வாழ்க்கைத் தரக் குறியீட்டு எண் = \(\frac { \sum { { p }_{ 1 }{ q }_{ 0 } } }{ \sum { { p }_{ 0 }{ q }_{ 0 } } } \times 100=\frac { 1000 }{ 758 } \times 100=131.926\)

p = q =\(\frac { 1 }{ 2 } \)
(a) விளையாடும் விளையாட்டில் மூன்று முறை வெற்றி பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு
=\(\left( \frac { 4 }{ 3 } \right) \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 3 }\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 4-3 }\)
=\(\frac { 1 }{ 4 } \)=25%
(b) A எனும் வீரர் B என்ற வீரரை தோற்கடிப்பதற்காக சரியாக எட்டு முறை விளையாடும் விளையாட்டில் ஐந்து முறை வெற்றி பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு
\(=\left( \frac { 8 }{ 5 } \right) \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 5 }\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 8-5 }\)
=\(\\ \frac { 7 }{ 32 } \)=21.875%
எனவே , முதல் நிகழ்ச்சி அதிக சாத்தியமுடையதாக உள்ளது.

கொடுக்கப்பட்ட போக்குவரத்து அட்டவணை

அதாவது, மொத்த இருப்புகள் = மொத்த தேவைகள் . எனவே கொடுக்கப்பட்ட கணக்கானது சமநிலை போக்குவரத்து கணக்காகும்.
முதல் ஒதுக்கீடு :

இரண்டாம் ஒதுக்கீடு:

மூன்றாவது ஒதுக்கீடு:

நான்காம் ஒதுக்கீடு:

ஐந்தாவது ஒதுக்கீடு:

இறுதி ஒதுக்கீடு:

போக்குவரத்து விவரம் :O₁⟶ D₁, O₁⟶ D₂, O₂⟶ D₂, O₂⟶ D₃, O₃⟶ D₃, O₃⟶ D₃.
மொத்த போக்குவரத்து செலவு = (6×6)+(8×4)+(2×9)+(14×2)+(1×6)+(4×2) = ரூ.128

கொடுக்கப்பட்ட 2 இலக்க எண்களைக் கொண்ட சமவாய்ப்பு அட்டவணையிலிருந்து 1550 முதல் 8000 வரையிலான 4 இலக்கம் கொண்ட 10 மாதிரிகளை தேர்ந்தெடுக்க முதலில் இரண்டு இலக்க எண்களை மற்ற இரண்டிலக்க எண்களும் இணைந்து 4-இலக்க எண்களாக மாற்ற வேண்டும். அதாவது, அட்டவணையின் 5-வது மற்றும் 6-வது நிரல்களை நிழலிட்டவாறு இணைத்து முதல் ஐந்து மாதிரியையும் 8வது மற்றும் 9வது நிரல்களை இணைத்து அடுத்த ஐந்து மாதிரிகளையும் கொண்டு தேவையான 10 மாதிரிகளைத் தேர்ந்தெடுக்கலாம். கீழ்கண்ட அட்டவணையில் இரு நிரல்களை இணைத்து தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட சமவாய்ப்பு மாறிகளைக் காணலாம்.

எனவே, தேவையான 10 மாதிரிகளை கீழ்க்கண்டவாறு எழுதலாம்.

மேலே திருப்பப்பட்ட முகங்களில் உள்ள தலைகளின் எண்ணிக்கையைக் கணக்கிடும் சமவாய்ப்பு மாறியை X என்க. இதன் வெளிப்பாடுகள் கீழே குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது.

இதன் மதிப்பீடுகள் பின்வரும் நிகழ்தகவு அட்டவணை -இல் தரப்பட்டுள்ளன.

(i) \(p\left( { x }_{ i } \right) \ge \forall i\) மற்றும் (ii) \(\sum _{ i=0 }^{ 3 }{ p\left( { x }_{ i } \right) =1 } \)
எனவே , p(x_i) ஒரு நிகழ்தகவு நிறை சார்பாகும்.

LHS = (E⁻¹Δ) x³ = Δ(x³)
= x³ -(x - h)³  [∵ E^-1f(x) = f(x - nh)]
இங்கு f(x) = x³
 [∵ h = 1]
= x³ - (x - 1)³
= x³ - (x³ - 3x² + 3x - 1)
[∵ (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³]
= x³ - x³ + 3x² - 3x + 1
= 3x² - 3x + 1 = RHS
எனவே நிறுவப்பட்டது.

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை \(\frac { ydx-xdy }{ { y }^{ 2 } } \)-3x²\({ e }^{ { x }^{ 3 } }\)dx=0 என எழுதலாம்.
தொகையிட, \(\int { \frac { ydx-xdy }{ { y }^{ 2 } } } -\int { 3x^{ 2 }e^{ { x }^{ 3 } } } dx\)=c
\(\int { d\left( \frac { x }{ y } \right) } -\int { { e }^{ t } } dt = c \)   (இங்கு t=x³ மற்றும் dt=3x² dx)
\(\frac { x }{ y } \)-e^t=c
\(\frac { x }{ y } \)-\({ e }^{ { x }^{ 3 } }\)=c

y=x² என்பது மேல் நோக்கித் திறந்த பரவளையம். இது y - அச்சைப் பொறுத்து சமச்சீரானது.
பரப்பு \(=2 \int_c^4 x d y \)
\(x^2=\mathrm{y} \Rightarrow x=\sqrt{y} \)
பரப்பு \(=2 \int_0^4 y^{1 / 2} d y\)
\(=2\left[\frac{y^{3 / 2}}{3 / 2}\right]_0^4 \)
\( =\frac{4}{3}\left[4^{3 / 2}-0\right] \)
\(=\frac{4}{3}(8)=\frac{32}{3}\)
\(=\frac { 32 }{ 3 } \) ச.அலகுகள்

\(\int \sqrt { 1-\sin 2x } dx\)=\(\int \sqrt { \sin ^{ 2 } x+\cos ^{ 2 } x-2\sin x\cos x } dx\)
\(=\int \sqrt { (\sin x-\cos x)^{ 2 } } dx\)
\(=\int (\sin x-\cos x)dx\)
\(=-\cos x-\sin x+c\)

A =\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ -2 \\ -7 \end{matrix} \right) \)என்க.
A -ன் வரிசை 3 x 4
∴ ρ(A) ≤3.
மூன்றாம் வரிசை கொண்ட சிற்றணிக்கோவைகளை கருத, நாம் பெறுவது
\(\left| \begin{matrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 4 & 1 \\ 3 & 6 & 3 \end{matrix} \right| =0,\left| \begin{matrix} 1 & -1 & 3 \\ 2 & 1 & -2 \\ 3 & 3 & -7 \end{matrix} \right| =0\)
\(\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & -2 \\ 3 & 6 & -7 \end{matrix} \right| =0,\left| \begin{matrix} 2 & -1 & 3 \\ 4 & 1 & -2 \\ 6 & 3 & -7 \end{matrix} \right| =0\) ஆகும்.
அனைத்து மூன்றாம் வரிசை கொண்ட சிற்றணிக்கோவைகளின் மதிப்புகளும் பூச்சியமாகும்.
ρ(A)≠3.
ஏதேனும் ஒரு இரண்டாம் வரிசை சிற்றணிக்கோவையை கருத, நாம் பெறுவது \(\left| \begin{matrix} 2 & -1 \\ 4 & 1 \end{matrix} \right| \)=6≠0 ஆகும்.
⇒ பூச்சியமற்ற சிற்றணிக்கோவையின் வரிசை 2 ஆகும்.  ∴ ρ(A) = 2