t வருடத்திற்கான நிகழ்கால மதிப்பு =\(\int _{ 0 }^{ t }{ 72000e^{ -0.09t } } dt\)
12 வருடத்திற்கான நிகழ்கால மதிப்பு =\(\int _{ 0 }^{ 12 }{ 72000e^{ -0.09t } } dt\)
=\(72000\left[ \frac { { e }^{ -0.09t } }{ -0.09 } \right] _{ 0 }^{ 12 }\)
=\(\frac { 72000 }{ -0.09 } \left[ { e }^{ -0.09(12) }-{ e }^{ 0 } \right] \)
=-800000[e^-1.08-e⁰]
=-800000[0.3396-1]
=528320
இயந்திரத்திற்கான செலவு =500000 - 30000
=470000
எனவே இயந்திரத்தை வாடகைக்கு பெறுவது இலாபகரமானது அல்ல. ஆதலால் இயந்திரத்தை வாங்குவதே சிறந்தது.

கணக்கின்படி MC =8+6x
C(x)=\(\int { (8+6x) } dx+{ k }_{ 1 }\)
=8x+3x²+k₁        .....(1)
x = 0 எனும் பொழுது  C = 0 ⇒ k₁=0
∴ C(x)=8x+3x²     .....(2)
மேலும் MR=24
R(x)=\(\int { MR } dx+{ k }_{ 2 }\)
=\(\int { 24 } dx+{ k }_{ 2 }\)
=24x+k₂
x = 0 எனில், வருவாய் = 0 ⇒ k₂=0
R(x)=24x  ...(3)
இலாபச்சார்பு P(x) = R(x) – C(x)
P(x)=24x–8x–3x²
=16x–3x²

கணக்கின்படி, C(x)=\(\int { C' } (x)dx+{ k }_{ 1 }\)
=\(\int { \left( 50+\frac { x }{ 50 } \right) dx } +{ k }_{ 1 }\)
C(x)=\(50x +\frac { x^ 2 }{ 100 } +{ k }_{ 1 }\)
மாறாச் செலவு: k₁=200 (கணக்கின்படி)
செலவுச்சார்பு : C(x)=50x+\(\frac { { x }^{ 2 } }{ 100 } \)+200      .....(1)
இறுதிநிலை வருவாய்ச்சார்பு : =R'(x)=60
R(x) =\(\int { R'(x) } dx+{ k }_{ 2 }\)
=\(\int { 60 } dx+{ k }_{ 2 }\)
=60x+k₂
உற்பத்தி அளவு =0 எனில் வருவாய் = 0 ஆகும்.
அதாவது, x = 0 எனும்பொழுது R = 0 ⇒ k₂=0
∴ வருவாய் : R(x)=60x
இலாபம் : P = மொத்த வருவாய் – மொத்தச் செலவு
=60x-50x-\(\frac { { x }^{ 2 } }{ 100 } \)-200
=10x-\(\frac { { x }^{ 2 } }{ 100 } \)-200
\(\frac { dp }{ dx } \)=10-\(\frac { x }{ 50 } \)
மீப்பெரு இலாபத்திற்கு, \(\frac { dp }{ dx } \)=0 ⇒ x=500
\(\frac { { d }^{ 2 }P }{ dx^{ 2 } } =\frac { -1 }{ 50 } \)<0
∴ x=500 இல், மீப்பெரு இலாபம்: P=10(500)-\(\frac { (500)^{ 2 } }{ 100 } \)-200
=5000-2500-200
=2300
மீப்பெரு இலாபம் =ரூ.2,300.

கொடுக்கப்பட்ட MR=a(x+b)^-2-c
R=\(\int { a(x+b)^{ -2 } } dx-c\int { dx } \)
R=\(\frac { a(x+b)^{ -1 } }{ -1 } \)-cx+k
R=\(-\frac { a }{ x+b } \)-cx+k
x = 0 எனும்பொழுது R = 0
∴ 0=\(-\frac { a }{ b } \)-c(0)+k
k =\(\frac { a }{ b } \)
R=\(-\frac { a }{ x+b } -cx+\frac { a }{ b } \)
\(=\frac { -ab+a(x+b) }{ b(x+b) } \)-cx
R=\(\frac { ax }{ b(x+b) } -cx\)
தேவைச் சார்பு: p=\(\frac { R }{ x } \)
p=\(\frac { a }{ b(x+b) } -c\)
p+c=\(\frac { a }{ b(x+b)\quad } \)
b(x+b)=\(\frac { a }{ p+c } \)
x =\(\frac { a }{ b(p+c) } -b\).

t மாதங்களுக்குப் பிறகு நிறுவனத்தின் மொத்த விற்பனை F(t) எனில் நிறுவனத்தின் விற்பனை விகிதச் சார்பு \(\frac { d }{ dt } \)F(t)=f(t)
∴ F(t)=\(\int _{ 0 }^{ t }{ f(t) } dt\)
4 மாதங்களுக்குப் பிறகு ஒட்டுமொத்த விற்பனை
F(4)=\(\int _{ 0 }^{ 4 }{ f(t) } dt\)
=\(\int _{ 0 }^{ 4 }{ 3000e^{ -0.3t } } dt\)
=\(3000\left[ \frac { { e }^{ -0.3t } }{ -0.3 } \right] _{ 0 }^{ 4 }\)
=-10000[e^-1.2-e⁰]
=-10000[0.3012-1]
=6988
(ii) ஐந்தாவது மாதத்தின் விற்பனை =\(\int _{ 4 }^{ 5 }{ 3000{ e }^{ -0.3t } } dt\)
=3000\(\left[ \frac { { e }^{ -0.3t } }{ -0.3 } \right] _{ 4 }^{ 5 }\)
=-10000[e^-1.5-e^-1.2]
=-10000[0.2231-0.3012]
=781 அலகுகள்
விளம்பரத்திற்கு பிறகு நிறுவனத்தின்  மொத்த விற்பனை
=\(\int _{ 0 }^{ \infty }{ 3000e^{ -0.3t } } dt=\frac { 3000 }{ -0.3 } \left[ e^{ -0.3t } \right] _{ 0 }^{ \infty }\)
=-10000[0-1]
=10000 அலகுகள்.