\(y\frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } +\left( \frac { dy }{ dx } \right) ^{ 2 }=\frac { ydy }{ xdx } \)

\(4\sqrt { 3 } -4-\frac { \pi }{ 3 } \)

\(\frac { 1 }{ 4 } \)

f(x) is increasing on \(\left[ 0,\frac { \pi }{ 2 } \right] \) and \(\left[ \frac { 3\pi }{ 2 } ,2\pi \right] \)

4x + 3y = 7a

Given  |3z - 5| = 3 |z + 1
⇒ |3(x+iy)-5| = 3|x+iy+1|
⇒ |(3x-5)+3y| = 3|(x+1)+iy|
⇒ \(\sqrt { (3x-5)^{ 2 }+3^{ 2 } } =3\left[ \sqrt { (x+1)^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \right] \)
Squaring both sides we get,
(3x - 5)² + 9 = 9 [(x + 1)² + y²]
⇒ 9x² - 30x + 25 + 9 = 9 [x² + 2x + 1 + y²]
⇒ 48x - 16 = 0
⇒ 3x-1 = 0

Given equation of the hyperbola is
3x² - 6y² = -18; \(\div \)by (-18) we get \(\frac{y^2}{3}- \frac{x^2}{6}\) = 1
The transverse axis is long y-axis.
Here a² = 3, b² = 6
Length of transverse axis is 2a = 2\(\sqrt { 3 } \)
Length of conjugate axis is 2b = 2\(\sqrt { 3 } \)
\(e=\sqrt { 1+\frac { { b }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } } =\sqrt { 1+\frac { 6 }{ 3 } } =\sqrt { 1+2 } =\sqrt { 3 } \)

\(cos\left[ { cos }^{ -1 }\left( \frac { -\sqrt { 3 } }{ 2 } +\frac { \pi }{ 6 } \right) \right] \)
= \(cos\left[ \pi -{ cos }^{ -1 }\left( \frac { -\sqrt { 3 } }{ 2 } +\frac { \pi }{ 6 } \right) \right] \)
\(\left[ \because { cos }^{ -1 }\left( -x \right) =\pi -{ cos }^{ -1 }x \right] \)
= \(cos\left[ \pi -\frac { \pi }{ 6 } +\frac { \pi }{ 6 } \right] \)
\(\left[ \because { cos }^{ -1 }\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } =x\Rightarrow \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } =cosx\Rightarrow x=\frac { \pi }{ 6 } \right] \)
= \(cos\pi -1\)

Given \(\overset { \rightarrow }{ a } +\overset { \rightarrow }{ b } +\overset { \rightarrow }{ c } =0\)
\(\overset { \rightarrow }{ a } +\overset { \rightarrow }{ b } \)= -\(\overset { \rightarrow }{ c } \) ... (1)
Taking cross product with \(\overset { \rightarrow }{ a } \) both sides, we get 
\(\overset { \rightarrow }{ a } \left( \overset { \rightarrow }{ a } +\overset { \rightarrow }{ b } \right) =-\left( \overset { \rightarrow }{ a } \times \overset { \rightarrow }{ c } \right) \)
\(\overset { \rightarrow }{ a } \times \overset { \rightarrow }{ a } +\overset { \rightarrow }{ a } +\overset { \rightarrow }{ b } =\overset { \rightarrow }{ c } \times \overset { \rightarrow }{ a } \)
\(\left[ \because -\left( \overset { \rightarrow }{ a } \times \overset { \rightarrow }{ c } \right) =\overset { \rightarrow }{ c } \times \overset { \rightarrow }{ a } \right] \)
\(\Rightarrow \overset { \rightarrow }{ a } \times \overset { \rightarrow }{ b } =\overset { \rightarrow }{ c } \times \overset { \rightarrow }{ a } \left( \because \overset { \rightarrow }{ a } \times \overset { \rightarrow }{ a } =\overset { \rightarrow }{ 0 } \right) \)
Taking cross product with \(\overset { \rightarrow }{ b } \) both sides, we get
\(\overset { \rightarrow }{ b } \times \left( \overset { \rightarrow }{ a } +\overset { \rightarrow }{ b } \right) =\overset { \rightarrow }{ b } \times \left( -\overset { \rightarrow }{ c } \right) \)
\(\overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ a } +\overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ b } =-\overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ c } \)
\(-\overset { \rightarrow }{ a } \times \overset { \rightarrow }{ b } =-\overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ c } \)
\(\overset { \rightarrow }{ a } \times \overset { \rightarrow }{ b } =\overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ c } \)
From (2) and (3) we get
\(\overset { \rightarrow }{ a } \times \overset { \rightarrow }{ b } =\overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ c } =\overset { \rightarrow }{ c } \times \overset { \rightarrow }{ a } \)

|A| =\(\left[ \begin{matrix} -2 & -3 \\ 5 & -6 \end{matrix} \right] \) = 12+15 = 27
∴ A^-1 = \(\frac { 1 }{ |A| } adjA=\frac { 1 }{ 27 } \left[ \begin{matrix} -6 & 3 \\ -5 & 2 \end{matrix} \right] \)
(A^-1)^T = \(\frac { 1 }{ 27 } \left[ \begin{matrix} -6 & -5 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right] \)...(1)
A^T =\(\left[ \begin{matrix} -2 & 5 \\ -3 & -6 \end{matrix} \right] \)
|A^T| =\(\left[ \begin{matrix} -2 & 5 \\ -3 & -6 \end{matrix} \right] \) = 12+15 = 27
∴ (A^T)^-1 = \(\frac { 1 }{ |A^{ T }| } adj(A^{ T })=\frac { 1 }{ 27 } \left[ \begin{matrix} -6 & -5 \\ 3 & -2 \end{matrix} \right] \)...(2)
From (1) and (2), (A^-1)^T = (A^T)^-1

Put y = \(\frac { x-1+x-5 }{ 2 } =-3\)
⇒ x = y + 3
∴ (x-1)⁴+(x-5)⁴ = 82
⇒ (y+3-1)⁴+(y+3-5)⁴ = 82
⇒ (y+2)⁴+(y-2)⁴ = 82
⇒ 2(y⁴+24y²+16) = 82
⇒ y⁴+24y²+16 = 41
⇒ y⁴+24y²-25 = 0
⇒ (y²+25)(y²-1) = 0
⇒ y = 土5i, y = 士1
∴ x = 3土5i, 4, 2.