\({ f }_{ y }=\frac { 1 }{ 1+\frac { { x }^{ 2 } }{ { y }^{ 2 } } } \left( \frac { -x }{ { y }^{ 2 } } \right) =\frac { -\frac { x }{ { y }^{ 2 } } }{ \frac { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } }{ { { x }{ x }^{ 2 } } } } \)
= \(\frac { -x }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \)
\({ f }_{ x }=\frac { 1 }{ 1+\frac { { x }^{ 2 } }{ { { y }^{ 2 } } } } \left( \frac { 1 }{ y } \right) =\frac { \frac { 1 }{ y } }{ \frac { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } }{ { { y }^{ 2 } } } } \)
\(=\frac { y }{ { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } } \)
\({ f }_{ xy }=\frac { \partial }{ \partial x } ({ f }_{ y })\)
\({ f }_{ xy }=-\left[ \frac { { (x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 })(1)-x{ (2x) } }{ { ({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }) }^{ 2 } } \right] \)
\(=-\left[ \frac { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }-2{ x }^{ 2 } }{ { ({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }) }^{ 2 } } \right] \)
\(=-\left[ \frac { { y }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } }{ { ({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }) }^{ 2 } } \right] \)
\(=\frac { x^{ 2 }-{ y }^{ 2 } }{ { ({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }) }^{ 2 } } \) ...(1)
\({ f }_{ xy }=\frac { \partial }{ \partial y } ({ f }_{ x })\)
\({ f }_{ xy }=\frac { ({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 })(1)-y(2y) }{ ({ x }^{ 2 }+{ { y }^{ 2 }) }^{ 2 } } \)
\(=\frac { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }-2{ y }^{ 2 } }{ ({ x }^{ 2 }+{ { y }^{ 2 }) }^{ 2 } } \)
\(=\frac { { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } }{ ({ x }^{ 2 }+{ { y }^{ 2 }) }^{ 2 } } \)  ...(2)
∴ From (1) and (2), f_xy = f_yz