } )|\)
= \(\left| (\vec { b } -\vec { a } )\times \left( \frac { \vec { a } +\vec { b } +\vec { c } }{ 3 } -\vec { a } \right) \right| \)
= \(\left| (\vec { b } -\vec { a } )\times \left( \frac { \vec { a } +\vec { b } +\vec { c } -3\vec { a } }{ 3 } \right) \right| \)
= \(\left| (\vec { b } -\vec { a } )\times \left( \frac { \vec { b } +\vec { c } +2\vec { a } }{ 3 } \right) \right| \)
= \(\frac { 1 }{ 3 } |(\vec { b } -\vec { a } )\times (\vec { a } +\vec { 0 } -2\vec { a } )|\)
= \(\frac { 1 }{ 3 } |\vec { b } \times \vec { b } +\vec { b } \times \vec { c } -2\vec { b } \times \vec { a } -\vec { a } \times \vec { b } -\vec { a } \times \vec { c } +2\vec { a } \times \vec { a } |\)
[∵ cross product is distributive]
= \(\frac { 1 }{ 3 } |\vec { b } \times \vec { c } +2\vec { a } \times \vec { b } -\vec { a } \times \vec { b } +\vec { c } \times \vec { a } |\)
= \(\frac { 1 }{ 3 } |\vec { a } \times \vec { b } +\vec { b } \times \vec { c } +\vec { c } \times \vec { a } |\)  \( [\because \vec { b } \times \vec { b } =\vec { 0 } ,\vec { a } \times \vec { a } =\vec { 0 } ,.(1)\vec { a } \times \vec { b } =-\vec { b } \times \vec { a } ]\)
Area of ΔGAC = \(|\vec { CA } \times \vec { AG } |\)
= \(|(\vec { OA } -\vec { OC } )\times (\vec { OG } -\vec { OA } )|\)
\(\left| (\vec { a } -\vec { c } )\times \left( \frac { \vec { a } +\vec { b } +\vec { c } }{ 3 } -\vec { a } \right) \right| \)
= \(\left| (\vec { c } -\vec { a } )\times \left( \frac { \vec { a } +\vec { b } +\vec { c } -3\vec { a } }{ 3 } \right) \right| \)
= \(\frac { 1 }{ 3 } |(\vec { a } -\vec { c } )\times (\vec { b } +\vec { c } -2\vec { a } )|\)
= \(\frac { 1 }{ 3 } |\vec { a } \times \vec { b } +\vec { a } \times \vec { c } -2\vec { a } \times \vec { a } -\vec { c } \times \vec { b } -\vec { c } \times \vec { c } +2\vec { c } \times \vec { a } |\)
= \(\frac { 1 }{ 3 } |\vec { a } \times \vec { b } -\vec { c } \times \vec { a } +\vec { b } \times \vec { c } +2\vec { c } \times \vec { a } |\)
= \(\frac { 1 }{ 3 } |\vec { a } \times \vec { b } +\vec { b } \times \vec { c } +\vec { c } \times \vec { a } |\)
Also area of ΔGBC = \(|\vec { BC } \times \vec { BG } |\)
= \(|\vec { OC } -\vec { OB } )\times (\vec { OG } -\vec { OB } )|\)
= \(\left| (\vec { c } -\vec { a } )\times \left( \frac { \vec { a } +\vec { b } +\vec { c } -\vec { b } }{ 3 } \right) \right| \)
= \(\left| (\vec { c } -\vec { a } )\times \left( \frac { \vec { a } +\vec { b } -2\vec { a } }{ 3 } \right) \right| \)
\(\frac { 1 }{ 3 } |(\vec { c } -\vec { b } )\times (\vec { a } +\vec { c } -2\vec { b } )|\) 
= \(\frac { 1 }{ 3 } |\vec { c } \times \vec { a } +\vec { c } \times \vec { c } -2\vec { c } \times \vec { b } -\vec { b } \times \vec { a } -\vec { b } \times \vec { c } +2\vec { b } \times \vec { b } |\)
= \(\frac { 1 }{ 3 } |\vec { c } \times \vec { a } +2\vec { b } \times \vec { c } +\vec { a } \times \vec { b } -\vec { b } \times \vec { c } |\)
\(\frac { 1 }{ 3 } |\vec { c } \times \vec { a } +\vec { b } \times \vec { c } +\vec { a } \times \vec { b } |\)
From (1), (2) and (3),
Area of ΔGAB = Area of ΔGAC = Area of ΔGBC
= \(\frac { 1 }{ 3 } |\vec { a } \times \vec { b } +\vec { b } \times \vec { c } +\vec { c } \times \vec { a } |\)
= \(\frac { 1 }{ 3 } \) Area of ΔABC.

Consider a triangle ABC in which the two altitudes AD and BE intersect at O. Let CO be produced to meet AB at F. We take O as the origin and let \(\vec { OA } =\vec { a } \), \(\vec { OB } =\vec { b} \) and  \(\vec { OC } =\vec { c } \)

Since \(\vec { AD } \) is perpendicular to \(\vec { BC } \), we have \(\vec { OA } \) is perpendicular to \(\vec { BC } \), and
hence we get \(\vec { OA } \) . \(\vec { BC } \) = 0. That is, \(\vec { a } .(\vec { c } -\vec { b } )=0\), which means
\(\vec { a } .\hat{c}-\hat{a}.\hat{b}=0\)....(1)
Similarly, since \(\vec { BE } \) is perpendicular to \(\vec { CA } \), we have \(\vec { OB } \) is perpendicular to \(\vec { CA } \), and hence we get \(\vec { OB } .\vec { CA } \) = 0.
That is, \(\vec {b } .(\vec {a } -\vec { c } )=0\)
\(\vec { a } .\hat{c}-\hat{b}.\hat{c}=0\).......(2)
Adding equations (1) and (2), gives  \(\vec { a } .\hat{c}-\hat{b}.\hat{c}=0\). That is, \(\hat{c}(\hat{a}-\hat{b})=0\)
That is \(\vec { OC } \) . \(\vec { BA } \) = 0.
Therefore, \(\vec { BA } \) is perpendicular to \(\vec { OC} \). 
Which implies that \(\vec { CF} \) is perpendicular to \(\vec { AB } \). 
Hence, the perpendicular drawn from C to the side AB passes through O. Therefore, the altitudes are concurrent.

Let \(\hat { a } =\vec { OA } \) and \(\hat { b } =\vec { OB } \) be the unit vectors and which make angles α and β, respectively, with positive x-axis, where A and B are as in the diagram.
Draw AL and BM perpendicular to the x-axis. Then \(\left| \vec { OL } \right| =\left| \vec { OA } \right| \) cos α = cos α, \(\left| \vec { LA } \right| =\left| \vec { OA } \right| \) sin α =  sin α
So, \(\vec { OL } =\left| \vec { OL } \right| \)\(\hat { i } \) =  cos,α \(\hat { i } \), \(\overrightarrow { LA } \) = sin α (-\(\hat { j } \))
Therefore, \(\hat { a } =\overrightarrow { OA} = \overrightarrow { OL } +\overrightarrow { LA } \) = cos α \(\hat { i } \) - sin α \(\hat { j } \) ..(1)
Similarly \(\hat { b } \) = cos β \(\hat { i } \)+ sin β \(\hat { j } \) ....(2)
The angle between \(\hat { a } \) and \(\hat{b}\) is α + β and so,
\(\hat { a } .\hat { b } =\left| \hat { a } \right| \left| \hat { b } \right| \) cos (α + β) = cos (α + β) ... (3)

On the other hand, from (1) and (2)
\(\hat { a } .\hat { b } =(cos\alpha \hat { i } -sina\hat { j } )(cos\beta \hat { i } -sin\beta \hat { j } )\) = cos α cos β - sin α sin β....(4)
From (3) and (4), we get cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β

The planes \(\overset { \rightarrow }{ r } .\overset { \rightarrow }{ { n }_{ 1 } } ={ d }_{ 1 }\) and \(\overset { \rightarrow }{ r } .\overset { \rightarrow }{ { n }_{ 2 } } ={ d }_{ 2 }\) are perpendicular if \(\overset { \rightarrow }{ { n }_{ 1 } } .\overset { \rightarrow }{ { n }_{ 2 } } =0\)
Here \(\overset { \rightarrow }{ { n }_{ 1 } } =\overset { \wedge }{ i } +2\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } \) and \(\overset { \rightarrow }{ { n }_{ 2 } } =\lambda \overset { \wedge }{ i } +2\overset { \wedge }{ j } -7\overset { \wedge }{ k } \)
\(\therefore \overset { \rightarrow }{ { n }_{ 1 } } .\overset { \rightarrow }{ { n }_{ 2 } } =\left( \overset { \wedge }{ i } +2\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } \right) .\left( \lambda \overset { \wedge }{ i } +2\overset { \wedge }{ j } -7\overset { \wedge }{ k } \right) =0\)
⇒ λ + 4 - 21 = 0
⇒ λ - 17 = 0
⇒ λ = 17

Since the plane passing through the point \(\overset { \rightarrow }{ a } =\overset { \wedge }{ i } -\overset { \wedge }{ j } +2\overset { \wedge }{ k } \) and is normal to the vector \(\overset { \rightarrow }{ n } =2\overset { \wedge }{ i } +3\overset { \wedge }{ j } +2\overset { \wedge }{ k } \)
the vector equation of the plane is \(\overset { \rightarrow }{ r } .\overset { \rightarrow }{ n } =\overset { \rightarrow }{ a } .\overset { \rightarrow }{ n } \)
\(\Rightarrow { \overset { \rightarrow }{ r } }.\left( 2\overset { \wedge }{ i } +3\overset { \wedge }{ j } +2\overset { \wedge }{ k } \right) =\left( \overset { \wedge }{ i } -\overset { \wedge }{ j } +2\overset { \wedge }{ k } \right) .\left( 2\overset { \wedge }{ i } +3\overset { \wedge }{ j } +2\overset { \wedge }{ k } \right) \)
\(\Rightarrow { \overset { \rightarrow }{ r } }.\left( 2\overset { \wedge }{ i } +3\overset { \wedge }{ j } +2\overset { \wedge }{ k } \right) \)= 2 - 3 + 4 = 3
\(\therefore { \overset { \rightarrow }{ r } }.\left( 2\overset { \wedge }{ i } +3\overset { \wedge }{ j } +2\overset { \wedge }{ k } \right) \)= 3

Given (x₁, y₁, z₁) is (2, -1, 3) (x₂, y₂, z₂) is (4, 2, 1)
Cartesian equation of a line passing through two points is \(\frac { x-{ x }_{ 1 } }{ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } } =\frac { y-{ y }_{ 1 } }{ { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } } =\frac { z-{ z }_{ 1 } }{ { z }_{ 2 }-{ z }_{ 1 } } \)
\(\Rightarrow \frac { x-2 }{ 2 } =\frac { y+1 }{ 3 } =\frac { z-3 }{ -2 } \)

\(\overset { \rightarrow }{ OA } =3\overset { \wedge }{ i } -\overset { \wedge }{ j } +2\overset { \wedge }{ k } \) , \(\overset { \rightarrow }{ OB } =\overset { \wedge }{ i } -\overset { \wedge }{ j } -3\overset { \wedge }{ k } \), \(\overset { \rightarrow }{ OC } =4\overset { \wedge }{ i } -3\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \)
Area of △ ABC = \(\frac { 1 }{ 2 } \left| \overset { \rightarrow }{ AB } \times \overset { \rightarrow }{ AC } \right| \)
\(\overset { \rightarrow }{ AB } =\overset { \rightarrow }{ OB } -\overset { \rightarrow }{ OA } =\left( \overset { \wedge }{ i } -\overset { \wedge }{ j } -3\overset { \wedge }{ k } \right) -\left( 3\overset { \wedge }{ i } -\overset { \wedge }{ j } +2\overset { \wedge }{ k } \right) =-2\overset { \wedge }{ i } -5\overset { \wedge }{ k } \)
\(\overset { \rightarrow }{ AC } =\overset { \rightarrow }{ OC } -\overset { \rightarrow }{ OA } =\left( 4\overset { \wedge }{ i } -3\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \right) -\left( 3\overset { \wedge }{ i } -\overset { \wedge }{ j } +2\overset { \wedge }{ k } \right) =\overset { \wedge }{ i } -2\overset { \wedge }{ j } -\overset { \wedge }{ k } \)
\(\therefore \overset { \rightarrow }{ AB } \overset { \rightarrow }{ \times AC } =\left| \begin{matrix} \overset { \wedge }{ i } \\ -2 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} \overset { \wedge }{ j } \\ 0 \\ -2 \end{matrix}\begin{matrix} \overset { \wedge }{ k } \\ -5 \\ -1 \end{matrix} \right| \)
\(=\overset { \wedge }{ i } \)(0-10) - \(\overset { \wedge }{ j } \) (2+5) + \(\overset { \wedge }{ k } \) (4-0)
\(=10\overset { \wedge }{ i } -7\overset { \wedge }{ j } +4\overset { \wedge }{ k } \)
\(\therefore \left| \overset { \rightarrow }{ AB } \overset { \rightarrow }{ \times AC } \right| =\sqrt { 101+49+16 } =\sqrt { 165 } \)
∴ Area of Δ ABC \(=\frac { 1 }{ 2 } \sqrt { 165 } \) sq. units 

\(\overset { \rightarrow }{ F } =\frac { 6\left( \overset { \wedge }{ 2i } -2\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \right) }{ \sqrt { 4+4+1 } } =\frac { 6 }{ 3 } \left( \overset { \wedge }{ 2i } -2\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \right) =\overset { \wedge }{ 4i } -4\overset { \wedge }{ j } +2\overset { \wedge }{ k } \)
\(\overset { \rightarrow }{ d } \) = (5, 3, 7) - (1, 2, 3) = (4, 1, 4) =\(\overset { \wedge }{ 4i } +\overset { \wedge }{ j } +4\overset { \wedge }{ k } \)
∴ Work done (w)
= \(\overset { \rightarrow }{ F } .\overset { \rightarrow }{ d } =\left( \overset { \wedge }{ 4i } -4\overset { \wedge }{ j } +2\overset { \wedge }{ k } \right) .\left( \overset { \wedge }{ 4i } +\overset { \wedge }{ j } +4\overset { \wedge }{ k } \right) \)
= 16 - 4 + 8 = 20 units

Let \(\vec { a } =7\hat { i } +\lambda \hat { j } -3\hat { k } ,\vec { b } =\hat { i } +2\hat { j } -\hat { k } \) and \(\vec { c } =-3\hat { i } +7\hat { j } -5\hat { k } \)
∴ volume of the parallelepiped
= \(\vec { a } .(\vec { b } \times \vec { c } )\)
Given \(\vec { a } .(\vec { b } \times \vec { c } )\) = 90
⇒ \(\left| \begin{matrix} 7 & \lambda & -3 \\ 1 & 2 & -1 \\ -3 & 7 & 5 \end{matrix} \right| \) = 90
⇒ \(-6\left| \begin{matrix} 2 & -1 \\ 7 & 5 \end{matrix} \right| -\lambda \left| \begin{matrix} 1 & -1 \\ -3 & 5 \end{matrix} \right| -3\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ -3 & 7 \end{matrix} \right| \) = 90
⇒ 7(10+7)-λ(5-3)-3(7+6) = 90
⇒ 7(17)-λ(2)-3(13) = 90
⇒ 119-2λ-39 = 90
⇒ 119-39-90 = 2λ
⇒ -10 = 2λ
⇒ λ = -5

By the defination of scalar triple product of three vectors,
We find, \(\hat { a } .(\hat { b } \times \hat { c } )\) = \(\left| \begin{matrix} -3 & -1 & 5 \\ 1 & -2 & 1 \\ 0 & 4 & -5 \end{matrix} \right| =-3\)