X என்ற சமவாய்ப்பு மாறி ஈருறுப்புப் பரவலைப் பின்பற்றி அதனுடைய பண்பளவைகளான n மற்றும் p ஆகியவை குறையற்ற மதிப்பினைக் கொண்டிருப்பின், அதன் நிகழ்தகவு நிறை சார்பு 
P (X = x) = p(x)

\(\mathrm{n} =1000, \bar{x}=120 \mathrm{lbs} \)
\(\hat{\sigma} =\mathrm{s}=30 \mathrm{lbs}, \varphi=119 \mathrm{lbs} \)
\(\mathrm{S} . \mathrm{E} =\frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{n}}=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{30}{\sqrt{1000}} =\frac{30}{31.623}=0.9487 \)

அடிப்படை கணிதத்தில்‌, ஒரு மாறி என்பது ஒரு தெரியாத எண்ணை பிரதிபலிக்கும்‌ ஒரு அகரவரிசை எழுத்தாகும்‌, சமவாய்ப்பு மாறி என்பதும்‌ ஒரு மாறி, அது மேலும்‌ சமவாய்ப்பிற்கு உட்பட்டது என்பது அதன்‌ பொருள்‌, அதாவது இது வெவ்வேறான மதிப்புகளைப்‌ பெற்றிருக்கும்‌.

சாத்தியமான மதிப்புகளால்‌ வரையறுக்கப்பட்ட எண்களை ஏற்றுக்கொள்ளக்‌ கூடிய ஒரு மாறி அல்லது ஒரு எண்ணத்தக்க மெய்யெண்களின்‌ முடிவிலாத்‌ தொடரானது தனித்த சமவாய்ப்பு மாறி என வரையறுக்கப்படுகிறது.

\(\left(2-y^{\prime \prime}\right)^2=y^{\prime\prime 2}+2 y^{\prime} \)
\( 4-4 y^{\prime \prime}+y^{\prime\prime 2}=y^{\prime\prime 2}+2 y^{\prime} \)
\( 4 y^{''}+2 y^{\prime}-4=0 \)
வரிசை =2 ; படி =1

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \boldsymbol{x} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline \mathbf{u}_x & 560 & 556 & 520 & - & 385 \\ \hline \end{array}\)
நான்கு மதிப்புகள் மட்டும் கொடுக்கப்பட்டுள்ளதால் 
\( \Delta^4 \mathrm{u}_0=0 \)
\((\mathrm{E}-1)^4 \mathrm{u}_0=0 \)
\(\left(\mathrm{E}^4-4 \mathrm{E}^3+6 \mathrm{E}^2-4 \mathrm{E}+1\right) \mathrm{u}_0=0 \)
\( \mathrm{u}_4-4 \mathrm{u}_3+6 \mathrm{u}_2-4 \mathrm{u}_1+\mathrm{u}_0=0 \)
\( 385-4 \mathrm{u}_3+6(520)-4(556)+560=0 \)
\( 385-4 \mathrm{u}_3+3120-2224+560=0 \)
\( 4 \mathrm{u}_3=1841 \Rightarrow \mathrm{u}_3=460.25 \)

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \boldsymbol{x} & \boldsymbol{y} & \Delta \boldsymbol{y} & \Delta^2 \boldsymbol{y} & \Delta^3 \boldsymbol{y} \\ \hline-1 & 202 & & & \\ \hline & & -27 & & \\ \hline 0 & 175 & & -66 & \\ \hline & & -93 & & 132 \\ \hline 1 & 82 & & 66 & \\ \hline & & -27 & & \\ \hline 2 & 55 & & & \\ \hline \end{array}\)
x₀ =-1, h=1,x₀ + nh = 0.5
n  = 1.5
\(\mathrm{y}=y_0+\frac{n}{1 !} \Delta y_0+\frac{n(\mathrm{n}-1)}{2 !} \Delta^2 y_0 +\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}-1)(\mathrm{n}-2)}{3 !} \Delta^3 y_0 \)
\(=202+\frac{1.5}{1 !}(-27)+\frac{(1.5)(0.5)}{2}(-66) +\frac{(1.5)(0.5)(-0.5)}{6} 132 \)
\(\mathrm{y}=202-40.5-24.75-8.25=128.5 \)

(D²-3D-4)=0
துணைச் சமன்பாடு :
m²-3m-4
⇒ (m-4)(m+1)=0
m=-1,4
மூலங்கள் மெய் மற்றும் வெவ்வேறானவை.
∴ நிரப்புச் சார்பு: CF=Ae^-x+Be^4x
பொதுத் தீர்வு : y=Ae^-x+Be^4x

\( \mathrm{p}=\mathrm{e}^{-x}, \mathrm{p}=0.5=\frac{1}{2} \)
\( \frac{1}{2}=\mathrm{e}^{-x} \Rightarrow \mathrm{e}^x=2 \)
\( x=\log _\epsilon 2\)
நுகர்வோர் உபரி 
\(C S  =\int_0^{x_0} f(x) d x-x_0 p_0 \)
\(=\int_0^{\log _e 2} e^{-x} d x-\frac{1}{2} \log _e 2\)
\( =-\left[e^{-x}\right]_0^{\log _ \in 2}-\frac{1}{2} \log _e 2 \)
\( =-\left[e^{-\log _e 2}-e^0\right]-\frac{1}{2} \log _e 2 \)
\(=-\left(\frac{1}{2}-1\right)-\frac{1}{2} \log _e 2=\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \log _e 2 \)
\(=\frac{1}{2}\left[1-\log _e 2\right] \)
C.S.=\(\frac{1}{2}\)[1-log_e2] அலகுகள்

x-2y-12=0
x=2y+12


தேவைப்படும் பரப்பு
=\(\int _{ 2 }^{ 5 }{ xdy } \)
=\(\int _{ 2 }^{ 5 }{ \left[ 2y+12 \right] } dy=\left[ y^{ 2 }+12y \right] _{ 2 }^{ 5 }\)
=(25+60)-(4+24)=57 சதுர அலகுகள்.

\(\int { \frac { dx }{ \sqrt { { x }^{ 2 }+6x+13 } } } \)
\(=\int { \frac { dx }{ \sqrt { { \left( x+3 \right) }^{ 2 }+13-9 } } } =\int { \frac { dx }{ \sqrt { { \left( x+3 \right) }^{ 2 }+{ { 2 }^{ 2 } } } } } \)
\(\left[ \because \int { \frac { dx }{ \sqrt { { x }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } } } =\log { \left| x+\sqrt { { x }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } } \right| } +c } \right] \)
\(=\log { \left| x+3+\sqrt { { x }^{ 2 }+6x+13 } \right| } +c\)

\(\int { \frac { 2 }{ 3x+5 } dx } =2\int { \frac { 1 }{ 3x+5 }} \)dx
\(=\frac { { 2 } }{ 3 } \log\left| 3x+5 \right| +c\)

A =\(\left( \begin{matrix} 5 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & -4 \\ -2 & -4 & 8 \end{matrix} \right) \)என்க.
A-ன் வரிசை 3 x 3 ∴ ρ(A) ≤3
வரிசை மூன்று உடைய சிற்றணிக்கோவையை கருத, நாம் பெறுவது \(\left| \begin{matrix} 5 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & -4 \\ -2 & -4 & 8 \end{matrix} \right| \)=0
∴ மூன்றாம் வரிசைக் கொண்ட சிற்றணிக்கோவை பூச்சியமாவதால், ρ(A)≠ 3 ஆகும்.
இரண்டாம் வரிசை கொண்ட ஒரு சிற்றணிக்கோவையை கருத, நாம் பெறுவது \(\left| \begin{matrix} 5 & 3 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right| \)=7≠ 0 ஆகும்.
⇒ பூச்சியமற்ற சிற்றணிக்கோவையின் வரிசை 2 ஆகும்.  ∴ ρ(A) =3

A=\(\left( \begin{matrix} 1 & 5 \\ 3 & 9 \end{matrix} \right) \)என்க
A-ன் வரிசை 2 x 2 ∴ ρ(A) ≤2
இரண்டாம் வரிசை சிற்றணிக்கோவையை கருத, நாம் பெறுவது
\(\left| \begin{matrix} 1 & 5 \\ 3 & 9 \end{matrix} \right| \)=-6≠0 ஆகும்.
⇒ பூச்சியமற்ற சிற்றணிக்கோவையின் வரிசை 2 ஆகும்.  ∴ ρ(A) ≤2

x₁, x₂, ...x_n என்ற எண்ணத்தக்க மெய்‌ மதிப்புகளை உடைய தனித்த சமவாய்ப்பு மாறி X -ன்‌ நிகழ்தகவுகள்‌ p(x₁), p(x₂), p(x₃) ... P(x_n)..., எனில்‌, இதன்‌ தனித்த திரள்‌ பரவல்‌ சார்பு அல்லது பரவல்‌ சார்பு பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது.
அனைத்து x ∈ R -க்கு, \( F_x(x)=\mathrm{P}(\mathrm{X} \leq x), \)
அதாவது, \(F_x(x)=\sum_{x<x_i} p\left(x_i\right)\) தொடர்ச்சியான சமவாய்ப்பு மாறி X இன்‌ நிகழ்தகவு அடர்த்திச்‌ சார்பு f_x(x)எனில்‌, சார்பு F_x(x) பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது,
\(F_X(x)=\mathrm{P}[\mathrm{X} \leq x]=\int_{-\infty}^x f(t) d t,-\infty<x<\infty\)
இது தொடர்ச்சியான சமவாய்ப்பு மாறி X - இன்‌ பரவல்‌ சார்பு அல்லது (சில நேரங்கள்‌) திரள்‌ பரவல்‌ சார்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது, 

கொடுக்கப்பட்ட நிகழ்தகவு பரவல் p(x) இன் மதிப்புகளிலிருந்து நாம் பெறுவது 
\(\mathrm{F}(3) =P(X \leq 3)=\mathrm{p}(3)=0.3 \)
\(\mathrm{F}(5) =P(X \leq 5)=\mathrm{p}(3)+\mathrm{p}(5) \)
\( =0.3+0.2=0.5 \)
\(\mathrm{F}(8) =P(X \leq 8)=\mathrm{p}(3)+\mathrm{p}(5)+\mathrm{p}(8)\)
\(=\mathrm{F}(5)+\mathrm{p}(8)=0.5+0.3=0.8 =0.8+0.2=1 \)
\(\mathrm{F}(10) =\mathrm{P}(X \leq 10)=\mathrm{F}(8)+\mathrm{p}(10) \)
\(\mathrm{F}_x(x) =\left\{\begin{aligned} 0, & x<3 \\ 0.3, & 3 \leq x<5 \\ 0.5, & 5 \leq x<8 \\ 0.8, & 8 \leq x<10 \\ 1, & x \geq 10 \end{aligned}\right. \)

பட்டம் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு p= 0.4
∴ q = 1– p
= 1 – 0.4
= 0.6
(i) ஒருவர் மட்டும் பட்டதாரியாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு =P(X = 1) = 5C₁(0.4)(0.6)⁴
=0.2592
(ii) குறைந்தபட்சம் ஒருவர் பட்டதாரியாக இருக்க நிகழ்தகவு = P(x ≥ 1)
= 1- P(x=0)
= 1- 5C₀(P)⁰(q)^5-0
= 1- 5C₀(0.4)⁰(0.6)⁵
= 1 – 0.0777
= 0.9222

கொடுக்கப்பட்ட 2 இலக்க எண்களைக் கொண்ட சமவாய்ப்பு அட்டவணையிலிருந்து 1550 முதல் 8000 வரையிலான 4 இலக்கம் கொண்ட 10 மாதிரிகளை தேர்ந்தெடுக்க முதலில் இரண்டு இலக்க எண்களை மற்ற இரண்டிலக்க எண்களும் இணைந்து 4-இலக்க எண்களாக மாற்ற வேண்டும். அதாவது, அட்டவணையின் 5-வது மற்றும் 6-வது நிரல்களை நிழலிட்டவாறு இணைத்து முதல் ஐந்து மாதிரியையும் 8வது மற்றும் 9வது நிரல்களை இணைத்து அடுத்த ஐந்து மாதிரிகளையும் கொண்டு தேவையான 10 மாதிரிகளைத் தேர்ந்தெடுக்கலாம். கீழ்கண்ட அட்டவணையில் இரு நிரல்களை இணைத்து தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட சமவாய்ப்பு மாறிகளைக் காணலாம்.

எனவே, தேவையான 10 மாதிரிகளை கீழ்க்கண்டவாறு எழுதலாம்.

5901	4310	5032	5194	1899
7259	7435	4362	1758	5308

f(x) -ல் நான்கு மதிப்புகள் கொடுக்கப்பட்டிருப்பதால், f(x) ஒரு மூன்றாம்படி பல்லுறுப்புக்கோவை என எடுத்துக் கொள்வோம். எனவே நான்காம் நிலை வேறுபாடுகள் பூச்சியமாகும்.
(ie) Δ⁴y₀=0, ∴ (E-1)⁴y₀=0
(E₄-4E³+6E²-4E+1)y₀=0
E⁴y₀-4E³y₀+6E²y₀-4Ey₀+y₀=0
y₄-4y₃+6y₂-4y₁+y₀=0
67.4-4y₃+6(54.1)-4(49.2)+45=0
240.2=4y₃ 
∴ y₃=60.05

f(x) -ல் ஐந்து மதிப்புகள் கொடுக்கப்பட்டிருந்தால், f(x) ஒரு நான்காம்படி பல்லுறுப்புக்கோவை என எடுத்துக் கொள்வோம். 
\( \Delta^5 \mathrm{y}_0=0 \Rightarrow(\mathrm{E}-1)^5 \mathrm{y}_0=0 \)
\(\left(\mathrm{E}^5-5 \mathrm{E}^4+10 \mathrm{E}^3-10 \mathrm{E}^2+5 \mathrm{E}-1\right) \mathrm{y}_0= 0 \)
\( \mathrm{E}^5 \mathrm{y}_0-5 \mathrm{E}^4 \mathrm{y}_0+10 \mathrm{E}^3 \mathrm{y}_0-10 \mathrm{E}^2 \mathrm{y}_0+5 \mathrm{Ey}_0-\mathrm{y}_0=0 \)
\( \mathrm{y}_5-5 \mathrm{y}_4+10 \mathrm{y}_3-10 \mathrm{y}_2+5 \mathrm{y}_1-\mathrm{y}_0=0 \)
\( 501-5(467)+10 \mathrm{y}_3-10(421)+5(391)-363=0 \)
\( 501-2335+10 \mathrm{y}_3-4210+1955-363=0 \)
\( 10 \mathrm{y}_3=4452 \Rightarrow y_3=445.2 \)
= 445.2 இலட்சங்கள்

\( \mathrm{y} x^2 \mathrm{~d} x+\mathrm{e}^{-x} \mathrm{dy}=0 \)
\( \mathrm{e}^{-x} \mathrm{dy}=-\mathrm{y} x^2 \mathrm{~d} x \)
\( \frac{d y}{y}=-\frac{x^2 d x}{e^{-x}} \)
\(-\int \frac{d y}{y}=\int e^{+x} x^2 d x \)
\( \int e^x x^2 d x=-\int \frac{d y}{y} \)
\( \mathrm{u}=x^2 \quad \int d v=\int e^x d x \)
\( u^{\prime}=2 x \quad \mathrm{v}=\mathrm{e}^x \)
\(u^{\prime \prime}=2 \quad \mathrm{v}_1=\mathrm{e}^x \)
\( \mathrm{v}_2=\mathrm{e}^x \)
\( \int u d v=\mathrm{uv}-u^{\prime} v_1+u^{\prime \prime} v_2 \)
\( \int e^x x^2 d x=x^2 \mathrm{e}^x-2 x e^x+2 \mathrm{e}^x\)
(1) -ம் பிரதியிட
\(x^2 \mathrm{e}^x-2 x \mathrm{e}^x+2 \mathrm{e}^x =-\log \mathrm{y}+\mathrm{c} \)
\(\mathrm{e}^x\left(x^2-2 x+2\right)+\log \mathrm{y} =\mathrm{c} .\)
e^x(x²-2x+2)+log y=c

பரவளையத் தொகுப்பின் சமன்பாடு 
\((\mathrm{y}-\mathrm{k})^2  =4 \mathrm{a}(x-h)\)
\(2(\mathrm{y}-\mathrm{k}) \frac{d y}{d x} =4 \mathrm{a} \)
\((\mathrm{y}-\mathrm{k}) \frac{d y}{d x}=2 \mathrm{a} \)
\(\mathrm{y}-\mathrm{k}  =\frac{2 a}{\frac{d y}{d x}}\)
சமன்பாடு (1) -ல், x -ஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்த
\((y-k) \frac{d^2 y}{d x^2}+\left(\frac{d y}{d x}\right)^2 =0 \)
\(\left(\frac{2 a}{d y}\right)\left(\frac{d^2 y}{d x}\right)+\left(\frac{d y}{d x}\right)^2  =0 \)
\(2 a \frac{d^2 y}{d x^2}+\left(\frac{d y}{d x}\right)^3  =0\)
2a\(\frac { { d }^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } +\left( \frac { dy }{ dx } \right) ^{ 3 }\)=0

\( \mathrm{MR}=\frac{2}{x+3}-\frac{2 x}{(\mathrm{x}+3)^2}+5\)
\( \mathrm{R}=\int\left(\frac{2}{x+3}-\frac{2 x}{(x+3)^2}+5\right) d x \)
\( =2 \log (x+3)-2 \int \frac{x d x}{(x+3)^2}+5 x+k \)
\( \frac{x}{(x+3)^2}=\frac{x+3-3}{(x+3)^2} \)
\( =\frac{x+3}{(x+3)^2}-\frac{3}{(x+3)^2} \)
\(\mathrm{R}=2 \log |x+3|-2 \int \frac{x+3}{(x+3)^2} d x +6 \int \frac{d x}{(x+3)^2}+5 x+k \)
\(\mathrm{R}=2 \log |x+3|-2 \int \frac{d x}{(x+3)} +6 \int(x+3)^{-2} d x+5 x+k \)
\( =2 \log |x+3|-2 \log |x+3| +6 \frac{(x+3)^{-1}}{-1}+5 x+k \)
\(\mathrm{R}=\frac{-6}{(x+3)}+5 x+k \)
 x=0, R=0 எனில், k=2 
\( \mathrm{R}=\frac{-6}{x+3}+5 x+2 \)
\(=\frac{-6+2 x+6}{x+3}+5 x\)
\(R =\frac { 2 }{ x+3 } +5\)
தேவைச் சார்பு P= R/x  =\(\frac { 2 }{ x+3 } +5\)  எனவே நிறுவப்பட்டது.

y=x² என்பது மேல் நோக்கித் திறந்த பரவளையம். இது y - அச்சைப் பொறுத்து சமச்சீரானது.
பரப்பு \(=2 \int_c^4 x d y \)
\(x^2=\mathrm{y} \Rightarrow x=\sqrt{y} \)
பரப்பு \(=2 \int_0^4 y^{1 / 2} d y\)
\(=2\left[\frac{y^{3 / 2}}{3 / 2}\right]_0^4 \)
\( =\frac{4}{3}\left[4^{3 / 2}-0\right] \)
\(=\frac{4}{3}(8)=\frac{32}{3}\)
\(=\frac { 32 }{ 3 } \) ச.அலகுகள்

\(\int { \frac { dx }{ x+\sqrt { { x }^{ 2 }+1 } } } \)
\(\int { \frac { 1 }{ x+\sqrt { { x }^{ 2 }-1 } } } \times \frac { x-\sqrt { { x }^{ 2 }-1 } }{ x-\sqrt { { x }^{ 2 }-1 } } dx\)
\(=\int { \frac { \left( x-\sqrt { { x }^{ 2 }-1 } \right) dx }{ { x }^{ 2 }-\left( { x }^{ 2 }-1 \right) } } \)
\(\left[ \because \left( a+b \right) (a-b)={ a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 } \right] \)
\(=\int { \frac { \left( x-\sqrt { { x }^{ 2 }-1 } \right) dx }{ { x }^{ 2 }-{ x }^{ 2 }-1 } } \)
\(\int { \left( x-\sqrt { { x }^{ 2 }-1 } \right) } dx\)
\(=\int { x\quad dx } -\int { \sqrt { { x }^{ 2 }-1 } dx } \)
\(=\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } -\left[ \frac { x }{ 2 } \sqrt { { x }^{ 2 }-1 } -\frac { 1 }{ 2 } \log { \left| x+\sqrt { { x }^{ 2 }- } \right| } +c \right] \)
\(\left[ \because \int { \sqrt { { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } dx=\frac { x }{ 2 } } \sqrt { { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } -\frac { { a }^{ 2 } }{ 2 } \log { \left| x+\sqrt { { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } \right| +c } \right] \)
= \(\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } -\frac { x }{ 2 } \sqrt { { x }^{ 2 }-1 } +\frac { 1 }{ 2 } log\left| x+\sqrt { { x }^{ 2 }-1 } \right| +c\)

\(\int \left( \frac { 1 }{ \sin ^{ 2 } x\cos ^{ 2 } x } \right) dx=\int \frac { \sin ^{ 2 } x+\cos ^{ 2 } x }{ \sin ^{ 2 } x\cos ^{ 2 } x } d\)
\(=\int \left( \frac { \sin ^{ 2 } x }{ \sin ^{ 2 } x\cos ^{ 2 } x } +\frac { \cos ^{ 2 } x }{ \sin ^{ 2 } x\cos ^{ 2 } x } \right) dx\)
\(=\int \left( \sec ^{ 2 } x+{ cosec }^{ 2 }x \right) dx\)
\(=\tan x-\cot x+c\)

x ,y என்பன முறையே இரண்டு கணக்குகளிலும் முதலீடு செய்யப்பட்ட தொகை என்க.
x + y = 8600   ..(1)
\(4\cfrac { 3 }{ 4 } \times \cfrac { x }{ 100 } +6\cfrac { 1 }{ 2 } \times \cfrac { y }{ 100 } =431.25\)
\(\Rightarrow \cfrac { 19x }{ 400 } +\cfrac { 13y }{ 3200 } =431.25\)
\(\Rightarrow \cfrac { 19x+26y }{ 400 } =431.25\)
19x + 26y = 172500
x + y = 8600
19x + 26y = 172500   ...(2)
\(\Delta =\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 19 & 26 \end{matrix} \right| =1(26)-1(19)\)
= 26-19 =7 
\({ \Delta }x=\left| \begin{matrix} 8600 & 1 \\ 172500 & 26 \end{matrix} \right| =8600(26)-1(172500)\)
= 223600 - 172500 = 51100
\(\Delta y=\left| \begin{matrix} 1 & 8600 \\ 19 & 172500 \end{matrix} \right| =1(172500)-19(8600)\)
= 172500 - 163400 = 9100
\(x=\cfrac { \Delta x }{ \Delta } -\cfrac { 51100 }{ 7 } =7300\)
\(y=\cfrac { \Delta y }{ \Delta } =\cfrac { 9100 }{ 7 } =1300\)
\(\therefore\)  4\(\frac{3}{4}\)% -ல் முதலீடு செய்யப்பட்ட தொகை ரூ.7,300
6\(\frac{1}{2}\)% -ல் முதலீடு செய்யப்பட்ட தொகை ரூ.1300

கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பிற்கான அணி சமன்பாடு
\(\left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 5 \\ 8 \end{matrix} \right) \)
A X =B

அணி A	விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி [A,B]	அடிப்படை உருமாற்றம்
\(\\ \left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) \)	\(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 5 \\ 2 & 1 & 8 \end{matrix} \right) \)
~\(\left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \)	~\(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 5 \\ 0 & -1 & -2 \end{matrix} \right) \)	R2 ⟶ R2 - 2R1
ρ(A)=2	ρ([A,B])=2

ஏறுபடிவ அணியில் உள்ள பூச்சியமற்ற நிரைகளின் எண்ணிக்கை 2 ஆகும்.
ρ(A)=ρ([A,B])=2=மதிப்பிடவேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை
∴ கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பு ஒருங்கமைவுடையது மேலும் ஒரே ஒரு தீர்வு உண்டு.
கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பினை \(\left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 5 \\ -2 \end{matrix} \right) \)என எழுதலாம்.
⇒ x + y = 5 .........(1)
y = 2
∴ (1) ⇒ x + 2 = 5
x = 3
தீர்வு: x = 3, x = 2

கூறு அளவு n =100
கூறு சராசரி \(\bar{x}=3.5\)
முழுமைத் தொகுதி சராசரி μ =4
முழுமைத் தொகுதி திட்டவிலக்கம் S.D \(\sigma=3\)
இன்மை கருதுகோள்: H₀:μ =4 (முழுமைத் தொகுதி சராசரியிலிருந்து எடுக்கப்பட்டது μ=4 )
மாற்று கருதுகோள்: \(\mathrm{H}_1: \mu \neq 4\) (இரு முனை)
மிகைகாண் நிலை \(\alpha=5 \%=0.05\)
கூறுபண்பளவை Z
\(\mathrm{Z} =\frac{\bar{x}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim \mathrm{N}(0,1) =\frac{3.5-4}{\frac{3}{\sqrt{100}}}\)
\(=\frac{-0.5}{0.3}=-1.667 \)
\(\therefore|Z|  =1.667\)
மறுக்கும் அளவு 5 % மிகைகாண் நிலை 
\(Z_{\alpha / 2}  =1.96 \)
|Z| =1.667<1.96
முடிவு: கணக்கிடப்பட்ட மதிப்பானது அட்டவணை மதிப்பை விட குறைவாக உள்ளது. அதாவது, Z < Z_α/2 .5% மிகைகாண் நிலையில் இன்மை கருதுகோள் H₀ ஏற்றுக் கொள்ளப்படுகிறது.

X - ன் சராசரி  \(=\mathrm{E}(\mathrm{X})=\int_{-\infty}^{\infty} x f(x) d x \)
\( =\int_1^{\infty} x\left(\frac{3}{x^4}\right) d x \)
\(=3 \int_1^{\infty} x^{-3} d x=3\left[\frac{x^{-2}}{-2}\right]_1^{\infty} \)
\(=\frac{-3}{2}\left[\frac{1}{x^2}\right]_1^{\infty}=\frac{-3}{2}\left[\frac{1}{\infty}-1\right]=\frac{3}{2} \)
\(\mathrm{E}(\mathrm{X})^2 =\int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) d x=\int_1^{\infty} x^2\left(\frac{3}{x^4}\right) d x \)
\( =3 \int_1^{\infty} \frac{1}{x^2} d x=3 \int_1^{\infty} x^{-2} d x \)
\( =3\left[\frac{x^{-1}}{-1}\right]_t^{\infty}=-3\left[\frac{1}{x}\right]_1^{\infty} \)
\(=-3[0-1]=3\)
X - ன் திட்டவிலக்கம் \(=E\left(X^2\right)-[E(X)]^2\)
\(=3-\left(\frac{3}{2}\right)^2=3-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}\)

நிரூபிக்க: \(\int_{-\infty}^\infty f(x) d x=1\)
அதாவது \(\int_{-3}^3 f(x) d x=1\)
\(\text { LHS }=  \int_{-3}^3 f(x) d x \)
\(= \int_{-3}^{-1} \frac{1}{16}(3+x)^2 d x+\int_{-1}^1 \frac{1}{16}\left(6-2 x^2\right) d x +\int_1^3 \frac{1}{16}(3-x)^2 d x \)
\(=  \frac{1}{16}\left[\frac{(3+x)^3}{3}\right]_{-3}^{-1}+\frac{1}{16}\left[6 x-\frac{2 x^3}{3}\right]_{-1}^1+ \frac{1}{16}\left[\frac{(3-x)^3}{-3}\right]_{3}^{1} \)
\(=  \frac{1}{48}\left[2^3-0\right]+\frac{1}{16}\left[6-\frac{2}{3}-\left(-6+\frac{2}{3}\right)\right] - \frac{1}{48}\left[0 -2^3\right] \)
\(=  \frac{8}{48}+\frac{1}{16}\left[6-\frac{2}{3}+6-\frac{2}{3}\right]+\frac{8}{48}\)
\( =\frac{16}{48}+\frac{1}{16}\left[12-\frac{4}{3}\right] \)
\( =\frac{1}{3}+\frac{1}{16}\left[\frac{32}{3}\right]=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=\frac{3}{3}=1=\text { RHS } \) எனவே நிறுவப்பட்டது 

மழை பொழிவதற்கான நிகழ்தகவு p =\(\frac { 9 }{ 30 } =\frac { 3 }{ 10 } \) மற்றும் q =1-p=\(\frac { 7 }{ 10 } \).
P(X = x)=\({ n }_{ C_{ x } }\)p^x q^n-x
ஒரு வாரத்திற்கு ஏழு நாள்கள் எனில் P(X = x) =\(\left( \begin{matrix} 7 \\ 3 \end{matrix} \right) \left( \frac { 3 }{ 10 } \right) ^{ x }\left( \frac { 7 }{ 10 } \right) ^{ 7-x }\)
குறைந்தபட்சம் இரண்டு நாள்கள் மழை பொழிவதற்கான நிகழ்தகவுகள்,
P(x≥2)=1-P(X>2)
=1-[p(X=0)+P(X=1)]
P(X=0)=\(\left( \begin{matrix} 7 \\ 0 \end{matrix} \right) \left( \frac { 3 }{ 10 } \right) ^{ 0 }\left( \frac { 7 }{ 10 } \right) ^{ 7-0 }\)
=0.0823
மற்றும் P(X=1)=\(\left( \begin{matrix} 7 \\ 1 \end{matrix} \right) \left( \frac { 3 }{ 10 } \right) \left( \frac { 7 }{ 10 } \right) ^{ 7-1 }\)
=0.2471
எனவே , தேவையான நிகழ்தகவு = 1– [P(x = 0) +P(x = 1)]
= 1– [0.082 + 0.247]
= 0.6706

x₀ = 15, x₁ = 25, x₂ = 30, x₃ = 35 x = 26
y₀= 36, y₁ = 40, y₂ = 45, y₃ = 48, 
∴ y = f(x) = \(\frac { (x-{ x }_{ 1 })(x-{ x }_{ 2 })(x-{ x }_{ 3 }) }{ ({ x }_{ 0 }-{ x }_{ 1 })({ x }_{ 0 }-{ x }_{ 2 })({ x }_{ 0 }-{ x }_{ 3 }) } \times { y }_{ 0 }+\frac { (x-{ x }_{ 0 })(x-{ x }_{ 2 })(x-{ x }_{ 3 }) }{ ({ x }_{ 1 }-{ x }_{ 0 })({ x }_{ 1 }-{ x }_{ 2 })(x_{ 1 }-{ x }_{ 3 }) } \times { y }_{ 1 }+\frac { (x-{ x }_{ 0 })(x-{ x }_{ 1 })(x-{ x }_{ 3 }) }{ ({ x }_{ 2 }-{ x }_{ 0 })({ x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 })({ x }_{ 2 }-{ x }_{ 3 }) } \times { y }_{ 2 }+\frac { (x-{ x }_{ 0 })(x-{ x }_{ 1 })(x-{ x }_{ 2 }) }{ ({ x }_{ 3 }-{ x }_{ 0 })({ x }_{ 3 }-{ x }_{ 1 })({ x }_{ 3 }-{ x }_{ 2 }) } \times { y }_{ 3 }\)
\(y= \frac{(1)(-4)(-9)}{(-10)(-15)(-20)} 36+\frac{(11)(-4)(-9)}{10(-5)(-10)} 40 +\frac{(11)(1)(-9)}{(15)(5)(-5)} 45+\frac{(11)(1)(-4)}{(20)(10)(5)} 48 \)
\(= -0.432+31.68+11.88-2.112 \)
\(= 41.016 \sim 41\) நபர்கள்

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \mathbf{P} & \mathbf{T} & \nabla_{\mathbf{T}} & \nabla^2 \mathbf{T} & \nabla^3 \mathbf{T} & \nabla^4 \mathbf{T} & \nabla^5 \mathbf{T} \\ \hline 40 & 180 & & & & & \\ \hline & & 24 & & & & \\ \hline 50 & 204 & & -2 & & & \\ \hline & & 22 & & 4 & & \\ \hline 60 & 226 & & 2 & & -4 & \\ \hline & & 24 & & 0 & & 4 \\ \hline 70 & 250 & & 2 & & 0 & \\ \hline & & 26 & & 0 & & \\ \hline 80 & 276 & & 2 & & & \\ \hline & & 28 & & & & \\ \hline 90 & 304 & & & & & \\ \hline \end{array}\)
P = 84
நியூட்டனின் பின்நோக்கு இடைச்செருகல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த 
_Pn = 90, h = 10
P_n + nh = 84
⇒ 90 + n(10) = 84
⇒ 10n = 84 - 90 = -6
n = -6/10 = -0.6
\( \mathrm{T}=T_n+\frac{n}{1 !} \nabla T+\frac{n(\mathrm{n}+1)}{2 !} \nabla^2 T +\frac{n(\mathrm{n}+1)(\mathrm{n}+2)}{3 !} \nabla^3 T +\frac{n(\mathrm{n}+1)(\mathrm{n}+2)(\mathrm{n}+3)}{4 !} \nabla^4 T+\ldots \)
\( \mathrm{T}=304+(-0.6)(28)+\frac{(-0.6)(0.4)}{2 !}(2) +\frac{(-0.6)(0.4)(1.4)}{3 !}(0) + \frac{(-0.6)(0.4)(1.4)(2.4)(3.4)}{5 !}(4) \)
\(=304-16.8-0.24-0.091392=286.96\)

\(\frac { dy }{ dx } \)+ycosx=2cosx
இது \(\frac { dy }{ dx } + Py = Q \) என்ற அமைப்பில் உள்ளது.
இங்கு,\( \mathrm{P}=\cos x, \mathrm{Q}=2 \cos x \)
\( \int P d x=\int \cos x d x=\sin x \)
\( y e^{\int P d x}=\int Q e^{\int P d x} d x+c \)
\( \text { ye } \sin x=\int(2 \cos x) e^{\sin x} d x+c \)
\( \text { ye }{ }^{\sin x}=2 \int \cos x e^{\sin x} d x+c \)
\( \mathrm{t}=\sin x, \mathrm{dt}=\cos x \mathrm{~d} x \)
\( \mathrm{ye}^{\sin x}=2 \int e^t d t+c \)
\( y e^{\operatorname{tin} x}=2 \mathrm{e}^t+\mathrm{c} \)
\( \text { ye } e^{\sin x}=2 \mathrm{e}^{\sin x}+\mathrm{c} \)
ye^sinx=2e^sinx+c

 (D²-3D+2)y=e4x
துணைச் சமன்பாடு 
m² - 3m + 2 = 0
(m-1)(m-2)  =0 
m  =1,2
நிரப்புச் சார்பு: \(A e^{m_1 x}+B e^{m_2 x}=\mathrm{Ae}^x+\mathrm{Be}^{2 x}\)
சிறப்புத் தொகை \(=\frac{e^{4 x}}{D^2-3 D+2}\)
(D - க்கு பதிலாக 4 ஐப் பதிலிட)
சிறப்புத் தொகை \(=\frac{e^{4 x}}{16-12+2}=\frac{e^{4 x}}{6}\)
தீர்வு:
\( \mathrm{y}=\mathrm{C} . \mathrm{F}+\text { P.I } \)
\( \mathrm{y}=\mathrm{A} \mathrm{e}^x+\mathrm{Be}^{2 x}+\frac{e^{4 x}}{6}\)
x=0 மற்றும் y=0 எனில்,
\(0  =\mathrm{A}+\mathrm{B}+\frac{1}{6} \)
\(6 \mathrm{~A}+6 \mathrm{~B}  =-1\)
x=1 மற்றும் y =0 எனில்,
\(0 =\mathrm{Ae}+\mathrm{Be}^2+\frac{e^4}{6} \)
\(\mathrm{~A}+\mathrm{Be}+\frac{e^3}{6} =0 \)
\(6 \mathrm{~A}+6 \mathrm{Be} =-\mathrm{e}^3\)
(1) மற்றும் (2) ஆகியவற்றைத் தீர்க்க
\(6 \mathrm{~B}(1-\mathrm{e})  =-1+\mathrm{e}^3 \)
\(6 \mathrm{~B}  =-\frac{\left(1-e^3\right)}{1-e}=-\left(1+\mathrm{e}+\mathrm{e}^2\right) \)
\(\mathrm{B}  =-\frac{\left(1+e+e^2\right)}{6} \)
(1) -ம் பிரதியிட,
\(6 \mathrm{~A}-1-\mathrm{e}-\mathrm{e}^2 =-1 \)
\(6 \mathrm{~A} =\mathrm{e}+\mathrm{e}^2\)
\(\mathrm{~A} =\frac{e+e^2}{6}\)
சிறப்புத்  தீர்வு
\(\mathrm{y}  =\frac{\left(e^2+e\right)}{6} e^x-\frac{\left(e^2+e+1\right)}{6} e^{2 x}+\frac{e^{4 x}}{6} \)
6y=(e²+e)e^x-(e²+e+1)e^2x+e^4x

இறுதிநிலை செலவு சார்பு C'(x)=5+0.13x
\(C(x) =\int(5+0.13 x) d x \)
\( =5 x+\frac{0.13 x^2}{2}+k_1\)
\( =5 x+0.065 x^2+\mathrm{k}_1\)
x  =0, C=120 எனில்,\(\mathrm{k}_1=120\)
செலவுச் சார்பு : \( C(x)=5 x+0.065 x^2+120 \)
\( R^{\prime}(\mathrm{x})=18 \)
வருவாய்ச் சார்பு : \( \mathrm{R}=\int 18 d x=18 x+\mathrm{k}_2 \)
x = 0, R = 0 எனில் 
\( \mathrm{k}_2=0 \)
\( \mathrm{R}=18 x \)
இலாபச் சார்பு : \(\text { P(x ) }=\mathrm{R}(x)-\mathrm{C}(x) \)
\(=18 x-5 x-0.065 x^2-120 \)
\(=13 x-0.065 x^2-120 \)

\(\frac{d C}{d x} =100-10 x+0.1 x^2 \)
\(\mathrm{C} =\int\left(100-10 \mathrm{x}+0.1 \mathrm{x}^2\right) d x \)
\(\mathrm{C} =\left[100 x-\frac{10 x^2}{2}+\frac{0.1 x^3}{3}\right]+k \)
\(\mathrm{k} =500 \) எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது 
\(\mathrm{C} =100 x-5 x^2+\frac{0.1 x^3}{3}+500 \)
\(\mathrm{AC} =\frac{C}{x}=100-5 x+\frac{0.1 x^2}{3}+\frac{500}{x}\)
\( =100-5 x+\frac{x^2}{30}+\frac{500}{x} \)

\(\int _{ a }^{ b } xdx\)=1 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
\(\left[ x \right] _{ a }^{ b }\)=1
b-a=1  .....(1)
மேலும், \(\int _{ a }^{ b } xdx\)=1 எனவும் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
\(\left[ \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right] _{ a }^{ b }\)=1
b²-a²=2
(b+a)(b-a)=2
b+a=2      ......(2)  [∵ b-a=1]
(1)+(2) ⇒ 2b=3
∴ b=\(\frac { 3 }{ 2 } \)
இப்போது, \(\frac { 3 }{ 2 } \)-a =1 [∵ (1) லிருந்து]
∴ a=\(\frac { 1 }{ 2 } \)

\(\int _{ -1 }^{ 1 }{ x\sqrt { x+1 } } \)dx=\(\int _{ 0 }^{ 2 }{ (t-1)\sqrt { t } dt } \)
=\(\int _{ 0 }^{ 2 }{ \left( { t }^{ \frac { 3 }{ 2 } }-{ t }^{ \frac { 1 }{ 2 } } \right) } dt\)
=\(\left[ \frac { 2t^{ \frac { 5 }{ 2 } } }{ 5 } -\frac { 2t^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ 3 } \right] _{ 0 }^{ 2 }\)
=\(\frac { 8\sqrt { 2 } }{ 5 } -\frac { 4\sqrt { 2 } }{ 3 } \)
=\(\frac { 4\sqrt { 2 } }{ 15 } \)

t = x +1 என்க. dt = dx
x	-1	1
t	0	2

தரப்பட்ட சமன்பாட்டு தொகுப்புக்குரிய அணிச் சமன்பாடானது
\(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & a \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 6 \\ 10 \\ b \end{matrix} \right) \)
    A                        X       =         B

விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி [A,B]	அடிப்படை உருமாற்றங்கள்
\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ a \end{matrix}\begin{matrix} 6 \\ 10 \\ b \end{matrix} \right) \)
~\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ a-1 \end{matrix}\begin{matrix} 6 \\ 4 \\ b-6 \end{matrix} \right) \)	R2 ⟶ R2 - R1 R3 ⟶ R3 - R1
~\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ a-3 \end{matrix}\begin{matrix} 6 \\ 4 \\ b-10 \end{matrix} \right) \)	R3 ⟶ R3 - R2

கடைசி சமான அணி ஏறுபடிவ வடிவில் உள்ளது.
நிலை (i) தீர்வு இல்லை:
ρ(A) ≠ ρ([A,B]) எனில் தொகுப்பிற்கு தீர்வு இல்லை. a-3=0 மற்றும் b-10≠0 எனும்போது மட்டுமே ρ(A) ≠ ρ([A,B]) ஆகும்.
∴ a=3, b≠10 எனும்போது தொகுப்பிற்கு தீர்வு இல்லை.
நிலை (ii) ஒரே ஒரு தீர்வு:
ρ(A) = ρ([A,B])=மதிப்பிட வேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை, எனில் தொகுப்பிற்கு எண்ணிக்கையற்ற தீர்வுகள் உண்டு.
இங்கு a-3≠0, எனில் ρ(A) = ρ([A,B])=3
∴ a≠3 மற்றும் b\(\in \)R எனில் தொகுப்பிற்கு ஒரே ஒரு தீர்வு உண்டு.
நிலை (iii) எண்ணிக்கையற்ற தீர்வுகள்:
ρ(A) = ρ([A,B]) < மதிப்பிட வேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை, எனில் தொகுப்பிற்கு எண்ணிக்கையற்ற தீர்வுகள் உண்டு.
இங்கு a-3=0, b-10=0 எனில் ρ(A) = ρ([A,B])=2<3
எனவே a=3 மற்றும் b =10 எனும் போது தொகுப்பிற்கு எண்ணிக்கையற்ற தீர்வுகள் உண்டு.

கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பிற்கான அணிச் சமன்பாடு 
\(\left( \begin{matrix}3 & 1 & λ\\ 2&1&1\\ 1& 2& -λ\end{matrix} \right) \)\(\left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \)=\(\left( \begin{matrix} 1\\2\\ -1\end{matrix} \right) \)
  AX =B 
சமன்பாட்டுத் தொகுப்பானது ஒருங்கமைவுடையது மற்றும் ஒரேயொரு  தீர்வு இல்லாமலிருப்பதால்,
ρ(A,B ) = ρ(A) < 3 எனவே  |A | =0
\(\begin{vmatrix} 3 & -1 & \lambda \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -\lambda \end{vmatrix}\) = 0
3(-\(\lambda \)-2) + 1 (-2\(\lambda \)-1)+\(\lambda \)(4-1) = 0
-3\(\lambda \) - 6 - 2\(\lambda \)-1+3\(\lambda \) = 0
-2\(\lambda \) =7
\(\lambda \)=\(\frac { -7 }{ 2 } \)

\( \mathrm{p}=\frac{2}{100}, \lambda=\mathrm{np}=50\left(\frac{2}{100}\right)=1 \)
\(P(X \leq 2) =\mathrm{P}(\mathrm{X}=0)+\mathrm{P}(\mathrm{X}=1)+\mathrm{P}(\mathrm{X}=2) \)
\(=\mathrm{e}^{-1}+\mathrm{e}^{-1}(1)+\frac{e^{-1}(1)}{2 !} \)
\( =e^{-1}\left[2+\frac{1}{2}\right]=2.5 \mathrm{e}^{-1}\)

\(\Delta \mathrm{f}(x) =\mathrm{f}(x+\mathrm{h})-\mathrm{f}(x) \)
\(\Delta\left(x^2\right) =(x+\mathrm{h})^2-x^2 {\left[\because \mathrm{f}(x)=x^2\right]} \)
\(=(x+1)^2-x^2=2 x+1 {[\because \mathrm{h}=1]} \)

பரப்பு \(=\int_0^1 e^x d x=\left[e^x\right]_0^1=e^1-e^0=\mathrm{c}-1\)