\(\frac { 3 }{ 2 } \left( cos\frac { \pi }{ 3 } +isin\frac { \pi }{ 6 } \right) .6\left( cos\frac { 5\pi }{ 6 } +\frac { 5\pi }{ 6 } \right) \)
= \(\left( \frac { 3 }{ 2 } \right) \left( 6 \right) \left( cos\left( \frac { \pi }{ 3 } +\frac { 5\pi }{ 6 } \right) +isin\left( \frac { \pi }{ 3 } +\frac { 5\pi }{ 6 } \right) \right) \)
= \(9\left( cos\left( \frac { 7\pi }{ 6 } \right) +isin\left( \frac { 7\pi }{ 6 } \right) \right) \)
= \(9\left( cos\left( \pi +\frac { \pi }{ 6 } \right) +isin\left( \pi +\frac { \pi }{ 6 } \right) \right) \)
= \(9\left( -cos\left( \frac { \pi }{ 6 } \right) -isin\left( \frac { \pi }{ 6 } \right) \right) \)
= \(9\left( -\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } -\frac { i }{ 2 } \right) =\frac { 9\sqrt { 3 } }{ 2 } -\frac { 9i }{ 2 } \)

\(\left| \frac { 2+i }{ -1+2i } \right| =\frac { \left| 2+i \right| }{ \left| -1+2i \right| } =\frac { \sqrt { { 2 }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 } } }{ \sqrt { \left( -1 \right) ^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 } } } =1\) \(\left( \because \left| \frac { { z }_{ 1 } }{ { z }_{ 2 } } \right| =\left| \frac { { z }_{ 1 } }{ { z }_{ 2 } } \right| ,{ z }_{ 2 }\neq 0 \right) \)

(z+w)
= (5-2i) + (-1+3i)
= (5-1) + i(-2+3)
= 4+i(1)
= 4+i

Given 2cos α = x+\(\frac { 1 }{ x } \)
⇒ 2cos α = \(\frac { { x }^{ 2 }+1 }{ x } \)
⇒ x²+1 = 2xcos α
⇒ x²-2x cos α+1 = 0
⇒ \(\frac { 2cos\alpha \pm \sqrt { (-2cos\alpha )^{ 2 }-4(1)(1) } }{ 2 } \)
= \(\frac { 2cos\alpha \pm \sqrt { 4cos^{ 2 }\alpha -4 } }{ 2 } \)  \(\left[ \because \frac { b\pm \sqrt { { b }^{ 2 }-4ac } }{ 2a } \right] \)
= \(\frac { 2cos\alpha \pm \sqrt { -sin^{ 2 }\alpha } }{ 2 } \)
= \(\frac { 2cos\alpha \pm isin\alpha }{ 2 } \) [∵ sin²α+cos²α = 1]
⇒ x² = cos α ± sin α
Also, 2cos β = y+\(\frac { 1 }{ y } \)
⇒ 2cos β = \(\frac { { y }^{ 2 }+1 }{ y } \)
⇒ y²-2y cos β+1 = 0
⇒ \(\frac { 2cos\beta \pm \sqrt { (-2cos^{ 2 }\beta ^{ 2 }-4(1)(1) } }{ 2 } \)
=\(\frac { 2cos\beta \pm \sqrt { 4cos^{ 2 }\beta } -4 }{ 2 } =\frac { 2cos\beta \pm 2isin\beta }{ 2 } \)
⇒ y = cosβ ± i sinβ
\({ x }^{ m }{ y }^{ n }+\cfrac { 1 }{ { x }^{ m }{ y }^{ n } } =2cos(m\alpha +n\beta )\)
x^myⁿ = (cos α + i sin mα) (cos nβ + i sin nβ)
cos(mα+nβ)+i sin(mα+nβ)
\(\frac { 1 }{ { x }^{ m }{ y }^{ n } } \) = cos(mα+nβ)-i sin(mα+nβ)

= 2cos(mα+nβ)

LHS =  \(\cfrac { a+b\omega +c{ \omega }^{ 2 } }{ b+c\omega +{ a\omega }^{ 2 } } +\cfrac { a+b\omega +{ c\omega }^{ 2 } }{ c+a\omega +b{ \omega }^{ 2 } } \)
\(\cfrac { a\omega ^{ 3 }+b\omega +c{ \omega }^{ 2 } }{ b+c\omega +{ a\omega }^{ 2 } } +\cfrac { a\omega ^{ 3 }+b\omega ({ \omega }^{ 3 })+{ c\omega }^{ 2 } }{ c+a\omega +b{ \omega }^{ 2 } } \) [∵ ω³ = 1]

= ω + ω² = -1              [ ∵ 1 + ω + ω² = 0]

Given \(\left| z-\frac { 2 }{ z } \right| \) = 2
Consider |z| = \(\left| z-\frac { 2 }{ z } +\frac { 2 }{ z } \right| \)
≤ \(\left| z-\frac { 2 }{ z } \right| +\left| \frac { 2 }{ z } \right| \)   [Triangle law of in equality]
|z| ≤ \(\frac { 2|z|+2 }{ |z| } \)  [∵ \(\left| z-\frac { 2 }{ z } \right| \) = 2]
≤ \(\frac { 2|z|+2 }{ |z| } \) ⇒ |z|² ≤ 2|z|+2 ⇒ |z|²-2|z|≤ 2
Adding 1 both sides.
|z|²-2|z|+1 ≤ 2+1
⇒ [|z|-1]² ≤ 3 ⇒ |z|-1 ≤ ±\(\sqrt { 3 } \)
⇒ |z| ≤ ±\(\sqrt { 3 } \)+1
∴ The greatest value of |z| is \(\sqrt { 3 } \)+1 and the least value pf |z| is 1-\(\sqrt { 3 } \) respectively.

Given v = 3-4i, w = 4+3i and \(\frac { 1 }{ u } =\frac { 1 }{ v } +\frac { 1 }{ w } \)
∴ \(\frac { 1 }{ u } =\frac { 1 }{ 3-4i } +\frac { 1 }{ 4+3i } \)
= \(\frac { 3+4i }{ (3-4i)(3+4i) } +\frac { 4-3i }{ (4+3i)(4-3i) } \)
= \(\\ \frac { 3+4i }{ 9-(4i)^{ 2 } } +\frac { 4-3i }{ 16-(3i)^{ 2 } } =\frac { 3+4i }{ 9+16 } +\frac { 4-3i }{ 16+9 } \)
= \(\frac { 3+4i }{ 25 } +\frac { 4-3i }{ 25 } =\frac { 3+4i+4-3i }{ 25 } \)
\(\frac { 1 }{ u } =\frac { 7+i }{ 25 } \)
∴ u = \(\frac { 25 }{ 7+i } \times \frac { 7-i }{ 7-i } =\frac { 25(7-i }{ 7^{ 2 }-({ i }^{ 2 }) } \) 
= \(\frac { 25(7-i) }{ 49+1 } =\frac { 25(7-i) }{ 50 } =\frac { 1 }{ 2 } \)(7-i)
∴ u = \(\frac { 1 }{ 2 } \)(7-i) or \(\frac { 7 }{ 2 } \) - \(\frac { i }{ 2 } \)

 \(\left( -\sqrt { 3 } +3i \right) ^{ 31 }\)
Let \(-\sqrt { 3 } +3i=r\left( cos\theta +isin\theta \right) \). Then, we get
\(r=\sqrt { \left( -\sqrt { 3 } \right) ^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 } } =\sqrt { 12 } =2\sqrt { 3 } \)
\(\alpha ={ tan }^{ -1 }\left| \frac { 3 }{ -\sqrt { 3 } } \right| ={ tan }^{ -1 }\sqrt { 3 } =\frac { \pi }{ 3 } \)
\(\theta =\pi -\alpha =\pi -\frac { \pi }{ 3 } =\frac { 2\pi }{ 3 } \) (\(\because\)  \(\sqrt { 3 } +3i\) lies in II Quadrant)
Therefore,\(-\sqrt { 3 } +3i=2\sqrt { 3 } \left( cos\frac { 2\pi }{ 3 } +isin\frac { 2\pi }{ 3 } \right) \)
Raising power 31 on both sides,
\(\left( -\sqrt { 3 } +3i \right) ^{ 31 }=\left( 2\sqrt { 3 } \right) ^{ 31 }\left( cos\frac { 2\pi }{ 3 } +isin\frac { 2\pi }{ 3 } \right) ^{ 31 }\)
= \(\left( 2\sqrt { 3 } \right) ^{ 31 }\left( cos\left( 20\pi +\frac { 2\pi }{ 3 } \right) +isin\left( 20\pi +\frac { 2\pi }{ 3 } \right) \right) \)
= \(\left( 2\sqrt { 3 } \right) ^{ 31 }\left( cos\frac { 2\pi }{ 3 } +isin\frac { 2\pi }{ 3 } \right) \)
= \(\left( 2\sqrt { 3 } \right) ^{ 31 }\left( cos\left( \pi -\frac { \pi }{ 3 } \right) +isin\left( \pi -\frac { \pi }{ 3 } \right) \right) \)
= \(\left( 2\sqrt { 3 } \right) ^{ 31 }\left( -cos\frac { \pi }{ 3 } +isin\frac { \pi }{ 3 } \right) =\left( 2\sqrt { 3 } \right) ^{ 31 }\left( -\frac { 1 }{ 2 } +i\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) \).