இங்கு α=1, β=2 மற்றும் \(\gamma \)=-2
∴ தேவையான முப்படி சமன்பாடு
x³-(1+1-2)x²+(1-2-2)x-(1)(1)(-2)=0
x³-0x²-3x+2=0
x³-3x+2=0

எனவே \(2{ \tan }^{ -1 }\frac { 1 }{ 2 } ={ \tan }^{ -1 }\frac { 2\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }{ 1-\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 2 } } ={ \tan }^{ -1 }\left( \frac { 4 }{ 3 } \right)\)என அறிவோம் 
ஆகையால், \(2{ \tan }^{ -1 }\frac { 1 }{ 2 } +{ \tan }^{ -1 }\frac { 1 }{ 7 } ={ \tan }^{ -1 }\frac { 4 }{ 3 } +{ \tan }^{ -1 }\frac { 1 }{ 7 } ={ \tan }^{ -1 }\left( \frac { \frac { 4 }{ 3 } +\frac { 1 }{ 7 } }{ 1-\left( \frac { 4 }{ 3 } \right) \left( \frac { 1 }{ 7 } \right) } \right) ={ \tan }^{ -1 }\left( \frac { 31 }{ 17 } \right) \)

tan (tan^-1 (1947)) = 1947

z ஒரு மெய் எண் என இருந்தால், மட்டுமே \(z=\bar { z } \)
z = x + iy என்க.
பிறகு \(\bar { z } \) = x- iy
z = \(\bar { z } \) 
⇔ x + iy = x-iy
⇔ x + iy - x + iy = 0
⇔ 2iy = 0
⇔ y = 0
[∵ 2 மற்றும் i மாறிலிகள்]
y = 0, எனில் z = x இது மெய்
∴ z முழுவதும் மெய் ⇔ \(z=\bar { z } \)

(i) tan^-1 x + tan^-1 y = tan^-1\(\frac{x+y}{1-xy}\), xy<1 என அறிவோம் 
ஆகையால், tan^-1\(\frac{1}{2}+\tan^{-1}\frac{1}{3}={ \tan }^{ -1 }\frac { \frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 3 } }{ 1-\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) \left( \frac { 1 }{ 3 } \right) } ={ \tan }^{ -1 }(1)=\frac { \pi }{ 4 } \)
(ii) 2tan^-1 x+tan^-1 \(\frac{2x}{1-x^ 2}\), -1 < x<1 என அறிவோம் 
எனவே \(2{ \tan }^{ -1 }\frac { 1 }{ 2 } ={ \tan }^{ -1 }\frac { 2\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }{ 1-\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 2 } } ={ \tan }^{ -1 }\left( \frac { 4 }{ 3 } \right)\) என அறிவோம் 
ஆகையால், \(2{ \tan }^{ -1 }\frac { 1 }{ 2 } +{ \tan }^{ -1 }\frac { 1 }{ 7 } ={ \tan }^{ -1 }\frac { 4 }{ 3 } +{ \tan }^{ -1 }\frac { 1 }{ 7 } ={ \tan }^{ -1 }\left( \frac { \frac { 4 }{ 3 } +\frac { 1 }{ 7 } }{ 1-\left( \frac { 4 }{ 3 } \right) \left( \frac { 1 }{ 7 } \right) } \right) ={ \tan }^{ -1 }\left( \frac { 31 }{ 17 } \right) \)

A என்பது சமச்சீர் அணி என்க. எனவே A^T = A மற்றும் adj a (λ A) = λ^{n −1}adj(A) λ என்பது பூச்சியமற்ற திசையிலி இன் படி கிடைப்பது 
adj(A^T) = (adj A)^T ⇒ adj A = (adj A)^T ⇒ adj A ஆனது சமச்சீராகும்.

AB =\(\left[ \begin{matrix} 0 & -3 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} -2 & -3 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 0+0 & 0+3 \\ -2+0 & -3-4 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 0 & 3 \\ -2 & -7 \end{matrix} \right] \)
(AB)^-1 =\(\frac { 1 }{ (0+6) } \left[ \begin{matrix} -7 & -3 \\ 2 & 0 \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 6 } \left[ \begin{matrix} -7 & -3 \\ 2 & 0 \end{matrix} \right] \)    ...(1)
A^-1 =\(\frac { 1 }{ (0+3) } \left[ \begin{matrix} 4 & 3 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 3 } \left[ \begin{matrix} 4 & 3 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right] \)
B^-1 =\(\frac { 1 }{ (2-0) } \left[ \begin{matrix} -1 & 3 \\ 0 & -2 \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 2 } \left[ \begin{matrix} -1 & 3 \\ 0 & -2 \end{matrix} \right] \)
B^-1A^-1 =\(\frac { 1 }{ 2 } \left[ \begin{matrix} -1 & 3 \\ 0 & -2 \end{matrix} \right] \frac { 1 }{ 3 } \left[ \begin{matrix} 4 & 3 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 6 } \left[ \begin{matrix} -7 & -3 \\ 2 & 0 \end{matrix} \right] \) ....(2)
அணிகள் (1) மற்றும் (2) சமம். எனவே (AB)^-1 = B^-1A^-1 என்பது சரிபார்க்கப்பட்டது.

\({ \sec }^{ -1 }\left( \sec\left( \frac { 5\pi }{ 3 } \right) \right) \)
sec^-1 x-ன் முதன்மை வீச்சான [0, \(\pi \)] \{\(\frac{\pi}{2}\)}, ல் \(\frac{5\pi}{3}\) இல்லை என்பதை கவனிக்கவும்.
எனவே \(\frac { 5\pi }{ 3 } =2\pi -\frac { \pi }{ 3 } \) என எழுதுவோம். இனி, sec\(\left( \frac { 5\pi }{ 3 } \right) =\sec\left( 2\pi -\frac { \pi }{ 3 } \right) =\sec\left( \frac { \pi }{ 3 } \right)\) மற்றும் \(\frac { \pi }{ 3 } \in [0,\pi ]\)\{\(\frac{\pi}{2}\)}.
எனவே, sec^-1\(\left( \sec\left( \frac { 5\pi }{ 3 } \right) \right) ={ \sec }^{ -1 }\left( \sec\left( \frac { \pi }{ 3 } \right) \right) =\frac { \pi }{ 3 } \)

கெழுக்களின் கூடுதல்
2 - 9 + 10 - 3 = 12 - 12 = 0 ஆதலால்
⇒ x = 1 என்பது f(x) -ன் ஒரு மூலம்
∴ (x - 1) என்பது f(x)- ஒரு காரணி
மற்ற காரணியை காண f(x) ஐ x-1 ஆல் வகுக்க

[தொகுமுறை வகுத்தலை பயன்படுத்தி]
f(x) = (x - 1)(x - 3)(2x - 1) = 0
⇒ x - 1 = 0, x - 3 = 0 or 2x - 1 = 0
⇒ x = 1, x = 3, x = \(\frac{1}{2}\)
எனவே மூலங்கள் 1, 3, \(\frac{1}{2}\).

i)  கொடுக்கப்பட்டது: \(2cos\alpha =x+\frac { 1 }{ x } \)
\(\Rightarrow 2cos\alpha =\frac { { x }^{ 2 }+1 }{ x } \)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }+1=2xcos\alpha \)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }-2xcos\alpha +1=0\)
\(\Rightarrow x=\frac { 2cos\alpha \pm \sqrt { (-2cos{ \alpha ) }^{ 2 }-4(1)(1) } }{ 2 } \)
\(=\frac { 2cos\alpha \pm \sqrt { 4{ cos }^{ 2 }\alpha -4 } }{ 2 } \) \(\left[ \because x = {b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a} \right] \)
\(=\frac { 2cos\alpha \pm isin\alpha }{ 2 } \left[ \because { sin }^{ 2 }\alpha +{ cos }^{ 2 }\alpha =1 \right] \)
⇒ x = cos α 土 sin α
மேலும் \(2cos\beta =y+\frac { 1 }{ y } \)
\(\Rightarrow 2cos\beta =\frac { { y }^{ 2 }+1 }{ y } \)
\(\Rightarrow { y }^{ 2 }-2ycos\beta +1=0\)
\(\Rightarrow y=\frac { 2cos\beta \pm \sqrt { { (-2cos\beta ) }^{ 2 }-4(1)(1) } }{ 2 } \)
\(\Rightarrow \frac { 2cos\beta \pm \sqrt { { 4cos }^{ 2 } } \beta -4 }{ 2 } =\frac { 2cos\beta \pm isin\beta }{ 2 } \)
⇒ x = cos α 土 sin α
\(\frac { x }{ y } =\frac { cos\alpha +isin\alpha }{ cos\beta +isin\beta } \)
\(=cos(\alpha -\beta )+isin(\alpha -\beta )\) ...(1)
மற்றும் \(\frac { y }{ x } =\frac { 1 }{ \frac { x }{ y } } =cos(\alpha -\beta )+isin(\alpha -\beta )\) ...(2)
\((1)+(2)\rightarrow =\frac { x }{ y } +\frac { y }{ x } \)
\(=cos(\alpha -\beta )+isin(\alpha -\beta )+cos(\alpha -\beta )-isin(\alpha -\beta )\)
\(=2cos(\alpha -\beta )\)
ii)  கொடுக்கப்பட்ட \(2cos\alpha =x+\frac { 1 }{ x } \)
\(\Rightarrow 2cos\alpha =\frac { { x }^{ 2 }+1 }{ x } \)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }+1=2xcos\alpha \)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }-2xcos\alpha +1=0\)
\(\Rightarrow x=\frac { 2cos\alpha \pm \sqrt { (-2cos{ \alpha ) }^{ 2 }-4(1)(1) } }{ 2 } \)
\(=\frac { 2cos\alpha \pm \sqrt { 4{ cos }^{ 2 }\alpha -4 } }{ 2 } \) \(\left[ \because x = {b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a} \right] \)
\(=\frac { 2cos\alpha \pm isin\alpha }{ 2 } \left[ \because { sin }^{ 2 }\alpha +{ cos }^{ 2 }\alpha =1 \right] \)
⇒ x = cos α 土 sin α
மேலும் \(2cos\beta =y+\frac { 1 }{ y } \)
\(\Rightarrow 2cos\beta =\frac { { y }^{ 2 }+1 }{ y } \)
\(\Rightarrow { y }^{ 2 }-2ycos\beta +1=0\)
\(\Rightarrow y=\frac { 2cos\beta \pm \sqrt { { (-2cos\beta ) }^{ 2 }-4(1)(1) } }{ 2 } \)
\(\Rightarrow \frac { 2cos\beta \pm \sqrt { { 4cos }^{ 2 } } \beta -4 }{ 2 } =\frac { 2cos\beta \pm isin\beta }{ 2 } \)
⇒ x = cos α 土 sin α
\(xy-\frac { 1 }{ xy } =2isin(\alpha +\beta )\)
xy = (cos α + sin α)(cos β - sin β)
= cos(α + β) + i sin(α + β)
\(\frac { 1 }{ xy } =cos(\alpha +\beta )-isin(\alpha +\beta )\)

= 2i sin (α + β)
iii) கொடுக்கப்பட்ட \(2cos\alpha =x+\frac { 1 }{ x } \)
\(\Rightarrow 2cos\alpha =\frac { { x }^{ 2 }+1 }{ x } \)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }+1=2xcos\alpha \)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }-2xcos\alpha +1=0\)
\(\Rightarrow x=\frac { 2cos\alpha \pm \sqrt { (-2cos{ \alpha ) }^{ 2 }-4(1)(1) } }{ 2 } \)
\(=\frac { 2cos\alpha \pm \sqrt { 4{ cos }^{ 2 }\alpha -4 } }{ 2 } \) \(\left[ \because x = {b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a} \right] \)
\(=\frac { 2cos\alpha \pm isin\alpha }{ 2 } \left[ \because { sin }^{ 2 }\alpha +{ cos }^{ 2 }\alpha =1 \right] \)
⇒ x = cos α 土 sin α
மேலும் \(2cos\beta =y+\frac { 1 }{ y } \)
\(\Rightarrow 2cos\beta =\frac { { y }^{ 2 }+1 }{ y } \)
\(\Rightarrow { y }^{ 2 }-2ycos\beta +1=0\)
\(\Rightarrow y=\frac { 2cos\beta \pm \sqrt { { (-2cos\beta ) }^{ 2 }-4(1)(1) } }{ 2 } \)
\(\Rightarrow \frac { 2cos\beta \pm \sqrt { { 4cos }^{ 2 } } \beta -4 }{ 2 } =\frac { 2cos\beta \pm isin\beta }{ 2 } \)
⇒ x = cos α 土 sin α
\(\frac { { x }^{ m } }{ { y }^{ n } } -\frac { { y }^{ n } }{ { x }^{ m } } =2isin(m\alpha -n\beta )\)
x^m =(cos α +sin α)^m=cos mα + i sin mα [டி மாய்வரின் தேற்றப்படி]
\(\therefore \frac { { x }^{ m } }{ { y }^{ n } } =\frac { cosm\alpha +isinm\alpha }{ cosn\beta +isinn\beta } \)
= cos(m α - n β) + i sin(mα - nβ)
மற்றும் \(\therefore \frac { { x }^{ m } }{ { y }^{ n } } =\frac { 1 }{ \frac { { x }^{ m } }{ { y }^{ n } } } \)
= cos(m α - n β) + i sin(m α - nβ)

iv) கொடுக்கப்பட்ட \(2cos\alpha =x+\frac { 1 }{ x } \)
\(\Rightarrow 2cos\alpha =\frac { { x }^{ 2 }+1 }{ x } \)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }+1=2xcos\alpha \)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }-2xcos\alpha +1=0\)
\(\Rightarrow x=\frac { 2cos\alpha \pm \sqrt { (-2cos{ \alpha ) }^{ 2 }-4(1)(1) } }{ 2 } \)
\(=\frac { 2cos\alpha \pm \sqrt { 4{ cos }^{ 2 }\alpha -4 } }{ 2 } \) \(\left[ \because x = {b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a} \right] \)
\(=\frac { 2cos\alpha \pm isin\alpha }{ 2 } \left[ \because { sin }^{ 2 }\alpha +{ cos }^{ 2 }\alpha =1 \right] \)
⇒ x = cos α 土 sin α
மேலும் \(2cos\beta =y+\frac { 1 }{ y } \)
\(\Rightarrow 2cos\beta =\frac { { y }^{ 2 }+1 }{ y } \)
\(\Rightarrow { y }^{ 2 }-2ycos\beta +1=0\)
\(\Rightarrow y=\frac { 2cos\beta \pm \sqrt { { (-2cos\beta ) }^{ 2 }-4(1)(1) } }{ 2 } \)
\(\Rightarrow \frac { 2cos\beta \pm \sqrt { { 4cos }^{ 2 } } \beta -4 }{ 2 } =\frac { 2cos\beta \pm isin\beta }{ 2 } \)
⇒ x = cos α 土 sin α
\({ x }^{ m }{ y }^{ n }+\frac { 1 }{ { x }^{ m }y^{ n } } =2cos(m\alpha +n\beta )\)
\({ x }^{ m }{ y }^{ n }=(cos\alpha +isinm\alpha )(cosn\beta +isinn\beta )\)
\(=cos(m\alpha +n\beta )+isin(m\alpha +n\beta )\)
\(\frac { 1 }{ { x }^{ m }{ y }^{ n } } =cos(m\alpha +n\beta )+isin(m\alpha +n\beta )\)

விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியின் மீது காஸ்-ஜோர்டான் முறையைப் பயன்படுத்த, நமக்குக் கிடைப்பது,
[A|I₃] =  \(\left[ \begin{matrix} 2 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{matrix}|\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 1 }\rightarrow \frac { 1 }{ 2 } { R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & (1/2) & (1/2) \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{matrix}|\begin{matrix} (1/2) & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-3{ R }_{ 1 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-2R_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & (1/2) & (1/2) \\ 0 & (1/2) & -(1/2) \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}|\begin{matrix} (1/2) & 0 & 0 \\ -(3/2) & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow 2{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & (1/2) & (1/2) \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}|\begin{matrix} (1/2) & 0 & 0 \\ -3 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 1 }\rightarrow { R }_{ 1 }\frac { 1 }{ 2 } { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \\ \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}|\begin{matrix} 2 & -1 & 0 \\ - & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 1 }\rightarrow { R }_{ 1 }-{ R }_{ 3 }\\ { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }+{ R }_{ 3 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}|\begin{matrix} 3 & -1 & -1 \\ -4 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \)
எனவே, A^-1 =\(\left[ \begin{matrix} 3 & -1 & -1 \\ -4 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \)

z₁ மற்றும் z₂ ஆகியவற்றின் மதிப்புகளை பிரதியிட,
\(\frac { { { z }_{ 1 } } }{ { z }_{ 2 } } \) = \(\frac { 3-2i }{ 6+4i } =\frac { 3-2i }{ 6+4i } \times \frac { 6-4i }{ 6-4i } \)
= \(\frac { (18-8)+i(-12-12) }{ { 6 }^{ 2 }+{ 4 }^{ 2 } } =\frac { 10-24i }{ 52 } =\frac { 10 }{ 52 } -\frac { 24i }{ 52 } \)
= \(\frac { 5 }{ 6 } -\frac { 6 }{ 13 } i\)

\(\left(\frac{1+\sqrt{3} i}{1-\sqrt{3} i}\right)^{10} =\left[\frac{\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}}{\cos \left(-\frac{\pi}{3}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right)}\right] ^{10}\)
\( =\left[\cos \left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}\right)\right] ^{10}\)
\( =\left(\cos \frac{2 \pi}{3}+i \sin \frac{2 \pi}{3}\right)^{10}=\cos \frac{20 \pi}{3}+i \sin \frac{20 \pi}{3} \)
\( =\cos \left(6 \pi+\frac{2 \pi}{3}\right)+i \sin \left(6 \pi+\frac{2 \pi}{3}\right) \)
\( =\cos \left(\frac{2 \pi}{3}\right)+i \sin \left(\frac{2 \pi}{3}\right)=\operatorname{cis} \frac{2 \pi}{3} \)

\(x^3 =-64 \)
\(x^3 =-4 \times-4 \times-4=(-4)^3 \)
\(x =-4\)

\(B =A^{-1} \)
\(4 A^{-1} =\left[\begin{array}{ccc} 3 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & x \\ -1 & 1 & 3 \end{array}\right] .\)
\(A^{-1} =\frac{1}{4}\left[\begin{array}{ccc} 3 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & x \\ -1 & 1 & 3 \end{array}\right]\)
x என்பது A -ல் a₃₂ - ன் சிற்றணிக்கோவை 
\(x=-\left|\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ -1 & -1 \end{array}\right|=-(-2+1)=-(-1)=1 \)

\(|\operatorname{adj} \mathrm{A}| =|\mathrm{A}|^{\mathrm{n}-1} \)
\(1(-6+0)-x(-2) =4^2 \)
\(-6+2 x =16 \)
\(2 x=16+6 =22 \Rightarrow x=11\)

AA^T = A^TA மற்றும் B=A^-1A^T
B^T = (A^-1A^T)^T = (A^T)^T (A^-1)^T=A (A^-1)^T
BB^T = (A^-1A^T) (A(A^-1)^T) = A^-1(A^TA)(A^-1)^T
= A^-1(AA^T) (A^-1)^T = (A^-1A) (A^T(A^T)^-1) = I₃

\( \sin ^{-1}\left(2 \cos ^2 x-1\right)+\cos ^{-1}\left(1-2 \sin ^2 x\right) \\ =\sin ^{-1}(\cos 2 x)+\cos ^{-1}(\cos 2 x) \\ =\frac{\pi}{2} \quad\left[\because \sin ^{-1} x+\cos ^{-1} x=\frac{\pi}{2}\right] \)

\( -1 \leq x^2-3 \leq 1 \\ -1+3 \leq x^2 \leq 1+3 \\ \Rightarrow 2 \leq x^2 \leq 4 \\ \pm \sqrt{2} \leq x \leq \pm 2 \\ \therefore \quad[-2,-\sqrt{2}] \cup[\sqrt{2}, 2] \)