கொடுக்கப்பட்ட போக்குவரத்து அட்டவணை 

அதாவது, மொத்த அளிப்புகள் = மொத்த தேவைகள் கொடுக்கப்பட்ட கணக்கானது சமநிலை போக்குவரத்து கணக்காகும்.
முதல் ஒதுக்கீடு :

இரண்டாம் ஒதுக்கீடு :

மூன்றாம் ஒதுக்கீடு :

நான்காம் ஒதுக்கீடு :

ஐந்தாம் ஒதுக்கீடு :

இறுதி ஒதுக்கீடு :

போக்குவரத்து விவரம் :
O₁⟶ D₁, O₁⟶ D₂, O₂⟶ D₃, O₃⟶ D₂, O₃⟶ D₄
மொத்த போக்குவரத்து செலவு
\( =(16 \times 5)+(3 \times 3)+(15 \times 7)+(22 \times 9) +(9 \times 7)+(25 \times 5) \)
\(=80+9+105+198+63+125=Rs. 580\)

கூறெடுப்பு சார்ந்த பிழைகள் (Sampling Errors) :
கூறுகளை வாய்ப்பு முறையில் தெரிவு செய்வதிலும், அவற்றின் விவரங்களை சேகரிப்பதிலும் ஏற்படும் பிழைகள் கூறெடுப்பு சார்ந்த பிழைகள் எனப்படும். இப்பிழைகள் கூறினைத் தேர்ந்தெடுக்கும் முறையினை உள்ளடக்கியதாகும். இப்பிழை தற்செயலாகவும், சார்பற்றதாகவும், பாரபட்சம் இல்லாமலும் ஏற்படலாம். கூறெடுப்பு சார்ந்த பிழைகள் ஏற்படுவதற்கு முக்கிய காரணங்கள் பின்வருமாறு
(a) குறைபாடுள்ள உத்தியின் மூலம் சரியான கூறுக்கு பதில், தகுதியற்ற கூறு தேர்வு செய்யப்படும் போது.
(b) ஆய்வாளர் கூறெடுத்தலின் போது உகந்த உறுப்பு கிடைக்காதபோது அதற்கு பதிலாக தமக்கு தேவையான உறுப்பினைத் தெரிவு செய்யும்போது.
(c) நில அளவீடுகளின்போது எல்லைக்கோட்டினைக் கூறில் தேர்ந்தெடுப்பதா அல்லது தவிர்ப்பதா என்பது ஒவ்வொரு ஆய்வாளரைப் பொறுத்ததாகும். இவ்வாறு கூறெடுப்பது, தவறான வரையறை கொண்ட மாதிரி அலகுகள் (Faulty demarcation of sampling) எனப்படுகிறது.

போக்கு மதிப்பை மீச்சிறு வர்க்க முறையில் கணக்கிட்டுச் செய்யலாம். ஆண்டுகளின் எண்ணிக்கை இரட்டைப்படையாக இருப்பதால், X-ஐக் காண பின்வரும் சூத்திரத்தை பயன்படுத்துவோம்.

ஆண்டு(x)	விற்பனை (Y)	X = \(\frac {(x -1998.5)}{0.5}\)	XY	X2	போக்கு மதிப்பு (Yt)
1995	6.7	–7	46.9	49	5.6166
1996	5.3	–5	26.5	25	5.7190
1997	4.3	–3	12.9	9	5.8214
1998	6.1	–1	6.1	1	5.9238
1999	5.6	7	39.2	49	6.0261
2000	7.9	5	39.5	25	6.1285
2001	5.8	3	17.4	9	6.2309
2002	6.1	1	6.1	1	6.3333
N=8	47.8	ΣX = 0	194.6	168

\(a=\frac { \sum { Y } }{ n } =\frac { 47.8 }{ 8 } =5.975;b=\frac { \sum { XY } }{ \sum { { X }^{ 2 } } } =\frac { 8 6 }{ 168 } =0 05119\)
எனவே ,
Y = a + bX ; Y = 5.975 + 0 05119 X.
X = 1995, Y_t = 5 975 + 0 05119 \(\left( \frac { 1995-1998.5 }{ 0.5 } \right) \) = 5.6167
X = 1996, Y_t = 5 975 + 0 05119\(\left( \frac { 1996-1998.5 }{ 0.5 } \right) \)= 5.7190
இதே போல் மற்ற மதிப்புகளைப் பெறலாம்

மழை பொழிவதற்கான நிகழ்தகவு p =\(\frac { 9 }{ 30 } =\frac { 3 }{ 10 } \) மற்றும் q =1-p=\(\frac { 7 }{ 10 } \).
P(X = x)=\({ n }_{ C_{ x } }\)p^x q^n-x
ஒரு வாரத்திற்கு ஏழு நாள்கள் எனில் P(X = x) =\(\left( \begin{matrix} 7 \\ 3 \end{matrix} \right) \left( \frac { 3 }{ 10 } \right) ^{ x }\left( \frac { 7 }{ 10 } \right) ^{ 7-x }\)
குறைந்தபட்சம் இரண்டு நாள்கள் மழை பொழிவதற்கான நிகழ்தகவுகள்,
P(x≥2)=1-P(X>2)
=1-[p(X=0)+P(X=1)]
P(X=0)=\(\left( \begin{matrix} 7 \\ 0 \end{matrix} \right) \left( \frac { 3 }{ 10 } \right) ^{ 0 }\left( \frac { 7 }{ 10 } \right) ^{ 7-0 }\)
=0.0823
மற்றும் P(X=1)=\(\left( \begin{matrix} 7 \\ 1 \end{matrix} \right) \left( \frac { 3 }{ 10 } \right) \left( \frac { 7 }{ 10 } \right) ^{ 7-1 }\)
=0.2471
எனவே , தேவையான நிகழ்தகவு = 1– [P(x = 0) +P(x = 1)]
= 1– [0.082 + 0.247]
= 0.6706

\(\int _{ -\infty }^{ \infty }{ f(x)dx=1 } \) என்பது நமக்குத் தெரியும்.
\(\int _{ 0 }^{ 10 }{ Axdx+\int _{ 10 }^{ 20 }{ A(20-x)dx=1 } } \)
\(A\left\{ \left[ \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right] _{ 0 }^{ 10 }+\left[ 20x-\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right] _{ 10 }^{ 20 } \right\} =1\)
A[(50−0)+(400−200)−(200 − 50)]=1
\(A=\cfrac { 1 }{ 100 } \)
(b) (i) மறுநாளைக்கு விற்கப்படவிருக்கும் ரொட்டிகளின் எண்ணிக்கை 10 பவுண்டுகளுக்கு அதிகமாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு:
\(P\left( 10\le X\le 20 \right) =\int _{ 10 }^{ 20 }{ \cfrac { 1 }{ 100 } \left( 20-x \right) dx } \)
= \(\cfrac { 1 }{ 100 } \left[ 20x-\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right] _{ 10 }^{ 20 }\)
= \(\cfrac { 1 }{ 100 } \left[ \left( 400-200 \right) -\left( 200-50 \right) \right] \)
= 0.5
(ii)  மறுநாளைக்கு விற்கப்படவிருக்கும் ரொட்டிகளின் எண்ணிக்கை 10 பவுண்டுகளுக்கு குறைவாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு
\(P\left( 0\le X<10 \right) =\int _{ 0 }^{ 10 }{ \cfrac { 1 }{ 100 } xdx } \)
= \(\cfrac { 1 }{ 100 } \left[ { \cfrac { { x }^{ 2 } }{ 2 } } \right] _{ 0 }^{ 10 }\)
= \(\cfrac { 1 }{ 100 } \left( 50-0 \right) \)
= 0.5
(iii) மறுநாளைக்கு விற்கப்படவிருக்கும் ரொட்டிகளின் எண்ணிக்கை 5 மற்றும் 15 பவுண்டுகளுக்கு இடையில் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு
\(P\left( 5\le X\le 15 \right) =\int _{ 5 }^{ 10 }{ \cfrac { 1 }{ 100 } xdx } +\int _{ 10 }^{ 15 }{ \cfrac { 1 }{ 100 } \left( 20-x \right) } dx\)
= \(\cfrac { 1 }{ 100 } \left[ \cfrac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right] _{ 5 }^{ 10 }+\cfrac { 1 }{ 100 } \left[ 20x-\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right] _{ 10 }^{ 15 }\)
= 0.75

x	y = f(x)	Δy	Δ2y	Δ3y
0	1
		1
1	2		-2
		-1		12
2	1		10
		9
3	10

x₀ + nh = x ⇒ x₀ = 0, h = 1
\({ y }_{ (n=x) }={ y }_{ 0 }+\frac { n }{ 1! } =\triangle { y }_{ 0 }+\frac { n(n-1) }{ 2! } { \triangle }^{ 2 }{ y }_{ 0 }+\frac { n(n-1)(n-2) }{ 3! } { \triangle }^{ 3 }{ y }_{ 0 }+...\)
\(f (x)=1+\frac { n }{ 1! } (1)+\frac { n(n-1) }{ 2! } (-2)+\frac { n(n-1)(n-2) }{ 6 } (12)\)
⇒  1 + x + (x² - x)(-1) + x(x² - 3x + 2) (2)
⇒ 1 + x - x² + x + 2x³ - 6x² + 4x
⇒  1+ 6x - 7x² + 2x³
= 2x³ - 7x²+ 6x + 1.

\(\frac { dy }{ dx } \)+y tanx=cos³x
இது \(\frac{d y}{d x}+P y=\mathrm{Q}\) என்ற அமைப்பில் உள்ளது
இங்கு, \(\mathrm{P} =\tan x, \mathrm{Q}=\cos ^3 x \)
\(\int P d x =\int \tan x d x=\log \sec x \)
தொ.கா.
\(=e^{\int P(x)}=\mathrm{e}^{\text {log sec } x}=\sec x\)
தீர்வு :
 \( y e^{\int P d x}=\int Q e^{\int Pd x} d x+c \)
\( y \sec x=\int \cos ^3 x \cdot \sec x d x+c \)
\( =\int \cos ^3 x \frac{1}{\cos x} d x+c \)
\( =\int \cos ^2 x d x+c \)
\( =\int \frac{1+\cos 2 x}{2} d x+c \)
\( y \sec x=\frac{1}{2}\left(x+\frac{\sin 2 x}{2}\right)+c \)

கணக்கின்படி MC =8+6x
C(x)=\(\int { (8+6x) } dx+{ k }_{ 1 }\)
=8x+3x²+k₁        .....(1)
x = 0 எனும் பொழுது  C = 0 ⇒ k₁=0
∴ C(x)=8x+3x²     .....(2)
மேலும் MR=24
R(x)=\(\int { MR } dx+{ k }_{ 2 }\)
=\(\int { 24 } dx+{ k }_{ 2 }\)
=24x+k₂
x = 0 எனில், வருவாய் = 0 ⇒ k₂=0
R(x)=24x  ...(3)
இலாபச்சார்பு P(x) = R(x) – C(x)
P(x)=24x–8x–3x²
=16x–3x²

u = (log x2)  வகையிட \(du=(2 \log x )(\frac { 1 }{ x } dx)\)

dv = dx. தொகையிட v = x

\(\int { { \left( \log x \right) }^{ 2 } } dx= \int { udv } \)
= uv − \(\int { } \)vdu
= x (log x)² − 2\(\int { } \) logxdx...(*)
\(=x(\log x)^{ 2 }-2\int { udv } \)
\(=x(\log x)^{ 2 }-2[uv-\int { udv } ]\)
\(=x(logx)^{ 2 }-2[xlogx-\int { dx] } \)
\(=x(logx)^{ 2 }-2xlogx+x+c\)
\(=x[(log{ ) }^{ 2 }-log{ x }^{ 2 }+2]+c\)

(*)-ல் உள்ள \(\int { logx } \)dx -க்கு
u = (log x)  வகையிட \(du=\frac { 1 }{ x } dx\)	dv = dx. தொகையிட v = x

AB = \(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & -3 & 4 \\ 3 & -2 & 3 \end{matrix} \right) \)\(\left( \begin{matrix} 1 & -2 & 3 \\ -2 & 4 & -6 \\ 5 & 1 & -1 \end{matrix} \right) \)
= \(\left( \begin{matrix} 1-2-5 & -2+4-1 & 3-6+1 \\ 2+6+20 & -4-12+4 & 6+18-4 \\ 3+4+15 &-6-8+3 &9+12-3\end{matrix} \right) \)
= \(\left( \begin{matrix} -6 & 1 & -2 \\ 28 & -12& 20 \\ 22 & -11 & 18 \end{matrix} \right) \)
AB -ன் வரிசை  3 x 3.
எனவே ρ(AB) ≤ 3
AB ∼\(\left( \begin{matrix} 1 & -6 & -2 \\-3& 7& 5 \\ -11 & 22 & 18 \end{matrix} \right) \)C₁ ↔️ C₂
∼\(\left( \begin{matrix} 1 & -6 & -2 \\0&-11& -1 \\ 0 & -44 & -4 \end{matrix} \right) \)R₂ ⟶ R₂ + 12R₁
                                             R₃ ⟶ R₃ +11 R₁
∼\(\left( \begin{matrix} 1 & -6 & -2 \\0&-11& -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) \)R₃ ⟶ R₃- R₂
ஏறுபடிவ அணியில் உள்ள பூச்சியமற்ற நிரைகளின்  எண்ணிக்கை  = 2
ρ(AB)=2
BA  = \(\left( \begin{matrix} 1 & -2 & 3 \\ -2 & 4 & -6 \\ 5 & 1 & -1 \end{matrix} \right) \)\(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & -3 & 4 \\ 3 & -2 & 3 \end{matrix} \right) \)
     =\(\left( \begin{matrix} 1-4+9 & 1+6-6 &-1-8+9 \\ -2+8-18 & -2-12+12 & 2+16-18 \\ 5+2-3 &-5-3+2 &-5+4-3\end{matrix} \right) \)
BA  = \(\left( \begin{matrix} 6 & 1 & 0 \\ -12 & -2 & 0\\ 4 & 4 & -1 \end{matrix} \right) \)_{\({ { R }_{ 2} }\rightarrow \frac { { R }_{ 2 } }{ -2 } \)}
BA  = -ன் வரிசை  3 x 3.
எனவே ρ(AB) ≤ 3
      ∼\(\left( \begin{matrix} 6 & 1 & 0 \\ 0 &0& 0\\ 0 & 5 & -6 \end{matrix} \right) \)R₂ ⟶ R₂ - R₁
                                              R₃ ⟶ 6R₃ - R₁
         ∼ \(\left( \begin{matrix} 6 & 1 & 0 \\ 0 &5&-6\\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) \)R₂ <--> R₃

ஏறுபடிவ அணியில் உள்ள பூச்சியமற்ற நிரைகளின்  எண்ணிக்கை  = 2
அணியின் தரம் ρ(BA )=2