நேர்காணல் குழுவில் உள்ள பெண்களின் எதிர்பார்ப்பு எண்ணிக்கை
\(E\left( X \right) =\underset { x }{ \Sigma } x{ P }_{ x }\left( x \right) \)
= \(\left[ \left( 0\times \cfrac { 2 }{ 11 } \right) +\left( 1\times \cfrac { 5 }{ 11 } \right) +\left( 2\times \cfrac { 4 }{ 11 } \right) \right] \)
= \(\cfrac { 13 }{ 11 } \) (தோராயமாக ஒரு பெண்)

ஒரு சமவாய்ப்பு சோதனை இரண்டு விளைவுகளை ஏற்படுத்தும். அவ்விளைவானது இரு வகைப்படும் அவை வெற்றி (S) மற்றும் தோல்வி (F) ஆகும். அதனுடைய நிகழ்தகவுகள் முறையே p மற்றும் q எனக் குறிக்கப்படும். அது பெர்னோலி சோதனை (அல்லது முயற்சி) என்று அழைக்கப்படும்

கூறின் அளவு =400
சைவ உணவு உண்பவர்களின் எண்ணிக்கை =230
\(P =\frac{230}{400}=0.575\)
Q =1-P =1-0.575=0.425
\(\mathrm{S} . \mathrm{E}=\sqrt{\frac{P Q}{n}}=\sqrt{\frac{(0.575)(0.425)}{400}}=0.025\)

அடிப்படை கணிதத்தில்‌, ஒரு மாறி என்பது ஒரு தெரியாத எண்ணை பிரதிபலிக்கும்‌ ஒரு அகரவரிசை எழுத்தாகும்‌, சமவாய்ப்பு மாறி என்பதும்‌ ஒரு மாறி, அது மேலும்‌ சமவாய்ப்பிற்கு உட்பட்டது என்பது அதன்‌ பொருள்‌, அதாவது இது வெவ்வேறான மதிப்புகளைப்‌ பெற்றிருக்கும்‌.

\(\frac{d^2 y}{d x^2}+y+\left(\frac{d y}{d x}-\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^{3 / 2}=0\)
\(\frac{d^2 y}{d x^2}+y=-\left(\frac{d y}{d x}-\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^{3 / 2}\)
இருபறமும் வர்க்கப்படுத்த
\(\left(\frac{d^2 y}{d x^2}+y\right)^2 =\left(\frac{d y}{d x}-\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^3 \)
வரிசை =3 ; படி =3

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & \boldsymbol{y} & \Delta \mathbf{y} & \Delta^2 \mathbf{y} & \Delta^3 \mathbf{y} & \Delta^4 \mathbf{y} \\ \hline 1 & 1 & & & & \\ \hline & & -2 & & & \\ \hline 2 & -1 & & 4 & & \\ \hline & & 2 & & -8 & \\ \hline 3 & 1 & & -4 & & 16 \\ \hline & & -2 & & 8 & \\ \hline 4 & -1 & & 4 & & \\ \hline & & 2 & & & \\ \hline 5 & 1 & & & & \\ \hline \end{array}\)
\( x_0+\mathrm{nh}=x, x_0=1, \mathrm{~h}=1 \Rightarrow \mathrm{n}=x-1 \)
\( \mathrm{y}=y_0+\frac{n}{1 !} \Delta y_0+\frac{n(\mathrm{n}-1)}{2 !} \Delta^2 y_0+ \)
\( \frac{n(\mathrm{n}-1)(\mathrm{n}-2)}{3 !} \Delta^3 y_0+\frac{n(\mathrm{n}-1)(\mathrm{n}-2)(\mathrm{n}-3)}{4 !} \Delta^4 y_0 \)
\( =1+\frac{(x-1)}{1 !}(-2)+\frac{(x-1)(x-2)}{2 !}(4) +\frac{(x-1)(x-2)(x-3)}{3 !}(-8) \)
\( =(1-2 x+2)+2\left(x^2-3 x+2\right)-\frac{4}{3}\left(x^2-3 x+2\right) \)
\( =1-2 x+2+2 x^2-6 x+4-\frac{4}{3}\left(x^3-6 x^2+11 x-6\right) +\frac{2}{3}\left(x^4-7 x^3+12 x^2-3 x^3+21 x^2-36 x+2 x^2-14 x+24\right) \)
\(=1-8 x+6+2 x^2-\frac{4 x^3}{3}+8 x^2-\frac{44}{3} x+8 +\frac{2}{3} x^4-\frac{20 x^3}{3}+\frac{70 x^2}{3}-\frac{100 x}{3}+16 \)
\(y=\frac{2 x^4}{3}-8 x^3+\frac{100 x^2}{3}-56 x+31 \)

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \boldsymbol{x} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline \mathbf{u}_x & 560 & 556 & 520 & - & 385 \\ \hline \end{array}\)
நான்கு மதிப்புகள் மட்டும் கொடுக்கப்பட்டுள்ளதால் 
\( \Delta^4 \mathrm{u}_0=0 \)
\((\mathrm{E}-1)^4 \mathrm{u}_0=0 \)
\(\left(\mathrm{E}^4-4 \mathrm{E}^3+6 \mathrm{E}^2-4 \mathrm{E}+1\right) \mathrm{u}_0=0 \)
\( \mathrm{u}_4-4 \mathrm{u}_3+6 \mathrm{u}_2-4 \mathrm{u}_1+\mathrm{u}_0=0 \)
\( 385-4 \mathrm{u}_3+6(520)-4(556)+560=0 \)
\( 385-4 \mathrm{u}_3+3120-2224+560=0 \)
\( 4 \mathrm{u}_3=1841 \Rightarrow \mathrm{u}_3=460.25 \)

(x²+x+1)dx+(y²-y+3)dy=0
இது, f(x)dx+g(y)dy=0 என்ற வடிவில் உள்ளது.
தொகையிட நாம் பெறுவது,
\(\int { ({ x }^{ 2 }+x+1) } dx+\int { ({ y }^{ 2 }-y+3) } dy\)=c
\(\left( \frac { { x }^{ 3 } }{ 3 } +\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +x \right) +\left( \frac { { y }^{ 3 } }{ 3 } -\frac { { y }^{ 2 } }{ 2 } +3y \right) \)=c

\( \mathrm{p}=\mathrm{e}^{-x}, \mathrm{p}=0.5=\frac{1}{2} \)
\( \frac{1}{2}=\mathrm{e}^{-x} \Rightarrow \mathrm{e}^x=2 \)
\( x=\log _\epsilon 2\)
நுகர்வோர் உபரி 
\(C S  =\int_0^{x_0} f(x) d x-x_0 p_0 \)
\(=\int_0^{\log _e 2} e^{-x} d x-\frac{1}{2} \log _e 2\)
\( =-\left[e^{-x}\right]_0^{\log _ \in 2}-\frac{1}{2} \log _e 2 \)
\( =-\left[e^{-\log _e 2}-e^0\right]-\frac{1}{2} \log _e 2 \)
\(=-\left(\frac{1}{2}-1\right)-\frac{1}{2} \log _e 2=\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \log _e 2 \)
\(=\frac{1}{2}\left[1-\log _e 2\right] \)
C.S.=\(\frac{1}{2}\)[1-log_e2] அலகுகள்

இறுதிநிலை வருவாய்ச் சார்பு
\(R^{\prime}(\mathrm{x})=1500-4 x-3 x^2\)
வருவாய்ச் சார்பு: \(\mathrm{R}=\int\left(1500-4 \mathrm{x}-3 \mathrm{x}^2\right) d x\)
\(=1500 x-\frac{4 x^2}{2}-\frac{3 x^3}{3}+k\)
x  =0, R=0 எனில்,  k =0
வருவாய்ச் சார்பு: \(\mathrm{R}=1500 x-2 x^2-x^3\)
சராசரி  வருவாய்ச் சார்பு:
\(\mathrm{AR}=\frac{R}{x}=1500-2 x-x^2\)

\(\int { \frac { dx }{ \sqrt { { 9x }^{ 2 }-7 } } } \)
\(=\int { \frac { dx }{ \sqrt { 9\left( { x }^{ 2 }-\frac { 7 }{ 9 } \right) } } } \)
\(=\frac { 1 }{ 3 } \int { \frac { dx }{ \sqrt { { x }^{ 2 }{ \left( \frac { \sqrt { 7 } }{ 3 } \right) }^{ 2 } } } } \)
\(\left[ \because \int { \frac { dx }{ \sqrt { { x }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } } } =\log { \left| x+\sqrt { { x }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } } \right| +c } } \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 3 } \log { \left| x+\sqrt { { x }^{ 2 }-\frac { 7 }{ 9 } } \right| } +c\)
\(=\frac { 1 }{ 3 } \log { \left| x+\sqrt { \frac { { 9x }^{ 2 }-7 }{ 3 } } \right| } +c\)
\(=\frac { 1 }{ 3 } \log { \left| 3x+\sqrt { { 9x }^{ 2 }-7 } \right| } +c\)

\(\int (\frac { 1 }{ x \log x } )dx \)
\(=\int \frac {dt}{t} = \log |t| + c \)
= log|logx|+c
t =log x, dt = 1/x dx 

x,y அலகுகள் தொழிலாளர் அலகு, மூலதனம் அலகு ஆகியவற்றின் விலையைக் குறிக்கட்டும்.
3x + 2y = 62
4x +y = 56
\(\Delta =\left| \begin{matrix} 3 & 2 \\ 4 & 1 \end{matrix} \right| =3(1)-4(2)=3-8=-5\not =0\)
∴ கிரேமரின் விதியைப் பயன்படுத்தலாம் 
\(\Delta x=\left| \begin{matrix} 62 & 2 \\ 56 & 1 \end{matrix} \right| =62(1)-56(2)=62-112=-50\)

\({ \Delta }_{ y }=\left| \begin{matrix} 3 & 62 \\ 4 & 56 \end{matrix} \right| =3(56)-4(62)\)
= 168 - 248 = -80

\(\therefore\) தொழிலாளருக்கான ஒரு அலகு செலவு ரூ.10 மற்றும் முதலீட்டிற்கான ஒரு அலகு செலவு ரூ.16

A =\(\left( \begin{matrix} 5 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & -4 \\ -2 & -4 & 8 \end{matrix} \right) \)என்க.
A-ன் வரிசை 3 x 3 ∴ ρ(A) ≤3
வரிசை மூன்று உடைய சிற்றணிக்கோவையை கருத, நாம் பெறுவது \(\left| \begin{matrix} 5 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & -4 \\ -2 & -4 & 8 \end{matrix} \right| \)=0
∴ மூன்றாம் வரிசைக் கொண்ட சிற்றணிக்கோவை பூச்சியமாவதால், ρ(A)≠ 3 ஆகும்.
இரண்டாம் வரிசை கொண்ட ஒரு சிற்றணிக்கோவையை கருத, நாம் பெறுவது \(\left| \begin{matrix} 5 & 3 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right| \)=7≠ 0 ஆகும்.
⇒ பூச்சியமற்ற சிற்றணிக்கோவையின் வரிசை 2 ஆகும்.  ∴ ρ(A) =3

(a) \(\sum p_i =1 \)
\(2 \mathrm{k}+3 \mathrm{k}+4 \mathrm{k} =1 \)
\(9 \mathrm{k} =1 \Rightarrow \mathrm{k}=\frac{1}{9}\)
(b) \(P(X>2) =P(X=3)+P(X=5) =3 k+4 k=7 k=\frac{7}{9}\)

f(x) என்பது ஒரு அடர்த்தி சார்பு எனில்
\(\int _{ -\infty }^{ \infty }{ f(x) } dx=1\) என்பது நமக்குத் தெரியும் 
\(\int _{ 0 }^{ \infty }{ { ke }^{ -2x } } dx=1\)
\(k\int _{ 0 }^{ \infty }{ { { e }^{ -2x }dx=1 } } \)
\(k\left[ \cfrac { { e }^{ -2x } }{ -2 } \right] _{ 0 }^{ \infty }=1\)
\(\Rightarrow k=2\)
\(\\ E(X)=\int _{ -\infty }^{ \infty }{ xf(x)dx } \)
= \(\int _{ 0 }^{ \infty }{ xk{ e }^{ -2x }dx } \)
= \(2\int _{ 0 }^{ \infty }{ { xe }^{ -2x }dx } \)
= \(\\ 2\left\{ \left[ \cfrac { xe^{ -2x } }{ -2 } \right] _{ 0 }^{ \infty }-\int _{ 0 }^{ \infty }{ \cfrac { { e }^{ -2x } }{ -2 } dx } \right\} \left( \therefore \int { udv=uv-\int { vdu } } \right) \)
= \(\int _{ 0 }^{ \infty }{ { e }^{ -2x }dx } \)
= \(\cfrac { 1 }{ 2 } \)

ஈருறுப்புப் பரவலின் நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பு p(x)=\({ n }_{ C_{ x } }\)p^x /q^n-x
ஈருறுப்புப் பரவலின் சராசரி np மற்றும் மாறுபாடு npq என்பதாகும்.
np = 2      .......(1)
npq =\(\frac { 4 }{ 3 } \)     .....(2)
\(\frac { (2) }{ (1) } \Rightarrow \frac { \frac { 4 }{ 3 } }{ 2 } =\frac { 4 }{ 6 } =\frac { 2 }{ 3 } \)
q=\(\frac { 2 }{ 3 } \) மற்றும் p = 1 - \(\frac { 2 }{ 3 } =\frac { 1 }{ 3 } \)
P(X=5) =6C₅\(\left( \frac { 1 }{ 3 } \right) ^{ 5 }\left( \frac { 2 }{ 3 } \right) ^{ 6-5 }\) =0.01646

கொடுக்கப்பட்ட 2 இலக்க எண்களைக் கொண்ட சமவாய்ப்பு அட்டவணையிலிருந்து 1550 முதல் 8000 வரையிலான 4 இலக்கம் கொண்ட 10 மாதிரிகளை தேர்ந்தெடுக்க முதலில் இரண்டு இலக்க எண்களை மற்ற இரண்டிலக்க எண்களும் இணைந்து 4-இலக்க எண்களாக மாற்ற வேண்டும். அதாவது, அட்டவணையின் 5-வது மற்றும் 6-வது நிரல்களை நிழலிட்டவாறு இணைத்து முதல் ஐந்து மாதிரியையும் 8வது மற்றும் 9வது நிரல்களை இணைத்து அடுத்த ஐந்து மாதிரிகளையும் கொண்டு தேவையான 10 மாதிரிகளைத் தேர்ந்தெடுக்கலாம். கீழ்கண்ட அட்டவணையில் இரு நிரல்களை இணைத்து தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட சமவாய்ப்பு மாறிகளைக் காணலாம்.

எனவே, தேவையான 10 மாதிரிகளை கீழ்க்கண்டவாறு எழுதலாம்.

5901	4310	5032	5194	1899
7259	7435	4362	1758	5308

5x + 3y = 17,
3x + 7y = 31
\(\Delta =\left| \begin{matrix} 5 & 3 \\ 3 & 7 \end{matrix} \right| =35-9= 26 \not = 0\)
கிரேமரின் விதியைப் பயன்படுத்தலாம் 
\(\Delta x=\left| \begin{matrix} 17 & 3 \\ 31 & 7 \end{matrix} \right| \) = 119 - 93 = 26
\(\Delta y=\left| \begin{matrix} 5 & 17 \\ 3 & 31 \end{matrix} \right| \)= 155 - 51 = 104

\(\therefore\) தீர்வு (1, 4)
 x = 1, y = 4

f(x) -ல் நான்கு மதிப்புகள் கொடுக்கப்பட்டிருப்பதால், f(x) ஒரு மூன்றாம்படி பல்லுறுப்புக்கோவை என எடுத்துக் கொள்வோம். எனவே நான்காம் நிலை வேறுபாடுகள் பூச்சியமாகும்.
(ie) Δ⁴y₀=0, ∴ (E-1)⁴y₀=0
(E₄-4E³+6E²-4E+1)y₀=0
E⁴y₀-4E³y₀+6E²y₀-4Ey₀+y₀=0
y₄-4y₃+6y₂-4y₁+y₀=0
67.4-4y₃+6(54.1)-4(49.2)+45=0
240.2=4y₃ 
∴ y₃=60.05

 Δ\(\left[ \frac { 5x+12 }{ { x }^{ 2 }+5x+6 } \right] \)
பகுதி பின்னமாக பிரித்தல் முறைப்படி
\(\frac { 5x+12 }{ { x }^{ 2 }5x+6 } =\frac { A }{ x+3 } +\frac { B }{ x+2 } \)
A=\(\frac { 5x+12 }{ x+2 } [x=-3]=\frac { -15+12 }{ -1 } =\frac { -3 }{ -1 } \)=3
B=\(\frac { 5x+12 }{ x+3 } [x=-2]=\frac { 2 }{ 1 } \)=2
\(\therefore \frac { 5x+12 }{ { x }^{ 2 }5x+6 } =\left[ \frac { 3 }{ x+3 } +\frac { 2 }{ x+2 } \right] \)
\(\triangle \left[ \frac { 5x+12 }{ { x }^{ 2 }5x+6 } \right] =\triangle \left[ \frac { 3 }{ x+3 } +\frac { 2 }{ x+2 } \right] \)
=\(\left[ \frac { 3 }{ x+1+3 } -\frac { 3 }{ x+3 } \right] +\left\{ \frac { 2 }{ x+1+2 } -\frac { 2 }{ x+2 } \right\} \)
=\(3\left[ \frac { 3 }{ x+1+3 } -\frac { 3 }{ x+3 } \right] +2\left[ \frac { 1 }{ x+3 } -\frac { 1 }{ x+2 } \right] \)
=\(\left[ \frac { -3 }{ (x+4)(x+3) } -\frac { 2 }{ (x+3)(x+2) } \right] \)
=\(\frac { -5x-14 }{ (x+2)(x+3)(x+4) } \)

\(\frac { dy }{ dx } -\frac { y }{ x } = x \)
இது \(\frac{d y}{d x}+P y=\mathrm{Q}\) என்ற அமைப்பில் உள்ளது
இங்கு, P=-1 / x, Q =x
\(\int P d x=-\int \frac{d x}{x}=-\log x \)
தொ. கா\(=e^{\int P d x}=\mathrm{e}^{-\log x}=1 / x\)
தீர்வு :
\(y e^{\int P d x} =\int Q e^{\int P d x} d x+c \)
\(\frac{y}{x} =\int x \frac{1}{x} d x+c \)
\(\mathrm{y} / x =x+\mathrm{c}\)
\(\frac { y }{ x } \)=x+c

ஆதி வழிச்செல்லும் நேர்கோட்டுத் தொகுப்பைக் குறிக்கும் சமன்பாடு 
y = mx ⇒ \(\frac { dy }{ dx } = m \)
y=x\(\frac { dy }{ dx } \)

y-1 = x

x	0	-1
y	1	0

y - 1 = x ⇒ y = x + 1
பரப்பு \(=\int _{ b }^{ a }{ ydx }\)
\(=\int _{ -1 }^{ -2 }{ ydx } +\int _{ -1 }^{ 3 }{ ydx } \left[ \because \int _{ a }^{ b }{ f(x)dx=-\int _{ b }^{ a }{ f(x)dx } } \right] \)
\(=\int _{ -1 }^{ -2 }{ (x+1)dx+\int _{ -1 }^{ 3 }{ (x+1)dx } } \)
\(={ \left( \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +x \right) }_{ -1 }^{ -2 }+{ \left( \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +x \right) }_{ -1 }^{ 3 }\)
\(=-\left( +\frac { 1 }{ 2 } -1 \right) -\left( 2 -2 \right) +\left( \frac { 9 }{ 2 } +3 \right) -\left( \frac { 1 }{ 2 } -1 \right) \)
\(=- +\frac { 1 }{ 2 } -1 + \frac { 9 }{ 2 } +3 - \frac { 1 }{ 2 } -1 = \frac { 7 }{ 2 } +5\) \(=\frac { 17 }{ 2 } \) ச.அலகுகள்

y=|x+3| =\(\begin{cases} x+3, & x\ge -3 \\ -(x+3), & x<-3 \end{cases}\)
தேவைப்படும் பரப்பு =\(\int _{ -6 }^{ 0 }{ y } dx\)
=\(\int _{ -6 }^{ -3 }{ y } dx+\int _{ -3 }^{ 0 }{ y } dx\)
=\(\int _{ -6 }^{ -3 }{ -(x+3)dx } +\int _{ -3 }^{ 0 }{ (x+3) } dx\)
=\(\left[ \frac { (x+3)^{ 2 } }{ 2 } \right] _{ -6 }^{ -3 }+\left[ \frac { (x+3)^{ 2 } }{ 2 } \right] _{ -3 }^{ 0 }\)
\(=\left[ 0-\frac { 9 }{ 2 } \right] +\left[ \frac { 9 }{ 2 } -0 \right] \)=9 சதுர அலகுகள்

\(\int _{ -1 }^{ 1 }{ f\left( x \right) } dx=\int _{ -1 }^{ 0 }{ f\left( x \right) } dx+\int _{ 0 }^{ 1 }{ f\left( x \right) } dx\)
\(=\int _{ -1 }^{ 0 }{ -x } dx+\int _{ 0 }^{ 1 }{ x } dx\)
\(=\int _{ 0 }^{ -1 }{ x } dx+\int _{ 0 }^{ 1 }{ x } dx\)
\(\left[ \because \int _{ a }^{ b }{ f\left( x \right) dx=-\int _{ b }^{ a }{ f\left( x \right) } dx } \right] \)
\(={ { \left[ \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right] } }_{ 0 }^{ -1 }+{ \left[ \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right] }_{ 0 }^{ 1 }\)
\(=- \left[ { \left(0 -\frac { 1 }{ 2 } \right) } \right] +\frac { 1 }{ 2 } -0= 1\)
= 1

t = x² + 3x + 7
⇒ dt = (2x + 3)
இங்கு  x = -1, t = (-1)² +3(-1)+7 = 1-3 + 7= 5
x = 1, t = 1² +3(1)+7 = 11
\(\int _{ -1 }^{ 1 }{ \frac { 2x+3 }{ { x }^{ 2 }+3x+7 } } dx=\int _{ 5 }^{ 11 }{ \frac { dt }{ t } } ={ \left( \log { t } \right) }_{ 5 }^{ 11 }\)
\(=\log { 11 } -\log { 5 } \)
\(=\log { \left( \frac { 11 }{ 5 } \right) } \)

A-ன் வரிசை 3 x 4  ∴ ρ(A) ≤3.
அணி A -ஐ, ஏறுபடி வடிவத்திற்கு மாற்றியமைக்க

அணி A	அடிப்படை உருமாற்றங்கள்
A=\(\left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right) \) ~\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix} \right) \)	R1 ↔️ R2
~\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ -5 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ -8 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{matrix} \right) \)	R3 ⟶ R3-3R1
~\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right) \)	R3 ⟶ R3 + 5R2

ஏறுபடிவ அணியில் உள்ள பூச்சியமற்ற நிரைகளின் எண்ணிக்கை 3 ஆகும். ∴ ρ(A) =3.

  \(\mathrm{E}(\mathrm{X})=\int_{-\infty}^{\infty} x f(x) d x\)
\( =\int_0^1 x\left(3 x^2\right) d x=3 \int_0^1 x^3 d x \)
\( =3\left[\frac{x^4}{4}\right]_0^1=\frac{3}{4}(1-0)=\frac{3}{4} \)
\( \mathrm{E}\left(\mathrm{X}^2\right)=\int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) d x \)
\( =\int_0^1 x^2\left(3 x^2\right) d x=3 \int_0^1 x^4 d x \)
\(=3\left[\frac{x^5}{5}\right]_0^1=\frac{3}{5} \)
\( \mathrm{~V}(\mathrm{X})=\mathrm{E}\left(\mathrm{X}^2\right)-[\mathrm{E}(\mathrm{X})]^2\)
\( =\frac{3}{5}-\left(\frac{3}{4}\right)^2=\frac{3}{5}-\frac{9}{16} \)
\(=\frac{48-45}{80}=\frac{3}{80} \)
\( V(\mathrm{aX}+\mathrm{b})=\mathrm{a}^2 \mathrm{~V}(\mathrm{X}) \) என்பது தெரியும்
\(\mathrm{V}(3 \mathrm{X}-2)=9 \mathrm{~V}(\mathrm{X}) \)
\(=9\left(\frac{3}{80}\right)=\frac{27}{80} \)

கூறின் அளவு n = 400 கடைகள்
கூறு சராசரி \(\bar { x } \) = 153.7 சோதனைகள்
கூறு திட்ட விலக்கம் SD s = 17.2 சோப்புகள்
முழுமைத் தொகுதியின் திட்டவிலக்கம் m = 146.3 சோப்புகள்
முழுமைத் தொகுதியின் திட்டவிலக்கம் கொடுக்கப்படாததால் கூறு திட்ட விலக்கம் s =σ என கொள்வோம்.
இன்மை கருதுகோள் : விளம்பர பிரச்சாரம் வெற்றியாக இல்லை. H₀ : μ = 146.3 (விளம்பரத்திற்கு முன்னும் பின்னும் வாராந்திர சோப்பு விற்பனையில் சிறப்பான வித்தியாசம் இல்லை)
மாற்று கருதுகோள் H₀ : μ> 146.3 (வலதுமுனை சோதனை) விளம்பர பிரச்சாரம் வெற்றிகரமானதாக உள்ளது)
மிகைகாண் நிலை ∝ = 0.05
கூறுபண்பளவை சோதனைக்கு ஏற்பக் கணக்கிடல்
\(Z=\frac { \bar { x } -\mu }{ \frac { \sigma }{ \sqrt { n } } } \sim N(0,1)\)
\(Z=\frac { 153.7-146.3 }{ \frac { 17.2 }{ \sqrt { 400 } } } \)
\(=\frac { 7.4 }{ 0.86 } =8.605\)
\(\therefore\) Z=8.605
கணக்கிடப்பட்ட மதிப்பு Z = 8.605 மற்றும் எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு அல்லது அட்டவணை மதிப்பு Z_∝ = 1.645 ஆகியவற்றிலிருந்து 8.605 > 1.645 என பெறுகிறோம்.
கண்டறியப்பட்ட மதிப்பானது அட்டவணை மதிப்பை விட அதிகமாக உள்ளதால் Z>Z_∝ , 5% மிகைகாண் நிலையில் இன்மை கருதுகோள் H₀ மறுக்கப்படுகிறது. எனவே விளம்பர பிரச்சாரம் சோப்பு விற்பனையை அதிகரித்துள்ளது என கருதலாம்.

(i) நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு:
X  என்ற தனித்த சமவாய்ப்பு மாறியின் தனித்த மதிப்புகள் \(x_1, x_2, \ldots x_{\mathrm{n}}, \ldots\)என்க.மேலும்  இதன் நிகழ்தகவு சார்பு \(\mathrm{P}_{\mathrm{x}}(x)\) எனக் குறிப்பிடப்படுகிறது எனில்
\( P_X(x)=p(x) \)
\(= \begin{cases}P\left(X=x_i\right)=p_i=p\left(x_i\right), & x=x_i, i=1,2, \ldots n, \ldots \\ 0 & , x \neq x_i\end{cases}\) என வரையறுக்கப்படுகிறது.
(ii) நிகழ்தகவு அடர்த்திச் சார்பு:
தொகையிடக்கூடிய ஒர் இடைவெளி \(\left[\mathrm{t}_1\right., \mathrm{t}_2 ]\) இல் (திறந்த அல்லது மூடிய) அமையும் ஒரு சமவாய்ப்பு  மாறி X  - இன் நிகழ்தகவு \(f_x (x)\) ஆனது நிகழ்தகவு அடர்த்திச் சார்பு என்று வரையறுக்கப்படுகிறது:
\(P\left(\mathrm{t}_1 \leq \mathrm{X} \leq \mathrm{t}_2\right)=\int_{t_1}^{t_1} f_X(x) d x\)
(iii) நிகழ்தகவு பரவல் சார்பு :
தனித்த பரவலில், சமவாய்ப்பு மாறியின் பரவல் சார்பு
\(F_X(x)=P(X \leq x)=\sum_{x<x_i} P\left(x_i\right),(-\infty<x<\infty)\) என வரையறுக்கப்படுகிறது.
தொடர்ச்சியான பரவலில், சமவாய்ப்பு மாறியின் பரவல் சார்பு
\(F_X(x)=\mathrm{P}[\mathrm{X} \leq x]=\int_{-\infty}^x f(t) d t,-\infty<x<\infty\) என வரையறுக்கப்படுகிறது.

p என்பது A என்பவர் வெற்றி பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு ஆகும். ஈருறுப்பு பரவலின் பண்பளவைகள் n மற்றும் p என்பனவாகும். இங்கு முயற்சிகளின் எண்ணிக்கை n = 5, p = 3/5, q =1-\(\frac { 3 }{ 5 } =\frac { 2 }{ 5 } \) என்பதாகும். (∵ q = 1-p)
5 முறை விளையாடும் விளையாட்டில் A எனும் வீரர் வெற்றி பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு
P(X=x) = p(x) =5Cx\(\left( \frac { 3 }{ 5 } \right) ^{ x }\left( \frac { 2 }{ 5 } \right) ^{ 5-x }\)
A என்பவர் குறைந்தபட்சம் 3 முறை வெற்றி பெறுவதற்கான வாய்ப்பின் நிகழ்தகவு
P(x≥3) = P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)
=5C₃\(\left( \frac { 3 }{ 5 } \right) ^{ 3 }\left( \frac { 2 }{ 5 } \right) ^{ 2 }+5C4\left( \frac { 3 }{ 5 } \right) ^{ 4 }\left( \frac { 2 }{ 5 } \right) ^{ 1 }+5C5\left( \frac { 3 }{ 5 } \right) ^{ 5 }\left( \frac { 2 }{ 5 } \right) ^{ 0 }\)
=0.6826.

x	1941	1951	1961	1971	1981	1991
y	20	24	29	36	46	51

 1946-ஆம் ஆண்டின் மக்கள்தொகையை கணக்கிடுவதற்கு (அதாவது x=1946 க்கு y -ன் மதிப்பை கணக்கட) நாம், நியூட்டனின் முன்நோக்கு இடைச்செருகல் சூத்திரத்தை பயன்படுத்துவோம்.
y_(x=x0+nh)=\({ y }_{ 0 }+\frac { n }{ 1! } \triangle y_{ 0 }+\frac { n(n-1) }{ 2! } { \triangle }^{ 2 }{ y }_{ 0 }+\frac { n(n-1)(n-2) }{ 3! } { \triangle }^{ 0 }y_{ 0 }+....\)
x=1946 ∴  x₀+nh=1946, x₀=1941, h=10
1941+n(10)=1946 ⇒ n=0.5

x	y	Δy	Δ2y	Δ3y	Δ4y	Δ5y
1941	20
		4
1951	24		1
		5		1
1961	29		2		0
		7		1		-9
1971	36		3		-9
		10		-8
1981	46		-5
		5
1991	51

 y_(x=1946)=\(20 +\frac { 0.5 }{ 1! } (4)+\frac { 0.5(0.5-1) }{ 2! } (1)+\frac { 0.5(0.5-1)(0.5-2) }{ 3! } (1)+\frac { 0.5(0.5-1)(0.5-2)(0.5-3) }{ 4! } (0)+\frac { 0.5(0.5-1)(0.5-2)(0.5-3)(0.5-4) }{ 5! } (-9)\)
=20+2-0.125+0.0625-0.24609
=21.69 இலட்சங்கள்

x₀ = 15, x₁ = 25, x₂ = 30, x₃ = 35 x = 26
y₀= 36, y₁ = 40, y₂ = 45, y₃ = 48, 
∴ y = f(x) = \(\frac { (x-{ x }_{ 1 })(x-{ x }_{ 2 })(x-{ x }_{ 3 }) }{ ({ x }_{ 0 }-{ x }_{ 1 })({ x }_{ 0 }-{ x }_{ 2 })({ x }_{ 0 }-{ x }_{ 3 }) } \times { y }_{ 0 }+\frac { (x-{ x }_{ 0 })(x-{ x }_{ 2 })(x-{ x }_{ 3 }) }{ ({ x }_{ 1 }-{ x }_{ 0 })({ x }_{ 1 }-{ x }_{ 2 })(x_{ 1 }-{ x }_{ 3 }) } \times { y }_{ 1 }+\frac { (x-{ x }_{ 0 })(x-{ x }_{ 1 })(x-{ x }_{ 3 }) }{ ({ x }_{ 2 }-{ x }_{ 0 })({ x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 })({ x }_{ 2 }-{ x }_{ 3 }) } \times { y }_{ 2 }+\frac { (x-{ x }_{ 0 })(x-{ x }_{ 1 })(x-{ x }_{ 2 }) }{ ({ x }_{ 3 }-{ x }_{ 0 })({ x }_{ 3 }-{ x }_{ 1 })({ x }_{ 3 }-{ x }_{ 2 }) } \times { y }_{ 3 }\)
\(y= \frac{(1)(-4)(-9)}{(-10)(-15)(-20)} 36+\frac{(11)(-4)(-9)}{10(-5)(-10)} 40 +\frac{(11)(1)(-9)}{(15)(5)(-5)} 45+\frac{(11)(1)(-4)}{(20)(10)(5)} 48 \)
\(= -0.432+31.68+11.88-2.112 \)
\(= 41.016 \sim 41\) நபர்கள்

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை \(\frac { dy }{ dx } +\frac { 1 }{ cos^{ 2 }x } y=\frac { tanx }{ cos^{ 2 }x } \) என எழுதலாம்.
அதாவது, \(\frac { dy }{ dx } \)+y sec²x=tanxsec²x
இது \(\frac { dy }{ dx } \)+Py=Q என்ற வடிவில் உள்ளது.
இங்கு P=sec²x, Q=tanxsec²x
\(\int { P } dx=\int { sec^{ 2 }x } dx=tanx\)
I.F=\(e^{ \int { p.dx } }=e^{ tanx }\)
தேவையான தீர்வு: y(I.F)=\(\int { Q(I.F)dx } +c\)
yetanx=\(\int { \tan x \sec^{ 2 } } xe^{ \tan x }dx+c\)
tanx-=t என்க.
sec²xdx=dt
∴ ye^tanx=\(\int { te^{ t } } dt+c\)
=\(\\ \int { td } (e^{ t })+c\)
=te^t-e^t+c
=tanxe^tanx-e^tanx+c
ye^tanx=e^tanx(tanx-1)+c

y²dx+(xy+x²)dy=0
(xy+x²)dy=-y²dx
\(\frac { dy }{ dx } =\frac { -{ y }^{ 2 } }{ xy+{ x }^{ 2 } } \)            .....(1)
இது ஒரே படியுள்ள x, y- இல் அமைந்த சமபடித்தான வகைக்கெழு சமன்பாடாகும்.
y=vx மற்றும் \(\frac { dy }{ dx } =v+x\frac { dv }{ dx } \) என பிரதியிட,
∴ (1) ஆனது
\(v+x\frac { dv }{ dx } =\frac { -{ v }^{ 2 }{ x }^{ 2 } }{ xvx+{ x }^{ 2 } } \)
=\(\frac { -{ v }^{ 2 } }{ v+1 } \)
\(x\frac { dv }{ dx } =\frac { -v^{ 2 } }{ v+1 } -v\)
=\(\frac { -{ v }^{ 2 }-{ v }^{ 2 }-v }{ v+1 } \)
\(x\frac { dv }{ dx } =\frac { -(v+2v^{ 2 }) }{ 1+v } \)
மாறிகளை பிரிக்கக் கிடைப்பது,
\(\frac { 1+v }{ v(1+2v) } dv=\frac { -dx }{ x } \)
\(\frac { (1+2v)-v }{ v(1+2v)dv } dv=\frac { -dx }{ x } \)  (∵ 1+v=1+2v-v)
\(\frac { 1 }{ v } -\frac { 1 }{ 1+2v } dv=\frac { -dx }{ x } \)
இருபுறமும் தொகையிட, நாம் பெறுவது
\(\int { \left( \frac { 1 }{ v } -\frac { 1 }{ 1+2v } \right) dv } =-\int { \frac { dx }{ x } } \)
logv-\(\frac{1}{2}\)log(1+2v)=-logx+logc
\(log\left( \frac { v }{ \sqrt { 1+2v } } \right) =log\left( \frac { c }{ x } \right) \)
\(\frac { v }{ \sqrt { 1+2v } } =\frac { c }{ x } \)
v=\(\frac { y }{ x } \) என பிரதியிட,
\(\frac { \frac { y }{ x } }{ \sqrt { 1+\frac { 2y }{ x } } } =\frac { c }{ x } \)
\(\frac { y\sqrt { x } }{ \sqrt { x+2y } } =c\)
\(\frac { { y }^{ 2 }x }{ x+2y } = k \)
இங்கு k=c²

y²=27x³ என்பது ஓர் அரை முப்படிப் பரவளையம் 
பரப்பு \(=\int_c^d x d y \)
\(x^3  =\frac{y^2}{27} \Rightarrow x=\frac{y^{2 / 3}}{3}\)
பரப்பு \(=\frac{1}{3} \int_1^2 y^{2 / 3} d y=\frac{1}{3}\left[\frac{y^{5 / 3}}{5 / 3}\right]_1^2\)
\(=\frac{1}{5}\left[2^{5 / 3}-1\right] \)
\(\frac { 1 }{ 5 } \left[ (2)^{ \frac { 5 }{ 3 } }-1 \right] \) ச.அலகுகள்

\(x=\sqrt{100-p} \quad x=\frac{p}{2}-10 \)
\(x^2=100-\mathrm{p} \quad x+10=\frac{p}{2} \)
\(\mathrm{p}_{\mathrm{d}}=100-x^2 \quad \mathrm{p}_{\mathrm{s}}=2 x+20\)
சமநிலையில் \(\mathrm{p}_{\mathrm{d}}=\mathrm{p}_{\mathrm{s}}\)
\(100-x^2 =2 x+20 \)
\(x^2+2 x-80 =0 \)
(x+10)(x-8)  =0
[ x  என்பது குறை எண்ணாக இருக்க முடியாது]
\(\therefore\) x ன் ஒரே மதிப்பு =8
\(\mathrm{p}=100-64=36\)
நுகர்வோர் உபரி
\(\mathrm{CS}=\int_0^{x_0} f(x) d x-p_0 x_0\)
\(=\int_0^8\left(100-x^2\right) d x-288 \) 
\( =\left[100 x-\frac{x^3}{3}\right]_0^8-288 \)
\( =800-\frac{512}{3}-288 \)
\(=512-\frac{512}{3}=\frac{1024}{3}\)அலகுகள் 
உற்பத்தியாளர் உபரி
\(\text { PS } =p_0 x_0-\int_0^{x_2} g(x) d x \)
\(=288-\int_0^8(2 x+20) d x \)
\( =288-\left[\frac{2 x^2}{2}+20 x\right]_0^8 \)
 =288-(64+160)=288-224
=64 அலகுகள் 
C.S=\(\frac { 1024 }{ 3 } \) அலகுகள், P.S = 64 அலகுகள்

I = \(\int _{ 0 }^{ 1 }{ \frac { x }{ { \left( 1-x \right) }^{ \frac { 3 }{ 4 } } } } dx\) \(=\int _{ 1 }^{ 0 }{ \left( { \left( 1-x \right) }^{ 1-\frac { 3 }{ 4 } }-{ \left( 1-x \right) }^{ -\frac { 3 }{ 4 } } \right) } dx\)
\(\left[ \because \int _{ a }^{ b }{ f\left( x \right) } dx=-\int _{ b }^{ a }{ f\left( x \right) dx } \right] \)
\(=\int _{ 1 }^{ 0 }{ \left( \frac { 1-x }{ { \left( 1-x \right) }^{ \frac { 3 }{ 4 } } } -\frac { 1 }{ { \left( 1-x \right) }^{ \frac { 3 }{ 4 } } } \right) } dx\)
\(=\int _{ 1 }^{ 0 }{ \left( { \left( 1-x \right) }^{ 1-\frac { 3 }{ 4 } }-{ \left( 1-x \right) }^{ -\frac { 3 }{ 4 } } \right) } dx\)
\(=\int _{ 1 }^{ 0 }{ { \left( 1-x \right) }^{ \frac { 1 }{ 4 } }dx-\int _{ 1 }^{ 0 }{ { \left( 1-x \right) }^{ -\frac { 3 }{ 4 } } } } dx\)
\(={ \left[ \frac { { \left( 1-x \right) }^{ \frac { 1 }{ 4 } +1 } }{ -1\left( \frac { 1 }{ 4 } +1 \right) } -\frac { { \left( 1-x \right) }^{ -\frac { 3 }{ 4 } +1 } }{ -1\left( -\frac { 3 }{ 4 } +1 \right) } \right] }_{ 1 }^{ 0 }\)
\(={ \left[ -\frac { { { \left( 1-x \right) }^{ \frac { 5 }{ 4 } } } }{ \frac { 5 }{ 4 } } +\frac { { \left( 1-x \right) }^{ \frac { 1 }{ 4 } } }{ \frac { 1 }{ 4 } } \right] }_{ 1 }^{ 0 }\)
\(={ \left[ -\frac { 4 }{ 5 } { \left( 1-x \right) }^{ \frac { 5 }{ 4 } }+4{ \left( 1-x \right) }^{ \frac { 1 }{ 4 } } \right] }_{ 1 }^{ 0 }\)
\(=-\frac { 4 }{ 5 } \left( { 1 }^{ \frac { 5 }{ 4 } } \right) +4\left( { 1 }^{ \frac { 1 }{ 4 } } \right) -0\)
\(=-\frac { 4 }{ 5 } (1)+4(1)=-\frac { 4 }{ 5 } +4\)
\(=4(\frac {4 }{ 5 }) =\frac { 16 }{ 5 } \)

\(\int _{ 0 }^{ 1 }{ [e^{ alogx }+{ e }^{ xloga }]dx } \)=\(\int _{ 0 }^{ 1 }{ ({ x }^{ a }+a^{ x }) } dx\)
=\(\left[ \frac { { x }^{ a+1 } }{ a+1 } +\frac { { a }^{ x } }{ loga } \right] _{ 0 }^{ 1 }\)
=\(\left( \frac { 1 }{ a+1 } +\frac { a }{ loga } \right) -\left( 0+\frac { 1 }{ loga } \right) \)
=\(\frac { 1 }{ a+1 } +\frac { a }{ loga } -\frac { 1 }{ loga } \)
=\(\frac { 1 }{ a+1 } +\frac { (a-1) }{ loga } \)

x ,y ,z  என்பன முறையே A ,B மற்றும் C  ஆகிய பொருட்களின் ஓரலகிற்கான தரகுத் தொகை என்க .
90x + 100y + 20z = 800
130x + 50y+ 40z = 900
60x + 100y + 30z = 850
அனைத்து சமன்பாடுகளையும் 10-ஆல் வகுக்க 
9x + 10y + 2z = 80
13x + 5y+ 4z = 90
6x + 10y + 3z = 85
\(\Delta =\begin{vmatrix} 9 & 10 & 2 \\ 13 & 5 & 4 \\ 6 & 10 & 3 \end{vmatrix}\)
= 9 (15 - 40) - 10 (39 - 24) + 2 (130 - 30)
= 9(- 25) -10(15) + 2(100)
= - 225 - 150 + 200
= -175\(\neq \)0
∴ கிரேமரின் விதியைப் பயன்படுத்தலாம் .
\({ \Delta }_{ x }=\begin{vmatrix} 80 & 10 & 2 \\ 90 & 5 & 4 \\ 85 & 10 & 3 \end{vmatrix}\)
= 80 (15 - 40) -10 (270 - 340) + 2 (900 - 425)
= -2000 + 700 + 950
=-350
\({ \Delta }_{ y }=\begin{vmatrix} 9 & 80 & 2 \\ 13 & 90 & 4 \\ 6 & 85 & 3 \end{vmatrix}\)
= 9(270 - 340) - 80(39 - 24) + 2(1105 - 540)
= - 630 - 1200 + 1130
=-700
\({ \Delta }_{ z }=\begin{vmatrix} 9 & 10 & 80 \\ 13 & 5 & 90 \\ 6 & 10 & 85 \end{vmatrix}\)
= 9(425 - 900) - 10(1105 - 540) + 80(130 - 30)
= - 4275 - 5650 + 8000 = -1925
\(x=\frac { { \Delta }_{ x } }{ { \Delta } } =\frac { -350 }{ -175 } =2\\ y=\frac { { \Delta }_{ y } }{ { \Delta } } =\frac { -700 }{ -175 } =4\\ z=\frac { { \Delta }_{ z } }{ { \Delta } } =\frac { -1925 }{ -175 } =11\\ \)
' A ' வின் ஓரலகிற்கான தரகுத் தொகை  Rs. 2
' B  ' வின் ஓரலகிற்கான தரகுத் தொகை  Rs. 4
' C ' வின்  ஓரலகிற்கான தரகுத் தொகை  Rs.11

C₁ வகை வாகனங்களின் எண்ணிக்கை x என்க.
C₂ வகை வாகனங்களின் எண்ணிக்கை y என்க.
C₃ வகை வாகனங்களின் எண்ணிக்கை z என்க.
∴ 3x+2y+4z=28
x+y+2z=13
2x+2y+z=14
இங்கு Δ=\(\left| \begin{matrix} 3 & 2 & 4 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{matrix} \right| \)=-3≠0
Δ_x=\(\left| \begin{matrix} 8 & 2 & 4 \\ 13 & 1 & 2 \\ 14 & 2 & 1 \end{matrix} \right| \)=-6
Δ_y=\(\left| \begin{matrix} 3 & 28 & 4 \\ 1 & 13 & 2 \\ 2 & 14 & 1 \end{matrix} \right| \)=-9
Δ_z=\(\left| \begin{matrix} 3 & 2 & 28 \\ 1 & 1 & 13 \\ 2 & 2 & 14 \end{matrix} \right| \)=-12
∴ கிரேமரின் விதிப்படி
x=\(\frac { \triangle x }{ \triangle } =\frac { -6 }{ -3 } \)=2
y=\(\frac { \triangle y }{ \triangle } =\frac { -9 }{ -3 } \)=3
z=\(\frac { \triangle z }{ \triangle } =\frac { -12 }{ -3 } \)=4
∴ உற்பத்தி செய்யப்படும் ஒவ்வொரு வகையான வாகனங்களின் எண்ணிக்கை முறையே 2, 3 மற்றும் 4 ஆகும்.

சராசரி = np = 4, மாறுபாடு = npq = 4/3
\(\Rightarrow 4 q =\frac{4}{3} \Rightarrow q=\frac{1}{3} \)
\(p=1-q =1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3} \)
\(n p =4 \Rightarrow n\left(\frac{2}{3}\right)=4 \Rightarrow n=6 \)
\(P(X \geq 5) =P(X=5)+P(X=6) \)
\( =6 C_5\left(\frac{2}{3}\right)^5\left(\frac{1}{3}\right)+6 C_6\left(\frac{2}{3}\right)^6 \)
\( =\frac{2^5}{3^6}[6+2]=4\left(\frac{2}{3}\right)^6 \)

\(\mathrm{y} =\mathrm{c} x+\mathrm{c}-\mathrm{c}^3 \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\mathrm{c} \)
\(\therefore \mathrm{y} =x \frac{d y}{d x}+\frac{d y}{d x}-\left(\frac{d y}{d x}\right)^3 \)

கொடுக்கப்பட்டது : \(\int { \frac { dp }{ p } } =k\int { \frac { dx }{ x } } \) ...(1) 
நமக்கு தெரிந்தது, \(-\int { \frac { dp }{ p } } =\frac { 1 }{ { \eta }_{ d } } \int { \frac { dx }{ x } } \) ...(2)
(1) மற்றும் (2) ஐ ஒப்பிட k = \(\frac { -1 }{ { \eta }_{ d } } \)

\(\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 3 } }{ \tan x } dx = [ \log \sec x ]^ \frac { \pi }{ 3 }_ 0\)
= log sec π/3 - log sec 0
= log2 - log1 = log 2

Δ =\(\left| \begin{matrix} { a }_{ 1 } & { b }_{ 1 } \\ { a }_{ 2 } & { b }_{ 2 } \end{matrix} \right| \) = Δ₁