\(E(X) =\int_{-\infty}^{\infty} x f(x) d x \)
\( =\int_0^{\infty} x\left(2 e^{-2 x}\right) d x=2 \int_0^{\infty} x e^{-2 x} d x \)
\( =2\left\{\left[\frac{x \mathrm{e}^{-2 x}}{-2}\right]_0-\int_0^{\mathrm{e}^{-2 x}} \frac{\mathrm{d}}{-2} \mathrm{~d} x\right\} \)
\({\left[\because \int \mathrm{udv}=\mathrm{uv}-\int \mathrm{vdu}\right]} \)
\( \int_0^{\infty} \mathrm{e}^{-2 x} \mathrm{~d} x=\left[\frac{\mathrm{e}^{-2 x}}{-2}\right]_0^{\infty}=0+\frac{1}{2}\)
\( \therefore \mathrm{E}(\mathrm{X})=\frac{1}{2} \)

(a) \(\sum p_i =1 \)
\(2 \mathrm{k}+3 \mathrm{k}+4 \mathrm{k} =1 \)
\(9 \mathrm{k} =1 \Rightarrow \mathrm{k}=\frac{1}{9}\)
(b) \(P(X>2) =P(X=3)+P(X=5) =3 k+4 k=7 k=\frac{7}{9}\)

f ஒரு நிகழ்தகவு அடர்த்திச் சார்பு 
\(\therefore \int_{-\infty}^{\infty} f(x) d x =1 \Rightarrow k \int_0^4 d x=1 \)
\(k[x]_0^4 =1 \Rightarrow \mathrm{k}(4-0)=1 \)
\(4 \mathrm{k} =1 \Rightarrow \mathrm{k}=\frac{1}{4} \)
\(P(2 \leq X \leq 4) =k \int_2^4 d x=\frac{1}{4}[x]_2^4=\frac{1}{4}(4-2) \)
\(=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)

சமவாய்ப்பு மாறியின் எதிர்பார்த்தல்.
\(E\left( X \right) =\int _{ -\infty }^{ \infty }{ xf(x)dx } \)
= \(\int _{ 100 }^{ \infty }{ { xe }^{ \frac { x }{ 100 } }dx } \)
= \(\left\{ \left[ \left( \frac { { e }^{ \frac { x }{ 100 } } }{ -\frac { 1 }{ 100 } } \right) \right] _{ 100 }^{ \infty }-\int _{ 100 }^{ \infty }{ \left( \frac { { e }^{ \frac { x }{ 100 } } }{ -\frac { 1 }{ 100 } } \right) } dx \right\} \left( \therefore \int { udv=uv-\int { vdu } } \right) \)
= \(\left[ \left( 1000 \right) \left( { e }^{ -1 } \right) +\left( 1000 \right) \left( { e }^{ -1 } \right) \right] \)
= \(\left[ \left( 1000 \right) \left( 0.3679 \right) +\left( 1000 \right) \left( 0.3679 \right) \right] \)
= 7358 மணிகள்
எனவே, வானொலி குழலின்  சராசரி வாழ்நாள் 7,358 மணிகள் ஆகும்.

சமவாய்ப்பு மாறியின் எதிர்பார்க்கத்தக்க மதிப்பு:
\(E\left( X \right) =\int _{ -\infty }^{ \infty }{ xf(x)dx } \)
= \(\int _{ 0 }^{ 25 }{ x\cfrac { 1 }{ 25 } } dx\)
= \(\cfrac { 1 }{ 25 } \int _{ 0 }^{ 25 }{ xdx } \)
= \(\cfrac { 1 }{ 25 } \left[ \cfrac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right] _{ 0 }^{ 25 }\)
= 12.5
எனவே, பயணி எதிர்பார்க்கத்தக்க காத்திருப்பு நேரம் 12.5 நிமிடங்கள் ஆகும்