மெய்மை அட்டவணையில் p → q மற்றும் ㄱp ν q ஆகியவற்றிற்கான நிரல்கள் முழுவதும் ஒரே மாதிரியாக உள்ளது. எனவே அவை சமானமானவை ஆகும்.

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு \(\frac { dy }{ dx } =\sqrt { 4x+2y-1 } .\)
z = 4x + 2y - 1 எனப் பிரதியிடக் கிடைப்பது
\(\frac { dy }{ dx } =4+2\frac { dy }{ dx } =4+2\sqrt { z } \)
எனவே, \(\frac { dz }{ 4+2\sqrt { z } } =dx\).
தொகையிட, \(\int { \frac { dz }{ 4+2\sqrt { z } } } =x+C.\)
z = u² எனப்பிரதியிட
\(\int { \frac { dz }{ 4+2\sqrt { z } } } =\quad \int { \frac { udu }{ u+2 } } =u-2log\left| u+2 \right| +C,\)
அல்லது \(\sqrt { z } -2log\left| \sqrt { z } +2 \right| =x+C\)
z = 4x + 2y -1 எனப் பிரதியிட, நாம் பெறும் பொதுத் தீர்வு
\(\sqrt { 4x+2y-1 } +2\log\left| \sqrt { 4x+2y-1 } +2 \right| =x+C.\)

\(f'(x)=1-\cos x\ge0\) மேலும் \(x=2n\pi, n\in Z\) -ல் f ′(x) பூச்சியம் என்பவைகளில் இருந்து f (x) என்ற சார்பு மெய் எண் கோட்டில் ஏறுகிறது.
\(x=2n\pi, n\in Z\) -ஐ கடக்கும் போது f ′(x) -ன் குறியில் மாற்றம் இல்லாத காரணத்தால் முதலாம் வகைக்கெழு சோதனையின்படி இங்கு இடஞ்சார்ந்த அறுதி மதிப்புகள் இல்லை.

\(\cos\left( { \sin }^{ -1 }\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) -{ \tan }^{ -1 }\left( \frac { 3 }{ 4 } \right) \right) \)
sin^-1 \(\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) \) = x என்க.
\( \frac { 4 }{ 5 } \) = sin x 

∴ cos x = \(\frac { adj }{ hyp } =\frac { 3 }{ 5 } \)
tan^-1 \(\left( \frac { 3 }{ 4 } \right) \) = y என்க.
⇒ tan y = \(\frac { 3 }{ 4 } \)

⇒ sin y = \(\frac { opp }{ hyp } =\frac { 3 }{ 5 } \) மற்றும் cos y = \(\frac { adj }{ hyp } =\frac { 4 }{ 5 } \)
∴ cos \(\left( { \sin }^{ -1 }\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) -{ \tan }^{ -1 }\left( \frac { 3 }{ 4 } \right) \right) \)
= cos (x - y) = cos x cos y + sin x sin y
= \(\frac { 3 }{ 5 } .\frac { 4 }{ 5 } +\frac { 4 }{ 5 } .\frac { 3 }{ 5 } =\frac { 12 }{ 25 } +\frac { 12 }{ 25 } =\frac { 24 }{ 25 } =\frac { 24 }{ 25 } \)

கொடுக்கப்பட்ட p(x) எனும் பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாட்டிற்கு தெளிவாகவே 2 முறை குறிமாற்றங்கள் இருப்பதால் p(x) -மிகையெண் மூலங்களின் எண்ணிக்கை இரண்டிற்கு மேலிராது. மேலும் p(-x) = 9x⁹ + 2x⁵ − x⁴ − 7x² + 2-ல்  p(-x) -க்கு ஒரே ஒரு முறை குறிமாற்றம் இருப்பதால் குறையெண் மூலங்களின் எண்ணிக்கை ஒன்றுக்கு மேற்பட்டு இல்லை. தெளிவாகவே 0 ஒரு மூலம் இல்லை. எனவே மெய்யெண் மூலங்களின் எண்ணிக்கை அதிகபட்சம் 3 ஆகும். எனவே குறைந்தபட்சம் ஆறு மெய்யற்ற கலப்பெண் மூலங்கள் உண்டு.

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு 2x²+kx+k=0
இங்கு a=2, b=k, c=k
பண்புகாட்டி

Δ=b²-4ac=k²-4(2)(k)
=k²-8k=k(k-8)
k மெய் ஆகையால் k-க்கு சாத்தியமான மதிப்புகள்
k<0, k=0 அல்லது 8, 08 நிலை (i) k<0 எனில், Δ=k(k-8)>0
⇒ அது மெய் மூலங்களை கொண்டிருக்கும்.
(∵ k என்பது மெய்)
நிலை (ii) k=0 அல்லது 8 எனில், Δ=0,
∴ மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமம்
நிலை (iii) 0 நிலை (iv) k>8 எனில், Δ=k(k-8)>0
⇒ மூலங்கள் மெய் மற்றும் வெவ்வேறானவை.

சமன்பாட்டு தொகுப்பின் அணி வடிவம் AX=B 
இங்கு 
\(A=\left[ \begin{matrix} k & -2 & 1 \\ 1 & -2k & 1 \\ 1 & -2 & k \end{matrix} \right] ,X=\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] ,B=\left[ \begin{matrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{matrix} \right] \)
[A|B] என்ற விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியில் தொடக்கநிலை நிரை செயலிகள் பயன்படுத்தக் கிடைப்பது,
\(A=\left[ \begin{matrix} k & -2 & 1 \\ 1 & -2k & 1 \\ 1 & -2 & k \end{matrix} \right] ,X=\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] ,B=\left[ \begin{matrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{matrix} \right] \)
\([A/B]=\left[ \begin{matrix} k & -2 & 1 \\ 1 & -2k & 1 \\ 1 & -2 & k \end{matrix}|\begin{matrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 1 }\leftrightarrow { R }_{ 3 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -2 & k \\ 1 & -2k & 1 \\ k & -2 & 1 \end{matrix}|\begin{matrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-{ R }_{ 1 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-{ kR }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -2 & k \\ 1 & -2k+2 & k \\ 0 & -2+2k & 1-{ k }^{ 2 } \end{matrix}|\begin{matrix} 1 \\ -3 \\ 1-k \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }+{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ -2k+2 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} k \\ 1-k \\ 1-{ k }^{ 2 }+1-k \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -3 \\ -k-2 \end{matrix} \right] \)
\(\rightarrow \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ -2k+2 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} k \\ 1-k \\ (k+2)(1-k) \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -3 \\ -k-2 \end{matrix} \right] \quad .....(1)\)
நிலை (i) k=1 எனில் 
\([A|B]\rightarrow \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -3 \\ -3 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -3 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
[2 - k - k² = - (k² +k-2)
=-(k+2) (k-1)
= (k + 2) (1-k)]
நிலை (i) k = 1 எனில்
ρ(A)=1, ρ([A } B]) = 3.
ρ(A) ≠ ρ([A | B])
சமன்பாட்டுத் தொகுப்பு ஒருங்கமைவற்றது மற்றும் தீர்வுகள் கிடையாது.
நிலை (ii): k ≠ 1, k ≠ -2 எனில் ρ(A)=3, ρ([A | B]) = 3 = n
சமன்பாட்டுத் தொகுப்பு ஒருங்கமைவுடையது மற்றும் ஒரே ஒரு தீர்வைக் கொண்டது.
நிலை (iii): k=-2 எனில்
ρ(A) = 2, ρ([A | B]) = 2
சமன்பாட்டுத் தொகுப்பு ஒருங்கமைவுடையது மற்றும் எண்ணற்ற தீர்வுகளைக் கொண்டது.

|adj A| = \(\left| \begin{matrix} -1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{matrix} \right| \) = 9
எனவே A^-1 = \(\pm \frac { 1 }{ \sqrt { |adj(A)| } } adj(A)=\pm \frac { 1 }{ \sqrt { 9 } } \left[ \begin{matrix} -1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{matrix} \right] =\pm \frac { 1 }{ 3 } \left[ \begin{matrix} -1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{matrix} \right] \).

|A| = \(\left[ \begin{matrix} 8 & -6 & 2 \\ -6 & 7 & -4 \\ 2 & -4 & 3 \end{matrix} \right] \)= 8(21-16)+6(-18+8)+2(24-14) = 40 - 60 + 20 = 0
சேர்ப்பு அணியின் வரையறைப்படி கிடைப்பது
adj A = \(\left| \begin{matrix} (21-16) & -(18+8) & (24-14) \\ -(-18+8) & (24-4) & -(32+12) \\ (24-14) & -(32+12) & (56-36) \end{matrix} \right| ^{ T }=\left| \begin{matrix} 5 & 10 & 10 \\ 10 & 20 & 20 \\ 10 & 20 & 20 \end{matrix} \right| \)
எனவே,
A(adj A) =\(\left[ \begin{matrix} 8 & -6 & 2 \\ -6 & 7 & -4 \\ 2 & -4 & 3 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 5 & 10 & 10 \\ 10 & 20 & 20 \\ 10 & 20 & 20 \end{matrix} \right] \)
= \(\left[ \begin{matrix} 40-60+20 & 80-120+40 & 80-120+40 \\ -30+70-40 & -60+140-80 & -60+140-80 \\ 10-40+30 & 20-80+60 & 20-80+60 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right] \) = 0I₃ = |A|I₃.
இதேபோல், நமக்குக் கிடைப்பது
(adj A)A =\(\left[ \begin{matrix} 5 & 10 & 10 \\ 10 & 20 & 20 \\ 10 & 20 & 20 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 8 & -6 & 2 \\ -6 & 7 & -4 \\ 2 & -4 & 3 \end{matrix} \right] \)
=\(\left[ \begin{matrix} 40-60+20 & -30+70-40 & 10-40+30 \\ 80-120+40 & -60+140-80 & 20-80+60 \\ 80-120+40 & -60+140-80 & 20-80+60 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right] \) = 0I₃ = |A|I₃.
எனவே, A(adj A) = (adj A)A = |A| I₃ என்பது சரிபார்க்கப்பட்டது.

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு \(\frac { (y-{ 2) }^{ 2 } }{ 25 } -\frac { (x+1)^{ 2 } }{ 16 } =1\)
துணையச்சு y-அச்சுக்கு இணையான அதிபரவளையத்தின் சமன்பாடு 
\(\therefore\) a² = 25, b² = 16
\(\Rightarrow\) c² = a² + b² = 25 + 16 = 41
\(\Rightarrow\) \(c=\sqrt { 41 } \)
\(e=\sqrt { 1+\cfrac { { b }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } } =\sqrt { 1+\cfrac { 16 }{ 25 } } =\sqrt { \cfrac { 41 }{ 25 } } =\cfrac { \sqrt { 41 } }{ 5 } \)
(a) மையம் \((-1,2)\Rightarrow h=-1,k=2\)
(b) குவியங்கள் (h, k+c), (h, k-c)
\(\Rightarrow \left( -1,2+\sqrt { 41 } \right) ,\left( -1,2-\sqrt { 41 } \right) \)
(c) முனைகள் (h, k+a), (h, k-a)
\(\Rightarrow \left( -1,2+5 \right) ,\left( -1,2-5 \right) \)
= (1, 7), (-1, -3)
(d) இயக்குவரைகளின் சமன்பாடுகள் 
\(-2=\pm \cfrac { 5 }{ \frac { \sqrt { 41 } }{ 5 } } \)
\(\Rightarrow y-2=\pm \frac { 25 }{ \sqrt { 41 } } \)

\(\Rightarrow y=2+\cfrac { 25 }{ \sqrt { 41 } } \) மற்றும் \(y=2-\cfrac { 25 }{ \sqrt { 41 } } \)

\(\vec { r } =(\hat { i } +3\hat { j } -\hat { k } )+t(2\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } )\) என்ற கோட்டின் கார்டீசியன் சமன்பாடு
\(\frac { x-1 }{ 2 } =\frac { y-3 }{ 3 } =\frac { z+1 }{ 2 } \) = s(என்க)
இக்கோட்டின் மீதுள்ள ஏதேனுமொரு புள்ளியின் அமைப்பு (2s + 1, 3s + 3, 2s - 1) ....... (1)
இரண்டாவது கோட்டின் கார்டீசியன் சமன்பாடு \(\frac { x-2 }{ 1 } =\frac { y-4 }{ 2 } =\frac { z+3 }{ 4 } \) = t (என்க)
இக்கோட்டின் மீதுள்ள ஏதேனுமொரு புள்ளியின் அமைப்பு (t + 2, 2t + 4, 4t - 3) ..... (2)
கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் வெட்டிக் கொள்ளுமானால், ஒரு பொதுவான புள்ளி இருக்க வேண்டும். எனவே, ஒரு சில s, t ∊ R களுக்கு,
(2s + 1, 3s + 3, 2s - 1) = (t + 2, 2t + 4, 4t - 3)
x, y மற்றும் z -ன் அச்சுத்தூரங்களை சமப்படுத்த, நாம் பெறுவது
2s - 1 = 1, 3s - 2t = 1 மற்றும் s - 2t = -1.
இம்மூன்று சமன்பாடுகளில் முதல் இரண்டு சமன்பாடுகளின் தீர்வு காண்பதால் s = 1 மற்றும் t = 1 எனக் கிடைக்கிறது. s மற்றும் t -ன் இம்மதிப்புகள் மூன்றாவது சமன்பாட்டை நிறைவு செய்கின்றன. எனவே, கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் வெட்டும் கோடுகளாகும். இப்பொழுது, s -ன் மதிப்பை சமன்பாடு (1)-ல் அல்லது t -ன் மதிப்பை சமன்பாடு (2)-ல் பிரதியிட, இவ்விரு கோடுகளின் வெட்டும் புள்ளி (3, 6, 1) எனக் கிடைக்கிறது.
\(\vec { b } =2\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } \) மற்றும் \(\vec { d } =\hat { i } +2\hat { j } +4\hat { k } \) என எடுத்துக் கொண்டால்,
\(\vec { b } \times \vec { d } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 2 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{matrix} \right| =8\hat { i } -6\hat { j } +\hat { k } \) எனக் கிடைக்கிறது.
இவ்வெக்டர் கொடுக்கப்பட்ட இரு கோடுகளுக்கும் செங்குத்தான வெக்டராகும்.
எனவே, தேவையான நேர்க்கோடு (3, 6, 1) என்ற புள்ளி வழியாகச் செல்வதுடன் இரு நேர்க்கோடுகளுக்கும் செங்குத்தானதும் ஆகும். ஆகவே, தேவையான நேர்க்கோடு (3, 6, 1) என்ற புள்ளி வழியாகச் செல்வதுடன் \(8\hat { i } -6\hat { j } +\hat { k } \) என்ற வெக்டருக்கு இணையாகவும் இருக்கும். எனவே, தேவையான நேர்க்கோட்டின் வெக்டர் சமன்பாடு
\(\vec { r } =(3\hat { i } +6\hat { j } +\hat { k } )+m(8\hat { i } -6\hat { j } +\hat { k }) \), m ∊ R

பரவளையத்தின் சமன்பாடு x² = 4ay என்க

படத்திலிருந்து சமன்பாடு x² = 4ay என்றும் அது C(30, 13) வழிச் செல்கிறது எனவும் அறியலாம்.
\( \therefore 30^2 =4 a \times 13 \\ 4 a =\frac{30^2}{13} \)
ஃ பரவளையத்தின் சமன்பாடு \(x^2=\frac{30^2}{13} y\)
(i) VG = 6 மற்றும் GE = y என்க.
ஃ E(6, y) பரவளையத்தின் மீதுள்ளது.
\(36=\frac{30^2}{13} y \Rightarrow y=0.52\)
சாலையிலிருந்து கம்பி வடத்தின் நீளம் 3 + 0.52 = 3.52 மீ
(ii) VH = 12 மற்றும் HF = y
ஃ F(12, y) பரவளையத்தின் மீதுள்ளது.
\(12^2=\frac{30^2}{13} y \Rightarrow y=\frac{144 \times 13}{900}=\frac{208}{100}=2.08\)
சாலையிலிருந்து கம்பி தம்பி வடத்தின் நீளம் = 3 + 2.08 = 5.08 மீ
முனையிலிருந்து முதலில் உள்ள இரு கம்பி வடங்களின் உயரங்கள் 3.52 மீ மற்றும் 5.08 மீ

AB =\(\left[ \begin{matrix} 0 & -3 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} -2 & -3 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 0+0 & 0+3 \\ -2+0 & -3-4 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 0 & 3 \\ -2 & -7 \end{matrix} \right] \)
(AB)^-1 =\(\frac { 1 }{ (0+6) } \left[ \begin{matrix} -7 & -3 \\ 2 & 0 \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 6 } \left[ \begin{matrix} -7 & -3 \\ 2 & 0 \end{matrix} \right] \)    ...(1)
A^-1 =\(\frac { 1 }{ (0+3) } \left[ \begin{matrix} 4 & 3 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 3 } \left[ \begin{matrix} 4 & 3 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right] \)
B^-1 =\(\frac { 1 }{ (2-0) } \left[ \begin{matrix} -1 & 3 \\ 0 & -2 \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 2 } \left[ \begin{matrix} -1 & 3 \\ 0 & -2 \end{matrix} \right] \)
B^-1A^-1 =\(\frac { 1 }{ 2 } \left[ \begin{matrix} -1 & 3 \\ 0 & -2 \end{matrix} \right] \frac { 1 }{ 3 } \left[ \begin{matrix} 4 & 3 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 6 } \left[ \begin{matrix} -7 & -3 \\ 2 & 0 \end{matrix} \right] \) ....(2)
அணிகள் (1) மற்றும் (2) சமம். எனவே (AB)^-1 = B^-1A^-1 என்பது சரிபார்க்கப்பட்டது.

y = -sin \((\frac{1}{3}x)\) sin x-ன் வீச்சு 1
⇒ -sin \((\frac{1}{3}x)\) ன் வீச்சும் மேலும் 1.
-sin \((\frac{1}{3}x)\) ன் காலம் \(\frac { 1 }{ 3 } \)x = 2π ⇒ x = 6π

கொடுக்கப்பட்ட தளத்தின் சமன்பாடு 
\(\vec { r } .\left( 6\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } \right) =8\) 
\(\therefore { \vec { n } }_{ 1 }=6\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } \) 
\(\vec { r } =\left( 2\hat { i } -\hat { j } +\hat { k } \right) +t\left( \hat { i } +2\hat { j } -2\hat { k } \right) \) மற்றும் அந்த கோடு 
\(\therefore \vec { b } =\hat { i } +2\hat { j } -2\hat { k } \) 
தளம் மற்றும் கோட்டிற்கும் இடையேயான கோணம் 
\(sin\theta =\cfrac { \left| \vec { b } .\vec { n } \right| }{ \left| \vec { b } \right| \left| \vec { n } \right| } =\cfrac { \left| 6(1)+3(2)+2(-2) \right| }{ \sqrt { { 1 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 }+(-2)^{ 2 }.\sqrt { { 6 }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 } } } } \)
= \(\cfrac { 6+6-4 }{ \sqrt { 9 } .\sqrt { 36+9+4 } } =\cfrac { 8 }{ \sqrt { 9 } .\sqrt { 49 } } =\cfrac { 8 }{ 3(7) } =\cfrac { 8 }{ 21 } \) 
\(\therefore \theta { \sin }^{ -1 }\left( \cfrac { 8 }{ 21 } \right) \)

கருதப்படும் பல்லுறுப்புக்கோவையை p(x) என்க.
p(x) மற்றும் P(-x)-ல் குறிமாற்றங்களின் எண்ணிக்கை பூச்சியம் என்பதால் மிகை எண் மூலங்களோ குறையெண் மூலங்களோ இல்லை. தெளிவாகவே பூச்சியம் மூலம் இல்லை. எனவே பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு மெய்யெண் மூலங்கள் இல்லை. ஆகையால் பல்லுறுப்புக்கோவையின் அனைத்து மூலங்களும் மெய்யற்ற கலப்பெண் மூலங்களாகும்.

\(2+i\sqrt { 3 } \) பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஒரு மூலம் ஆதலால் அதனுடைய இணை மேலும் 2-i \(\sqrt { 3 } \) யும் சமன்பாட்டிற்கும் ஒரு மூலமாகும்.
\(\sqrt { 3 } \) யும் அந்த சமன்பாட்டிற்கு ஒரு மூலமாகும்.
∴ மூலங்களின் கூடுதல் =2+i\(\sqrt { 3 } \)+2-i\(\sqrt { 3 } \)=4
மூலங்களின் பெருக்கல் பலன் =(2+i\(\sqrt { 3 } \))(2-i\(\sqrt { 3 } \))
=2²+(\(\sqrt { 3 } \))²
[∵ (a+ib)(a-ib)=a²+b²
=4+3=7
எனவே குறைந்தபட்ச படியுடன் விகிதமுறு கெழுக்களையுடைய பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாடு
x²-x (மூலங்களின் கூடுதல்)+மூலங்களின் பெருக்கல் பலன் =0
⇒ x²-x(4)+7=0
⇒ x²-4x+7=0

பரவளையத்தின் சமன்பாடு y² = 4ax 
செவ்வகலம் LL' குவியம் (a, 0) வழிச் செல்கின்றது.
எனவே L என்பது (a, y₁)ஆகும்.
அதனால் y₁² = 4a².
எனவே y₁ = ±2a 
செவ்வகலத்தின் முனைப்புள்ளிகள் (a, 2a) மற்றும் (a, -2a) ஆகும்.
எனவே செவ்வகலத்தின் நீளம் LL' = 4a.

\(7\le \left|z +6-8i \right| \le 13\) எனக் கொடுக்கப்பட்டது 
\(\left| z+6-8i \right| \le \left| z \right| +\left| 6-8i \right| \) [முக்கோணச் சமனிலி]
\(\le 3\sqrt { { 6 }^{ 2 }+{ (-8) }^{ 2 } } \le 3+\sqrt { 36+64 } \le 3\sqrt { 1w } \)
\(\left| z+6-8i \right| \le 3+10\le 13\) ...(1)
மேலும் \(\left| z+6-8i \right| \ge \left| z \right| -\left| 6-8i \right| \ge \left| 3\sqrt { { 6 }^{ 2 }+{ (-8) }^{ 2 } } \right| \)
\(\ge \left| 3-\sqrt { 36+84 } \right| \ge \left| 3-10 \right| \ge \left| -7 \right| \ge 7\) ...(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து கிடைப்பது,
\(7\le \left| z+6-8i \right| \le 13\) எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியின் மீது காஸ்-ஜோர்டான் முறையினைப் பயன்படுத்த,
[A|I₂]  =\(\left[ \begin{matrix} 0 & 5 \\ -1 & 6 \end{matrix}|\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 1 }\leftrightarrow { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} -1 & 6 \\ 0 & 5 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 1 }\rightarrow (-1){ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -6 \\ 0 & 5 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow \frac { 1 }{ 5 } { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -6 \\ 0 & 1 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 & -1 \\ (1/5) & 0 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 1 }\rightarrow { R }_{ 1 }+6{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}|\begin{matrix} (6/5) & -1 \\ (1/5) & 0 \end{matrix} \right] \)
எனவே A^-1=\(\left[ \begin{matrix} (6/5) & -1 \\ (1/5) & 0 \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 5 } \left[ \begin{matrix} 6 & -5 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right] \).

i¹⁺⁵⁰ + i²⁺⁵⁰ + ... + i¹⁰⁺⁵⁰
= i⁵¹ + i⁵² + ..... + i⁶⁰
i⁵⁰ ஐ பொதுவாக எடுக்க கிடைப்பது.
i⁵⁰[(i + i² + i³ + i⁴) + (i⁵ + i⁶ + i + i⁸) + i⁹ + i¹⁰]
= i⁵⁰ [0 + (i⁴⁺¹ + i⁴⁺² + i⁴⁺³ + i⁴⁺⁴) + (i⁸⁺¹ + i⁸⁺²)]
= i⁵⁰ [0 + 0 + i + i²] [∵ i + i² + i³ + i⁴ = 0]
= i⁵⁰ [i - 1] = i⁴⁸⁺²(i-1)
= i²(i-1) [∵ i⁴⁸ = 1]
= -1 (i-1) = -i + 1 = 1 - i

\(y=a x^4+b x^2, a b>0\)
ab >0 \(\Rightarrow \mathrm{a}>0\) மற்றும் b >0  (அல்லது) a < 0 மற்றும் b < 0   ...(1)
(i) கிடைமட்டத் தொடுகோட்டிற்கு, \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{d} x}=0\)
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{d} x}=4 \mathrm{a} x^3+2 \mathrm{~b} x=2 x\left(2 \mathrm{a} x^2+\mathrm{b}\right) \)
\( \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{d} x}=0 \Rightarrow x=0, \pm \sqrt{\frac{-\mathrm{b}}{2 \mathrm{a}}}\)
(1) லிருந்து, \(\frac{b}{a}>0\). எனவே \(\sqrt{\frac{-b}{2 a}}\) ஆனது மெய்மதிப்பாக இருக்க முடியாது.
x = 0 ல், \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{d} x}=0\)
x = 0 ல், கிடைமட்டத் தொடுகோடு உண்டு.
(ii) வளைவு மாற்றப் புள்ளிக்கு, f''(x) ஆனது குறி மாற்றம் அடையும்.
\( f^{\prime \prime}(x)=12 a x^2+2 b=2\left(6 a x^2+b\right) \)
\( f^{\prime \prime}(x)=0 \Rightarrow 6 a x^2+b=0 \Rightarrow x= \pm \sqrt{\frac{-b}{6 a}}\)
(1) லிருந்து, \(\frac{b}{a}>0\) எனவே \(\sqrt{\frac{-b}{2 a}}\) ஆனது மெய்மதிப்பாக இருக்க முடியாது.
\(\therefore\) f''(x) ஆனது குறிமாற்றம் அடையவில்லை. எனவே f(x) ஆனது வளைவு மாற்றப் புள்ளியை பெறவில்லை.

\(f(x)  =2 \cos 4 x \)
\(f^{\prime}(x)  =-8 \sin 4 x\)
\(x=\frac{\pi}{12}\) ல் செங்கோட்டின் சாய்வு 
\(=-\frac{1}{-8 \sin 4\left(\frac{\pi}{12}\right)}\)
\(=\frac{1}{8 \sin \frac{\pi}{3}}=\frac{1}{8\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}=\frac{\sqrt{3}}{12}\)

கொடுக்கப்பட்டது \(\frac{d V}{d t}=3 \pi\) செ.மீ/வி ;
\(\mathrm{r}=\frac{1}{2}\) செ.மீ 
கன அளவு \(\mathrm{V}=\frac{4}{3} \pi r^3\)
' 't' ஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்து,
\(\frac{d V}{d t}  =\frac{4}{3} 3 \pi r^2 \frac{d r}{d t} \)
\(3 \pi  =\frac{4}{3} 3 \pi\left(\frac{1}{4}\right) \frac{d r}{d t} \)
\(\frac{d r}{d t}  =3\)
ஆரத்தின் மாறுபாட்டு வீதம் 3 செ.மீ/வினாடி.

\(\mathrm{v}(x, \mathrm{y})  =\log \left(\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^y\right) \)
\(\frac{\partial \mathrm{v}}{\partial x}  =\frac{e^x}{e^x+e^y}, \frac{\partial \mathrm{v}}{\partial y}=\frac{e^y}{e^x+e^y} \)
\(\frac{\partial \mathrm{v}}{\partial x}+\frac{\partial \mathrm{v}}{\partial y}  =\frac{e^x+e^y}{e^x+e^y}=1\)

\( \vec {a}\) மற்றும் \(\vec{b}\) என்பன இணையாதலால், \(\vec{a}=\lambda \vec{b}\)
\([\vec{a}, \vec{c}, \vec{b}]=[\lambda \vec{b}, \vec{c}, \vec{b}]=\lambda[\vec{b}, \vec{c}, \vec{b}]=\lambda(0)=0\)

கொடுக்கப்பட்டது : \(\left|z_1\right|=1,\left|z_2\right|=2,\left|z_3\right|  =3 \)
மற்றும் \(\left|9 z_1 z_2+4 z_1 z_3+z_2 z_3\right|  =12 \)
\(\left|z_1\right|\left|z_2\right|\left|z_3\right|\left|\frac{9}{z_3}+\frac{4}{z_2}+\frac{1}{z_1}\right| =12 \)
\(\text { (1) (2) (3) }\left|\frac{9 \bar{z}_3}{\left|z_3\right|^2}+\frac{4 \bar{z}_2}{\left|z_2\right|^2}+\frac{\overline{z_1}}{\left|z_1\right|^2}\right|  =12\left[\because|z|^2=z \bar{z}\right] \)
\(6\left|\frac{9 \bar{z}_3}{(3)^2}+\frac{4 \bar{z}_2}{(2)^2}+\frac{\overline{z_1}}{(1)^2}\right|  =12 \)
\(\left|\bar{z}_3+\bar{z}_2+\bar{z}_1\right|  =\frac{12}{6}=2 \)
\(\left|\overline{z_3+z_2+z_1 \mid}\right|  =2 \)
\(\therefore\left|z_1+z_2+z_3\right|  =2\)

விகிதமுறு மூலத் தேற்றத்தின்படி, p/q என்பது பல்லுறுப்புக் கோவைச் சமன்பாட்டின் மூலம். இங்கு a₀ = -5, a_n = 4 மற்றும் (4, -5) = 1. எனவே p என்பது 5 ஐயும், q என்பது 4 ஐயும் வகுக்க வேண்டும்.
p ன் சாத்தியமுறு மதிப்புகள் +1, -1, +5,-5
q ன் சாத்தியமுறு மதிப்புகள் +1, - 1, 4, -4
4/5 என்பது சாத்தியமற்ற விகிதமுறு பூச்சியமாகும்.

வட்டத்தின் சமன்பாடு\((x - 3) ^ 2 + (y + r) ^ 2 = r ^ 2 \) ....(1)
இது (1, -2) என்ற புள்ளி வழிச் செல்கிறது
\( (1-3)^2+(-2+r)^2 =r^2 \\ 4+4-4 r+r^2 =r^2 \Rightarrow r=2 \\ (x-3)^2+(y+2)^2 =4 \)
\((5-3)^2+(-2+2)^2=4 \Rightarrow 4=4\)

\(x ^ 2 + y ^ 2 - 2x - 2y + 1 = 0 \)
2g = - 2
g = - 1
2f = - 2
f = - 1
இணையான கோடு 2x + 4y + \(\lambda\) = 0 என்க. மையம் (-g, -f) = (1, 1) என்பது இக்கோட்டின் மேல் அமைவதால்,
2 + 4 + 2 = 0 ⇒\(\lambda\) = -6
2x + 4y - 6 = 0
x + 2y = 3

\( C A =C B \Rightarrow C A^2=C B^2 \\ (1-1)^2+(0-h)^2 =(2-1)^2+(3-h)^2 \\ h^2 =1+h^2+9-6 h \\ 6 h =10 \Rightarrow h=\frac{10}{6}=\frac{5}{3} \\ =2 h =2\left(\frac{5}{3}\right)=\frac{10}{3} \)

\(\sum_{n=1}^{13}\left(i^n+i^{n-1}\right)=  \left(\mathrm{i}^1+\mathrm{i}^2+\mathrm{i}^3+\ldots+\mathrm{i}^{13}\right)+ \left(\mathrm{i}^0+\mathrm{i}^1+\mathrm{i}^2+\ldots+\mathrm{i}^{12}\right) \)
\(=  \mathrm{i}^0+2\left(\mathrm{i}^1+\mathrm{i}^2+\mathrm{i}^3+\ldots+\mathrm{i}^{12}\right)+\mathrm{i}^{13} \)
\(=  1+2(\mathrm{i}-1-\mathrm{i}+1+\ldots+1)+\mathrm{i} \)
\(=  1+2(0)+\mathrm{i}=1+\mathrm{i}\)

\(\lambda A^{-1} =A \)
\(\lambda I=A^2 =\left[\begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 5 & -2 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 5 & -2 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 4+15 & 6-6 \\ 10-10 & 15+4 \end{array}\right] \)
\(\lambda\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc} 19 & 0 \\ 0 & 19 \end{array}\right] \Rightarrow \lambda=19 \)

(A^TA^-1)^T = A^TA^-1
(A^-1)^T (A^T)^T =  A^TA^-1
(A^T)^-1 A = A^TA^-1
A^T(A^T)^-1AA = (A^T) A^T A^-1 A
(A^T மற்றும் A ஆல் முறையே முன்பெருக்கம் மற்றும் பின்பெருக்கம் செய்ய) A² = (A^T)²

|adj(adj A)| = |A|⁹
\(|A|^{(n-1)^2}=|\mathrm{A}|^9\)
(n - 1)² = 9 = 3²
n - 1 = 3 \(\Rightarrow\) n = 4

\(\tan ^{-1} x-\cot ^{-1} x=\tan ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi}{6} \\   \tan ^{-1} x+\cot ^{-1} x=\frac{\pi}{2}\) 
(2) மற்றும் (1) ஐக் கூட்ட,
\(2 \tan ^{-1} x  =\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}=\frac{2 \pi}{3} \\ \tan ^{-1} x   =\frac{\pi}{3} \Rightarrow x=\tan \left(\frac{\pi}{3}\right)\)
\(x=\sqrt{3} \) என்பது ஒரேயொரு தீர்வாகும்.

\(\sin ^{-1}(\cos x)=\sin ^{-1}\left(\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right)=\frac{\pi}{2}-x\)