\( \bar{X}=\frac{\Sigma \bar{X}}{n}=\frac{106}{8}=13.25 \)
\(\bar{R}=\frac{\Sigma R}{n}=\frac{25}{8}=3.12\)
\(\bar{X}\) வரைபடத்தின் கட்டுப்பாட்டு வரம்புகள்
\(\mathrm{UCL} =\bar{X}+A_2 \bar{R}\)
=13.25+(0.729)(3.12)
=13.25+2.278=15.53
\(\mathrm{LCL}  =\bar{X}-A_2 \bar{R}\)
=13.25-2.278=10.97
CL =13.25
வீச்சு வரைபடக் கட்டுப்பாட்டு வரம்புகள்
\(\mathrm{UCL}  =D_4 \bar{R}  =2.282(3.12)=7.12 \)
\(\mathrm{CL}  =3.12 \)
\(\mathrm{LCL}  =D, \bar{R}=0\)

\(\bar X \) வரைபடத்தில் ஒரு புள்ளியானது கட்டுப்பாட்டு வரம்புகளிலிருந்து வெளியேறுவதால்,செயல்முறையானது கட்டுப்பாட்டில் இல்லை.

கூறின் அளவு n = 400
கூறு சராசரி \(\bar x \)= 67.47
முழுமைத்தொகுதி சராசரி μ = 67.39
முழுமைத்தொகுதி திட்டவிலக்கம் S.D σ = 1.30
இன்மை கருதுகோள் H₀:μ = 67.39
மாற்று கருதுகோள் H₁:μ ≠ 67.39
கூறுபண்பளவை சோதனை
\(\mathrm{Z}  =\frac{\bar{x}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \sim \mathrm{N}(0,1)} \)
\(\mathrm{Z}  =\frac{67.47-67.39}{\frac{1.30}{\sqrt{400}}}=\frac{0.08}{0.065} \)
\(|\mathrm{Z}|  =1.2308\)
மறுக்கும் அளவு 5 % மிகைகாண் நிலை 
\(Z_{a / 2}=1.96 \)
|Z|=1.2308<1.96
முடிவு: கணக்கிடப்பட்ட மதிப்பானது அட்டவணை மதிப்பை விட குறைவாக உள்ளது. அதாவது, Z <  Z_α/2 .5% மிகைகாண் நிலையில் இன்மை கருதுகோள் H₀ ஏற்றுக் கொள்ளப்படுகிறது.
எனவே கூறானது முழுமைத் தொகுதியிலிருந்து எடுக்கப்பட்டதாகும்,

\(\sum\)X = 0, a =\(\frac {\sum Y}{n}\) = \(\frac {244}{5}\) = 48.8
b = \(\frac {\sum XY}{\sum X^2}\) = \(\frac {20}{10}\) = 2
எனவே, தேவையான நேர்க்கோட்டு போக்குச் சமன்பாடானது
Y = a + bX
Y = 48.8 + 2X
Y = 48.8 + 2(x - 1994)
x = 1992 எனில்,
Yt = 48.8 + 2 (1992–1994)= 48.8 - 4 = 44.8
x = 1993 எனில்,
Yt = 48.8 + 2 (1993–1994)= 48.8 - 2 = 46.8
x = 1994 எனில், 
Yt = 48.8 + 2 (1994 - 1994) = 48.8
x = 1995 எனில்,
Yt = 48.8 + 2(1995-1994) = 48.8 + 2 = 50.8
x = 1996 எனில்,
Yt = 48.8 + 2 (1996 – 1994) = 48.8 + 4 = 52.8
x = 1997 எனில்,
Y = 48.8 + 2 (1997 – 1994) = 48.8 +6 = 54.8

n = 4
p = இரட்டைத் தன்மையாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு = 6/36 = 1/6
\(\mathrm{q}=1-\mathrm{p}=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6} \)
\(\mathrm{P}(\mathrm{X}=x)=\mathrm{nC}_x \mathrm{p}^x \mathrm{q}^{\mathrm{n}-\mathrm{x}} \)
\(P(X=2) =4 C_2\left(\frac{1}{6}\right)^2\left(\frac{5}{6}\right)^2 \)
\( =\frac{4 \times 3}{2 \times 1} \times \frac{1}{36} \times \frac{25}{36}=\frac{25}{216} \)

(a) \(\int_{-\infty}^{\infty} f(x) d x =1 \Rightarrow \int_0^{\infty} A e^{-\frac{x}{5}} d x=1 \)
\(A\left[\frac{e^{-\frac{x}{5}}}{-\frac{1}{5}}\right]_0^{\infty} =1 \Rightarrow-5 A\left[e^{-\infty}-e^0\right]=1 \)
\(-5 \mathrm{~A}(0-1) =1 \Rightarrow \mathrm{A}=\frac{1}{5} \)
(b)  (i) தொலைபேசியில் 10 நிமிடங்களுக்கு மேல் பேசும் நிமிடங்களின் எண்ணிக்கை நிகழ்தகவு 
\(P(X>10) =\int_{10}^{\infty} A e^{-\frac{x}{5}} d x \)
\(=A\left[\frac{e^{-\frac{x}{5}}}{-\frac{1}{5}}\right]_{10}^{\infty}=\frac{1}{5}\left[\frac{e^{-\infty}-e^{-\frac{10}{5}}}{-\frac{1}{5}}\right] =-\left(0-e^{-2}\right)=e^{-2}=\frac{1}{e^2} \)
(ii) தொலைபேசியில் 5 நிமிடங்களுக்கு குறைவாக பேசும் நிமிடங்களின் எண்ணிக்கை நிகழ்தகவு 
\(\mathrm{P}(\mathrm{X}<5) =A \int_0^5 e^{-\frac{x}{5}} d x \)
\( =\frac{1}{5}\left[\frac{e^{-\frac{x}{5}}}{-\frac{1}{5}}\right]_0^5=-\left[\mathrm{e}^{-1}-\mathrm{e}^0\right] =1-\frac{1}{e}=\frac{e-1}{e} \)
(iii) 5 மற்றும் 10 நிமிடங்கள் பேசும் நிமிடங்களில் எண்ணிக்கைகளின் நிகழ்தகவு
\(P(5 \leq X \leq 10)=A \int_5^{10} e^{-\frac{x}{5}} d x=\frac{1}{5}\left[\frac{e^{-\frac{x}{5}}}{-\frac{1}{5}}\right]_5^{10}\)
\( =-\left[\mathrm{e}^{-2}-\mathrm{e}^{-1}\right]=\mathrm{e}^{-1}-\mathrm{e}^{-2} =\frac{1}{e}-\frac{1}{e^2}=\frac{e-1}{e^2} \)

நிறை = x என்க. மாணவர்களின் எண்ணிக்கை = y என்க. கூட்டு நிகழ்வெண் பரவலில் மாற்றம் செய்த பிறகு கிடைக்கும் வேறுபாட்டு அட்டவணை.

70 க்கு கீழ் நிறை கொண்ட மாணவர்களின் எண்ணிக்கையை காண நாம் முன்நோக்கு இடைவெளி சூத்திரத்தை பயன்படுத்துவோம்.
y_(x=x0+nh)=\({ y }_{ 0 }+\frac { n }{ 1! } \triangle y_{ 0 }+\frac { n(n-1) }{ 2! } { \triangle }^{ 2 }{ y }_{ 0 }+\frac { n(n-1)(n-2) }{ 3! } { \triangle }^{ 0 }y_{ 0 }+....\) 
x= 70 இடத்து y-ஐ காண வேண்டும்  
∴  x₀+nh=70, x₀=40, h=20
40+N(20)=70 ⇒ N=1.5
∴ Y_(x=70)=250+1.5(120)+\(\frac { (1.5)(0.5) }{ 2! } (-20)+\frac { (1.5)(0.5)(-0.5) }{ 3! } (-10)+\frac { (1.5)(0.5)(-0.5)(-1.5) }{ 4! } (20)\)
=250+180-7.5-0.625+0.46875
=423.59
=424
60-க்கும் 70-க்கும் இடைப்பட்ட நிறை கொண்ட மாணவர்களின் எண்ணிக்கை
=y(70)-y(60)=424-370=54

சமன்நிலை விலையில், Q_d=Q_s
⇒ 29-2p-5\(\frac { dp }{ dt } +\frac { d^{ 2 }p }{ dt^{ 2 } } \) =5+4p
⇒ 24-6p-5\(\frac { dp }{ dt } +\frac { d^{ 2 }p }{ dt^{ 2 } } \)=0
⇒ \(\frac { d^{ 2 }p }{ dt^{ 2 } } -\frac { dp }{ dt } -6p\)=-24
(D²-5D-6)p=-24
துணைச் சமன்பாடு :
m²-5m-6=0
(m-6)(m+1)=0
⇒ m=6,-1
C.F=Ae^6t+Be^-t
P.I=\(\frac { 1 }{ \phi (D) } f(t)\)
=\(\frac { 1 }{ { D }^{ 2 }-5D-6 } (-24)e^{ 0t }\)
=\(\frac { -24 }{ -6 } \) (D-க்கு பதிலாக 0 வை பிரதியிட)
=4
பொதுத் தீர்வு p=C.F+P.I
=Ae^6t+Be^-t+4

சமநிலையில்,தேவைச் சார்பு = அளிப்புச் சார்பு 
\(\mathrm{p}_{\mathrm{d}}  =\mathrm{p}_{\mathrm{s}} \)
\(\frac{8}{x+1}-2 =\frac{x+3}{2} \)
\(\frac{8}{x+1}-\frac{x+3}{2}  =2 \)
\(\frac{16-\left(x^2+3 x+x+3\right)}{2(x+1)}  =2 \)
\(16-x^2-4 x-3  =4 x+4 \)
\(x^2+8 x-9 =0 \)
(x+9)(x-1) =0
(x என்பது குறை எண்ணாக இருக்க முடியாது)
x ன் ஒரே மதிப்பு =1
\(p_{\mathrm{d}}=\frac{8}{2}-2=4-2=2\)
நுகர்வோர் உபரி
\(\mathrm{CS}=\int_0^{x_0} f(x) d x-x_0 p_0\)
\(=\int_0^1\left[\frac{8}{x+1}-2\right] d x-2 \)
\(=8[\log (x+1)]_0^1-[2 x]_0^1-2 \)
\(=8[\log 2-\log 1]-2(1-0)-2 \)
=(8 log 2-4)  அலகுகள்
உற்பத்தியாளர் உபரி
\(\text { PS }  =x_0 p_0-\int_0^{x_0} g(x) \mathrm{dx} \)
\(=2-\frac{1}{2} \int_0^1(x+3) \mathrm{d} x \)
\(=2-\frac{1}{2}\left[\frac{x^2}{2}+3 x\right]_0^1 \)
\(=2-\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}+3\right]=2-\frac{7}{4}=\frac{1}{4}\) 
C.S=-(8log 2-4) அலகுகள், P.S=\(\frac{1}{4}\) அலகுகள்

\(\int \frac { (3x+2)dx }{ (x-2)(x-3) } \)
\(\frac { 3x+2 }{ (x-2)(x-3) } \)= \(\frac { A }{ x-2 } +\frac { B }{ x-3 } \)
3x + 2 =A(x-3)+B(x-2)
x = 3, எனில் 11 = B
x = 2, எனில்  8= -A \(\Rightarrow \) A= -8
\(\frac { 3x+2 }{ (x-2)(x-3) } \)= -\(\frac { 8 }{ x-2 } +\frac { 11 }{ x-3 } \)
\(\int \frac { (3x+2)dx }{ (x-2)(x-3) } \)= - \(8\int \frac { dx }{ x-2 } +11\int \frac { dx }{ x-3 } \)
\(=-8\log |x-2|\) + 11log |x-3|+c

கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பிற்கான அணிச் சமன்பாடு 
\(\left( \begin{matrix}3 & 1 & λ\\ 2&1&1\\ 1& 2& -λ\end{matrix} \right) \)\(\left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \)=\(\left( \begin{matrix} 1\\2\\ -1\end{matrix} \right) \)
  AX =B 
சமன்பாட்டுத் தொகுப்பானது ஒருங்கமைவுடையது மற்றும் ஒரேயொரு  தீர்வு இல்லாமலிருப்பதால்,
ρ(A,B ) = ρ(A) < 3 எனவே  |A | =0
\(\begin{vmatrix} 3 & -1 & \lambda \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -\lambda \end{vmatrix}\) = 0
3(-\(\lambda \)-2) + 1 (-2\(\lambda \)-1)+\(\lambda \)(4-1) = 0
-3\(\lambda \) - 6 - 2\(\lambda \)-1+3\(\lambda \) = 0
-2\(\lambda \) =7
\(\lambda \)=\(\frac { -7 }{ 2 } \)