If  \(\left| \overset { \rightarrow }{ a } \right| =\left| \overset { \rightarrow }{ b } \right| =1\)such that \(\overset { \rightarrow }{ a } +2\overset { \rightarrow }{ b } \) and \(5\overset { \rightarrow }{ a } -\overset { \rightarrow }{ b } \) are perpendicular to each other, then the angle between \(\overset { \rightarrow }{ a } \) and \(\overset { \rightarrow }{ b } \) is _______________

The volume of the parallelepiped whose sides are given by \(\overset { \rightarrow }{ OA } =2\overset { \wedge }{ i } -3\overset { \wedge }{ j } \), \(\overset { \rightarrow }{ OB } =\overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } -\overset { \wedge }{ k } \) and \(\overset { \rightarrow }{ OC } =3\overset { \wedge }{ i } -\overset { \wedge }{ k } \) is _____________

If \(\overset { \rightarrow }{ a } \), \(\overset { \rightarrow }{ b } \) and \(\overset { \rightarrow }{ c } \) are any three vectors, then \(\overset { \rightarrow }{ a } \times \left( \overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ c } \right) =\overset { \rightarrow }{ a } \times \left( \overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ c } \right) \) if and only if __________

The area of the parallelogram having diagonals \(\overset { \rightarrow }{ a } =3\overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } -2\overset { \wedge }{ k } \) and \(\overset { \rightarrow }{ b } =\overset { \wedge }{ i } -3\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ 4k } \) is ____________

If \(\overset { \rightarrow }{ d } =\overset { \rightarrow }{ a } \times \left( \overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ c } \right) +\overset { \rightarrow }{ b } \times \left( \overset { \rightarrow }{ c } \times \overset { \rightarrow }{ a } \right) +\overset { \rightarrow }{ c } \times \left( \overset { \rightarrow }{ a } +\overset { \rightarrow }{ b } \right) \), then __________

The number of vectors of unit length perpendicular to the vectors \(\left( \overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } \right) \) and \(\left( \overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \right) \)is __________

If \(\vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } \) are non-coplanar, non-zero vectors such that \([\vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } ]\) = 3, then \({ \{ [\vec { a } \times \vec { b } ,\vec { b } \times \vec { c } ,\vec { c } \times \vec { a } }]\} ^{ 2 }\) is equal to

If \(\vec { a } =\hat { i } +\hat { j } +\hat { k } \), \(\vec { b } =\hat { i } +\hat { j } \), \(\vec { c } =\hat { i } \) and \((\vec { a } \times \vec { b } )\times\vec { c } \) = \(\lambda \vec { a } +\mu \vec { b } \), then the value of \(\lambda +\mu \) is

If \(\vec { a } \) and \(\vec { b } \) are unit vectors such that \([\vec { a } ,\vec { b },\vec { a } \times \vec { b } ]=\frac { 1}{ 4 } \), then the angle between \(\vec { a } \) and \(\vec { b } \) is

If \(\vec{a}\) and \(\vec{b}\) are parallel vectors, then \([\vec { a } ,\vec { c } ,\vec { b } ]\) is equal to