\( 2 g =-8 \\ g =-4 \\ 2 f=-4 \\ f=-2 \\ \mathrm{C}(-g,-f) =(4,2) \\ \frac{x_1+x_2}{2} =4 \\ \frac{x_1+11}{2} =4 \\ x_1 =8-11 \\ x_1 =-3\\ \)
\( \frac{y_1+y_2}{2} =2 \\ \frac{y_1+2}{2} =2 \\ y_1 =4-2 \\ y_1 =2 \)
\(\therefore\) மற்றொரு முனை (-3, 2).

\( P(h, k) \\ x=-\frac{9}{2} \Rightarrow 2 x+9=0 \\ P Q=\frac{2}{3} \mathrm{PM} \\ \sqrt{(h+2)^2+k^2}=\frac{2}{3}\left|\frac{2 h+9}{2}\right| \\ (h+2)^2+k^2=\frac{1}{9}(2 h+9)^2 \\ h^2+4+4 h+k^2=\frac{1}{9}\left(4 h^2+36 h+81\right) \\ 9 h^2+36+36 h+9 k^2=4 h^2+36 h+81 \\ 5 h^2+9 k^2=45 \\ \frac{h^2}{9}+\frac{k^2}{5}=1\\ \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1 \) 
நீள்வட்டமாகும்.

வட்டத்தின் சமன்பாடு\((x - 3) ^ 2 + (y + r) ^ 2 = r ^ 2 \) ....(1)
இது (1, -2) என்ற புள்ளி வழிச் செல்கிறது
\( (1-3)^2+(-2+r)^2 =r^2 \\ 4+4-4 r+r^2 =r^2 \Rightarrow r=2 \\ (x-3)^2+(y+2)^2 =4 \)
\((5-3)^2+(-2+2)^2=4 \Rightarrow 4=4\)

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடானது SP² =  e²PM²என்ற வடிவில் இல்லை. ........ (1)
ஏனெனில் SP என்பது P(x, y) என்ற நீள்வட்டத்தின் மீதுள்ள புள்ளிக்கும் S(ae, 0) என்ற குவியத்திற்கும் இடையேயுள்ள தூரம்.
\(\therefore \text { (1) } \Rightarrow(x-a e)^2+(y-0)^2=\left(x-\frac{y^2}{9}\right)^2\)
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு
\((x-3)^2+(y-4)^2=\frac{y^2}{9}\)
\( \Rightarrow \quad(x-3)^2+y^2-8 y+16-\frac{y^2}{9}=0 \\ 9(x-3)^2+8 y^2-72 y+144=0 \\ 9(x-3)^2+8\left(y^2-9 y\right)=-144 \\ 9(x-3)^2+8\left[y^2-9 y+\left(\frac{9}{2}\right)^2-\left(\frac{9}{2}\right)^2\right]=-144 \\ 9(x-3)^2+8\left(y-\frac{9}{2}\right)^2=8 \times \frac{81}{4}-144=18 \\ \frac{(x-3)^2}{2}+\frac{(y-9 / 2)^2}{(9 / 4)}=1 \)
இது நீள்வட்டத்தின் சமன்பாட்டின் திட்ட நிலை  
\(\because a^2>\mathrm{b}^2, a^2=\frac{9}{4}, \mathrm{~b}^2=2\\ \therefore b^2  =a^2\left(1-e^2\right) \\ \therefore e  =\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac{2}{(9 / 4)}}=\sqrt{1-\frac{8}{9}}=\sqrt{\frac{1}{9}} \\ \therefore e  =\frac{1}{3}\)

\( e =\frac{3}{5} \\ 2 a e =6 \Rightarrow 2 a\left(\frac{3}{5}\right)=6 \Rightarrow a=5 \\ b^2 =a^2-a^2 e^2 \\ b^2 =25-19=16 \Rightarrow \mathrm{b}=4 \\ =4 \times \frac{1}{2} \times a b=2 a b \\ =2 \times 5 \times 4=40 \)

\( a^2=16 b^2 =9 \\ (h, k) =(0,3) \\ e =\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac{9}{16}}=\sqrt{\frac{7}{16}}=\frac{\sqrt{7}}{4} \)
\(a e=4 \frac{\sqrt{7}}{4}=\sqrt{7} (x-h)^2+(y-k)^2  =r^2 \\ (\sqrt{7}-0)^2+(0-3)^2  =r^2 \Rightarrow \sqrt{7}^2+3^2=r^2 \\ 7+9  =r^2 \Rightarrow r^2=16 \\ \therefore(x-0)^2+(y-3)^2  =16 \\ x^2+y^2-6 y+9  =16 \\ x^2+y^2-6 y-7  =0\)

E₂ என்ற நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு \(\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1\)
இது (0, 4) என்ற புள்ளி வழிச் செல்கிறது.
a² = 16 
மேலும் இது (3, 2) வழிச் செல்கிறது.
\(\frac{9}{b^2}+\frac{4}{16}=1 \Rightarrow \frac{9}{b^2}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)
\( b^2=12 \\ e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac{12}{16}}=\frac{1}{2} \)

y² = 4x
4a = 4
a = 1
செவ்வகலத்தின் முனைப்புள்ளிகள் 
\( =(a, \pm 2 a) \\ =(1, \pm 2) \)
செங்கோட்டின் சமன்பாடு
\(x y_1+2 a y=x_1 y_1+2 a y_1\)
(1, \(\pm2\)) புள்ளியில் செங்கோட்டின் சமன்பாடு
y = - x + 3
x + y - 3 = 0
y = x + 3
x - y + 3 = 0
\( \left|\frac{a x_1+b y_1+c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right|=\left|\frac{3-2-3}{\sqrt{1+1}}\right| =r \Rightarrow\left|\frac{-2}{\sqrt{2}}\right|=r \\ \Rightarrow \frac{2}{\sqrt{2}} =r \\ r =\sqrt{2} \Rightarrow r^2=2 \)

x + y = 6 ...(1)
x + 2y = 4... (2) ஆகியவற்றைத் தீர்க்க. 
(1)-(2) -y = 2
y = -2
(1) ⇒ x-2 = 6
x = 8
புள்ளி (8, -2) என்க.
மற்றொரு புள்ளி (6, 2)
\(r = \sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2} \\ =\sqrt{(8-6)^2+(2+2)^2} \\ =\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16} \\ =\sqrt{20}=2 \sqrt{5} \)

\( 16 x^2+25 y^2 =400 \\ \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16} =1 \\ a^2 =25 \Rightarrow a= \pm 5 \\ P F_1+P F_2 = 2 a \\ =2 \times 5=10 \)

நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு \(x^2-8 x-12=0\)
\( x =\frac{8 \pm \sqrt{64-4(-12)}}{2}=\frac{8 \pm \sqrt{64+48}}{2} \\ =\frac{8 \pm \sqrt{112}}{2}=\frac{8 \pm 4 \sqrt{7}}{2}=4 \pm 2 \sqrt{7} \\ x =4+2 \sqrt{7}, 4-2 \sqrt{7}\)
மற்றொரு நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு,
\( y^2-14 y+45 =0 \Rightarrow(y-5)(y-9)=0 \\ y =5,9 \)
ஃ விட்டத்தின் முனைகள் \((4+2 \sqrt{7}, 9)\) மற்றும் \((4-2 \sqrt{7}, 5)\)
மையம் என்பது \((4+2 \sqrt{7}, 9)\) மற்றும் \((4-2 \sqrt{7}, 5)\) ஆகியவற்றின் நடுப்புள்ளி.
\(\left(\frac{4+2 \sqrt{7}+4-2 \sqrt{7}}{2}, \frac{9+5}{2}\right)\) = (4, 7)

\( C A =C B \Rightarrow C A^2=C B^2 \\ (1-1)^2+(0-h)^2 =(2-1)^2+(3-h)^2 \\ h^2 =1+h^2+9-6 h \\ 6 h =10 \Rightarrow h=\frac{10}{6}=\frac{5}{3} \\ =2 h =2\left(\frac{5}{3}\right)=\frac{10}{3} \)

\( L: 3 x-4 y =\mathrm{m} \\ C: x^2+y^2-4 x-8 y-5 =0 \\ (x-2)^2+(y-4) =25 \)
C(2, 4); r = 5
மையத்திலிருந்து தொலைவு < r
\( \left| \frac{ah+bk+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\right|<r\)
\(\left|\frac{3\times 2-4\times 4-m}{\sqrt{9+16}} \right|<r\Rightarrow \left| \frac{-10-m}{5}\right|<5\)
\(-5<\frac{10+m}{5}<5\)
-25 < 10 + m < 25
-25 - 10 < m < 25 - 10
-35 < m < 15

x = 0 என்ற கோட்டிற்கும் மையம் (- g, - f) -க்கும் உள்ள தூரம் வட்டத்தின் ஆரம் ஆகும்.
\(\pm\left(\frac{-g}{1^2}\right)=\sqrt{g^2+f^2-c} \Rightarrow f^2=c\) ............ (1)
கொடுக்கப்பட்ட வட்டத்தின் சமன்பாட்டிலிருந்து,
\( 2 f =-6+3 \lambda, c=9-19 \lambda \\ \left(\frac{-6+3 \lambda}{2}\right)^2 =9-19 \lambda \Rightarrow \lambda=0, \frac{-40}{9} \)