இங்கு a_n=1, a₀=1
\(\frac{p}{q}\) பல்லுறுப்பு கோவையின் ஒரு மூலம் இங்கு (p,q) =1, a₀=1 -ன் காரணி p மற்றும் a_n =1 -ன் காரணி q .
1 க்கு காரணி இல்லை ஆதலால் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டுக்கு விகிதமுறு மூலங்கள் இல்லை.

பிரதியிடு \(\sqrt { \frac { x }{ a } } =y\Rightarrow 2y+\frac { 3 }{ y } =\frac { b }{ a } +\frac { 6a }{ b } \)
⇒ \(\frac { 2y^{ 2 }+3 }{ y } =\frac { { b }^{ 2 }+6a^{ 2 } }{ ab } \)
⇒ ab(2y² + 3) = (b² + 6a²)y
⇒ 2aby² + 3ab - y(b² + 6a²)=0
⇒ 2aby² - y(b² + 6a²) + 3ab = 0
⇒ 2aby² - b²y - 6a²y + 3ab = 0
⇒ by(2ay - b) - 3a {2ay - b)= 0
⇒ (2ay- b)(by- 3a) = 0
⇒ 2ay = b, by = 3a
⇒ y=\(\frac { b }{ 2a } \), y=\(\frac { 3a }{ b } \)
நிலை (i) y =\(\frac { b }{ 2a } \) எனில்,
⇒ \(\sqrt { \frac { x }{ a } } =\frac { b }{ 2a } \Rightarrow \frac { 9a^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } \Rightarrow x=\frac { b^{ 2 } }{ 4a } \)
நிலை (ii) y =\(\frac { 3a }{ b } \) எனில்,
\(\sqrt { \frac { x }{ a } } =\frac { 3a }{ b } \Rightarrow \frac { x }{ a } =\frac { 9a^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } \Rightarrow x=\frac { 9a^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } \)
∴ மூலங்கள் \(\frac { { b }^{ 2 } }{ 4a } ,\frac { 9a^{ 3 } }{ { b }^{ 2 } } \).

சமன்பாட்டின் இடப்பக்கம் இருப்பது பல்லுறுப்புக்கோவை அல்ல. ஆனால் பல்லுறுப்புக்கோவை போல் தோற்றமளிக்கிறது. உண்மையில், இதனை cosx -ல் இருக்கும் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை எனலாம். எனினும் (1) –ல் உள்ள சமன்பாட்டைத் தீர்க்க பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாடுகளைப் பற்றி நாம் அறிந்தவற்றைப் பயன்படுத்தலாம். cosx-ஐ y எனப் பிரதியிட 2y^{2 -}9y+4=0 எனும் பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாடு கிடைக்கிறது. 4 மற்றும் \(\frac{1}{2}\) ஆகியவை இதன் தீர்வுகளாகும். 
இதிலிருந்து cosx=4 அல்லது cosx=\(\frac{1}{2}\) -க்கு ஏற்றதாக x அமையவேண்டும். ஆனால் cosx=4 என்பது சாத்தியமில்லாதது cosx=\(\frac{1}{2}\)- எனும்போது எண்ணற்ற பல மெய்யெண் மதிப்புள்ள x அமைகின்றது. உண்மையில் அனைத்து n ∈ Z-க்கும் x=\(2n\pi \pm \frac { \pi }{ 3 } \)என்பது கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு (1) க்கு தீர்வாகும்.
cos²x-9cosx+20=0 என்ற சமன்பாட்டிற்கு இதே வழிமுறைகளை கடைபிடித்தால் சமன்பாட்டிற்கு தீர்வே இல்லை என்பது புலனாகிறது.

கொடுக்கப்பட்டுள்ள சமன்பாடு x⁴-9x²+20=0 ஆகும்.
இது ஒரு நாற்படிச் சமன்பாடாகும். x²=y எனப் பிரதியிட y²-9y+20=0 எனும் இருபடி சமன்பாடு கிடைக்கிறது. இதன் தீர்வு 4 மற்றும் 5ஆகும். இனி x²=4 மற்றும் x²=5 என எடுத்துக் கொண்டால், கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டிற்கு 2,-2,\(\sqrt { 5 } \), -\(\sqrt { 5 } \) என்பது தீர்வுகளாகும்.
மேற்கண்ட வழிமுறையை x⁶ −17x³ + 30 = 0, ax^2k + bx^k + c = 0 மற்றும் பல்லுறுப்புக் கோவைச் சமன்பாடுகளுக்கும் மற்றும் a_nx^kn + a_n-1kⁿ⁻¹ + .....+ a₁x^k + a₀ (இங்கு k என்பது ஏதேனும் ஒரு முழு எண்) என்ற முறையில் அமையும் பொதுவான பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாட்டிற்கும் பயன்படுத்தலாம் என்பது குறிப்பிடத்தக்கது.

கனச் செவ்வகத்தின் நீளம் மற்றும் அகலம்
x+1, x+2, மற்றும் x+3
[∴ 1,2,3 அலகுகள் அதிகரிப்பதால்]
மேலும் கொள்ளளவு =V+52
[V என்பது அதிகரிப்பதால் 52]
 ∴ V+52 =(x+1)(x+2)(x+3)   .....(1)
⇒ V=(x+1)(x+2)(x+3)-52
இங்கு α=-1, β=-2, \(\gamma \)=-3
⇒ V=x³-x²(α+β+\(\gamma \))+x(αβ+β\(\gamma \)+\(\gamma \)α)-αβ\(\gamma \)-52
⇒ V=x³-x²(-1-2-3)+x(2+6+3)-(-1)(-2)(-3)-52
⇒ V=x³-x²(-6)+x(11)+6-52
⇒ x³=x³+6x²+11x+6-52
⇒ 6x²+11x-46=0
⇒ (6x+23)(x-2)=0
⇒ x=2
∴ கனச்சதுரத்தின் கொள்ளளவு =x³=2³=8 கன அலகுகள்
கனசெவ்வகத்தின் கன அளவு = 52 + 8 = 60 கன அலகுகள் 
[∵ x=\(\frac{-23}{6}\) என்பது சாத்தியமில்லை x ஆனது கனத்தின் பக்கத்தை குறிக்கிறது.

17x²+43x-73=0 எனும் இருபடிச் சமன்பாட்டின் மூலங்கள், α மற்றும் β என்பதால், α+β=-\(\frac { 43 }{ 17 } \) மற்றும் αβ=-\(\frac { 73 }{ 17 } \) ஆகும்.
தேவையான இருபடிச் சமன்பாட்டின் மூலங்கள் α+2 மற்றும் β+2 ஆகும். எனவே
மூலங்களின் கூடுதல் =α+β+4=\(\frac { -43 }{ 17 } +4=\frac { 25 }{ 17 } \)
மூலங்களின் பெருக்கல் =αβ+2(α+β)+4=\(\frac { -73 }{ 17 } +2\left( \frac { -43 }{ 17 } \right) +4=\frac { -91 }{ 17 } \)
எனவே, தேவையான இருபடிச் சமன்பாடு \({ x }^{ 2 }-\frac { 25 }{ 17 } x-\frac { 91 }{ 17 } \)=0 ஆகும். இச்சமன்பாட்டை 17-ஆல் பெருக்க,  α+2 மற்றும் β+2 ஆகியவற்றை மூலங்களாகக் கொண்ட 17x² - 25x - 91 = 0 எனும் இருபடிச் சமன்பாடு கிடைக்கிறது

இது இரட்டைப்படை இரண்டாம் வகை தலைகீழ் சமன்பாடாகும். எனவே இதனை பின்வருமாறு மாற்றி எழுதலாம்.
\(6\left( { x }^{ 2 }+\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } \right) -5\left( { x }+\frac { 1 }{ x } \right) -38\)              ......(1)
பிரதியிடு \({ x }+\frac { 1 }{ x } =y\Rightarrow \left( { x }+\frac { 1 }{ x } \right) ^{ 2 }\)=y²
⇒ \({ x^{ 2 } }+\frac { 1 }{ x } +2={ y }^{ 2 }\Rightarrow { x^{ 2 } }+\frac { 1 }{ x } \)=y2-2
∴ (1)லிருந்து,
6(y²-2)-5y-38 =0
⇒ 6y²-12-5y-38 =0
⇒ 6y²-5y-50 =0
⇒ (3y-10)(2y+5)=0
⇒ y=\(\frac { 10 }{ 3 } ,\frac { -5 }{ 2 } \)
நிலை (i)
y=\(\frac { +10 }{ 3 } \) எனில்,
\({ x }+\frac { 1 }{ x } =\frac { +10 }{ 3 } \)
\(\frac { x^{ 2 }+1 }{ x } =\frac { +10 }{ 3 } \)
⇒ 3x²-10x+3 =0
\((x-3)(x-\frac { 1 }{ 3 } )=0\Rightarrow x=3,\frac { 1 }{ 3 } \)
நிலை (ii)
y=-\(\frac { 5 }{ 2 } \) எனில்,
⇒ \(x+\frac { 1 }{ x } =-\frac { 5 }{ 2 } \Rightarrow \frac { { x }^{ 2 }+1 }{ x } =\frac { -5 }{ 2 } \)
⇒ 2x²+2+5x=0 ⇒ 2x²+5x+2=0
⇒ (x+2)(2x+1) =0 ⇒ x=-2, \(\frac { -1 }{ 2 } \)
∴ மூலங்கள் \(3,\frac { 1 }{ 3 } ,-2,\frac { -1 }{ 2 } \).

α,β,\(\gamma \) என்பது சமன்பாட்டின் மூலங்கள் என்க.
கொடுக்கப்பட்ட \(\frac { \alpha }{ \beta } =\frac { 3 }{ 2 } \Rightarrow 2\alpha =3\beta \Rightarrow \alpha =\frac { 3 }{ 2 } \beta \)
∴ \(\frac { 3 }{ 2 } \beta ,\beta ,\gamma \) என்பது கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் மூலங்கள் வியட்டாவின் சூத்திரப்படி,
\(\frac { 3 }{ 2 } \beta +\beta +\gamma =\frac { -b }{ a } =\frac { -(-9) }{ 1 } \)
\(\frac { 5 }{ 2 } \beta +\gamma =9\Rightarrow \gamma =9-\frac { 5 }{ 2 } \beta \)
⇒ \(\gamma \)=\(\frac { 18-5\beta }{ 2 } \)           .........(2)
மேலும் \(\frac { 3 }{ 2 } \beta (\beta )+\beta \gamma +\left( \frac { 3 }{ 2 } \beta \right) \gamma =\frac { c }{ a } =\frac { 14 }{ 1 } \)=14
⇒ \(\frac { 3 }{ 2 } \beta ^{ 2 }+\frac { 5 }{ 2 } \gamma \)=14
⇒ \(\frac { 3 }{ 2 } \beta ^{ 2 }+\frac { 5 }{ 2 } \beta \left( \frac { 18-5\beta }{ 2 } \right) \)=14  [(2) ஐ பயன்படுத்தி]
⇒ \(\frac { 3 }{ 2 } { \beta }^{ 2 }+\frac { 90\beta }{ 4 } -\frac { 25\beta ^{ 2 } }{ 4 } \)=14
4 ஆல் பெருக்க 6β²+90β-25β²=56
19β²-90β+56=0
⇒ (β-4)(19β-14)=0
⇒ β=4
β=\(\frac { 14 }{ 19 } \)
β =4 எனில் மற்ற மூலங்கள்
\(\frac { 3 }{ 2 } (4),4,\frac { 18-5 }{ 2 } (4)\)
⇒ 6,4,-1
β =\(\frac { 14 }{ 19 } \) எனில் மற்ற மூலங்கள் \(\frac { 3 }{ 2 } \beta ,\beta ,\frac { 18-5\beta }{ 2 } \)  [(2)-ன் படி]
⇒ \(\frac { 3 }{ 2 } \left( \frac { 14 }{ 19 } \right) ,\frac { 14 }{ 19 } ,\frac { 18-5\left( \frac { 14 }{ 19 } \right) }{ 2 } \Rightarrow \frac { 21 }{ 19 } ,\frac { 14 }{ 19 } ,\frac { 136 }{ 19 } \).

மூலங்கள் a-d, a, a+d என்க. எனவே மூலங்களின் கூடுதல் 3a என்பது கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின்படி 6-க்கு சமம். எனவே 3a=6 ஆகும். ஆகையால் a=2 ஆகும். மூலங்களின் பெருக்கல் a³-ad² என்பது சமன்பாட்டின்படி -24 க்கு சமம்.  a-ன் மதிப்பைப் பிரதியிட 8-2d²=-24 என ஆகும். எனவே d=±4 ஆகும். d=4 எனில் −2,2,6 என மூலங்கள் கிடைக்கும். மேலும் d=-4 எனில், 6,2,-2 (அதே மூலங்கள் பின்னோக்கு வரிசையில்) என மூலங்கள் கிடைக்கும்.

மெய்யெண் கெழுக்களுடைய தேவையான பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாட்டின் ஒரு மூலம் 2-\(\sqrt { 3 } \)i என்பதால், 2+\(\sqrt { 3 } \) i என்பதும் ஒரு மூலமாகும். எனவே, மூலங்களின் கூடுதல் 4 மற்றும் மூலங்களின் பெருக்கல்தொகை 7 ஆகும். ஆகையால் x²-4x+7=0 என்பது ஒரு மெய்யெண் கெழுக்களுடைய தேவைப்படும் தலைஒற்றைப் பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாடாகும்.

\(\sum_{r=0}^n{ }^n C_r(-1)^r \dot{x}^r=1-{ }^n C_1 x+{ }^n C_2 x^2-{ }^n C_3 x^3+\ldots(-1)^n x^n\)
P(x) என்பது 'n' மாற்றங்களைக் கொண்டுள்ளது.எனவே, இது 'n' மிகை மூலங்களைக் கொண்டிருக்கும்.
P(-x)ல் குறிமாற்றங்கள் இல்லை, எனவே குறையெண் மூலங்கள் கிடையாது.

P(x) = x³ + 2x + 3, குறிமாற்றங்கள் இல்லை
மிகை மெய்யெண் மூலங்கள் இல்லை.
P(-x) = - x³ - 2x + 3, ஒரேயொரு குறிமாற்றம் 
ஒரு குறையெண் மூலம்
இதற்கு ஒரு குறையெண் மற்றும் இரண்டு கற்பனை மூலங்கள் உள்ளது.

\(x^3 =-64 \)
\(x^3 =-4 \times-4 \times-4=(-4)^3 \)
\(x =-4\)