கொடுக்கப்பட்ட அதிபரவளையத்தின் சமன்பாடு 
3x² - 6y² = -18; (-18)ல் \(\div \cfrac { { y }^{ 2 } }{ 3 } -\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 6 } =1\) 
குறுக்கச்சு y-அச்சு 
இங்கு a² = 3, b² = 6
குறுக்கச்சின் நீளம் \(2a=2\sqrt { 3 } \) 
துணையச்சின் நீளம் \(2b=2\sqrt { 6 } \) 
\(e=\sqrt { 1+\frac { { b }^{ 2 } }{ a^{ 2 } } } =\sqrt { 1+\frac { 6 }{ 3 } } =\sqrt { 1+2 } =\sqrt { 3 } \)

கோடிற்கு \(\frac { x-1 }{ 3 } =\frac { y+1 }{ 2 } =\frac { z-1 }{ 5 } \)
(x₁, y₁, z₁), (1, -1, 1), (l₁, m₁, n₁), (3, 2, 5)
கோடு \(\frac { x+2 }{ 4 } =\frac { y-1 }{ 3 } =\frac { z+1 }{ -2 } \) கிடைப்பது (x₂, y₂, z₂), (-2, 1, -1)(l₂, m₂, n₂), 4, 3, -2
வெட்டுக் கோடுகளுக்கான நிபந்தனை
\(\left| \begin{matrix} { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } & { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } & { z }_{ 2 }-{ z }_{ 1 } \\ { l }_{ 1 } & { m }_{ 1 } & { n }_{ 1 } \\ { l }_{ 2 } & { m }_{ 2 } & { n }_{ 2 } \end{matrix} \right| =0\)
\(\Rightarrow \left| \begin{matrix} -2-1 & 1+1 & -1-1 \\ 3 & 2 & 5 \\ 4 & 3 & -2 \end{matrix} \right| \Rightarrow \left| \begin{matrix} -3 & 2 & -2 \\ 3 & 2 & 5 \\ 4 & 3 & -2 \end{matrix} \right| \)
= -3(-4 - 15) - 2(-6 -20) - 2(9 - 8)
= -3(-19) - 2(-26) - 2(1)
= 57 + 52 - 2 = 109 - 2 = 107 ≠ 0
எனவே கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் வெட்டுவதில்லை.

கொடுக்கப்பட்ட sin(ex) = 5^x + 5^-x 
நம்மிடம் \({ 5 }^{ x }+5={ 5 }^{ -x }={ \left( { 5 }^{ \frac { x }{ 2 } }-{ 5 }^{ \frac { -x }{ 2 } } \right) }^{ 2 }+2\ge 2\)
sin(ex) = 5^x+5^-x க்கு தீர்வு இருக்குமெனில் நாம் பெறுவது sin (e^x) ≥ 2 இது எந்த மெய் மதிப்புடைய x க்கும் சாத்தியமில்லை, sin 0 ≤ 1 எல்லா θ ∈ R க்கும் 
∴ sin (e^x) = 5^x + 5^-x க்கு தீர்வு இல்லை.

cos (tan^-1 x) = sin \(\left( { cot }^{ -1 }\frac { 3 }{ 4 } \right) \)
\(\Rightarrow sin\left( { tan }^{ -1 }\frac { 4 }{ 3 } \right) =sin\left( { sin }^{ -1 }\left( \frac { 4 }{ \sqrt { { 3 }^{ 2 }+{ 4 }^{ 2 } } } \right) \right) \)
\(\left[ \because { tan }^{ -1 }x={ sin }^{ -1 }\left( \frac { x }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } \right) \right] \)
\(\Rightarrow sin\left( { sin }^{ -1 }\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) \right) =\frac { 4 }{ 5 } \)
⇒ cos (tan^-1 x) = cos (-tan^-1 x) = \(\frac { 4 }{ 5 } \)
[ ∵ cos x = cos (-x)]
⇒ tan^-1 x = -tan^-1 x = cos^-1 \(\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) \)
⇒ tan^-1 x = - tan^-1 x = tan^-1 \(\frac { 3 }{ 4 } \)
\(\left[ \because { cos }^{ -1 }x={ tan }^{ -1 }\sqrt { \frac { 1-{ x }^{ 2 } }{ x } } ;{ cos }^{ -1 }\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) ={ tan }^{ -1 }\sqrt { \frac { 1-\frac { 16 }{ 25 } }{ \frac { 4 }{ 5 } } } \right] \)
\(x=\frac { 3 }{ 4 } ,\frac { 3 }{ 4 } \)

A(3, 2) B(0, 5) C(-3, 2) மற்றும் D(0, -1) ஆர்கண்ட தளத்தில் உள்ள புள்ளிகள் என்க
∴ AB = |(3 + 2i) - (0 + 5i)| = |3 - 3i|
= \(\sqrt { 9+9 } =\sqrt { 18 } =3\sqrt { 2 } \)
BC = |(0 + 5i) - (-3 +2i)| = |3 + 3i|
= \(\sqrt { 9+9 } =\sqrt { 18 } =3\sqrt { 2 } \)
CD = |(-3 + 2i) - (0 - i)| = |-3 + 3i|
= \(\sqrt { 9+9 } =\sqrt { 18 } =3\sqrt { 2 } \)
DA = |(0 - i) - (3 + 2i)| = |-3 - 3i|
= \(\sqrt { 9+9 } =\sqrt { 18 } =3\sqrt { 2 } \)
∴ AB = BC = CD = DA
மேலும் AC = |(3 + 2i) - (-3 + 2i)|
= |6| = \(\sqrt{36}\) = 6
BD = |(0 + 5i) - (0 - i)| = |6i|
 = \(\sqrt{36}\) = 6
∴ AC = BD
எனவே ABCD ஒரு சதுரம்.

விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி \([A|B]=\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 2 & 2 & 6 \\ 2 & 1 & 1 \end{matrix}|\begin{matrix} 4 \\ 7 \\ 10 \end{matrix} \right] \)
\([A|B]\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-{ 2R }_{ 1 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-2{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -5 \end{matrix}|\begin{matrix} 4 \\ -1 \\ 2 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\leftrightarrow { R }_{ 3 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & -5 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}|\begin{matrix} 4 \\ 2 \\ -1 \end{matrix} \right] \)
இங்குρ(A)=2 [2 அபூச்சிய நிரைகள் மட்டும்]
மட்டும் ρ([A|B]=2 [3 அபூச்சிய நிரைகள் மட்டும்]
∴ ρ(A)≠ρ([A|B]
∴ தொகுப்பு ஒருங்கமைவற்றது 

\(1+i\sqrt { 3 } \)
\(r=|z|=\sqrt { { 1 }^{ 2 }+\left( \sqrt { 3 } \right) ^{ 2 } } \)
\(\theta ={ \tan }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \right) =\frac { \pi }{ 3 } \)
ஆகவே \(arg(z)=\frac { \pi }{ 3 } \)
எனவே, \(1+i\sqrt { 3 } \)  -ன் துருவ வடிவம்
\(1+i\sqrt { 3 } =2\left( cos\cfrac { \pi }{ 3 } +isin\cfrac { \pi }{ 3 } \right) \)
= \(2\left( \cos\left( \frac { \pi }{ 3 } +2k\pi \right) +i \sin\left( \cfrac { \pi }{ 3 } +2k\pi \right) \right) ,k\in z\).

பொருத்தமான ஆயக்கூறு அச்சுகளைத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம் வட்டத்தின் சமன்பாடு x²+y²=r² எனவும், நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு y = mx + c எனவும் கொள்க. வட்டமும் நேர்க்கோடும் வெட்டிக்கொள்ளும் புள்ளிகள் கீழ்க்காணும் ஒருங்கமைச் சமன்பாடுகளின் தீர்வாகும் என நாம் அறிவோம்.
x²+y²=r²    .........(1)
y=mx+c     .........(2)
சமன்பாடு (1)-ல் y=mx+c எனப் பிரதியிட
x²+(mx+c)²-r² =0
எனக் கிடைக்கும் இச்சமன்பாட்டினை
(1+m²)x²+2mcx+(c²-r²)=0              ............(3)
என்ற இருபடிச் சமன்பாடாக எழுதலாம்.
இச்சமன்பாட்டிற்கு இரண்டிற்கு மேற்பட்டத் தீர்வுகள் இல்லை என்பதால் ஒரு கோடும் ஒரு வட்டமும் இரு புள்ளிகளுக்கு மேல் வெட்டிக்கொள்ளாது.
இரு மாறிகள் கொண்ட இரு சமன்பாடுகளின் தொகுப்பானது ஒரு பிரதியிடல் மூலம் ஒரு இருபடி சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் கணக்காக மாறுவது கவனிக்கத்தக்கது.
மேலும் அவ்வாறு குறைக்கப்பட்டு அமையும் இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாட்டின் கெழுக்கள் மெய்யெண்களாக இருப்பதால், இரு மூலங்களுமே மெய் எண்களாகவோ அல்லது இரு மூலங்களுமே மெய்யற்ற எண்களாகவோ அமையும். அவ்வாறு இரு மூலங்களுமே மெய்யற்ற கலப்பெண்கள் எனில், வட்டமும் நேர்க்கோடும் ஒன்றையொன்று வெட்டிக் கொள்ளாது. மெய்யெண் மூலங்களைப் பொருத்தவரையில் அவை ஒன்றுக்கொன்று வேறுபட்டவையாகவோ பல்லுறுப்புக் கோவையின் மூலங்களின் மடங்குகளாகவோ அமையும். அவை வேறுபட்டவை எனில், சமன்பாடு (2)-ல் பிரதியிட y க்கு இரு வேறுபட்ட மதிப்புகள் கிட்டும் என்பதால் இரு புள்ளிகளில் வெட்டிக்கொள்ளும். அவை இரண்டுமே சமமான மூலங்களாக இருப்பின் வட்டத்தில் நேர்க்கோடு தொடுகோடாக அமையும். சமன்பாடு (3)-ல் குறிப்பிட்டுள்ள பல்லுறுப்புக் கோவைக்கு ஒரே ஒரு எளிமையான மெய்யெண் மூலம் இருப்பதால் ஒரு நேர்க்கோடு ஒரு வட்டத்தை ஒரே ஒரு புள்ளியில் வெட்டாது.

|adj A| = \(\left| \begin{matrix} -1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{matrix} \right| \) = 9
எனவே A^-1 = \(\pm \frac { 1 }{ \sqrt { |adj(A)| } } adj(A)=\pm \frac { 1 }{ \sqrt { 9 } } \left[ \begin{matrix} -1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{matrix} \right] =\pm \frac { 1 }{ 3 } \left[ \begin{matrix} -1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{matrix} \right] \).

கொடுக்கப்பட்ட F₁P + F₂P = 8
நீள்வட்டத்தின் குவியங்களின் பண்புபடி 
F₁P + F₂P = 2a
\(\therefore 2a=8\) 
\(\Rightarrow a=4\) 
நீள்வட்டத்தின் குவியங்களின் பண்புபடி 
= F₁F₂ = 6
2ae = 6
\(\Rightarrow\) ae = 3
\(\therefore\) 4(e) = 3
\(\Rightarrow e=\cfrac { 3 }{ 4 } \) 

\(\therefore { b }^{ 2 }={ a }^{ 2 }(1-e^{ 2 })\) 
= \(16\left( 1-\left( \frac { 3 }{ 4 } \right) ^{ 2 } \right) =16\left( 1-\cfrac { 7 }{ 16 } \right) =7\) 
\(\therefore\) அவர் ஓடுகின்ற பாதை ஒரு நீள் வட்டம் மற்றும் அதனுடைய சமன்பாடு
\(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1\)
\(\Rightarrow \cfrac { { x }^{ 2 } }{ 16 } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ 7 } =1\)

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு (a²+b²+c²)P²-2(ab+bc+cd)p+(b²+c²+d²)≤0  ...(1)
(1) ஐ மாற்றி எழுதலாம் 
(a²p²-2abp+b²)+(b²p²-2cp+c²)+(c²p²-2cdp+d²)≤0
(ap-b)²+(bp-c)²+(cp-d)²≤0     .....(2)
a,b,c,d, p∈ R எனில் 
(ap-b)²≥0, (bp-c)²≥0 மற்றும் (cp-d)²≥0
∴ (2) நிறைவு செய்யப்பட வேண்டுமெனில் 
ap-b=0, bp-c=0, cp-d=0
\(\frac { b }{ a } =\frac { c }{ b } =\frac { d }{ c } =p\)
⇒ a,b, c,d பெருக்குத் தொடரில் உள்ளன. மற்றும் ad=bc 

கொடுக்கப்பட்ட \(\bar { OA } =2\hat { i } -\hat { j } +\hat { k } \), \(\bar { OB } =\hat { i } -3\hat { j } -5\hat { k } \) மற்றும் \(\bar { OB } =\hat { i } -3\hat { j } -5\hat { k } \)

∴ \(\bar { AB } =\bar { OB } -\bar { OA } =-\hat { i } -2\hat { j } -6\hat { k } \)
\(\bar { BC } =\bar { OC } -\bar { OB } =2\hat { i } -\hat { j } +\hat { k } \)
\(\bar { CA } =\bar { OA } -\bar { OC } =-\hat { i } +3\hat { j } +5\hat { k } \)
\(\bar { CA } =\bar { OA } -\bar { OC } =\vec { 0 } \)
மேலும் \(\vec { BC } .\vec { CA } =(2\hat { i } -\hat { j } +\hat { k } ).(-\hat { i } +3\hat { j } +5\hat { k } )\)
= -2 - 3 + 5 = 0
\(\Rightarrow \vec { BC } \pm \vec { CA } \)
எனவே, ABC ஒரு செங்கோண முக்கோணமாகும்.
\(cosA=\frac { \vec { AB } .\vec { AC } }{ \left| \vec { AB } \right| \left| \vec { AC } \right| } =\frac { (-\hat { i } -2\hat { j } -6\hat { k } ).(-\hat { i } +3\hat { j } +5\hat { k } ) }{ \sqrt { 1+4+36 } .\sqrt { 1+9+25 } } \)
\(=\frac { 35 }{ \sqrt { 41 } .\sqrt { 35 } } =\sqrt { \frac { 35 }{ 41 } } =A={ Cos }^{ -1 }\left( \sqrt { \frac { 35 }{ 41 } } \right) \)
\(cosB=\frac { \vec { BA } .\vec { BC } }{ \left| \vec { BA } \right| \left| \vec { BC } \right| } =\frac { (\hat { i } +2\hat { j } +6\hat { k } ).(2\hat { i } -\hat { j } +\hat { k } ) }{ \sqrt { 1+4+36 } .\sqrt { 4+1+1 } } \)
\(=\sqrt { \frac { 9 }{ 41 } } \Rightarrow N={ Cos }^{ -1 }\left( \sqrt { \frac { 6 }{ 41 } } \right) \)

\(\bar { z } =x-iy\) என்பது கொடுக்கப்பட்ட கலப்பெண் என்க
∴ z\(\bar { z } \) = (x + iy)(x - iy) = x² + y²
∴ z\(\bar { z } \) -(2+ 3i)z -(2 -3i) \(\bar { z } \) + 9
⇒ x² + y² - (2 + 3i) (x + iy) - (2 - 3i)(x - iy) + 9 = 0
⇒ x² + y² - [ 2x + 2iy + 3ix + 3i²y] - [2x - 2iy - 3ix + 3i²y] + 9 = 0

⇒ x² + y² - 4x + 6y + 9 = 0
இங்கு 2u = -4 ⇒u = -2
2v = 6 ⇒ v = 3 மற்றும் d = 9
∴ வட்டத்தின் மையம் (-u, -v) = (2, -3)
ஆரம் = \(\sqrt { { u }^{ 2 }+{ v }^{ 2 }-d } =\sqrt { 4+9-9 } \)
= \(\sqrt { 4 } =2\) அலகுகள்
எனவே வட்டத்தின் மையம் (2, -3) மற்றும் ஆரம் 2 அலகுகள்.

x = a cos θ
f(x) = tan^-1 \(\sqrt { \frac { a-acos\theta }{ a+acos\theta } } ={ tan }^{ -1 }\sqrt { \frac { 1-cos\theta }{ 1+cos\theta } } \)
\(={ tan }^{ -1 }\sqrt { \frac { 2{ sin }^{ 2 }\frac { \theta }{ 2 } }{ 2{ cos }^{ 2 }\frac { \theta }{ 2 } } } =tan\left| tan\frac { \theta }{ 2 } \right| ={ tan }^{ -1 }\left( tan\frac { \theta }{ 2 } \right) \)
\(=\frac { \theta }{ 2 } \)
[∵ -a < x < a ⇒ 0 < θ < π ⇒ \(0<\frac { \theta }{ 2 } <\frac { \pi }{ 2 } \therefore \left| tan\frac { \theta }{ 2 } \right| =tan\frac { \theta }{ 2 } \)]
\(=\frac { 1 }{ 2 } .{ cos }^{ -1 }\left( \frac { x }{ a } \right) \)
[∵ x = a cosθ ⇒ cos θ = \(\frac { x }{ a } \) ⇒ θ = cos^-1 \(\left( \frac { x }{ a } \right) \) ]

விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி   \([A|B]\quad is\left[ \begin{matrix} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{matrix}|\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix} \right] \)
\([A|B]\overset { { R }_{ 1 }\leftrightarrow { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{matrix}|\begin{matrix} b \\ a \\ c \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }+{ R }_{ 1 }\\ R_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & -3 & 3 \\ 0 & 3 & -3 \end{matrix}|\begin{matrix} b \\ a+2b \\ c-b \end{matrix} \right] \)
\(\overset { R_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & -3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}|\begin{matrix} b \\ c+2b \\ a+b+c \end{matrix} \right] \)
இங்கு ρ(A)=2
கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பு ஒருங்கமைவுடன் உள்ளது எனில் மட்டும் ρ([A}B])=2
எனில் மட்டும் a+b+c=0
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

கொடுக்கப்பட்ட தளத்தின் சமன்பாடு x + 2y + 3z = 2
(4, 3, 2) லிருந்து தளத்துக்கான செங்குத்தின் நீளம் 
\(d=\cfrac { 4+2(3)+3(2) }{ \sqrt { { 1 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 } } } =\cfrac { 4+6+6 }{ \sqrt { 14 } } \) 
= \(\cfrac { 14 }{ \sqrt { 14 } } =\cfrac { \sqrt { 14 } .\sqrt { 14 } }{ \sqrt { 14 } } =\sqrt { 14 } \) 
தளம் x + 2y + 3z = 2 யில் (4, 3, 2) க்கான பிம்பம் காண்போம்.
இங்கு \(\vec { u } =4\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } \), \(\vec { n } =\hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } \) மற்றும் p = 38 
பிறகு பிம்பம் \(\vec { v } =\vec { u } +\cfrac { 2\left[ p-\left( \vec { u } .\vec { n } \right) \right] }{ \left| \vec { n } \right| ^{ 2 } } \vec { n } \) 
\(\vec { v } =\left( 4\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } \right) +\cfrac { 2\left[ 2-\left( 4+6+6 \right) \right] }{ \left( \sqrt { { 1 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 } } \right) } \left( \hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } \right) \) 
= \(\left( 4\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } \right) +\cfrac { 2(2-16) }{ 14 } \left( \hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } \right) \) 
= \(\left( 4\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } \right) +\cfrac { 2(-14) }{ 14 } \left( \hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } \right) \) 
= \(\left( 4\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } \right) -2\left( \hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } \right) \) 
= \(4\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } -2\hat { i } -4\hat { j } -6\hat { k } =2\hat { i } -\hat { j } -4\hat { k } \)
\(\therefore\) (4, 3, 2) லிருந்து தளத்துக்கான செங்குத்தின் அடிப்பகுதி 
\(=\cfrac { \left( 4\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } \right) +\left( 2\hat { i } -\hat { j } -4\hat { k } \right) }{ 2 } \) 
\(\Rightarrow \cfrac { 6\hat { i } +2\hat { j } -2\hat { k } }{ 2 } =3\hat { i } +\hat { j } -\hat { k } \)
எனவே செங்குத்தின் அடிப்பகுதியின் ஆயத்தொலைவு (3, 1, -1)

இந்நாற்படி சமன்பாட்டை பொருத்தமாக மாற்றி எழுதி பிரதியிடல் முறையைக் கடைபிடிப்பதன் மூலம் இதனைத் தீர்க்கலாம்.
(x − 2) (x − 3) (x − 7) (x + 2) +19 = 0 .
எனச் சமன்பாட்டை மாற்றி எழுதலாம். எனவே கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு,
(x² - 5x + 6)(x² - 5x - 14) + 19 = 0 என்றாகிறது.
x² - 5x-ஐ y எனப் பிரதியிட, சமன்பாடு (y+6)(y-14)+19=0 என மாறுகிறது. அதாவது,
y²-8y-65=0
இச்சமன்பாட்டைத் தீர்க்க y =13மற்றும் y=−5எனக் கிடைக்கும். இவற்றைப் பிரதியிட நமக்கு x²-5x-13=0 மற்றும் x²-5x+5=0 என இரு இருபடி சமன்பாடுகள் கிடைக்கின்றன. அவற்றை வழக்கமான முறைகளில் தீர்க்க இயலும். இவ்விரு சமன்பாடுகளிலிருந்து பெறப்பட்ட தீர்வுகள் அனைத்தையும் ஒன்று சேர்த்து \(\frac { 5\pm \sqrt { 77 } }{ 2 } ,\frac { 5\pm \sqrt { 5 } }{ 2 } \) என எழுதலாம்.

(1 + i)¹⁸
1 + i = r (cos θ + isin θ) என்க.
r = \(\sqrt { { 1 }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 } } =\sqrt { 2 } ;\alpha ={ tan }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ 1 } \right) =\frac { \pi }{ 4 } \)
\(\theta =\alpha =\frac { \pi }{ 4 } \)  (\(\because \) 1+i ஆனது முதலாம் கால் பகுதியில் உள்ளதால்)
ஆகவே, 1+ i = \(\sqrt { 2 } \left( cos\frac { \pi }{ 4 } +isin\frac { \pi }{ 4 } \right) \)
இருபுறமும் 18-ன் அடுக்கிற்கு உயர்த்த,
(1 + i)¹⁸ = \({ \left[ \sqrt { 2 } \left( cos\frac { \pi }{ 4 } +isin\frac { \pi }{ 4 } \right) \right] }^{ 18 }\)\(= { \left[ \sqrt { 2 } ^{ 18 }\left( cos\frac { \pi }{ 4 } +isin\frac { \pi }{ 4 } \right) \right]^{18}} \)
டி மாய்வரின் தேற்றப்படி,
(1 + i)¹⁸ = \({ 2 }^{ 9 }\left( cos\frac { 18\pi }{ 4 } +isin\frac { 18\pi }{ 4 } \right) \)
= \({ 2 }^{ 9 }\left( cos\left( 4\pi +\frac { \pi }{ 2 } \right) +isin\left( 4\pi +\frac { \pi }{ 2 } \right) \right) \) = \({ 2 }^{ 9 }\left( cos\frac { \pi }{ 2 } +isin\frac { \pi }{ 2 } \right) \)
(1 + i)¹⁸ = 2⁹(i) = 512i

கொடுக்கப்பட்ட தகவலை கொண்டு பரவளையம் கீழ் நோக்கி திறப்புடையது என எடுத்துக் கொள்ளலாம் 

\(\therefore\) அதனுடைய சமன்பாடு x² = 4ay ..(1)

பரவளையத்தின் சமன்பாடு x² = 4ay
P(3, -2.5) என்பது பரவளையத்தின் மீது அமைகிறது என்க.
\( 3^2 =-4(a)(-2.5) \\ 9 =10 a \Rightarrow a=\frac{9}{10} \\ \therefore x^2 =-4\left(\frac{9}{10}\right) y\)
மேலும் Q(x₁, -7.5) என்பதும் பரவளையத்தின் மீது அமைகிறது என்க.
\( x_1^2 =-4\left(\frac{9}{10}\right)(-7.5)\)
\(x_1^2=4 \times \frac{9}{10} \times 7.5 =27 \Rightarrow x_1=3 \sqrt{3} \) மீ
நீரானது \(3 \sqrt{3} \) மீட்டருக்கு அப்பால் தரையில் விழும். 

தளம் ஆய அச்சுகளுடன் ஏற்படுத்தும் வெட்டுத்துண்டுகள் முறையே a,b,c என்க.
\(\therefore\) தளத்தின் வெட்டுத்துண்டு வடிவச் சமன்பாடு
\(\cfrac { x }{ a } +\cfrac { y }{ b } +\cfrac { z }{ c } =1\) 

கொடுக்கப்பட்ட மையக்கோட்டுச் சந்தி (u,v,w)
\(\therefore \left( u,v,w \right) =\left( \cfrac { a+0+0 }{ 3 } ,\cfrac { 0+b+0 }{ 3 } ,\cfrac { 0+0+c }{ 3 } \right) \) 
\(\Rightarrow \left( u,v,w \right) =\left( \cfrac { a }{ 3 } ,\cfrac { b }{ 3 } ,\cfrac { c }{ 3 } \right) \) 
ஒத்த ஆயத் தொலைவுகளை சமப்படுத்த கிடைப்பது 
\(\Rightarrow u=\cfrac { a }{ 3 } \Rightarrow a=3u\) 
\(v=\cfrac { b }{ 3 } \Rightarrow b=3v\) 
\(w=\cfrac { c }{ 3 } \Rightarrow c=3w\) 
\(\therefore\) (1) லிருந்து 
\(\cfrac { x }{ 3u } +\cfrac { y }{ 3v } +\cfrac { z }{ 3w } =1\Rightarrow \cfrac { x }{ u } +\cfrac { y }{ v } +\cfrac { z }{ w } =3\)
என்பது தேவையான தளத்தின் சமன்பாடாகும்.

கொடுக்கப்பட்ட தளத்தின் கார்டீசியன் சமன்பாடு 12x + 3y − 4z = 65
அதனுடைய வெக்டர் சமன்பாட்டின் துணையலகு வடிவம் 
\(\vec { r } .\left( 12\hat { i } +3\hat { j } -4\hat { k } \right) =65\) 
இங்கு \(\vec { d } =12\hat { i } +3\hat { j } -4\hat { k } \) 
\(\Rightarrow \hat { d } =\cfrac { 12\hat { i } +3\hat { j } -4\hat { k } }{ \sqrt { 12^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 }+(-4)^{ 2 } } } =\cfrac { 12\hat { i } +3\hat { j } -4\hat { k } }{ \sqrt { 144+9+16 } } \) 
= \(\cfrac { 12\hat { i } +3\hat { j } -4\hat { k } }{ \sqrt { 169 } } \) 
\(\vec { d } =\cfrac { 12\hat { i } +3\hat { j } -4\hat { k } }{ 13 } \) 
எனவே தளம் 12x +3y-4z = 65 -ன் செங்குத்தின் திசைக் கொசைன்கள் \(\cfrac { 12 }{ 13 } ,\cfrac { 3 }{ 13 } ,\cfrac { -4 }{ 13 } \)
மேலும் தளத்தின் துணையலகு இல்லாத வெக்டர் வடிவ சமன்பாடு 
\(\vec { r } .\left( \cfrac { 12\hat { i } +3\hat { j } -4\hat { k } }{ 13 } \right) =\cfrac { 65 }{ 13 } \) 
  [(1) லிருந்து] [13-ஆல் வகுக்க]
\(\Rightarrow \vec { r } .\hat { d } =p\Rightarrow p=\cfrac { 65 }{ 13 } =5\) 

i) விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியை நிரை - ஏறுபடி வடிவத்திற்கு தொடக்க நிலை நிரை உருமாற்றங்கள் செயல்படுவதன் மூலம் நாம் பெறுவது.
[A|B] =\(\left[ \begin{matrix} 2 & -2 & 3 \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 2 \end{matrix}|\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 1 }\leftrightarrow { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \)
\(\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & -2 & 3 \\ 3 & -1 & 2 \end{matrix}|\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-{ 2R }_{ 1 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-{ 3R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & -6 & 5 \\ 0 & -7 & 5 \end{matrix}|\begin{matrix} 3 \\ -4 \\ -8 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 0 & 2 & -1 \\ 0 & -6 & 5 \\ 0 & -1 & 0 \end{matrix}|\begin{matrix} 3 \\ -4 \\ -4 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { 6R }_{ 3 }-2{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \)\(\left[ \begin{matrix} 0 & 2 & -1 \\ 0 & -6 & 5 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}|\begin{matrix} 3 \\ -4 \\ -20 \end{matrix} \right] \)
ஏறுபடி வடிவத்திலிருந்து கிடைக்கும் சமான சமன்பாடுகள்.
x+2y-z=3 ...(1)
-6y+5z=-4      ...(2)
\(-5z=-20\Rightarrow z=\frac { -20 }{ -5 } =4\)
z=4 என 2ல் பிரதியிட கிடைப்பது.
-6y+5(4)=-4
⇒,-6y+20=-4⇒-4-20=-24
⇒ y=\(\frac{-24}{-6}=4\)
y=z=4 என (1)ல் பிரதியிட கிடைப்பது 
x+2(4)-4=3
⇒ x+8-4=3
⇒x+4=3
⇒, x=3-4=-1
∴ தீர்வு கணம் {-1,4,4}
ii) விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியை ஏறுபடிவ வடிவத்திற்கு தொடக்கநிலை உருமாற்றங்கள் செய்யக் கிடைப்பது 
[A|B] =\(\left[ \begin{matrix} 2 & 4 & 6 \\ 3 & 8 & 5 \\ -1 & 1 & 2 \end{matrix}|\begin{matrix} 22 \\ 27 \\ 2 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 1 }\leftrightarrow { R }_{ 3 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} -1 & 1 & 2 \\ 3 & 8 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{matrix}|\begin{matrix} 2 \\ 27 \\ 22 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }+3{ R }_{ 1 }\\ { R }_{ 3 }{ \rightarrow R }_{ 3 }+{ 2R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} -1 & 1 & 2 \\ 0 & 11 & 11 \\ 0 & 6 & 10 \end{matrix}|\begin{matrix} 2 \\ 33 \\ 26 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }\div 11\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }\div 2 }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} -1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 5 \end{matrix}|\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 13 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-3{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} -1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix}|\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }\div 2 }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} -1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}|\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{matrix} \right] \)
ஏறுபடிவ வடிவத்திலிருந்து கிடைக்கும் சமமான சமன்பாடுகளின் தொகுப்பானது.
-x+y+2z=2     ....(1)
y+z=3    ...(2)
z=2    ...(3)
(3) ஐ (2) ல் பிரதியிட கிடைப்பது y+2=3
⇒ y=3-2=1
y=1 மற்றும் z=2 என (1)ல் பிரதியிட கிடைப்பது
-x+1+2(2) ⇒-x+1+4=2
⇒-x+5=2 ⇒ -x=2-5
⇒-x=-3 ⇒  x=3
∴ தீர்வு கணம் {3,1,2}

\({ \tan }^{ -1 }\frac { x }{ y } -{ \tan }^{ -1 }\frac { x-y }{ x+y } \)
= tan^-1 \(\left( \frac { \frac { x }{ y } -\frac { x-y }{ x+y } }{ 1+\frac { x }{ y } \left( \frac { x-y }{ x+y } \right) } \right) \)
[∵ tan^-1 x - tan^-1 y = tan^-1 \(\left( \frac { x-y }{ 1+xy } \right) \)]
= tan^-1 \(\left( \frac { \frac { x(x+y)-y(x-y) }{ y(x+y) } }{ \frac { y(x+y)+x(x-y) }{ y(x+y) } } \right) \)

= tan^-1 (1) = \(\frac { \pi }{ 4 } \)

\(A=\begin{bmatrix} 5 & 3 \\ -1 & -2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 14 & 7 \\ 7 & 7 \end{bmatrix}\)
A ன் வரிசை 2 x 2
\(A =\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\) என்க.

AOB என்பது பிரதிபலிப்பான் குறுக்குவெட்டு என்க m,AB -ன் மையப்புள்ளி பரவளையத்தின் சமன்பாடு y² = 4ax
A(6,12), (1) ல் அமைந்துள்ளது.

\(\therefore 12^{ 2 }=4a(6)\Rightarrow a=6\) 
\(\therefore \) குவியங்கள் (a, 0) = (b, 0)
குவியம் m-ன் மீது அமைகிறது, AB-ன் மையப்புள்ளி.

\(\overset { \rightarrow }{ a } =\overset { \wedge }{ i } +2\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } \) , \(\overset { \rightarrow }{ b } =-\overset { \wedge }{ i } +2\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \) மற்றும் \(\overset { \rightarrow }{ c } =3\overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } \) 
\(\overset { \rightarrow }{ a } +\lambda \overset { \rightarrow }{ b } \),\(\overset { \rightarrow }{ c } \) க்கு செங்குத்து ஆதலால் \(\left( \overset { \rightarrow }{ a } +\lambda \overset { \rightarrow }{ b } \right) .\overset { \rightarrow }{ c } \) = 0
⇒ [\(\overset { \wedge }{ i } +2\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } \) + λ \((-\overset { \wedge }{ i } +2\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k }) \) ].\(\left( 3\overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } \right) \)
⇒ \(\left[ (1-\lambda )\overset { \wedge }{ i } +(2+2\lambda )\overset { \wedge }{ j } +(3+\lambda )\overset { \wedge }{ k } \right] .\left( 3\overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } \right) =0\)
\(\Rightarrow 3(1-\lambda )+2(2+2\lambda )=0\Rightarrow 3-3\lambda +2+2\lambda =0\)
\(\Rightarrow 5-\lambda =0\Rightarrow \lambda =5\)

p(x) = x⁷-6x⁶+7x⁵+5x²+2x+2  என்க 
இது ஒரே ஒரு குறி மாற்றத்தை கொண்டுள்ளது 
இங்கு 
p(-x) = (-x)⁷-6(-x)⁶+7(-x)⁵+5(-x)²+2(-x)+2
= -x⁷-6x⁶-7x⁵+5x²-2x+2
இது இரண்டு குறி மாற்றங்களை கொண்டுள்ளது. எனவே p(x) ஒரு மூலம் மற்றும் குறைந்தபட்சம் இரண்டு குறை மூலங்கள் கொண்டிருக்கும்.

⇒ 3x + (2x - 3y)i = 6 + 3i⁹
⇒ 3x + (2x - 3y)i = 6 + 3.i⁴.i⁴.i¹
⇒ 3x + (2x - 2y)i = 6 + 3i
மெய் மற்றும் கற்பனை பகுதிகளை சமப்படுத்த கிடைப்பது.
3x = 6 ⇒ x = 2
2x - 3y = 3 ⇒ 2(2) - 3y = 3
⇒ 4 - 3y = 3
⇒ 4 - 3 = 3y
⇒ 3y = 1 ⇒ y = \(\frac13\)
∴ x = 2, y = \(\frac13\)

L.H.S = tan^-1 \(\left( \frac { 1 }{ 7 } \right) \) + tan^-1 \(\left( \frac { 1 }{ 13 } \right) \)
= \({ tan }^{ -1 }\left( \frac { \frac { 1 }{ 7 } +\frac { 1 }{ 3 } }{ 1-\left( \frac { 1 }{ 7 } \right) \left( \frac { 1 }{ 13 } \right) } \right) ={ tan }^{ -1 }\left( \frac { \frac { 13+7 }{ 91 } }{ \frac { 91-1 }{ 91 } } \right) \)


எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

கொடுக்கப்பட்ட A³= I 
முன்புறமாக A-1 ல் பெருக்க கிடைப்பது,
A^-1.A³=A^-1. I 
⇒ (A^-1.A)A²=A^-1      [∵ A^-1 I=A^-1]
⇒ I.A² =A^-1  [∵ A^-1 A=I]
⇒ A²=A^-1   [∵ I.A²=A²]
∴ A^-1 =A²

z = x + iy என்க. இங்கு x என்பது Re (z) மற்றும் y என்பது Im (z).
பிறகு \(\bar { z } \) = x - iy
z  + \(\bar { z } \) = x + iy + x - iy = 2x
\(\therefore \frac { z+\bar { z } }{ 2 } =x\)
\( \frac { z+\bar { z } }{ 2 } =Re(z)\)
மேலும் z- z = x + iy-(x-iy)
= x + iy - x + iy = 2iy
\(\frac { z-\bar { z } }{ 2i } =y\)
\(\therefore \frac { z-\bar { z } }{ 2i } =Im(z)\)

cos x = -1
cos x = cos π
x = 2nπ + π, n ∈ Z 
[∵ cos θ = cos ∝ ⇒ θ = 2nπ + ∝, n ∈ Z]
= (2n + 1)π, n ∈ Z
⇒ ஆனால் -5π ≤ x ≤ 5π
n = 0, ±1, ±2, மற்றும் -3 என பிரதியிட கிடைப்பது
⇒ x = -5π, -3π, -π, π, 3π, 5π
x = (2n + 1) π,
n = 0, ±1, ±2, மற்றும் -3

மூலங்கள் கூட்டுத்தொடரில் உள்ளன என்க. பின்னர் அம்மூலங்கள் α-d, α, α+d ஆகும். வியட்டாவின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த, நாம் பெறுவது
(α-d)+α+(α+d) =-\(\frac { p }{ 1 } \) =p ⇒ 3α=-p ⇒ α=-\(\frac { p }{ 3 } \)
ஆனால், கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டிற்கு α ஒரு மூலம் என்பதால்,
\(\left( -\frac { p }{ 3 } \right) ^{ 3 }+p\left( -\frac { p }{ 3 } \right) ^{ 2 }+q\left( -\frac { p }{ 3 } \right) \)+r =0 ⇒ 9pq=2p³+27r இதுவே, கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் மூலங்கள் கூட்டுத் தொடர் அமையத் தேவையான நிபந்தனையாகும்.

வட்டத்தின் பரப்பு =9 சதுர அலகுகள் 
விட்டங்கள் x + y = 5(1) மற்றும் x - y = 1(2)
விட்டங்கள் வெட்டிக் கொள்ளும் புள்ளி மையம் என அறிவோம்.
மையத்தை காண (1) மற்றும் (2) ஐ தீர்க்க 

x = 3
\(\therefore\) (1) \(\Rightarrow\) 3 + y = 5
\(\Rightarrow\) y = 5 - 3 = 2
\(\therefore\) மையம் (3, 2)
ஆகையால் வட்டத்தின் சமன்பாடு 
(x-h)²+(y-k)² = r²
\(\Rightarrow\) (x-3)² + (y-2)² = 3²
\(\Rightarrow\) (x-3)² + (y-2)² = 3²

\(\Rightarrow\) x² + y² - 6x - 4y + 4 = 0

கொடுக்கப்பட்ட விட்டத்தின் முனைகள் (3, 4) (2, -7) 
\(\therefore\) வட்டத்தின் சமன்பாடு
\(\Rightarrow\) (x-x¹)(x-x²)+(y-y¹)(y-y²) = 0
\(\Rightarrow\) (x-3)(x-2)+(y+4)(y+7) = 0
\(\Rightarrow\) x²-2x-3x+6+y²+7y-4y-28 = 0
\(\Rightarrow\) x²+y²-5x+3y-22 = 0

\(\tan^{ -1 }\left( \frac { d }{ 1+{ a }_{ 1 }{ a }_{ 2 } } \right) =\tan^{ -1 }(\frac { { a }_{ 2 }-{ a }_{ 1 } }{ 1+{ a }_{ 1 }{ a }_{ 2 } } )=\tan^{ -1 }{ a }_{ 2 }-\tan^{ -1 }{ a }_{ 1 }\)
இதே போன்று \(\tan ^{-1}\left(\frac{d}{1+a_2 a_3}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{a_3-a_2}{1+a_2 a_3}\right)=\tan ^{-1} a_3-\tan ^{-1} a_2\)
தொடர்ந்து உய்த்தறிதல் மூலம் 
\(\tan ^{-1}\left(\frac{d}{1+a_n a_{n-1}}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{a_n-a_{n-1}}{1+a_{n-1} a_n}\right)=\tan ^{-1} a_n-\tan ^{-1} a_{n-1}\) என கிடைக்கிறது. 
செங்குத்தாக கூட்டும்போது. 
\(\tan ^{-1}\left(\frac{d}{1+a_1 a_2}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{d}{1+a_2 a_3}\right)+\ldots+\tan ^{-1}\left(\frac{d}{1+a_n a_{n-1}}\right)=\tan ^{-1} a_n-\tan ^{-1} a_1\) என நமக்கு கிடைக்கிறது.
\(\tan \left[\tan ^{-1}\left(\frac{d}{1+a_1 a_2}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{d}{1+a_2 a_3}\right)+\ldots+\tan ^{-1}\left(\frac{d}{1+a_n a_{n-1}}\right)\right]=\tan \left[\tan ^{-1} a_n-\tan ^{-1} a_1\right]\) 
\(=\tan \left[\tan ^{-1}\left(\frac{a_n-a_1}{1+a_1 a_n}\right)\right]=\frac{a_n-a_1}{1+a_1 a_n} .\)

\( {[\vec{a} \times \vec{b}, \vec{b} \times \vec{c}, \vec{c} \times \vec{a}]^2 } =\left[[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]^2\right]^2=[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]^4 \\ =3^4=81 \)

\(|\sqrt {3} + i| = \sqrt {3+1} = 2\)
\(|3 i+4|  =\sqrt{9+16}=5 \)
\(|8+6 i|  =\sqrt{64+36}=10 \)
\(|z|  =\frac{2^3 \times 5^2}{10^2}=\frac{200}{100}=2\)

செவ்வகல நீளம்
\( \frac{2 b^2}{a} =8 \\ b^2 =4 a ........ (1) \) 
துணையச்சின் நீளம் 
\( 2 b =\frac{1}{2}(2 a e) \\ b =\frac{a e}{2} \\ b^2 =\frac{a^2 e^2}{4} \)
\( \frac{a^2 e^2}{4} =a^2\left(e^2-1\right) \\ \mathrm{e}^2\left(e^2-1\right) =4 \mathrm{e}^2-4 \\ 3 \mathrm{e}^2 =4 \Rightarrow \mathrm{e}^2=\frac{4}{3} \\ \therefore \mathrm{e} =\frac{2}{\sqrt{3}}\)

\(\lambda A^{-1} =A \)
\(\lambda I=A^2 =\left[\begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 5 & -2 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 5 & -2 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 4+15 & 6-6 \\ 10-10 & 15+4 \end{array}\right] \)
\(\lambda\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc} 19 & 0 \\ 0 & 19 \end{array}\right] \Rightarrow \lambda=19 \)

\( \sin \left(\tan ^{-1} x\right),|x|<1  \\ \because \tan ^{-1} x   =\sin ^{-1} \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \\ \therefore \sin \left(\tan ^{-1} x\right)   =\sin \left[\sin ^{-1} \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right]=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \)

c²=a²+b²

(2) \(\left( \overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ a } \right) .\overset { \rightarrow }{ c } \)
குறிப்பு: 1, 3, மற்றும் 4 ஆனது \(\left( \overset { \rightarrow }{ a } \times \overset { \rightarrow }{ b } \right) .\overset { \rightarrow }{ c } \) யை குறிக்கிறது. 

3) tan x=1
குறிப்பு: 1,2,4 க்கு தீர்வு இல்லை 

சமனி அணி 

(1) x  - iy

(4) நேர்மாறு தொடுக்கோட்டுச் சார்பு அதிகரிக்கிறது.
குறிப்பு: இது திடமாக ஏறும் சார்பு