x+4y+3z=2
2x-6y+6z=-3
5x-2y+3z=-5
\(\Delta =\left| \begin{matrix} 1 & 4 & 3 \\ 2 & -6 & 6 \\ 5 & -2\qquad & 3 \end{matrix} \right| \) 
= 1(-18+12)-4(6-30)+3(-4+30)
= \(-6+96+78=168\neq 0\)
ஃ  கிரேமரின் விதியைப் பயன்படுத்தலாம்.
\(\Delta _{ x }=\left| \begin{matrix} 2 & 4 & 3 \\ -3 & -6 & 6 \\ -5 & -2 & 3 \end{matrix} \right| \) 
= 2(-18+12)-4(-9+30)+3(6-30)
= -12-84-72=-168
\(\Delta _{ y }=\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & -3 & 6 \\ 5 & -5 & 3 \end{matrix} \right| \) 
= 1(-9+30) --2(6-30)+3(-10+15)
 = 21+48+15 =84
\(\Delta _{ y }=\left| \begin{matrix} 1 & 4 & 2 \\ 2 & -6 & -3 \\ 5 & -2 & -5 \end{matrix} \right| \)
= 1(30-6)-4(-10+15)+2(-4+30)
= 24-20+52 = 56
\(x=\cfrac { { \Delta }_{ x } }{ \Delta } =\cfrac { -168 }{ 168 } =-1\)
\(y=\cfrac { { \Delta }_{ y } }{ \Delta } =\cfrac { 84 }{ 168 } =\cfrac { 1 }{ 2 } \)
\(z=\cfrac { { \Delta }_{ z } }{ \Delta } =\cfrac { 56 }{ 168 } =\cfrac { 1 }{ 3 } \)
தீர்வு \(x=-1,y=\cfrac { 1 }{ 2 } ,z=\cfrac { 1 }{ 3 } \)

சமன்பாடுகள் 
x+y+z=6
2x+3y-z=5
6x-2y-3z =-7
\(\Delta =\begin{vmatrix} 1 & 1 &1\\ 2&3&-1 \\ 6& -2&-3 \end{vmatrix}\)
= 1(-9-2)-1(-6+6)+1(-4-18)
= -11-22 = -33\(\neq \)0
\(\therefore \) கிரேமரின் விதியை பயன்படுத்தலாம் .
\({ \Delta }_{ x }\) \(=\begin{vmatrix} 6& 1 &1\\ 5&3&-1 \\ -7& -2&-3 \end{vmatrix}\)
= 6(-9-2)-1(-15-7)+1(-10+21)
= -66+22+11 = -33
\({ \Delta }_{ y }\)\(=\begin{vmatrix} 1& 6 &1\\ 2&5&-1 \\ 6 & -7&-3 \end{vmatrix}\)
 = 1(-15-7) -6(-6+6)+1(-14-30)
= -22-44 = -66
\({ \Delta }_{ z }\)\(=\begin{vmatrix} 1& 1 &6\\ 2&3&5 \\ 6 & -2&-7 \end{vmatrix}\)
= 1(-21+10)-1(-14-30)+6(-14-30)
= -11+44-132 = -99
\(x=\frac { { \Delta }_{ x } }{ \Delta } \) =\(\frac { -33 }{ -33} \) =1
\(y=\frac { { \Delta }_{ y } }{ \Delta } \) = \(\frac { -66 }{ -33} \)=2
\(z=\frac { { \Delta }_{ z } }{ \Delta } \) = \(\frac { -99 }{ -33} \)=3
தீர்வு , x =1 ,y = 2,z=3

சமன்பாடுகள் 
2x +y-z  =3
x +y+z =1
x -2y-3z=4
\(\Delta =\begin{vmatrix} 2 & 1 &-1\\ 1& 1&1 \\ 1& -2&-3 \end{vmatrix}\) 
= 2( -3+2) -1 (-3-1)-1(-2-1)
= -2 + 4 +3=5 \(\neq \) 0
\(\therefore \) கிரேமரின் விதியை பயன்படுத்தலாம்.
\({ \Delta }_{ x }\) = \(\begin{vmatrix} 3 & 1 &-1\\ 1& 1&1 \\ 4 & -2&-3 \end{vmatrix}\)
= 3(-3+2)-1(-3-4)-1(-2-4) 
= -3+7+6 =10
\({ \Delta }_{ y }=\)\(\begin{vmatrix} 2& 3&-1\\ 1& 1&1 \\1 & 4&-3 \end{vmatrix}\)
= 2(-3-4)-3(-3-1)-1(-4-1) 
= -14 + 12 - 3 = -5
\({ \Delta }_{ z }=\)\(\begin{vmatrix} 2& 1&3\\ 1& 1&1 \\1 & -2&4 \end{vmatrix}\)
= 2(4+2)-1(4-1)+3(-2-1)
= 12-3-9 =0  
\(x=\frac { { \Delta }_{ x } }{ \Delta } \) = \(\frac { 10 }{ 5} \)= 2
\(y=\frac { { \Delta }_{ y } }{ \Delta } \) = \(\frac { -5 }{ 5 } \) =-1
\(z=\frac { { \Delta }_{ z } }{ \Delta } \) = \(\frac { 0}{ 5 } \)=0
தீர்வு: x =2 ,y =-1,z=0

சமன்பாடுகள் 
5x +3y =17
3x +7y =31
\(\Delta =\begin{vmatrix} 5 & 3 \\ 3 & 7 \end{vmatrix}\) = 35-9 = 26  \(\neq \) 0
\(\therefore \) கிரேமரின் விதியை பயன்படுத்தலாம் .
\({ \Delta }_{ x }=\begin{vmatrix} 17 & 3 \\ 31 & 7 \end{vmatrix}\) = 119-93 =26
\({ \Delta }_{ y }=\begin{vmatrix} 5 & 17 \\ 3 & 31 \end{vmatrix}\) = 155-51 =104
\(x=\frac { { \Delta }_{ x } }{ \Delta } \) = \(\frac { 26 }{ 26 } \)= 1
\(y=\frac { { \Delta }_{ y } }{ \Delta } \) = \(\frac { 104 }{ 26 } \) =4
தீர்வு , x =1 ,y =4

x + 4y + 3z = 2,
2x−6y + 6z = −3,
5x− 2y + 3z = −5
\(\Delta =\left| \begin{matrix} 1 & 4 & 3 \\ 2 & -6 & 6 \\ 5 & -2 & 3 \end{matrix} \right| \)
= \(1\left| \begin{matrix} -6 & 6 \\ -2 & 3 \end{matrix} \right| -4\left| \begin{matrix} 2 & 6 \\ 5 & 3 \end{matrix} \right| +3\left| \begin{matrix} 2 & -6 \\ 5 & -2 \end{matrix} \right| \)
= 1(-18 + 12) - 4(6 - 30) +3 (- 4 +30)
= 1(- 6) - 4(- 24) + 3(26)
= - 6 + 96 + 78 = 168 \(\neq \) 0
கிரேமரின் விதியைப் பயன்படுத்தலாம்.
\(\Delta x=\left| \begin{matrix} 2 & 4 & 3 \\ -3 & -6 & 6 \\ -5 & -2 & 3 \end{matrix} \right| \)
= \(2\left| \begin{matrix} -6 & 6 \\ -2 & 3 \end{matrix} \right| -4\left| \begin{matrix} -3 & 6 \\ -5 & 3 \end{matrix} \right| +3\left| \begin{matrix} -3 & -6 \\ -5 & -2 \end{matrix} \right| \)
= 2 (- 18 + 12) - 4(- 9 +30) + 3(6 -30)
= 2(- 6) - 4(21) + 3(- 24)
= -12-84-72 =-168
\(\Delta y=\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & -3 & 6 \\ 5 & -5 & 3 \end{matrix} \right| =1\left| \begin{matrix} -3 & 6 \\ -5 & 3 \end{matrix} \right| -2\left| \begin{matrix} 2 & 6 \\ 5 & 3 \end{matrix} \right| +3\left| \begin{matrix} 2 & -3 \\ 5 & -5 \end{matrix} \right| \)
= 1 (-9+30)-2(6-30)+3(- 10+ 15)
= 1(21) - 2(- 24) + 3(5)
= 21 + 48 + 15 = 84
\(\Delta z=\left| \begin{matrix} 1 & 4 & 2 \\ 2 & -6 & -3 \\ 5 & -2 & -5 \end{matrix} \right| \)
= \(1\left| \begin{matrix} -6 & -3 \\ -2 & -5 \end{matrix} \right| -4\left| \begin{matrix} 2 & -3 \\ 5 & -5 \end{matrix} \right| +2\left| \begin{matrix} 2 & -6 \\ 5 & -2 \end{matrix} \right| \)
= 1(30-6)-4(-10+ 15)+2(-4+30)
= 24 - 4(5) + 2(26)
= 24 - 20 + 52 = 56


தீர்வு  : {x,y,z} = \(\left\{ -1,\frac { 1 }{ 2 } ,\frac { 1 }{ 3 } \right\} \).