cot^-1 \(\left( \sqrt { 3 } \right) \)  = θ என்க.
⇒ \(\sqrt { 3 } \) = cot θ ⇒ tan θ = \(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \)
⇒ tan θ = tan \(\frac { \pi }{ 6 } \) ⇒ θ = \(\frac { \pi }{ 6 } \)   [∵ \(\frac { \pi }{ 6 } \) ∈ \(\left[ \frac { -\pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right] \)]
∴ cot^-1 \(\left( \sqrt { 3 } \right) \) = \(\frac { \pi }{ 6 } \)

y = -sin \((\frac{1}{3}x)\) sin x-ன் வீச்சு 1
⇒ -sin \((\frac{1}{3}x)\) ன் வீச்சும் மேலும் 1.
-sin \((\frac{1}{3}x)\) ன் காலம் \(\frac { 1 }{ 3 } \)x = 2π ⇒ x = 6π

 \(\sin\left[ \frac { \pi }{ 3 } -\sin ^{ -1 }\left( -\frac { 1 }{ 2 } \right) \right] =\sin\left[ \frac { \pi }{ 3 } -\left( -\frac { \pi }{ 6 } \right) \right] =\sin\left( \frac { \pi }{ 2 } \right) =1\)

sec^-1\(\left( -\frac { 2\sqrt { 3 } }{ 3 } \right) =\theta \) என்க.
எனவே, sec \(\theta\) = \(-\frac{2}{\sqrt3}\) இங்கு \(\theta\in[0,\pi]\)\{\(\frac{\pi}{2}\)} ஆகும்.
எனவே, cos \(\theta=-\frac {\sqrt3}{2}\) ஆகும்.
இனி, \(\cos\frac { 5\pi }{ 6 } =\cos\left( \pi -\frac { \pi }{ 6 } \right) =-\cos\left( \frac { \pi }{ 6 } \right) =-\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \) ஆகும். 
எனவே, sec^-1\(\left( -\frac { 2\sqrt { 3 } }{ 3 } \right) =\frac { 5\pi }{ 6 }\) ஆகும்.

கொடுக்கப்பட்ட \(\frac { \pi }{ 2 } \) < cos^-1 (3x - 1) < π
cos \(\frac { \pi }{ 2 } \) < 3x - 1 < cos π ⇒ 0 < 3x - 1 < -1
0 + 1 < 3x < -1 + 1 ⇒ 1 < 3x < 0
\(\frac { 1 }{ 3 } \) < x < 0
0 < x < \(\frac { 1 }{ 3 } \) எனில் மட்டும் இந்த சமன்பாடு சரி.

cos⁻¹\(\left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) \) = y என்க. எனவே, cos y = \( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \) ஆகும்.
y = cos^-1 x-ன் முதன்மை மதிப்பு வீச்சகம் [0, \(\pi\)]என நாம் அறிவோம். எனவே, cos y = \( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \) எனும்படி y மதிப்பு [0, \(\pi\)]-ல் காண வேண்டும். ஆனால், cos \(\frac{\pi}{6}\) = \(\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 }\) மற்றும் \( \frac{\pi}{6}\in[0,\pi]\) என்பதால் y = \(\frac{\pi}{6}\) ஆகும். எனவே cos⁻¹\(\left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) \)-ன் முதன்மை மதிப்பு \(\frac{\pi}{6}\)ஆகும்.

கொடுக்கப்பட்ட (i) y = sin 7x
sin x- ன் வீச்சு 1 [சைன் வளைவரையின் மீப்பெரு மதிப்பு 1
⇒ sin 7x-ன் வீச்சு கூட 1.
சார்பின் காலம் p எனில் f(x + p) = f(x)
சைன் சார்பின் காலம் 2π. ஆதலால் sin 7x ன் காலம் \(\frac { 2\pi }{ 7 } \) 
(ii) y = -sin \((\frac{1}{3}x)\) sin x-ன் வீச்சு 1
⇒ -sin \((\frac{1}{3}x)\) ன் வீச்சும் மேலும் 1.
-sin \((\frac{1}{3}x)\) ன் காலம் \(\frac { 1 }{ 3 } \)x = 2π ⇒ x = 6π
(iii) y = 4 sin (-2x)
sin x-ன் வீச்சு 1
⇒ sin (-2x)- ன் வீச்சு 4 x 1 = 4
sin (-2x) ன் காலம் 2x = 2π ⇒ x = \(\frac { 2\pi }{ 2 } \) = π

sin^-1: [-1, 1] \(\rightarrow \left[ -\frac { \pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right] \) என்பது  sin^-1: x = y என கொடுக்கப்படத் தேவையானதும் மற்றும் போதுமானதுமான நிபந்தனை x = sin y ஆகும். இங்கு −1 ≤ x ≤ 1 மற்றும் - \(\frac { \pi }{ 2 } \le y \le \frac { \pi }{ 2 } \). எனவே
(i) \(\frac{\pi}{4}\) \(\in \left[ -\frac { \pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right] \)மற்றும் sin \(\frac { \pi }{ 4 } =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \) என்பதால் \({ \sin }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) \)\(-\frac{\pi}{4}\)
(ii) \( -\frac{\pi}{3}\)\(\in \left[ -\frac { \pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right] \)என்பதால் \({ \sin }^{ -1 }\left( \sin\left( -\frac { \pi }{ 3 } \right) \right) \)= -\(\frac{\pi}{3}\) ஆகும்.
(iii) \(\frac{\pi}{6}\) \(\in \left[ -\frac { \pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right] \)என்பதால் \(\sin ^{-1}\left(\sin \left(\frac{5 \pi}{6}\right)\right)=\sin ^{-1}\left(\sin \left(\pi-\frac{\pi}{6}\right)\right)=\sin ^{-1}\left(\sin \frac{\pi}{6}\right)=\frac{\pi}{6}\)

\(\sin\left( { \tan }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) -{ \cos }^{ -1 }\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) \right) \)
tan^-1 \(\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) \) = x ⇒ \(\frac { 1 }{ 2 } \) = tan x என்க.

cos x = \(\frac { adj }{ hyp } =\frac { 2 }{ \sqrt { 5 } } \)
∴ sin x = \(\frac { opp }{ hyp } =\frac { 1 }{ \sqrt { 5 } } \)            ...(1)
cos^-1 \(\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) =y\Rightarrow \frac { 4 }{ 5 } \) = cos y என்க.

sin y = \(\frac { opp }{ hyp } =\frac { 3 }{ 5 } \)
∴ sin \(\left( { \tan }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) -\cos\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) \right) \)
= sin (x - y) = sin x cos y - cos x sin y
= \(\frac { 1 }{ \sqrt { 5 } } .\frac { 4 }{ 5 } -\frac { 2 }{ \sqrt { 5 } } .\frac { 3 }{ 5 } \)
= \(\frac { 4 }{ 5\sqrt { 5 } } -\frac { 6 }{ 5\sqrt { 5 } } =\frac { -2 }{ 5\sqrt { 5 } } \times \frac { \sqrt { 5 } }{ \sqrt { 5 } } =\frac { -2\sqrt { 5 } }{ 5(5) } =\frac { -2\sqrt { 5 } }{ 25 } \)

\({ \sin }^{ -1 }\left( \frac { x }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } \right) ={ \cos }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } \right) \).என அறிவோம்
எனவே, \(\cos\left( { \sin }^{ -1 }\left( \frac { x }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } \right) \right) +\frac { 1 }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } )\)     ...(1)
\({ \cot }^{ -1 }\left( \frac { 3 }{ 4 } \right) =\theta \). என்க. பின்னர் \(\cot\theta =\frac { 3 }{ 4 } \)மற்றும் \(\theta \) குறுங்கோணம்.
படத்திலிருந்து, நமக்கு கிடைக்கப்பெறுவது 
\(\sin\left\{ { \cot }^{ -1 }\left( \frac { 3 }{ 4 } \right) \right\} =\sin\theta =\frac { 4 }{ 5 } \)        ...(2)
(1) மற்றும் (2)-ஐ கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டில் பயன்படுத்தும்போது 
\(\frac { 1 }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } =\frac { 4 }{ 5 } \), என்பதிலிருந்து \(\sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } =\frac { 5 }{ 4 } \) எனவே, \(x=\pm \frac { 3 }{ 4 } \).

x = 0 எனில், இருபுறமும் 0ஆகும்....(1)
0 < x < 1 என்க.
\(\theta\) = sin^-1 x என்க. எனவே 0 < \(\theta\) < \(\frac{\pi}{2}\)ஆகும். தற்போது sin \(\theta\) = \(\frac{x}{1}\) என்பதால், tan \(\theta=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)
எனவே, tan (sin^-1 x) = \(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)      .. (2)
அடுத்தாக -1 < x < 0 என்க. எனவே, \(\theta =\sin^{-1} x\)  என்பதிலிருந்து -\(\frac{\pi}{2}<\theta<0.\)
sin \(\theta=\frac{x}{1}\) என்பதால், tan\(\theta=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)
இம்முறையிலும்  tan(sin^-1x) = \(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\) என கிடைக்கின்றது ...(3)
சமன்பாடுகள் (1), (2) மற்றும் (3) ஆகியவற்றிலிருந்து  tan(sin⁻¹x) \(= \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\), -1 < x < 1 என நிறுவப்படுகின்றது.

கொடுக்கப்பட்ட f(x) = sin^-1 \(\left( \frac { { x }^{ 2 }+1 }{ 2x } \right) \)
நமக்கு தெரியும் sin^-1(x)-ன் சார்பகம் [-1,1]
\(\Rightarrow -1\le \frac { { x }^{ 2 }+1 }{ 2x } \le 1\)
கருதுக \(-1\le \frac { { x }^{ 2 }+1 }{ 2x } \)
\(\Rightarrow 0\le \frac { { x }^{ 2 }+1 }{ 2x } +1\Rightarrow \frac { { x }^{ 2 }+1+2x }{ 2x } \ge 0\)
\(\Rightarrow \frac { { (x+1) }^{ 2 } }{ 2x } \ge 0\) ⇒ x = -1 மற்றும் x < 0    .....(1)
கருதுக \(\frac { { x }^{ 2 }+1 }{ 2x } \le 1\Rightarrow \frac { { x }^{ 2 }+1 }{ 2x } -1\le 0\)
\(\Rightarrow \frac { { x }^{ 2 }-1+2x }{ 2x } \le 0\Rightarrow \frac { { (x-1) }^{ 2 } }{ 2x } \le 0\)
x = 1 மற்றும் x ≥ 0
(1) மற்றும் (2) லிருந்து சார்பகம் = {-1,1}

\({ \tan }^{ -1 }\frac { x }{ y } -{ \tan }^{ -1 }\frac { x-y }{ x+y } \)
= tan^-1 \(\left( \frac { \frac { x }{ y } -\frac { x-y }{ x+y } }{ 1+\frac { x }{ y } \left( \frac { x-y }{ x+y } \right) } \right) \)
[∵ tan^-1 x - tan^-1 y = tan^-1 \(\left( \frac { x-y }{ 1+xy } \right) \)]
= tan^-1 \(\left( \frac { \frac { x(x+y)-y(x-y) }{ y(x+y) } }{ \frac { y(x+y)+x(x-y) }{ y(x+y) } } \right) \)

= tan^-1 (1) = \(\frac { \pi }{ 4 } \)

\( \sin \left(\tan ^{-1} x\right),|x|<1  \\ \because \tan ^{-1} x   =\sin ^{-1} \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \\ \therefore \sin \left(\tan ^{-1} x\right)   =\sin \left[\sin ^{-1} \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right]=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \)

\(\tan ^{-1} x-\cot ^{-1} x=\tan ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi}{6} \\   \tan ^{-1} x+\cot ^{-1} x=\frac{\pi}{2}\) 
(2) மற்றும் (1) ஐக் கூட்ட,
\(2 \tan ^{-1} x  =\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}=\frac{2 \pi}{3} \\ \tan ^{-1} x   =\frac{\pi}{3} \Rightarrow x=\tan \left(\frac{\pi}{3}\right)\)
\(x=\sqrt{3} \) என்பது ஒரேயொரு தீர்வாகும்.

 \(\cot ^{-1} 2+\cot ^{-1} 3 =\tan ^{-1} \frac{1}{2}+\tan ^{-1} \frac{1}{3} \\   =\tan ^{-1}\left[\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{b}{6}}\right]=\tan ^{-1}(1)=\frac{\pi}{4}\)
மூன்றாவது கோணம் = \(\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3 \pi}{4} \)

sin⁻¹\(\sqrt{x-1} \) 
\(-1  \leq \sqrt{x-1} \leq 1 \text { and } \sqrt{x-1} \geq 0 \\ \therefore 0   \leq \sqrt{x-1} \leq 1 \\ 0    \leq x-1 \leq 1 \\ 1   \leq x \leq 2 \Rightarrow x \in[1,2]  \)

\( \sin ^{-1} x+\sin ^{-1} y+\sin ^{-1} z=\frac{3 \pi}{2}    \therefore x=y=z=1 \\  \left(\because \sin ^{-1}(1)\right.\left.=\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}=\frac{3 \pi}{2}\right) \\   x^{2017}+y^{2018}+z^{2019}-\frac{9}{x^{101}+y^{101}+z^{101}} \\  =1+1+1-\frac{9}{1+1+1} \\  =3-\frac{9}{3}=3-3=0  \)

2sin⁻¹ \(\alpha\) -க்கு ஒரு தீர்வு இருந்தால்
\( -\frac{\pi}{2} \leq 2 \sin ^{-1} \alpha \leq \frac{\pi}{2} \\ -\frac{\pi}{4} \leq \sin ^{-1} \alpha \leq \frac{\pi}{4} \\ \sin \left(\frac{-\pi}{4}\right) \leq \alpha \leq \sin \frac{\pi}{4} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \leq \alpha \leq \frac{1}{\sqrt{2}} \\ |\alpha| \leq \frac{1}{\sqrt{2}} \)

\(\sin ^{-1}(\cos x)=\sin ^{-1}\left(\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right)=\frac{\pi}{2}-x\)