வட்டத்தின் சமன்பாடு x²+y²+x+2y-3 = 0
இங்கு\(2g=-1\Rightarrow g=\cfrac { -1 }{ 2 } \)
2f = 2
\(\Rightarrow\) f = 1 மற்றும் c = -3
மையம் \((-g,-f)=\left( \cfrac { 1 }{ 2 } ,-1 \right) \)
மற்றும் \(r=\sqrt { { g }^{ 2 }+{ f }^{ 2 }-c } \)
= \(\sqrt { \cfrac { 1 }{ 4 } +1+3 } \)
= \(\sqrt { \cfrac { 1 }{ 4 } +4 } =\sqrt { \cfrac { 1+16 }{ 2 } } \)
\(r=\sqrt { \cfrac { 17 }{ 2 } } \) அலகுகள்

வட்டத்தின் சமன்பாடு 
x²+y²+6x-4y+4 = 0
இங்கு 2g = 6 \(\Rightarrow\) g = 3
2f = -4
\(\Rightarrow\) f = -2 மற்றும் c = 4
மற்றும் (-g, -f) \(\Rightarrow\) (-3, 2)
\(r=\sqrt { { g }^{ 2 }+{ f }^{ 2 }-c } =\sqrt { { 3 }^{ 2 }+{ \left( -2 \right) }^{ 2 }-4 } \)
= \(\sqrt { 9+4-4 } \)
= \(\sqrt { 9 } \)
= 3 அலகுகள் 

இங்கு A = 0, C = 1, D = 4, E = 3, F = 4
B = 0 மற்றும் A அல்லது C ஆனது 0 ஆகும்.
ஆகையால் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு பரவளையத்தை குறிக்கிறது.

வட்டமானது இரு அச்சுகளையும் தொட்டு செல்வதால் அதனுடைய சமன்பாடு 
இது(-4, 2) வழிச் செல்கிறது
(x - a)² + (y - a)² = a²
இது (-4, 2) வழிச் செல்கிறது 
\(\therefore \) (-4 - a)² + (-2 - a)² = a²

\(\Rightarrow \) a² + 12a + 20 = 0
\(\Rightarrow \) (a + 10) (a + 2) = 0
a = -10 அல்லது -2 

நிலை (i) 
a = -10
(x + 10)² + (y + 10)² = 10²

x² + y² + 20x + 20y + 100 = 0
நிலை (ii)
(x + 2)² + (y + 2)² = 22

x² + y² + 4x + 4y + 4 = 0
ஆகையால் வட்டங்களின் சமன்பாடுகள் 
x² + 4² + x + 4x + 4y + 4 = 0 அல்லது x² + y² + 20x + 20y + 100 = 0

கொடுக்கப்பட்ட r = 5செ மீ

வட்டம் அச்சை தொட்டுச் செல்வதால் அதனுடைய மையம் \((0,\pm 5)\)
வட்டத்தின் சமன்பாடு (x - h)²+(y - k)² = r²
\(\Rightarrow \left( x-0 \right) ^{ 2 }+\left( y\pm 5 \right) ^{ 2 }={ 5 }^{ 2 }\)

\(\Rightarrow\)  x² + y² + 10y = 0

y = mx + c என்ற நேர்க்கோடு x² + y² = a² என்ற வட்டத்தின் தொடுகோடாக இருக்கக் கட்டுப்பாடு c² = a²(1 + m²).
எனவே, \(c=\pm \sqrt { 9(1+16 } \) அல்லது \(c=\pm 3\sqrt { 17 } \)

x²-ன் கெழு = y²-ன் கெழு (இருபடிச் சமன்பாட்டின் பண்பு (ii)-ன் படி) ஆதலால் 3 = a+1, a = 2 எனக்கிடைக்கின்றது. எனவே வட்டத்தின் சமன்பாடு
3x² + 3y² + 6x − 9y + 6 = 0
x² + y² + 2x − 3y + 2 = 0
மையம் \(\left( -1,\frac { 3 }{ 2 } \right) \) மற்றும் ஆரம் \(r=\sqrt { 1+\frac { 9 }{ 4 } -2 } =\frac { \sqrt { 5 } }{ 2 } .\)

குவியங்களின் நடுப்புள்ளி மையம் C(0, 0)
குறுக்கச்சு y-அச்சு
AA′ = 2a \(\Rightarrow \) 2a = 8,
SS′ = 2c = 12, c = 6
a = 4
b² = c²- a² = 36 - 16 = 20.
எனவே தேவையான அதிபரவளையத்தின் சமன்பாடு \(\frac { { y }^{ 2 } }{ 16 } -\frac { { x }^{ 2 } }{ 20 } =1\)

P(x₁, y₁)-இல் தொடுகோட்டுச் சமன்பாடு xx₁ + yy₁= a².
அதாவது, (-3, 4)-இல் x(−3) + y(4) = 25
−3x + 4y = 25
செங்கோட்டுச் சமன்பாடு xy₁ - yx₁= 0
அதாவது, 4x +3y = 0.

அணு உலை குளிரூட்டும் தூணின் குறுக்கு வெட்டு அதிபரவளைய வடிவில் உள்ளது.

கொடுக்கப்பட்ட \(OC=\cfrac { 1 }{ 2 } OD\) மற்றும் CD = 150மீ அதனுடைய சமன்பாடு OC = 50மீ மற்றும் OD = 100 மீ \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ { 30 }^{ 2 } } -\cfrac { { y }^{ 2 } }{ { 44 }^{ 2 } } =1\)
OC = 50 மீ மற்றும் OD = 100 மீ அணு உலையின் மேற்புற ஆரம் x₁ எனவும், கீழ்புற ஆரம் x₂ எனவும் கொள்க.
ஃபுள்ளிகள் A(x₁, 50) மற்றும் B(x₂, -100) அதிபரவளையம் A(x₁, 50) புள்ளி வழிச் செல்கிறது.
\( \therefore \frac{x_1^2}{30^2}-\frac{50^2}{44^2} =1+\frac{2500}{1936}=\frac{1936+2500}{1936} \\ x_1^2 =\frac{30^2}{44^2}(4436) \\ \Rightarrow x_1 =\frac{30}{44} \times \sqrt{4436} \)
\(\\ \Rightarrow x_1 =\frac{30}{44} \times(66.6)=45.41 \ \)மீ
மேற்புற ஆரம் = 45.41 மீ
மேற்புற விட்டம் = 90.82 மீ
மேலும், அதிபரவளையம் B(x₂, -100) வழிச் செல்கிறது.
\( \frac{x_2^2}{30^2}-\frac{100^2}{44^2} =1 \\ \frac{x_2^2}{30^2} =1+\frac{100^2}{44^2}=\frac{44^2+100^2}{44^2} \\ x_2^2 =\frac{30^2}{44^2}(11936) \\ x_2 =\frac{30}{44} \times \sqrt{11936} \\ =\frac{30}{44}(109.25)=74.48 \)
கீழ்ப்புற ஆரம் = 74.48 மீ
கீழ்ப்புற விட்டம் = 148.96 மீ
ஃ தூணின் மேற்பகுதி மற்றும் அடிப்பகுதியின் விட்டங்கள் முறையே 90.82 மீ மற்றும் 148.96 மீ.

கொடுக்கப்பட்ட அதிபரவளையத்தின் சமன்பாடு 
\(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 16 } -\cfrac { { y }^{ 2 } }{ 64 } =1\)
\(y=mx+c\) என்பது தேவையான தொடுகோடு என்க.
\(\Rightarrow\) a² = 16 மற்றும் b² = 64
தொடுகோடுகள் 10x - 3y + 9 = 0 க்கு இணையானது 
\(\therefore\) தொடுகோட்டின் சாய்வு (m)
= 10x + 3y + 9 = 0 கோட்டின் சாய்வு 

y = mx + c என்பது தேவையான தொடுகோடு என்க c² = a²m² - b²
\(\Rightarrow { c }^{ 2 }=16\left( \cfrac { 100 }{ 9 } \right) -64=\cfrac { 1600-64\times 9 }{ 9 } \)
\(\Rightarrow { c }^{ 2 }=\cfrac { 1024 }{ 9 } \Rightarrow c=\pm \cfrac { 32 }{ 3 } \)
\(\therefore\) தேவையான தொடுகோடுகள் 
\(y=\cfrac { 10 }{ 3 } x+\cfrac { 32 }{ 3 } \) அல்லது \(y=\cfrac { 10x }{ 3 } -\cfrac { 32 }{ 3 } \)
\(\Rightarrow 3y=10x+32\) அல்லது \(3y=10x-32\)
\(\Rightarrow 10x-3y+32=0\) அல்லது 10x - 3y - 32 = 0

பரவளையத்தின் சமன்பாடு x² + 6x + 4y + 5 = 0
x²+6x+9−9+4y + 5 = 0
(x + 3)² = -4(y-1) ... (1)
 X = x+3,Y = y −1 எனில்,
சமன்பாடு (1) திட்ட வடிவத்தை அடைகிறது.
X² = -4Y
தொடுகோட்டின் சமன்பாடு XX₁ = −2(Y+ Y₁)
(1, -3) -இல் X₁ = 1 + 3 = 4; y₁ = -3 - 1 = -4
(1, -3) -இல் தொடுகோட்டின் சமன்பாடு
(x +3)4 = -2(y-1- 4)
2x + 6 = −y + 5.
2x + y + 1 = 0.
(1, -3) - இல் தொடுகோட்டின் சாய்வு -2 எனவே செங்கோட்டின் சாய்வு \(\frac{1}{2}\)
(1, -3) - இல் செங்கோட்டின் சமன்பாடு 
y + 3 = \(\frac{1}{2}\)(x-1)
2y + 6 = x - 1
x - 2y - 7 = 0

சமன்பாட்டின் உறுப்புகளை வரிசைப்படுத்தி அதிபரவளையத்தின் திட்டவடிவமாக மாற்ற
11(x² - 4x) - 25( y² - 2y) - 256 = 0
11(x-2)²-25(y-1)² = 256 - 44 + 25
11(x-2)²-25y(-1)² = 275
\(\frac { { (x-2) }^{ 2 } }{ 25 } -\frac { { (y-1) }^{ 2 } }{ 11 } =1\)
மையம் (2,1), a² = 25, b² = 11
c² = a² + b²
= 25 + 11 = 36
எனவே c = ±6
\(e=\frac { c }{ a } =\frac { 6 }{ 5 } \) மற்றும் குவியங்கள் (8, 1) மற்றும் (-4, 1)

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடானது SP² =  e²PM²என்ற வடிவில் இல்லை. ........ (1)
ஏனெனில் SP என்பது P(x, y) என்ற நீள்வட்டத்தின் மீதுள்ள புள்ளிக்கும் S(ae, 0) என்ற குவியத்திற்கும் இடையேயுள்ள தூரம்.
\(\therefore \text { (1) } \Rightarrow(x-a e)^2+(y-0)^2=\left(x-\frac{y^2}{9}\right)^2\)
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு
\((x-3)^2+(y-4)^2=\frac{y^2}{9}\)
\( \Rightarrow \quad(x-3)^2+y^2-8 y+16-\frac{y^2}{9}=0 \\ 9(x-3)^2+8 y^2-72 y+144=0 \\ 9(x-3)^2+8\left(y^2-9 y\right)=-144 \\ 9(x-3)^2+8\left[y^2-9 y+\left(\frac{9}{2}\right)^2-\left(\frac{9}{2}\right)^2\right]=-144 \\ 9(x-3)^2+8\left(y-\frac{9}{2}\right)^2=8 \times \frac{81}{4}-144=18 \\ \frac{(x-3)^2}{2}+\frac{(y-9 / 2)^2}{(9 / 4)}=1 \)
இது நீள்வட்டத்தின் சமன்பாட்டின் திட்ட நிலை  
\(\because a^2>\mathrm{b}^2, a^2=\frac{9}{4}, \mathrm{~b}^2=2\\ \therefore b^2  =a^2\left(1-e^2\right) \\ \therefore e  =\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac{2}{(9 / 4)}}=\sqrt{1-\frac{8}{9}}=\sqrt{\frac{1}{9}} \\ \therefore e  =\frac{1}{3}\)

\( y^2=12 x \quad \Rightarrow 4 a =12 \Rightarrow a=3 \\ x+y =k \Rightarrow y=-x+k \\ \therefore m =-1, c=k \\ c=-2 a m-a m^2 \Rightarrow k =-2 a(-1)-a(-1)^3 \\ k =-6(-1)-3(-1)=6+3=9 \)

\(x ^ 2 + y ^ 2 - 2x - 2y + 1 = 0 \)
2g = - 2
g = - 1
2f = - 2
f = - 1
இணையான கோடு 2x + 4y + \(\lambda\) = 0 என்க. மையம் (-g, -f) = (1, 1) என்பது இக்கோட்டின் மேல் அமைவதால்,
2 + 4 + 2 = 0 ⇒\(\lambda\) = -6
2x + 4y - 6 = 0
x + 2y = 3

செவ்வகல நீளம்
\( \frac{2 b^2}{a} =8 \\ b^2 =4 a ........ (1) \) 
துணையச்சின் நீளம் 
\( 2 b =\frac{1}{2}(2 a e) \\ b =\frac{a e}{2} \\ b^2 =\frac{a^2 e^2}{4} \)
\( \frac{a^2 e^2}{4} =a^2\left(e^2-1\right) \\ \mathrm{e}^2\left(e^2-1\right) =4 \mathrm{e}^2-4 \\ 3 \mathrm{e}^2 =4 \Rightarrow \mathrm{e}^2=\frac{4}{3} \\ \therefore \mathrm{e} =\frac{2}{\sqrt{3}}\)

x = 0 என்ற கோட்டிற்கும் மையம் (- g, - f) -க்கும் உள்ள தூரம் வட்டத்தின் ஆரம் ஆகும்.
\(\pm\left(\frac{-g}{1^2}\right)=\sqrt{g^2+f^2-c} \Rightarrow f^2=c\) ............ (1)
கொடுக்கப்பட்ட வட்டத்தின் சமன்பாட்டிலிருந்து,
\( 2 f =-6+3 \lambda, c=9-19 \lambda \\ \left(\frac{-6+3 \lambda}{2}\right)^2 =9-19 \lambda \Rightarrow \lambda=0, \frac{-40}{9} \)