நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 25 } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ 9 } =1\) 
\(\therefore { a }^{ 2 }=25\) 
b² = 9
\(\therefore e=\sqrt { 1-\cfrac { { b }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } } =\sqrt { 1-\cfrac { 96 }{ 25 } } =\sqrt { \cfrac { 16 }{ 25 } } =\cfrac { 4 }{ 5 } \) 
குவியங்கள் \(\left( ae,0 \right) =\left( 5\times \cfrac { 4 }{ 5 } ,0 \right) =(4,0)\) 
அதிபரவளையம்,நீள்வட்டமும் ஒரே குவியங்களை கொண்டுள்ளதால், அதிபரவளையத்தின் குவியங்கள் \(\left( \pm 4,0 \right) \) 
அரைக்குறுக்கச்சின் நீளம் A என்க 
\(\therefore Ae=4\Rightarrow 2A=\cfrac { 4 }{ e } =\cfrac { 4 }{ 2 } =2\) \(\left[ \therefore e=2 \right] \) 
அரை துணையச்சின் சமன்பாடு \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ { A }^{ 2 } } -\cfrac { { y }^{ 12 } }{ { B }^{ 2 } } =1\) 
\(\Rightarrow \cfrac { { x }^{ 2 } }{ 4 } -\cfrac { { y }^{ 2 } }{ 12 } =1\)

\(\frac { x-3 }{ 3 } =\frac { y-8 }{ -1 } =\frac { z-3 }{ 1 } \) என்ற கோட்டிலிருந்து கிடைப்பது 
\(\overset { \rightarrow }{ a } =3\overset { \wedge }{ i } +8\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } ,\overset { \rightarrow }{ b } =3\overset { \wedge }{ i } -\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \)
\(\frac { x+3 }{ -3 } =\frac { y+7 }{ 2 } =\frac { z-6 }{ 4 } \) என்ற கோட்டிலிருந்து கிடைப்பது 
\(\overset { \rightarrow }{ c } =-3\overset { \wedge }{ i } -7\overset { \wedge }{ j } +6\overset { \wedge }{ k } \) மற்றும் \(\overset { \rightarrow }{ d } =-3\overset { \wedge }{ i } +2\overset { \wedge }{ j } +4\overset { \wedge }{ k } \)
கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் இணையில்லாததால் கோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட குறைந்தபட்ச தூரம் 
\(d=\left| \frac { \left( \overset { \rightarrow }{ c } -\overset { \rightarrow }{ a } \right) .\left( \overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ d } \right) }{ \left| \overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ d } \right| } \right| \)
\(\overset { \rightarrow }{ c } -\overset { \rightarrow }{ a } =-6\overset { \wedge }{ i } -15\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } \)
\(\overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ d } =\left| \begin{matrix} \overset { \wedge }{ i } \\ 3 \\ -3 \end{matrix}\begin{matrix} \overset { \wedge }{ j } \\ -1 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} \overset { \wedge }{ k } \\ 1 \\ 4 \end{matrix} \right| \)
\(=\overset { \wedge }{ i } (-4-2)-\overset { \wedge }{ j } (12+3)+\overset { \wedge }{ k } (6-3)\)
\(=-6\overset { \wedge }{ i } -15\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } \)
\(\therefore \left| \overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ d } \right| =\sqrt { 36+225+9 } =\sqrt { 270 } \)
\(\therefore \left( \overset { \rightarrow }{ c } -\overset { \rightarrow }{ a } \right) .\left( \overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ d } \right) =\left( -6\overset { \wedge }{ i } -15\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } \right) .\left( -6\overset { \wedge }{ i } -15\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } \right) \)
= -6 (-6) + 15 (15) + 3 (3)
= 270 ≠ 0
கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் வெட்டுவதுமில்லை இணையுமில்லை ஆதலால் அவைகள் ஒரு தளம் அமைய கோடுகள்  எனப்படும்.
\(\therefore d=\frac { 270 }{ \sqrt { 270 } } =\sqrt { 270 } \) அலகுகள்.

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு (a²+b²+c²)P²-2(ab+bc+cd)p+(b²+c²+d²)≤0  ...(1)
(1) ஐ மாற்றி எழுதலாம் 
(a²p²-2abp+b²)+(b²p²-2cp+c²)+(c²p²-2cdp+d²)≤0
(ap-b)²+(bp-c)²+(cp-d)²≤0     .....(2)
a,b,c,d, p∈ R எனில் 
(ap-b)²≥0, (bp-c)²≥0 மற்றும் (cp-d)²≥0
∴ (2) நிறைவு செய்யப்பட வேண்டுமெனில் 
ap-b=0, bp-c=0, cp-d=0
\(\frac { b }{ a } =\frac { c }{ b } =\frac { d }{ c } =p\)
⇒ a,b, c,d பெருக்குத் தொடரில் உள்ளன. மற்றும் ad=bc 

LHS = 2 arg (-1)
= 2 arg (cos π + i sin π) = 2π
RHS = arg(-1)² = arg (1)
= arg (cos θ + i sin θ) = 0
ஃ LHS ≠ RHS

LHS = \({ tan }^{ -1 }\left( \frac { 1-x }{ 1+x } \right) -{ tan }^{ -1 }\left( \frac { 1-y }{ 1+y } \right) \) = tan^-1 (1) - tan^-1 (x) - (tan^-1 (1) - tan^-1 (y))
\(\left[ \because { tan }^{ -1 }\left( \frac { x-y }{ 1+xy } \right) ={ tan }^{ -1 }x-{ tan }^{ -1 }y \right] \)
= tan^-1 (1) - tan^-1 (x) - (tan^-1 (1) - tan^-1 (y))
= tan^-1 (y) - tan^-1 (x)
\(={ tan }^{ -1 }\left( \frac { y-x }{ 1+xy } \right) \)
\(={ sin }^{ -1 }\left( \frac { y-x }{ \sqrt { 1+{ (yx) }^{ 2 }+{ (y-x) }^{ 2 } } } \right) \)
\(={ sin }^{ -1 }\left( \frac { y-x }{ \sqrt { \left( 1+{ x }^{ 2 } \right) \left( 1+{ x }^{ 2 } \right) } } \right) \)
= RHS

\(\frac { 1 }{ x } =a,\quad \frac { 1 }{ y } =b,\quad \frac { 1 }{ z } =c\)
எனக் கொடுக்கப்பட்டால் 
∴ 2a+3b+10c=4   ....(1)
   4a-6b+5c=1      ....(2)
6a+9b-20c=2       ....(3)
\(\Delta =\left| \begin{matrix} 2 & 3 & 10 \\ 4 & -6 & 5 \\ 6 & 9 & -20 \end{matrix} \right| \)
\(=2\left| \begin{matrix} -6 & 5 \\ 9 & -20 \end{matrix} \right| -3\begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 6 & -20 \end{vmatrix}+10\begin{vmatrix} 4 & -6 \\ 6 & 9 \end{vmatrix}\)
=2(120-45)-3(-80-30)+10(36+36)
=150+330+720=1200
\({ \Delta }_{ 1 }=\left| \begin{matrix} 4 & 3 & 10 \\ 1 & -6 & 5 \\ 2 & 9 & -20 \end{matrix} \right| \)
\(\\ =4\begin{vmatrix} -6 & 5 \\ 9 & -20 \end{vmatrix}-3\begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 2 & -20 \end{vmatrix}+10\begin{vmatrix} 1 & -6 \\ 2 & 9 \end{vmatrix}\)
=4(120-45)-3(-20-10)+10(9+12)
=300+90+120=600
\({ \Delta }_{ 2 }=\left| \begin{matrix} 2 & 4 & 10 \\ 4 & 1 & 5 \\ 6 & 2 & -20 \end{matrix} \right| =2\begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 2 & -20 \end{vmatrix}-4\begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 6 & -20 \end{vmatrix}+10\begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 6 & 2 \end{vmatrix}\)
=2(-2-10)-4(-80-30)+(8-6)
=-60+440+20=400
\({ \Delta }_{ 3 }=\left| \begin{matrix} 2 & 3 & 4 \\ 4 & -6 & 1 \\ 6 & 9 & 2 \end{matrix} \right| =2\begin{vmatrix} -6 & 1 \\ 9 & 2 \end{vmatrix}-3\begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 6 & 2 \end{vmatrix}+4\begin{vmatrix} 4 & -6 \\ 6 & 9 \end{vmatrix}\)
=2(-12-9)-3(8-6)+4(36+36)
=-42-6+288=240
\(\therefore a=\frac { { \Delta }_{ 1 } }{ \Delta } =\frac { 600 }{ 1200 } =\frac { 1 }{ 2 } \Rightarrow \frac { 1 }{ x } =\frac { 1 }{ 2 } \Rightarrow x=2\)
\(\therefore b=\frac { { \Delta }_{ 2 } }{ \Delta } =\frac { 400 }{ 1200 } =\frac { 1 }{ 3 } \Rightarrow \frac { 1 }{ y } =\frac { 1 }{ 3 } \Rightarrow y=3\)
\(\therefore c=\frac { { \Delta }_{ 3 } }{ \Delta } =\frac { 240 }{ 1200 } =\frac { 1 }{ 5 } \Rightarrow \frac { 1 }{ z } =\frac { 1 }{ 5 } \Rightarrow z=5\)
∴ தீர்வு கணம் {2,3,5}

(x₁, y₁, z₁) லிருந்து தளம் ax + by + cz - p = 0
செங்குத்தின் நீளம் \(\left| \cfrac { { { ax }_{ 1 }+{ { by }_{ 1 }+{ cz }_{ 1 }-p } } }{ \sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }+{ c }^{ 2 } } } \right| \) 
\(\therefore\) (1, -2, 3) லிருந்து தளத்துக்கான செங்குத்தின் நீளம் 
\(x-y+z-5=0,\delta =\left| \cfrac { 1-(-2)+3(-5) }{ \sqrt { { 1 }^{ 2 }+\left( -1 \right) ^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 } } } \right| \) 
= \(\left| \cfrac { 1+2+3-5 }{ \sqrt { 1+1+1 } } \right| =\left| \cfrac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \right| \) 
= \(\cfrac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \) அலகுகள் 

கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் 
\(\frac { x-1 }{ 2 } =\frac { y+1 }{ \lambda } =\frac { z }{ 2 } \) மற்றும் \(\frac { x-1 }{ 2 } =\frac { y+1 }{ \lambda } =\frac { z }{\lambda } \)
\(\therefore \vec { a } =\hat { i } -\hat { j } ,\vec { b } =2\hat { i } +\lambda \hat { j } +2\hat { k } \)
\(\vec { c } =-\hat { i } -\hat { j } ,\vec { d } =2\hat { i } +\lambda \hat { 2j } +\lambda \hat { k } \)\
\(\left( \vec { c } -\vec { a } \right) =-2\hat { l } \)
மற்றும் \(\left( \vec { b } \times \vec { d } \right) =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 2 & \lambda & 2 \\ 5 & 2 & \lambda \end{matrix} \right| \)
= \(\hat { i } \left( { \lambda }^{ 2 }-4 \right) -\hat { j } \left( 2\lambda -10 \right) +\hat { k } \left( 4-5\lambda \right) \)
கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் ஒரு தளம் அமைவன 
ஆதலால் \(\left( \vec { c } .\vec { a } \right) .\left( \vec { b } \times \vec { d } \right) =0\)
\(\Rightarrow \left( -2\vec { i } \right) .\left[ \left( { \gamma }^{ 2 }-4 \right) \hat { i } -\hat { j\left( 2\lambda -10 \right) } +\hat { k } \left( 4-5\lambda \right) \right] =0\)
\(\Rightarrow -2l\left( { l }^{ 2 }4 \right) =0\)
\(\Rightarrow { \lambda }^{ 2 }=4\)
\(\Rightarrow \lambda =\pm \sqrt { 4 } =\pm 2\)
கொடுக்கப்பட்ட கோடுகளை கொண்டிருக்கும் தளத்தின் கார்டீசியன் சமன்பாடு 
\(\left| \begin{matrix} x-{ x }_{ 2 } & y-{ y }_{ 2 } & z-{ z }_{ 2 } \\ { b }_{ 1 } & { b }_{ 2 } & { b }_{ 3 } \\ { d }_{ 1 } & { d }_{ 2 } & { d }_{ 3 } \end{matrix} \right| \)
\(\Rightarrow \left| \begin{matrix} x+1 & y-{ 1 } & z \\ 2 & -2 & 2 \\ 5 & 2 & 2 \end{matrix} \right| =0\)
\( (x-1)(0)-(y+1)(-14)+z(4+10)=0 \\ 14(y+1)+14 z=0 \\ 14 y+14+14 z=0 \\ y+z+1=0 \)
என்பது கொடுக்கப்பட்ட கோடுகளை கொண்டிருக்கும் தேவையான தளத்தின் சமன்பாடு .

ஆதிப்புள்ளி A என்க. B -யின் நிலைவெக்டர் \(\overset \rightarrow {b}\) மற்றும் C -ன் நிலைவெக்டர் \(\overset \rightarrow {c }\)என்க. BC-ன் நடுப்புள்ளி D என்பதால் D-ன் நிலை வெக்டர் \(\frac { \vec { b } +\vec { c } }{ 2 } \) ஆகும். எனவே, \(\vec { AD } \) = \(\frac{\hat{b}+\hat{c}}{2}\)ஆகும்.
இப்பொழுது, 
\({ \left| \vec { AD } \right| }^{ 2 }=\vec { AD } .\vec { AD } \)= \(\left( \frac { \vec { b } +\vec { c } }{ 2 } \right) .\left( \frac { \vec { b } +\vec { c } }{ 2 } \right) \)= \(\frac { 1 }{ 4 } ({ \left| \vec { b } \right| }^{ 2 }+{ \left| \vec { c } \right| }^{ 2 }+2\overrightarrow { b } .\vec { c } )\)..........(1)
மேலும், \(\vec { BD } =\vec { AD } -\vec { AB } \) = \(\frac { \vec { b } +\vec { c } }{ 2 } -\vec { b }=\frac { \vec { b } -\vec { c } }{ 2 }\)
எனவே, \({ \left| \vec { BD } \right| }^{ 2 }=\vec { BD } .\vec {BD } \)=\(\left( \frac { \vec { c } +\vec { b} }{ 2 } \right) .\left( \frac { \vec { c } +\vec { b} }{ 2 } \right) \) = \(\frac { 1 }{ 4 } ({ \left| \vec { b } \right| }^{ 2 }+{ \left| \vec { c } \right| }^{ 2 }+2\overrightarrow { b } .\vec { c } )\).........(2)
சமன்பாடுகள் (1) மற்றும் (2) ஆகியவற்றின் கூடுதல் காண, நாம் பெறுவது,
\({ \left| \vec { AD } \right| }^{ 2 }+{ \left| \vec { BD } \right| }^{ 2 }=\frac { 1 }{ 4 } ({ \left| \vec { b } \right| }^{ 2 }+{ \left| \vec { c } \right| }^{ 2 }+2\overrightarrow { b } .\vec { c } )+\frac { 1 }{ 4 } ({ \left| \vec { b } \right| }^{ 2 }+{ \left| \vec { c } \right| }^{ 2 }-2\overrightarrow { b } .\vec { c } )=\frac { 1 }{ 2 } ({ \left| \vec { b } \right| }^{ 2 }+{ \left| \vec { c } \right| }^{ 2 })\)
⇒ \({ \left| \vec { AD } \right| }^{ 2 }+{ \left| \vec { BD } \right| }^{ 2 }=\frac { 1 }{ 2 } ({ \left| \vec { AB } \right| }^{ 2 }+{ \left| \vec { AC } \right| }^{ 2 })\)
எனவே, \({ \left| \vec { AB } \right| }^{ 2 }+{ \left| \vec { AC } \right| }^{ 2 }=2({ \left| \vec { AD } \right| }^{ 2 }+{ \left| \vec { BD } \right| }^{ 2 })\)

(1 + i)¹⁸
1 + i = r (cos θ + isin θ) என்க.
r = \(\sqrt { { 1 }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 } } =\sqrt { 2 } ;\alpha ={ tan }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ 1 } \right) =\frac { \pi }{ 4 } \)
\(\theta =\alpha =\frac { \pi }{ 4 } \)  (\(\because \) 1+i ஆனது முதலாம் கால் பகுதியில் உள்ளதால்)
ஆகவே, 1+ i = \(\sqrt { 2 } \left( cos\frac { \pi }{ 4 } +isin\frac { \pi }{ 4 } \right) \)
இருபுறமும் 18-ன் அடுக்கிற்கு உயர்த்த,
(1 + i)¹⁸ = \({ \left[ \sqrt { 2 } \left( cos\frac { \pi }{ 4 } +isin\frac { \pi }{ 4 } \right) \right] }^{ 18 }\)\(= { \left[ \sqrt { 2 } ^{ 18 }\left( cos\frac { \pi }{ 4 } +isin\frac { \pi }{ 4 } \right) \right]^{18}} \)
டி மாய்வரின் தேற்றப்படி,
(1 + i)¹⁸ = \({ 2 }^{ 9 }\left( cos\frac { 18\pi }{ 4 } +isin\frac { 18\pi }{ 4 } \right) \)
= \({ 2 }^{ 9 }\left( cos\left( 4\pi +\frac { \pi }{ 2 } \right) +isin\left( 4\pi +\frac { \pi }{ 2 } \right) \right) \) = \({ 2 }^{ 9 }\left( cos\frac { \pi }{ 2 } +isin\frac { \pi }{ 2 } \right) \)
(1 + i)¹⁸ = 2⁹(i) = 512i

சுரங்க பாதையின் குறுக்கு வெட்டு நீள்வட்ட வடிவில் உள்ளது என்க.

கொடுக்கப்பட்ட AA' = 16மீ \(\Rightarrow\) OA = 8 மீ மற்றும் OB = 5மீ 
\(\therefore\) \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ { 5 }^{ 2 } } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ { 8 }^{ 2 } } =1\) 
சாலையின் அகலம் BB' மற்றும் AA' சுரங்கப் பாதை திறப்பின் முனைகள் என்க.
CB = 8 மற்றும் BD = 4
D(8, 4) என்ற புள்ளி நீள்வட்டத்தில் உள்ளது.
\( \frac{8^2}{a^2}+\frac{4^2}{5^2} =1 \\ \Rightarrow a^2 =\frac{25}{9} \times 64 \\ \Rightarrow a =\frac{40}{3} \) 
\( \mathrm{AA}^{\prime} =2 a=\frac{80}{3} \\ =26.66 \) 
சுரங்கப்பாதையின் திறப்பின் அகலம் = 26.66 மீ 

பரவளையத்திற்கான சமன்பாடு y² = 8x 
பரவளையத்திற்கான தொடுகோட்டின் துணையலகு வடிவம் yt = x + a²
t=2 எனில், தொடுகோட்டின் சமன்பாடு 
\(y(2)=x+2(2)2\Rightarrow 2y=x+8\)
\(\Rightarrow x-2y+8=0\) தேவையான தொடுகோட்டின் சமன்பாடாகும்.

\({ (2+i\sqrt { 3 } ) }^{ 10 }-(2-i{ \sqrt { 3 } })^{ 10 }\)
இப்பொழுது \(\overline { z } =\overline { (2+i{ \sqrt { 3 } ) }^{ 10 }-(2-i{ \sqrt { 3 } ) }^{ 10 } } \)
\(\overline { z } =\overline { (2+i{ \sqrt { 3 } ) }^{ 10 } } -(2-i{ \sqrt { 3 } ) }^{ 10 }\) \([\because \overline { { z }_{ 1 }-{ z }_{ 2 } } =\overline { { z }_{ 1 } } -\overline { { z }_{ 2 } } ]\)
\(=(2-i{ \sqrt { 3 } ) }^{ 10 }-(2+i{ \sqrt { 3 } ) }^{ 10 }\)
\(=-[(2+i{ \sqrt { 3 } ) }^{ 10 }-(2-i{ \sqrt { 3 } ) }^{ 10 }]=-z\)
\(\therefore \overline { z } =-\overline { z } \Rightarrow z\) முழுவதும் கற்பனை எண்
எனவே \({ (2+i\sqrt { 3 } ) }^{ 10 }-(2-i{ \sqrt { 3 } })^{ 10 }\) முழுவதும் கற்பனை எண்.

ஒரு ஆடவர் தனியாக செய்து முடிப்பதற்கு x நாட்கள் மற்றும் மகளிர் தனியாக செய்து முடிப்பதற்கு y நாட்கள் ஆகும்.
∴ கொடுக்கப்பட்ட தரவின்படி, 
\(\frac { 4 }{ x } +\frac { 4 }{ y } =\frac { 1 }{ 3 } \) மற்றும் \(\frac { 2 }{ x } +\frac { 5 }{ y } =\frac { 1 }{ 4 } \)
\(\frac { 1 }{ x } =s\) மற்றும் \(\frac { 1 }{ y } =t\) என பிரதியிடு 
\(\therefore 4s+4t=\frac { 1 }{ 3 } \) மற்றும் \(2s+5t=\frac { 1 }{ 4 } \)
கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பின் அணி வடிவம் 
\(\left[ \begin{matrix} 4 & 4 \\ 2 & 5 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} s \\ t \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} \frac { 1 }{ 3 } \\ \frac { 2 }{ 4 } \end{matrix} \right] \Rightarrow AX=B\)
\(A=\left[ \begin{matrix} 4 & 4 \\ 2 & 5 \end{matrix} \right] \) மற்றும் \(B=\left[ \begin{matrix} \frac { 1 }{ 3 } \\ \frac { 2 }{ 4 } \end{matrix} \right] \)
X=A^-1 B 
இங்கு \(|A|=\left| \begin{matrix} 4 & 4 \\ 2 & 5 \end{matrix} \right| =20-8=12\neq 0\)
\(\therefore { A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ |A| } adj\quad A=\frac { 1 }{ 12 } \left[ \begin{matrix} 5 & -4 \\ -2 & 4 \end{matrix} \right] \)
\(\therefore X={ A }^{ -1 }B=\frac { 1 }{ 12 } \left[ \begin{matrix} 5 & -4 \\ -2 & 4 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \frac { 1 }{ 3 } \\ \frac { 1 }{ 4 } \end{matrix} \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 12 } \left[ \begin{matrix} \frac { 5 }{ 3 } -1 \\ \frac { -2 }{ 3 } +1 \end{matrix} \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 12 } \left[ \begin{matrix} \frac { 2 }{ 3 } \\ \frac { 1 }{ 3 } \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} \frac { 2 }{ 3 } \times \frac { 1 }{ 12 } \\ \frac { 1 }{ 3 } \times \frac { 1 }{ 12 } \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} \frac { 1 }{ 18 } \\ \frac { 1 }{ 36 } \end{matrix} \right] \)
\(\therefore s=\frac { 1 }{ 18 } \Rightarrow \frac { 1 }{ x } =\frac { 1 }{ 18 } \Rightarrow x=18\)
\(t=\frac { 1 }{ 36 } \Rightarrow \frac { 1 }{ y } =\frac { 1 }{ 36 } \Rightarrow y=36\)
ஆகையால் ஓர் ஆடவர் தனியாக செய்து முடிப்பதற்கு 18 நாட்கள் மற்றும் ஒரு மகளிர் தனியாக செய்து முடிப்பதற்கு 36 நாட்கள் ஆகும்.

(i) A=\(\left[ \begin{matrix} 2 & 0 & -7 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \) என்க. A-ஆனது 3 x 3 வரிசையுடைய அணி மற்றும் \(\rho \)(A) ≤ 3
மூன்றாம் வரிசையுடைய சிற்றணிக்கோவை |A|=\(\left| \begin{matrix} 2 & 0 & -7 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right| \)=(2)(3)(1)=6≠0
எனவே, \(\rho \)(A)=3
எனவே இங்கு மூன்று அபூச்சிய நிரைகள் உள்ளன என்பதைக் கூர்ந்து நோக்குக.
(ii) A=\(\left[ \begin{matrix} -2 & 2 & -1 \\ 0 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right] \) என்க. A ஆனது 3 x 3 வரிசையுடைய அணி எனவே \(\rho \)(A)≤3.
மூன்றாம் வரிசையுடைய சிற்றணிக்கோவை |A| = \(\left| \begin{matrix} -2 & 2 & -1 \\ 0 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right| \) = (2)(5)(0) = 0. எனவே \(\rho \)(A) ≤ 2.
பல இரண்டாம் வரிசையுடைய சிற்றணிக்கோவைகள் உள்ளன. அவற்றுள் ஒன்று \(\left| \begin{matrix} -2 & 2 \\ 0 & 5 \end{matrix} \right| \) =(-2)(5) = -10 ≠ 0. எனவே, \(\rho \)(A) = 2
இங்கு இரண்டு அபூச்சிய நிரைகள் உள்ளன என்பதை நோக்குக. மூன்றாவது நிரை பூச்சிய நிரையாகும்.
(iii) A=\(\left[ \begin{matrix} 6 \\ 0 \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{matrix}\begin{matrix} -9 \\ 0 \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{matrix} \right] \)என்க. A ஆனது 4 x 3 வரிசையுடைய அணியாகும் மற்றும் \(\rho \)(A) ≤3. அனைத்து மூன்றாம் வரிசையுடைய சிற்றணிக் கோவைகளின் மதிப்பு 0 ஆகும். எனவே \(\rho \)(A) <3.
கடைசி இரு நிரைகள் பூச்சிய நிரைகளாகும். நிறைய இரண்டாம் வரிசையுடைய சிற்றணிக்கோவைகள் உள்ளன. அவற்றுள் ஒன்று \(\left| \begin{matrix} 6 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right| \)=(6) (2)=12≠0. எனவே, \(\rho \)(A)=2
இரண்டு அபூச்சிய நிரைகள் உள்ளன என்பதை நோக்குக மூன்றாவது மற்றும் நான்காவது நிரைகள் பூச்சிய நிரைகளாகும்.

வட்டத்தின் சமன்பாடு x² + y² = 64
\(\therefore { a }^{ 2 }=64\Rightarrow a=8\) 
கொடுக்கப்பட்ட கோடு 3x + 4y = p
\(4y=-3x+p\Rightarrow y=\cfrac { -3 }{ 4 } x+\cfrac { p }{ 4 } \) 
\(m=\cfrac { -3 }{ 4 } \) மற்றும் \(c=\cfrac { p }{ 4 } \)
y = mx + c வட்டத்திற்கு தொடுகோடாக இருக்க நிபந்தனை c² = a²(1 + m²)
\(\therefore \left( \cfrac { p }{ 4 } \right) ^{ 2 }=64\left( 1+\cfrac { 9 }{ 16 } \right) \) 

\(p=\pm \sqrt { 64(25) } =\pm 8(5)\) 
\(\therefore p=\pm 40\)

கொடுக்கப்பட்ட தளங்களின் வெட்டுக்கோடு வழி செல்லும் தளத்தின் சமன்பாடு 
(2x - 3y + z - 4) + λ (x - y + z + 1) = 0     ...(1)
⇒ (2 + λ)x - (3 + λ)y + (1 + λ)z - 4 + λ = 0
இந்த தளம் x + 2y - 3z + 6 = 0 க்கு செங்குத்து ஆதலால் 
1(2 + λ) - 2(3 + λ) - 3 (1 + λ) = 0
⇒ -4λ - y = 0 ⇒ \(\lambda =\frac { 7 }{ 4 } \)
\(\lambda =\frac { 7 }{ 4 } \) என (1) ல் பிரதியிட கிடைப்பது
(2x - 3y + z - 4) - \(\frac { -7 }{ 4 } \) (x - y + z + 1) = 0
⇒ 4(2x - 3y + z - 4) - 7(x - y + z + 1) = 0
⇒ x - 5y - 3z - 23 = 0 தேவையான தளத்தின் சமன்பாடு.

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை பின்வருமாறு எழுதலாம்.
\({ 2 }^{ x }\left( 1+\frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 4 } \right) ={ 7 }^{ x }\left( 1+\frac { 1 }{ 7 } +\frac { 1 }{ 49 } \right) \)
\(\Rightarrow { 2 }^{ x }\left( \frac { 8+4+2 }{ 8 } \right) ={ 7 }^{ x }\left( \frac { 49+7+1 }{ 49 } \right) \)
\(\Rightarrow { 2 }^{ x }\left( \frac { 7 }{ 4 } \right) ={ 7 }^{ x }\left( \frac { 57 }{ 49 } \right) \Rightarrow \frac { 7 }{ 4 } \times \frac { 49 }{ 57 } =\frac { { 7 }^{ x } }{ { 2 }^{ x } } \)
\(\Rightarrow \frac { 7 }{ 4 } \times \frac { 49 }{ 57 } ={ \left( \frac { 7 }{ 2 } \right) }^{ x }\Rightarrow \frac { { 7 }^{ 3 } }{ 4\times 57 } ={ \left( \frac { 7 }{ 2 } \right) }^{ x }\)
\(\Rightarrow xlog\left( \frac { 7 }{ 2 } \right) =3log7-log4-log57\)
\(\Rightarrow \quad x=\frac { 3log7-log4-log57 }{ log\left( \frac { 7 }{ 2 } \right) } \)

cos \(\left[ { cos }^{ -1 }\left( \frac { -\sqrt { 3 } }{ 2 } +\frac { \pi }{ 6 } \right) \right] \)
= \(cos\left[ \pi -{ cos }^{ -1 }\left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) +\frac { \pi }{ 6 } \right] \)
[∵ cos^-1 (-x) = π - cos^-1 x]
\(=cos\left[ \pi -\frac { \pi }{ 6 } +\frac { \pi }{ 6 } \right] \)
\(\left[ \because { cos }^{ -1 }\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } =x\Rightarrow \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } =cosx\Rightarrow x=\frac { \pi }{ 6 } \right] \)
= cos π = -1

z = x + iy ஒரு கலப்பெண் என்க
\(\therefore \left| \frac { x+iy-3 }{ x+iy+3 } \right| =2\)
\(\Rightarrow \frac { \left| x+iy-3 \right| }{ \left| x+iy+3 \right| } =2\)
\(\Rightarrow \left| (x-3)+iy \right| =2\left| (x+3)+iy \right| \)
\(\Rightarrow \sqrt { { (x-3) }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } =2\sqrt { (x+{ 3 })^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \)
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த கிடைப்பது.
(x - 3)² + y² = [(x + 3)² + y²]
⇒ x² + 9 - 6x + y² = 4[x² + 9 + 6x + y²]
x² + 9 - 6x +y² = 4x² + 36 + 24x + 4y²
⇒ 3x² + 3y² + 30x + 27 = 0
இது ஒரு வட்டத்தை குறிக்கிறது.

\(|A|=\left[ \begin{matrix} -2 & -3 \\ 5 & -6 \end{matrix} \right] =12+15=27\)
\(\\ \therefore { A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ |A| } adj\quad A=\frac { 1 }{ 27 } \left[ \begin{matrix} -6 & 3 \\ -5 & 2 \end{matrix} \right] \)
\({ ({ A }^{ -1 }) }^{ T }=\frac { 1 }{ 27 } \left[ \begin{matrix} -6 & -5 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right] \)
\({ A }^{ T }=\left[ \begin{matrix} -2 & 5 \\ -3 & -6 \end{matrix} \right] \)
\(|{ A }^{ T }|=\left| \begin{matrix} -2 & 5 \\ -3 & -6 \end{matrix} \right| =12+15=27\)
\(\therefore { ({ A }^{ T }) }^{ -1 }=\frac { 1 }{ |{ A }^{ T }| } adj\quad ({ A }^{ T })=\frac { 1 }{ 27 } \left[ \begin{matrix} -6 & -5 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right] \)
(1) மற்றும் (2)லிருந்து, (A^-1)^T=(A^T)^-1

\(\tan\left( { \sin }^{ -1 }\frac { 3 }{ 5 } +{ \cot }^{ -1 }\frac { 3 }{ 2 } \right) \)
sin^-1 \(\left( \frac { 3 }{ 5 } \right) \) = x என்க.

⇒ \(\frac { 3 }{ 5 } \) = sin x
∴ tan x = \(\frac { opp }{ adj } =\frac { 3 }{ 4 } \)
மற்றும் cot^-1 \(\left( \frac { 3 }{ 2 } \right) \) = y என்க.
⇒ \(\frac { 3 }{ 2 } \) = cot y ⇒ tan y = \(\frac { 2 }{ 3 } \)
∴ tan \(\left( { \sin }^{ -1 }\frac { 3 }{ 5 } +{ \cot }^{ -1 }\frac { 3 }{ 2 } \right) \) = tan (x + y) = \(\frac { \tan x+\tan y }{ 1-\tan x\ \tan y } \)
= \(\frac { \frac { 3 }{ 4 } +\frac { 2 }{ 3 } }{ 1-\left( \frac { 3 }{ 4 } \right) \left( \frac { 2 }{ 3 } \right) } =\frac { \frac { 9+16 }{ 12 } }{ 1-\frac { 6 }{ 12 } } \)
= \(\frac { \frac { 17 }{ 17 } }{ \frac { 12-6 }{ 12 } } =\frac { \frac { 17 }{ 12 } }{ \frac { 6 }{ 12 } } =\frac { 17 }{ 12 } \times \frac { 12 }{ 6 } =\frac { 17 }{ 6 } \)
∴ tan \(\left( { \sin }^{ -1 }\frac { 3 }{ 5 } +{ \cot }^{ -1 }\frac { 3 }{ 2 } \right) =\frac { 17 }{ 6 } \)

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு 2x⁴-8x³+6x²-3=0
இங்கு a=2, b=-8, c=6, d=0, e=-3
α,β,\(\gamma \) மற்றும் δ என்பது சமன்பாடு (1)-ன் மூலங்கள் என்க.
வியட்டாவின் சூத்திரப்படி,
Σ₁=\(\alpha +\beta +\gamma +\delta =\frac { -b }{ a } =\frac { -(-8) }{ 2 } \)=4
Σ₂=\(\alpha \beta +\alpha \gamma +\alpha \delta +\beta \gamma +\beta \delta +\gamma \delta =\frac { c }{ a } =\frac { 6 }{ 2 } \)=3
Σ₃=\(\alpha \beta \gamma +\alpha \beta \delta +\alpha \gamma \delta +\beta \gamma \delta =\frac { -d }{ a } =\frac { 0 }{ a } \)
Σ₄=αβ\(\gamma \)δ  =\(\frac { e }{ a } =\frac { -3 }{ 2 } \)
இப்பொழுது (a+b+c+d)²=a²+b²+c²+d²+2(ab+ac+ad+bc+cd)
⇒ α²+β²+\(\gamma \)²+δ² =(α+β+\(\gamma \)+δ)²-2(αβ+α\(\gamma \)+αδ+β\(\gamma \)+βδ+\(\gamma \)δ)
α²+β²+\(\gamma \)²+δ²=4²-2(3)=16-6=10

கொடுக்கப்பட்ட முப்படி சமன்பாடு
3x³-16x²+23x-6=0
\(\alpha ,\frac { 1 }{ \alpha } \) மற்றும் \(\gamma \) என்பது சமன்பாட்டின் மூலங்கள்
[∵ இரண்டு மூலங்களின் பெருக்கல் பலன் 1]
(1) ⟶ \({ x }^{ 3 }-\frac { 16 }{ 3 } x^{ 2 }+\frac { 23 }{ 3 } -2\)=0  ....(1)
(1) ஒப்பிடும் போது
\({ x }^{ 3 }-\left( \frac { \alpha +\beta +\gamma }{ \alpha } \right) +\left( \alpha \frac { 1 }{ \alpha } .\gamma +\gamma \alpha \right) \)
\(-\alpha ,\frac { 1 }{ \alpha } .\gamma \)=0     ......(2)
கிடைப்பது,
\(\alpha ,\frac { 1 }{ \alpha } +\gamma =\frac { 16 }{ 3 } \)     ...(3)
\(1+\frac { \gamma }{ \alpha } +\gamma \alpha =\frac { 23 }{ 3 } \)
\(\alpha ,\frac { 1 }{ \alpha } .\gamma \) =2 ⇒ \(\gamma \)=2   ......(4)
\(\gamma \)=2
என (3)-ல் பிரதியிட கிடைப்பது
\(\alpha ,\frac { 1 }{ \alpha } +2=\frac { 16 }{ 3 } \)
⇒ \(\alpha ,\frac { 1 }{ \alpha } =\frac { 16 }{ 3 } -2=\frac { 16-6 }{ 3 } =\frac { 10 }{ 3 } \)
⇒ \(\frac { \alpha ^{ 2 }+1 }{ \alpha } =\frac { 10 }{ 3 } \)
3x²+3=10α
3α²-10α+3=0
α=\(\frac { -10 }{ 3 } \)
அல்லது α=\(\frac{1}{3}\)
(3α+10)(3α-1)=0
α=\(\frac { -10 }{ 3 } \) சாத்தியமில்லை 
⇒ α=\(\frac{1}{3}\)
[∵ α=\(\frac { -10 }{ 3 } \) (5) ஐ நிறைவு செய்யவில்லை]
∴ மூலங்கள் 3,\(\frac{1}{3}\),2.

இங்கு சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கை 4 மற்றும் மதிப்பிட வேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை 3. விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியை ஏறுபடி வடிவிற்கு மாற்றக் கிடைப்பது.
[A|O] = \(\left[ \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ \begin{matrix} 3 \\ 6 \end{matrix} \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -3 \\ \begin{matrix} -7 \\ -9 \end{matrix} \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 1 \\ \begin{matrix} 10 \\ 10 \end{matrix} \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-2{ R }_{ 1 },\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-3{ R }_{ 1 },\\ { R }_{ 4 }\rightarrow { R }_{ 4 }-6{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -5 \\ \begin{matrix} -10 \\ -15 \end{matrix} \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 5 \\ \begin{matrix} 16 \\ 22 \end{matrix} \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }\div (-5)\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }\div (-2) }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ \begin{matrix} 5 \\ -15 \end{matrix} \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ -1 \\ \begin{matrix} -8 \\ 22 \end{matrix} \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-5{ R }_{ 2 },\\ R_{ 4 }\rightarrow { R }_{ 4 }+15{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ -1 \\ \begin{matrix} -3 \\ 7 \end{matrix} \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }\div (-3)\\ { R }_{ 4 }\rightarrow { R }_{ 4 }\div 7 }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ -1 \\ \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 4 }\rightarrow { R }_{ 4 }-{ R }_{ 3 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ -1 \\ \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{matrix} \right] \)
எனவே ρ(A) = ρ([A|O]) = 3 =மதிப்பிட வேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை. ஆதலால், தொகுப்பிற்கு வெளிப்படைத் தீர்வு மட்டும்தான் உண்டு.

\({ \sin }^{ -1 }\left( \frac { x }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } \right) ={ \cos }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } \right) \).என அறிவோம்
எனவே, \(\cos\left( { \sin }^{ -1 }\left( \frac { x }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } \right) \right) +\frac { 1 }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } )\)     ...(1)
\({ \cot }^{ -1 }\left( \frac { 3 }{ 4 } \right) =\theta \). என்க. பின்னர் \(\cot\theta =\frac { 3 }{ 4 } \)மற்றும் \(\theta \) குறுங்கோணம்.
படத்திலிருந்து, நமக்கு கிடைக்கப்பெறுவது 
\(\sin\left\{ { \cot }^{ -1 }\left( \frac { 3 }{ 4 } \right) \right\} =\sin\theta =\frac { 4 }{ 5 } \)        ...(2)
(1) மற்றும் (2)-ஐ கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டில் பயன்படுத்தும்போது 
\(\frac { 1 }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } =\frac { 4 }{ 5 } \), என்பதிலிருந்து \(\sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } =\frac { 5 }{ 4 } \) எனவே, \(x=\pm \frac { 3 }{ 4 } \).

முதல் தளம் \(\overrightarrow{\mathrm{r}} \cdot(2 \hat{\mathrm{i}}-\lambda \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}})=3\)
இரண்டாவது தளத்தை மாற்றி எழுத,
\(\vec{r} \cdot\left(2 \hat{i}+\frac{1}{2} \hat{j}-\frac{\mu}{2} \hat{k}\right)=\frac{5}{2}\)
இரு தளங்களும் இணையானவை எனவே,
\(-\lambda=\frac{1}{2} \\ \frac{-\mu}{2}=1\\ \therefore \lambda=-\frac{1}{2} ; \mu=-2\)

\(z_1+z_2+z_3=0 \)
\( \Rightarrow\left(z_1+z_2+z_3\right)^2=0 \)
\( z_1^2+z_2^2+z_3^2+2\left(z_1 z_2+z_2 z_3+z_3 z_1\right)=0 \)
\( z_1^2+z_2^2+z_3^2=-2 z_1 z_2 z_3\left(\frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}+\frac{1}{z_3}\right) \)
\(=-2 z_1 z_2 z_3\left(\bar{z}_1+\bar{z}_2+\bar{z}_3\right) \)
\(=-2 z_1 z_2 z_3\left(\overline{z_1+z_2+z_3}\right)=0\)

\(x^3 =-64 \)
\(x^3 =-4 \times-4 \times-4=(-4)^3 \)
\(x =-4\)

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடானது SP² =  e²PM²என்ற வடிவில் இல்லை. ........ (1)
ஏனெனில் SP என்பது P(x, y) என்ற நீள்வட்டத்தின் மீதுள்ள புள்ளிக்கும் S(ae, 0) என்ற குவியத்திற்கும் இடையேயுள்ள தூரம்.
\(\therefore \text { (1) } \Rightarrow(x-a e)^2+(y-0)^2=\left(x-\frac{y^2}{9}\right)^2\)
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு
\((x-3)^2+(y-4)^2=\frac{y^2}{9}\)
\( \Rightarrow \quad(x-3)^2+y^2-8 y+16-\frac{y^2}{9}=0 \\ 9(x-3)^2+8 y^2-72 y+144=0 \\ 9(x-3)^2+8\left(y^2-9 y\right)=-144 \\ 9(x-3)^2+8\left[y^2-9 y+\left(\frac{9}{2}\right)^2-\left(\frac{9}{2}\right)^2\right]=-144 \\ 9(x-3)^2+8\left(y-\frac{9}{2}\right)^2=8 \times \frac{81}{4}-144=18 \\ \frac{(x-3)^2}{2}+\frac{(y-9 / 2)^2}{(9 / 4)}=1 \)
இது நீள்வட்டத்தின் சமன்பாட்டின் திட்ட நிலை  
\(\because a^2>\mathrm{b}^2, a^2=\frac{9}{4}, \mathrm{~b}^2=2\\ \therefore b^2  =a^2\left(1-e^2\right) \\ \therefore e  =\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac{2}{(9 / 4)}}=\sqrt{1-\frac{8}{9}}=\sqrt{\frac{1}{9}} \\ \therefore e  =\frac{1}{3}\)

\(\mathrm{AB} =\left[\begin{array}{ll} 2 & 0 \\ 1 & 5 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} 1 & 4 \\ 2 & 0 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 2 & 8 \\ 11 & 4 \end{array}\right] \)
\(\operatorname{adj} \mathrm{AB} =\left[\begin{array}{cc} 4 & -8 \\ -11 & 2 \end{array}\right] \)
\(\therefore|\operatorname{adj} \mathrm{AB}| =8-88=-80\)

\(\therefore \cos 2 u=\cos 2\left(\frac{\pi}{2}\right)=\cos \pi=-1\)

கொடுக்கப்பட்ட தொடு கோட்டின் 
y = 3x + 1
y = 3x + c என்ற கோடு y² = 4ax க்கு தொடுகோடாக இருக்க நிபந்தனை \(c=\cfrac { a }{ m } \) 
\(1=\cfrac { a }{ m } \Rightarrow 1=\cfrac { a }{ m } \Rightarrow a=3\) 
செவ்வகத்தின் நீளம் 4 = 4(3) = 12 அலகுகள்.

\(\overset { \rightarrow }{ F } =\frac { 6\left( 2\overset { \wedge }{ i } -2\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \right) }{ \sqrt { 4+4+1 } } =\frac { 6 }{ 3 } \left( 2\overset { \wedge }{ i } -2\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \right) =4\overset { \wedge }{ i } -4\overset { \wedge }{ j } +2\overset { \wedge }{ k } \)
\(\overset { \rightarrow }{ d } \) = (5, 3, 7) - (1, 2, 3) = (4, 1, 4) = \(4\overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } +4\overset { \wedge }{ k } \)
∴ செய்யப்பட்ட வேலை (w)
= \(\overset { \rightarrow }{ F } .\overset { \rightarrow }{ d } =\left( 4\overset { \wedge }{ i } -4\overset { \wedge }{ j } +2\overset { \wedge }{ k } \right) .\left( 4\overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } +4\overset { \wedge }{ k } \right) \)
= 16 - 4 + 8 = 20 அலகுகள்

நம்மிடம் x = \(\sqrt{2+x}\)
⇒ x² = 2+x  ⇒ x²-x-2 = 0
\(\Rightarrow x=\frac { 1\pm \sqrt { 1+8 } }{ 2 } \Rightarrow x=\frac { 1\pm 3 }{ 2 } \)
\(\Rightarrow x=\frac { 1+3 }{ 2 } ,\frac { 1-3 }{ 2 } \Rightarrow x=2,-1\)
மேலும் x > 0, நமக்கு கிடைப்பது x = 2

z = -2 என்க
z = 2(-1) = 2 (cosπ + isinπ)
ஃ arg(z) =  π

\({ cos }^{ -1 }\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) =\theta \Rightarrow cos\theta =\frac { 4 }{ 5 } \) என்க.
\(\therefore sin\left( \frac { 1 }{ 2 } { cos }^{ -1 }\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) \right) =sin\left( \frac { 1 }{ 2 } \theta \right) \)
\(=sin\frac { \theta }{ 2 } =\sqrt { \frac { 1-cos\theta }{ 2 } } \)
\(=\sqrt { \frac { 1-\frac { 4 }{ 5 } }{ 2 } } =\sqrt { \frac { 5-4 }{ 5(2) } } =\sqrt { \frac { 1 }{ 10 } } \)

\(\left [ \begin{matrix} 2& 3\\ 1& 6\\ \end{matrix} \right ]\left [ \begin{matrix} x \\ y\\ \end{matrix} \right ]=\left [ \begin{matrix} 10\\ 4\\ \end{matrix} \right ]\)
\(\Delta =\left|\begin{matrix} 2& 3\\ 1& 6\\ \end{matrix} \right|\) = 12 - 3 = 9
\(\Delta_{x} =\left|\begin{matrix} 10& 3\\ 4& 6\\ \end{matrix} \right|\) = 60 - 12 = 48
\(\Delta_{y} =\left|\begin{matrix} 2& 10\\ 1& 4\\ \end{matrix} \right|\) = 8 - 10 = -2
\(x \Rightarrow \frac{\Delta x}{\Delta}=\frac{48}{9}=\frac{16}{3}\)
\(y\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta }=\frac{-2}{9}\)

= 2 (5 - 2i) + 3 (-1 + 3i)
= 10 - 4i - 3 + 9i
=(10-3)+i(-4+9)
= 7 + 5i

y = 4 sin (-2x)
sin x-ன் வீச்சு 1
⇒ sin (-2x)- ன் வீச்சு 4 x 1 = 4
sin (-2x) ன் காலம் 2x = 2π ⇒ x = \(\frac { 2\pi }{ 2 } \) = π

Δ =b²-4ac=-20 < 0. எனவே மூலங்கள் கற்பனை எண்களாகும்.

x₁² + y₁² + 2gx₁ + 2fy₁ + c = 2² + 3² − 6 × 2 − 8 × 3 + 12
= 4 + 9 −12 − 24 +12 = −11< 0.
எனவே புள்ளி (2, 3) தேற்றம் 5.3-ன் படி வட்டத்திற்கு உள்ளே அமையும்.

c²=a^2(1+m2)
1,2,4 பரவளையத்தோடு தொடர்புடையது 

(2) \(\left| \overset { \rightarrow }{ a } \right| \left| \overset { \rightarrow }{ b } \right| sin\theta \)
குறிப்பு: 1, 3, 4 குறுக்கும் பெருக்கலுக்கான வரையறைகள்.

2) 6x²-6x³+5=0
குறிப்பு: 1,3,4,1 ஐ மூலமாக் கொண்டிருக்கும் சமன்பாடுகளின் கெழுக்களின் கூடுதல் 0

சமனி அணி 

(1) tan (tan^-1 x) = x, x ∈ R எனில் 
குறிப்பு: 2, 3 மற்றும் தலைகீழ் முற்றொருமை ஆனால் 1 அல்ல.

(3) arg \(\left( \frac { { z }_{ 1 } }{ { z }_{ 2 } } \right) \) = arg (z₁) + arg (z₂)