தளங்கள் \(\vec { r } .\vec { { n }_{ 1 } } ={ d }_{ 1 }\) மற்றும் \(\vec { r } .\vec { { n }_{ 2 } } ={ d }_{ 2 }\) செங்குத்து எனில் \({ \vec { n } }_{ 1 }.{ \vec { n } }_{ 2 }=0\)
இங்கு \({ \vec { n } }_{ 1 }=\hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } \) மற்றும் \(\vec { { n }_{ 2 } } =\lambda \hat { i } +2\hat { j } -7\hat { k } \)
∴ \({ \vec { n } }_{ 1 }{ .\vec { n } }_{ 2 }=(\hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } ).(\lambda \hat { i } +2\hat { j } -7\hat { k } )=0\)
⇒ \(\lambda +4-21=0\Rightarrow \lambda -17=0\Rightarrow \lambda =17\)

\(\overset { \rightarrow }{ OA } =3\overset { \wedge }{ i } -\overset { \wedge }{ j } +2\overset { \wedge }{ k } ,\overset { \rightarrow }{ OB } =\overset { \wedge }{ i } -\overset { \wedge }{ j } -3\overset { \wedge }{ k } ,\overset { \rightarrow }{ OC } =4\overset { \wedge }{ i } -3\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \)
∆ ABC யின் பரப்பு = \(\frac { 1 }{ 2 } \left| \overset { \rightarrow }{ AB } \times \overset { \rightarrow }{ AC } \right| \)
\(\overset { \rightarrow }{ AB } =\overset { \rightarrow }{ OB } -\overset { \rightarrow }{ OA } =\left( \overset { \wedge }{ i } -\overset { \wedge }{ j } -3\overset { \wedge }{ k } \right) -\left( \overset { \wedge }{ i } -\overset { \wedge }{ j } +2\overset { \wedge }{ k } \right) =-2\overset { \wedge }{ i } -5\overset { \wedge }{ k } \)
\(\overset { \rightarrow }{ AC } =\overset { \rightarrow }{ OC } -\overset { \rightarrow }{ OA } =\left( 4\overset { \wedge }{ i } -3\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \right) -\left( 3\overset { \wedge }{ i } -\overset { \wedge }{ j } +2\overset { \wedge }{ k } \right) =\overset { \wedge }{ i } -2\overset { \wedge }{ j } -\overset { \wedge }{ k } \)
\(\therefore \overset { \rightarrow }{ AB } \times \overset { \rightarrow }{ AC } =\left| \begin{matrix} \overset { \wedge }{ i } \\ -2 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} \overset { \wedge }{ j } \\ 0 \\ -2 \end{matrix}\begin{matrix} \overset { \wedge }{ k } \\ -5 \\ -1 \end{matrix} \right| \)
\(=\overset { \wedge }{ i } (0-10)-\overset { \wedge }{ j } (2+5)+\overset { \wedge }{ k } (4-0)=10\overset { \wedge }{ i } -7\overset { \wedge }{ j } +4\overset { \wedge }{ k } \)
\(\therefore \left| \overset { \rightarrow }{ AB } \times \overset { \rightarrow }{ AC } \right| =\sqrt { 101+49+16 } =\sqrt { 165 } \)
∴ ∆ABC யின் பரப்பு = \(\frac { 1 }{ 2 } \sqrt { 165 } \)

இங்கு, (x₁, y₁, z₁) = (3, 4, -3) மற்றும் கோட்டின் திசை விகிதங்கள் (a, b, c) = (-4, -7, 12) ஆகும். தளத்தின் செங்கோட்டின் திசை விகிதங்கள் (A, B, C) = (5, -1, 1) ஆகும்.
கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி (x₁, y₁, z₁) = (3, 4, -3) ஆனது 5x - y + z = 8 என்ற தளத்தை நிறைவு செய்வதைக் காண்கிறோம். ஆனால், aA + bB + cC = (-4)(5) + (-7)(-1) + (12)(1) = -1 ≠ 0 என்பதால் தளத்தின் செங்கோடு கொடுக்கப்பட்ட கோட்டிற்கு செங்குத்தானது அல்ல. எனவே,  கொடுக்கப்பட்ட கோடானது கொடுக்கப்பட்ட தளத்தின் மீது அமையாது.

இருசமபக்க முக்கோணம் ABC-ல், AB = AC, D என்பது BC ன் நடுப்புள்ளி என்க. AD ஐ இணைக்க.
ஆதி A எனக் கருதுக.
B-ன் நிலைவெக்டர் = \(\overrightarrow{A B}=\vec{b}\) (என்க)
C -ன் நிலைவெக்டர் = \(\overrightarrow{A C}=\vec{c}\)(என்க)
D-ன் நிலைவெக்டர் = \(\overrightarrow{A D}=\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}\)
(\(\because\)D என்பது BC ன் நடுப்புள்ளி)
\( \triangle \mathrm{ABC}, \) - \(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C}\)
\(\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B}=\vec{c}-\vec{b}\)
\(\therefore \overrightarrow{A D} \cdot \overrightarrow{B C}=\left(\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}\right) \cdot(\vec{c}-\vec{b})\)
\( \\ =\frac{1}{2}(\vec{c}+\vec{b}) \cdot(\vec{c}-\vec{b})\)
\(=\frac{1}{2}\left[|\vec{c}|^2-|\vec{b}|^2\right]=\frac{1}{2}(0)\)
\( \\ \{\because|\vec{c}|=|\vec{b}|\} \)
\(\overrightarrow{A D} \cdot \overrightarrow{B C}=0 \Rightarrow \overrightarrow{A D} \perp \overrightarrow{B C}\)
எனவே நிறுவப்பட்டது.

தளங்களுக்கு செங்குத்து வெக்டர் 
x + 2y +3z - 7 = 0, 2x - 3y + 4z = 0
\(\overset { \rightarrow }{ b } =\overset { \wedge }{ i } +2\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } \) மற்றும் \(\overset { \rightarrow }{ c } =2\overset { \wedge }{ i } -3\overset { \wedge }{ j } +4\overset { \wedge }{ k } \)
∴ தேவையான தளம் \(\overset { \rightarrow }{ a } =\overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \) என்ற புள்ளி வழி செல்கிறது மற்றும் இரண்டு வெக்டர்கள் \(\overset { \rightarrow }{ b } \) மற்றும் \(\overset { \rightarrow }{ c } \) க்கு இணை 
∴ தளத்திற்கான துணையலகு வெக்டர் சமன்பாடு.
\(\overset { \rightarrow }{ r } =\overset { \rightarrow }{ a } +s\overset { \rightarrow }{ b } +t\overset { \rightarrow }{ c } s,t\epsilon R\)
\(\overset { \rightarrow }{ r } =\left( \overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \right) +s\left( \overset { \wedge }{ i } +2\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } \right) +t\left( 2\overset { \wedge }{ i } -3\overset { \wedge }{ j } +4\overset { \wedge }{ k } \right) \)
கார்டீசியன் சமன்பாடு \(\left| \begin{matrix} x-{ x }_{ 1 } \\ { b }_{ 1 } \\ { c }_{ 1 } \end{matrix}\begin{matrix} y-{ y }_{ 1 } \\ { b }_{ 2 } \\ { c }_{ 2 } \end{matrix}\begin{matrix} z-{ z }_{ 1 } \\ { b }_{ 3 } \\ { c }_{ 3 } \end{matrix} \right| =0\)
\(\Rightarrow \left| \begin{matrix} x-1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} y-1 \\ 2 \\ -3 \end{matrix}\begin{matrix} z+1 \\ 3 \\ 4 \end{matrix} \right| =0\)
⇒ (x - 1) (8 + 9) - (y - 1) (4 - 6) + (z +1) (-3 - 4) = 0
⇒ 17 (x - 1) + 2 (y - 1) - 7 (z + 1) = 0
⇒ 17x - 17 + 2y - 2 - 7z - 7 = 0
⇒ 17x + 2y - 7z - 26 = 0

\(\overset { \rightarrow }{ B } =x\overset { \wedge }{ i } +y\overset { \wedge }{ j } +z\overset { \wedge }{ k } \) என்க.
கொடுக்கப்பட்ட \(\overset { \rightarrow }{ A } \times \overset { \rightarrow }{ B } =\overset { \rightarrow }{ C } \left| \begin{matrix} \overset { \wedge }{ i } \\ 1 \\ x \end{matrix}\begin{matrix} \overset { \wedge }{ j } \\ 1 \\ y \end{matrix}\begin{matrix} \overset { \wedge }{ k } \\ 1 \\ z \end{matrix} \right| =\overset { \wedge }{ j } -\overset { \wedge }{ k } \)
\(\Rightarrow \overset { \wedge }{ i } (z-y)-\overset { \wedge }{ j } (z-x)+\overset { \wedge }{ k } (y-x)\overset { \wedge }{ j } -\overset { \wedge }{ k } \)
இருபுறமும் ஒத்த உறுப்புகளை சமப்படுத்த கிடைப்பது 
z - y = 0      ....(1)
x - z = 1     .....(2)
y - x = -1     .....(3)
மேலும் \(\overset { \rightarrow }{ A } .\overset { \rightarrow }{ B } =3\Rightarrow \left( \overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \right) .\left( x\overset { \wedge }{ i } +y\overset { \wedge }{ j } +z\overset { \wedge }{ k } \right) =3\)
⇒ x + y + z = 3  ....(4)
தீர்க்க (1), (2), (3) மற்றும் (4) கிடைப்பது \(x=\frac { 5 }{ 3 } ,y=\frac { 2 }{ 3 } \) மற்றும் \(z=\frac { 2 }{ 3 } \)
\(\therefore \overset { \rightarrow }{ B } =\frac { 5 }{ 3 } \overset { \wedge }{ i } +\frac { 2 }{ 3 } \overset { \wedge }{ j } +\frac { 2 }{ 3 } \overset { \wedge }{ k } \)

தேவையான கோடு (1,2,-3) என்ற புள்ளி வழியாகச் செல்கிறது. ஆகவே, இப்புள்ளியின் நிலை வெக்டர் \(\hat { i } +2\hat { j } -3\hat { k } \)ஆகும்.
\(\vec { a } =\hat { i } +2\hat { j } -3\hat { k } ,\vec { b } =4\hat { i } +5\hat { j } -7\hat { k } \) என்க. பின்னர்
(i) தேவையான கோட்டின் துணை அலகு வெக்டர் சமன்பாடு \(\vec { r } =\vec { a } +t\vec { b } \) இங்கு \(t\in R\) ஆகும். எனவே, \(\vec { r } =(\hat { i } +2\hat { j } -3\hat { k } )+t(4\hat { i } +5\hat { j } -7\hat { k } ),t\in R\).
(ii) தேவையான கோட்டின் துணை அலகு அல்லாத வெக்டர் சமன்பாடு \((\vec { r } -\vec { a } )\times \vec { b } =\vec { 0 } \)ஆகும். எனவே, \((\vec { r } -(\hat { i } +2\hat { j } -3\hat { k } ))\times (4\hat { i } +5\hat { j } -7\hat { k } )=\vec { 0 } \).
(iii) தேவையான கோட்டின் கார்டீசியன் சமன்பாடுகள் \(\frac { x-{ x }_{ 1 } }{ { b }_{ 1 } } =\frac { y-{ y }_{ 1 } }{ { b }_{ 2 } } =\frac { z-{ z }_{ 1 } }{ { b }_{ 3 } } \)
இங்கு, (x₁, y₁, z₁) = (1, 2, -3) மற்றும் தேவையான கோட்டின் திசை விகிதங்கள் 4, 5, -7− என்பவற்றுக்கு விகிதச் சமமானவையாகும். எனவே, தேவையான நேர்க்கோட்டின் கார்டீசியன் சமன்பாடுகள் \(\frac { x-1 }{ 4 } =\frac { y-2 }{ 5 } =\frac { z+3 }{ -7 } \).

\(\vec { a } =3\hat { i } +6\hat { j } -2\hat { k } \) 
\(\vec { b } =-\hat { i } -2\hat { j } +6\hat { k } \) மற்றும்
\(\vec { c } =6\hat { i } +4\hat { j } -2\hat { k } \) 
என்ற மூன்று புள்ளிகள் வழி தளம் செல்கிறது. இங்கு 
\(\vec { b } -\vec { a } =\left( 1-3 \right) \hat { i } +\left( -2-6 \right) \hat { j } +\left( 6+2 \right) \hat { k } \) 
= \(-4\hat { i } -8\hat { j } +8\hat { k } \) 
\(\vec { c } -\vec { a } =\left( 6-3 \right) \hat { i } +\left( 4-6 \right) \hat { j } +\left( -2+2 \right) \hat { k } \)
= \(3\hat { i } -2\hat { j } \)
மூன்று புள்ளிகள் வழிச் செல்லும் தளத்தின் வெக்டர் சமன்பாட்டின் துணையலகு வடிவம் 
\(\vec { r } =\vec { a } +s\left( \vec { b } -\vec { a } \right) +t\left( \vec { c } -\vec { a } \right) ,s,t\epsilon R\) 
\(\Rightarrow \vec { r } =\left( 3\hat { i } +6\hat { j } -2\hat { k } \right) +s\left( -4\hat { i } -8\hat { j } +8\hat { k } \right) +t\left( 3\hat { i } -2\hat { j } \right) ,st\epsilon R\)
3 புள்ளிகள் வழிச் செல்லும் தளத்தின் வெக்டர் சமன்பாட்டின் துணையலகு இல்லாத வடிவம் 
\(\left[ \vec { r } -\vec { a } ,\vec { b } -\vec { a } ,\vec { c } -\vec { a } \right] =0\) 
\(\Rightarrow \vec { r } -\left( 3i+6j--2k \right) .\left[ \left( -4\hat { i } -8\hat { j } +8\hat { k } \right) \times \left( 3\hat { i } -2\hat { j } \right) \right] =0\) 
கார்டீசியன் சமன்பாடு 
\( \Rightarrow \vec{r} \cdot(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}) =16 \\ \Rightarrow 2 x+3 y+4 z-16 =0 \)

AB-ன் திசை விகிதங்கள் 
(6,-7,0,-2,3-1) = (-1, -2, 2) [\(\because\) (x₂-x₁), (y₂-y₁), (z₂-z₁)]
மேலும் BC ன் திசை விகிதங்கள் 
(4-6, 2-0, 4-3) = (-2, 2, 1)
திசை விகிதங்களின் பெருக்கல் பலன் 
(-1)(-2)+(-2)(2)+291)
= 2-4+2
[\(\therefore\) இரண்டு கோடுகள் \(\bot \) எனில் திசை விகிதங்கள் d₁b₁+d₂b₂+d₃+b₃ = 0]
= 4-4 = 0
எனவே \(AB\bot BC\) 
\(\angle ABC=\cfrac { \pi }{ 2 } \)

\(\vec { a } =2\hat { i } +3\hat { j } -\hat { k } ,\vec { b } =3\hat { i } +5\hat { j } +2\hat { k } \) மற்றும் \(\vec { c } =-\hat { i } -2\hat { j } +3\hat { k } \)
\((\vec { a } \times \vec { b } )=\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 2 & 3 & -1 \\ 3 & 5 & 2 \end{matrix} \right| \)
= \(\hat { i } \left| \begin{matrix} 3 & -1 \\ 5 & 2 \end{matrix} \right| -\hat { j } \left| \begin{matrix} 2 & -1 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right| +\hat { k } \left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{matrix} \right| \)
= \(\\ \hat { i } (6+5)-\hat { j } (4+3)+\hat { k } (10-9)=11\hat { i } -7\hat { j } +\hat { k } \)
∴ LHS = \((\vec { a } \times \vec { b } )\times \vec { c } \)
= \(\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 2 & 3 & -1 \\ 3 & 5 & 2 \end{matrix} \right| =\hat { i } \left| \begin{matrix} -7 & 1 \\ -2 & 3 \end{matrix} \right| -\hat { j } \left| \begin{matrix} 11 & 1 \\ -1 & 3 \end{matrix} \right| +\hat { k } \left| \begin{matrix} 11 & -7 \\ -1 & -2 \end{matrix} \right| \)
= \(\hat { i } (-21+2)+\hat { j } (33+1)+\hat { k } (-22-7)\)
= \(-19\hat { i } -34\hat { j } -29\hat { k } \) ..............(1)
RHS :
\(\vec { a } .\vec { i } =(2\hat { i } +3\hat { j } -\hat { k } ).(-\hat { i } -2\hat { j } +3\hat { k } )\)
= -2-6-3 = -11
\(\vec { b } .\vec { c } =(3\hat { i } +5\hat { j } +2\hat { k } ).(-\hat { i } -2\hat { j } +3\hat { k } )\)
= -3-10+6 = -7
∴ RHS = \((\vec { a } .\vec { c } )\vec { b } -(\vec { b } .\vec { c } )\vec { a } \)
= \(-11(3\hat { i } +5\hat { j } +2\hat { k } )+7(2\hat { i } +3\hat { j } -\hat { k } )\)
= \(-33\hat { i } -55\hat { j } -22\hat { k } +14\hat { i } +21\hat { j } -7\hat { k } \)
= \(-19\hat { i } -34\hat { j } -29\hat { k } \)  .......... (2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து LHS = RHS
எனவே \((\vec { a } \times \vec { b } )\times \vec { c } =(\vec { a } .\vec { c } )\vec { b } -(\vec { b } .\vec { c } )\vec { a } \)
(ii) \(\vec { b } \times \vec { c } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 3 & 5 & 2 \\ -1 & -2 & 3 \end{matrix} \right| \)
= \(\hat { i } \left| \begin{matrix} 5 & 2 \\ -2 & 3 \end{matrix} \right| -\hat { j } \left| \begin{matrix} 3 & 2 \\ -1 & 3 \end{matrix} \right| +\hat { k } \left| \begin{matrix} 3 & 5 \\ -1 & -2 \end{matrix} \right| \)
= \(\hat { i } (15+4)-\hat { j } (9+2)+\hat { k } (-6+5)\)
= \(19\hat { i } -11\hat { j } -\hat { k } \)
∴ \(\vec { a } (\vec { b } \times \vec { c } )=\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 2 & 3 & -1 \\ 19 & -11 & -1 \end{matrix} \right| \)
= \(\hat { i } \left| \begin{matrix} 3 & -1 \\ -11 & -1 \end{matrix} \right| -\hat { j } \left| \begin{matrix} 2 & -1 \\ 19 & -1 \end{matrix} \right| +\hat { k } \left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 19 & -11 \end{matrix} \right| \)
= \(\hat { i } (-3-11)-\hat { j } (-2+19)+\hat { k } (-22-57)\)
= \(-14\hat { i } -17\hat { j } -79\hat { k } \) ......(1)
RHS : 
\(\vec { a } .\vec { c } =-11\Rightarrow (\vec { a } .\vec { c } )\vec { b } =-11(3\hat { i } +5\hat { j } +2\hat { k } )\)
= -\(33\hat { i } -55\hat { j } -22\hat { k } \)
\(\vec { a } .\vec { b } =(2\hat { i } +3\hat { j } -\hat { k } ).(3\hat { i } +5\hat { j } +2\hat { k } )\)
= 6+15-2 = 19
\((\vec { a } .\vec { b } )\vec { c } =19(-\hat { i } -2\hat { j } +3\hat { k } )=-19\hat { i } -38\hat { j } +57\hat { k } \)
RHS = \((\vec { a } .\vec { c } )\vec { b } -(\vec { a } .\vec { b } )\vec { c } \)
= \(-33\hat { i } -55\hat { j } -22\hat { k } -(-19\hat { i } -38\hat { j } +57\hat { k } )\)
= \(-14\hat { i } -17\hat { j } -79\hat { k } \) .......(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து LHS = RHS
∴ \(\vec { a } \times (\vec { b } \times \vec { c } )=(\vec { a } .\vec { c } )\vec { b } -(\vec { a } .\vec { b } )\vec { c } \)

\(\vec { a }\) = \(\hat { i }\)+\(\hat { j }\)+\(\hat { k }\), \(\vec { b }\) = \(\hat { i }\) ,\(\vec { c }\) = c₁\(\hat { i }\)+c₂\(\hat { j }\)+c₃\(\hat { k }\)  
\(\therefore \vec { c } =\hat { i } +2\hat { j } +{ c }_{ 3 }\hat { k } \) 
\(\left[ \because { c }_{ 1 }=1,{ c }_{ 2 }=2 \right] \) 
மேலும்,கொடுக்கப்பட்ட \(\vec { a } ,\vec { b } \)  மற்றும் c ஒரு தள வெக்டர்களாகும்.
\(\vec { a } ,\vec { b } \) மற்றும் \(\vec { c } \) ஒரு தள வெக்டர்களாகும்.
\(\therefore \vec { a } .\left( \vec { b } \times \vec { c } \right) =0\) 
\(\Rightarrow \left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & { c }_{ 3 } \end{matrix} \right| =0\) 
 \(\Rightarrow \left| \begin{matrix} 0 & 0 \\ 2 & { c }_{ 3 } \end{matrix} \right| -1\left| \begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & { c }_{ 3 } \end{matrix} \right| +1\left| \begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right| =0\) 
\(\Rightarrow 1(0-0)-1\left( c_{ 3 }-0 \right) +1\left( 2-0 \right) =0\) 
\(\Rightarrow 0-{ c }_{ 3 }+2=0\Rightarrow { c }_{ 3 }=2\quad \\\therefore { c }_{ 3 }=2\)

கொடுக்கப்பட்ட \(\vec { OA } =6\hat { i } -7\hat { j } \), \(\vec { OB } =16\hat { i } -29\hat { j } -4\hat { k } \), \(\vec { OC } =3\hat { i } -6\hat { j } \) மற்றும் \(\vec { OD } =2\hat { i } +5\hat { j } +10\hat { k } \)
\(\vec { AB } =\vec { OB } -\vec { OA } =10\hat { i } -22\hat { j } -4\hat { k } \)
\(\vec { AC } =\vec { OC } -\vec { OA } =-6\hat { i } +10\hat { j } -6\hat { k } \)
\(\vec { AD } =\vec { OD } -\vec { OA } =-4\hat { i } +12\hat { j } +10\hat { k } \)
∴ \([\vec { AB } \vec { AC } \vec { AD } ]=\left| \begin{matrix} 10 & -22 & -4 \\ -6 & -10 & -6 \\ -4 & 12 & 10 \end{matrix} \right| \)
= 10(100 + 75) + 22(-60 -24) -4(-72 + 40)
= 1720 - 1848 + 128 = 0
எனவே கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் ஒரு தளம் அமைவன

\(\vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } \)  என்ற வெக்டர்களை ஒரு புள்ளியில் சந்திக்கும் விளிம்புகளாகக் கொண்ட இணைகரத் திண்மத்தின் கன அளவு \([\vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } ]\) ஆகும். இங்கு \(\vec { a } =2\hat { i } -3\hat { j } +4\hat { k } ,\vec { b } =\hat { i } +2\hat { j } -\hat { k } ,\vec { c } =3\hat { i } -\hat { j } +2\hat { k } \)
\([\vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } ]=\left| \begin{matrix} 2 & -3 & 4 \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 2 \end{matrix} \right| =-7\) என்பதால், இணைகரத் திண்மத்தின் கன அளவு |-7| = 7 கன அலகுகளாகும்.

\( \delta=\frac{|d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \Rightarrow \frac{1}{5}=\frac{|-1|}{\sqrt{4+9+\lambda^2}} \\ 5=\sqrt{4+9+\lambda^2} \Rightarrow 25=4+9+\lambda^2 \\ 25=13+\lambda^2 \Rightarrow \lambda^2=12 \Rightarrow \lambda= \pm 2 \sqrt{3} \\ \because \lambda>0, \lambda=2 \sqrt{3} \)

\( {[\vec{a} \times \vec{b}, \vec{b} \times \vec{c}, \vec{c} \times \vec{a}]^2 } =\left[[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]^2\right]^2=[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]^4 \\ =3^4=81 \)

\( \cos ^2 \alpha+\cos ^2 \beta+\cos ^2 \gamma =1 \\ \frac{1}{c^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{c^2} =1 \Rightarrow \frac{3}{c^2}=1 \\ c^2 =3 \Rightarrow c= \pm \sqrt{3} \)

\( \vec{a} \times(\vec{b} \times \vec{c})\)
\( \vec{b} \times \vec{c} =\left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -5 \\ 3 & 5 & -1 \end{array}\right| \\ =\hat{i}(-2+25)-\hat{j}(-1+15)+\hat{k}(5-6) \\ =23 \hat{i}-14 \hat{j}-\hat{k} \\ \vec{a} \times(\vec{b} \times \vec{c}) =\left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -1 \\ 23 & -14 & -1 \end{array}\right| \\ =\hat{i}(-3-14)-\hat{j}(-2+23)+\hat{k}(-28-69) \\ =-17 \hat{i}-21 \hat{j}-97 \hat{k} \)

\( \vec {a}\) மற்றும் \(\vec{b}\) என்பன இணையாதலால், \(\vec{a}=\lambda \vec{b}\)
\([\vec{a}, \vec{c}, \vec{b}]=[\lambda \vec{b}, \vec{c}, \vec{b}]=\lambda[\vec{b}, \vec{c}, \vec{b}]=\lambda(0)=0\)