சமன்நிலை விலையில், Q_d=Q_s
⇒ 29-2p-5\(\frac { dp }{ dt } +\frac { d^{ 2 }p }{ dt^{ 2 } } \) =5+4p
⇒ 24-6p-5\(\frac { dp }{ dt } +\frac { d^{ 2 }p }{ dt^{ 2 } } \)=0
⇒ \(\frac { d^{ 2 }p }{ dt^{ 2 } } -\frac { dp }{ dt } -6p\)=-24
(D²-5D-6)p=-24
துணைச் சமன்பாடு :
m²-5m-6=0
(m-6)(m+1)=0
⇒ m=6,-1
C.F=Ae^6t+Be^-t
P.I=\(\frac { 1 }{ \phi (D) } f(t)\)
=\(\frac { 1 }{ { D }^{ 2 }-5D-6 } (-24)e^{ 0t }\)
=\(\frac { -24 }{ -6 } \) (D-க்கு பதிலாக 0 வை பிரதியிட)
=4
பொதுத் தீர்வு p=C.F+P.I
=Ae^6t+Be^-t+4

(3D²-D-14)y=\(4-13{ e }^{ \frac { -7 }{ 3 } x }\)
துணைச் சமன்பாடு :
3m²-+m-14=0
(3m+7)(m-2)=0
m=\(\frac { -7 }{ 3 } \),2
C.F =\(Ae^{ \frac { -7 }{ 3 } ,2 } + Be^ {2x}\)
⇒ PI=\(\frac { 1 }{ \phi (D) } f(x)=\frac { 1 }{ 3D^{ 2 }+D-14 } \left( 4-13{ e }^{ \frac { -7 }{ 3 } x } \right) \)
=\(\frac { 1 }{ 3{ D }^{ 2 }+D-14 } (4)+\frac { 1 }{ 3D^{ 2 }+D-14 } \left( -13{ e }^{ \frac { -7 }{ 3 } x } \right) \)
=PI₁+PI₂
P.I₁=\(\frac { 1 }{ 3{ D }^{ 2 }+D-14 } 4e^{ 0x }\)
=\(\frac { 1 }{ 0+0-14 } 4e^{ 0x }\)  (D -க்கு பதிலாக 0 என பிரதியிட)
P.I₁=\(\frac { -4 }{ 14 } \)
P.I₂=\(\frac { 1 }{ 3D^{ 2 }+D-14 } \times (-13)e^{ \frac { -7 }{ 3 } x }\)
D -க்கு பதிலாக \(\frac { -7 }{ 3 } \) என பிரதியிட, 3D²+D-14=0
∴ P.I₂=\(x\frac { 1 }{ 6D+1 } \left( -13{ e }^{ \frac { -7 }{ 3 } x } \right) \)
D -க்கு பதிலாக \(\frac { -7 }{ 3 } \) என பிரதியிட,
∴ P.I₂=\(x\frac { 1 }{ 6\left( \frac { -7 }{ 3 } \right) +1 } \left( -13{ e }^{ \frac { -7 }{ 3 } x } \right) \)
=\(x\frac { 1 }{ -13 } \left( -13{ e }^{ \frac { -7 }{ 3 } x } \right) \\ \)=\(xe^{ \frac { -7 }{ 3 } x }\)
பொதுத் தீர்வு: y=C.F+P.I₁+P.I₂
y=\(Ae^{ \frac { -7 }{ 3 } x }+Be^{ 2x }-\frac { 2 }{ 7 } +xe^{ \frac { -7 }{ 3 } x }\)

(D²-2D+1)y=e^2x+e^x
துணைச் சமன்பாடு:
m²-2m+1=0
⇒ (m-1)(m-1)=0
m=1,1
C.F=(Ax+B)e^x
PI=\(\frac { 1 }{ \phi (D) } f(x)=\frac { 1 }{ { D }^{ 2 }-2D+1 } \)(e^2x+e^x)
இங்கு, P.I₁=\(\frac { 1 }{ { D }^{ 2 }-2D+1 } \)e^2x
=\(\frac { 1 }{ 4-4+1 } \)e^2x (D க்கு பதிலாக 2 ஐ பிரதியிட)
=e^2x
மற்றும் P.I₂ =\(\frac { 1 }{ { D }^{ 2 }-2D+1 } \)ex
=\(\frac { 1 }{ (D-1)^{ 2 } } \)
D க்கு 1-ஐ பிரதியிட (D-1)²=0
∴ P.I₂=x.\(\frac { 1 }{ 2(D-1) } \)ex
D க்கு பதிலாக 1-ஐ பிரதியிட, 2(D–1) = 0
P.I₂=x²\(\frac{1}{2}\)ex
பொதுத் தீர்வு: y=C.F+P.I₁+P.I₂
y=(Ax+B)ex+e^2x+\(\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \)e^x

\(\frac { { d }^{ 2 }x }{ dt^{ 2 } } -3\frac { dx }{ dt } +2x\)=0
(D²-3D+2)x=0 இங்கு D=\(\frac { d }{ dt } \) மற்றும் D²=\(\frac { { d }^{ 2 } }{ dt^{ 2 } } \)
துணைச் சமன்பாடு: m²-3m+2=0
(m-1)(m-2)=0
m=1,2
நிரப்புச் சார்பு : C.F=Ae^t+Be^2t
பொதுத் தீர்வு: x=Ae^t+Be^2t          ....(1)
t= 0 மற்றும் x = 0 எனில்,
(i) ⇒ 0=A+B              .....(2)
(1) -ல் t-ஐ பொறுத்து வகைக் காண,
\(\frac { dx }{ dt } \)=Ae^t+2Be^2t
t=0 மற்றும் \(\frac { dx }{ dt } \)=1 எனில்,
A+2B=1        (3)
A+B=0 மற்றும் A+2B=1-ஐ தீர்க்க, நாம் பெறுவது A = –1, B = 1 ஆகும்.
∴ (1) ⇒ x=-e^t+e^2t
=e^2t-e^t
வகை II : f (x) e^ax = அதாவது, \(\phi \)(D)y=e^ax
P.I=\(\frac { 1 }{ \phi (D) } e^{ ax }\)
D = a எனும்பொழுது \(\phi \)(D)≠0 எனில், D- க்கு பதிலாக a யை பிரதியிடவும்.
D = a எனும்பொழுது \(\phi \)(D) = 0 எனில்
P.I=x\(\frac { 1 }{ \phi '(D) } e^{ ax }\)
D = a எனும்பொழுது \(\phi \)'(D) ≠0 எனில் Dக்கு பதிலாக a-ஐப் பிரதியிடவும்.
D = a எனும்பொழுது \(\phi \)'(D)=0 எனில்
P.I=x²\(\frac { 1 }{ \phi "(D) } e^{ ax }\\ \\ \) இவ்வாறாக தொடரலாம்.

\(\frac { dy }{ dx } \)-(3cotx).y=sin2x
இது \(\frac { dy }{ dx } \)+Py=Q என்ற வடிவில் உள்ளது.
இங்கு P=-3cotx, Q=sin2x
\(\int { P } dx=\int { -3 \cot x } dx=-3\log \sin x=-\log \sin^{ 3 }x=\log\frac { 1 }{ \sin^{ 3 }x } \)
I.F.=\(e^{ log\frac { 1 }{ sin^{ 3 }x } }=\frac { 1 }{ sin^{ 3 }x } \)
தேவையான தீர்வு: y(I.F)=\(\int { Q(I.F) } dx\)+c
\(y\frac { 1 }{ sin^{ 3 }x } =\int { sin2x } \frac { 1 }{ sin^{ 3 }x } dx+c\)
\(y\frac { 1 }{ sin^{ 3 }x } =\int { 2sinxcosx } \times \frac { 1 }{ sin^{ 3 }x } dx+c\)
=\(2\int { \frac { 1 }{ sinx } \times \frac { cosx }{ sinx } } dx+c\)
= 2∫cosec x cot x xdx+c
\(y\frac { 1 }{ sin^{ 3 }x } \)=-2cosecx+c     .....(1)
x=\(\frac { \pi }{ 2 } \) மற்றும் y=2 எனில்,
(i) ⇒ 2\(\left( \frac { 1 }{ 1 } \right) \)=-2 x 1 + c ⇒ c=4
∴  (1) ⇒  \(y\frac { 1 }{ sin^{ 3 }x } \)=-2cosecx+4