AOB என்பது பிரதிபலிப்பான் குறுக்குவெட்டு என்க m,AB -ன் மையப்புள்ளி பரவளையத்தின் சமன்பாடு y² = 4ax
A(6,12), (1) ல் அமைந்துள்ளது.

\(\therefore 12^{ 2 }=4a(6)\Rightarrow a=6\) 
\(\therefore \) குவியங்கள் (a, 0) = (b, 0)
குவியம் m-ன் மீது அமைகிறது, AB-ன் மையப்புள்ளி.

\(\overset { \rightarrow }{ a } =\overset { \wedge }{ i } +2\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } \) , \(\overset { \rightarrow }{ b } =-\overset { \wedge }{ i } +2\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \) மற்றும் \(\overset { \rightarrow }{ c } =3\overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } \) 
\(\overset { \rightarrow }{ a } +\lambda \overset { \rightarrow }{ b } \),\(\overset { \rightarrow }{ c } \) க்கு செங்குத்து ஆதலால் \(\left( \overset { \rightarrow }{ a } +\lambda \overset { \rightarrow }{ b } \right) .\overset { \rightarrow }{ c } \) = 0
⇒ [\(\overset { \wedge }{ i } +2\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } \) + λ \((-\overset { \wedge }{ i } +2\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k }) \) ].\(\left( 3\overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } \right) \)
⇒ \(\left[ (1-\lambda )\overset { \wedge }{ i } +(2+2\lambda )\overset { \wedge }{ j } +(3+\lambda )\overset { \wedge }{ k } \right] .\left( 3\overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } \right) =0\)
\(\Rightarrow 3(1-\lambda )+2(2+2\lambda )=0\Rightarrow 3-3\lambda +2+2\lambda =0\)
\(\Rightarrow 5-\lambda =0\Rightarrow \lambda =5\)

இருப்படிச் சமன்பாடு 3x²+2(a²+1)x+(a²-3a+2)க்கு 
இரண்டு மூலங்கள் வெவ்வேறான குறிகளை கொண்டிருக்க வேண்டுமெனில் மெய் மூலங்களை கொண்டிருக்க வேண்டும் மற்றும் மூலங்களின் பெருக்கல் பலன் எதிர்மறை மதிப்புடையது.
⇒ 4(a²+12)-12(a²-3a+2) ≥ 0 மற்றும் \(\frac { { a }^{ 2 }-3a+2 }{ 3 } <0\)
இந்த இரண்டு நிபந்தனைகளும் உண்மையெனில் 
\(\Rightarrow { a }^{ 2 }-3a+2<0\)
\(\Rightarrow (a-1)(a-2)<0\)

LHS = (1 + ω²)³ - (1 + ω)³ 
= (-ω)³ - (-ω²)³ [∵ 1 + ω + ω² = 0]
= -ω³ + ω⁶
= -1 + 1 = 0

sin^-1 (-1) = y என்க. இங்கு \(\frac { -\pi }{ 2 } <y<\frac { \pi }{ 2 } \) 
இனி sin^-1 (-1) = y ⇒ sin y = -1
-1 = sin \(\left( \frac { -\pi }{ 2 } \right) \) ⇒ y = \(\frac { -\pi }{ 2 } \)
\(\left[ \because \frac { -\pi }{ 2 } \epsilon \left( \frac { -\pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right) \right] \)
முதன்மை மதிப்பு sin^-1 (-1) = \(\frac { -\pi }{ 2 } \)

தொகுப்பின், அணி வடிவம் 
\(\left[ \begin{matrix} 3 & 1 & 9 \\ 3 & 2 & 12 \\ 2 & 1 & 7 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
AX=B இங்கு 
\(A=\left[ \begin{matrix} 3 & 1 & 9 \\ 3 & 2 & 12 \\ 2 & 1 & 7 \end{matrix} \right] ,X=\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] ,=\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
\(|A|=\left| \begin{matrix} 3 & 1 & 9 \\ 3 & 2 & 12 \\ 2 & 1 & 7 \end{matrix} \right| =3\left| \begin{matrix} 2 & 12 \\ 1 & 7 \end{matrix} \right| -1\begin{vmatrix} 3 & 12 \\ 2 & 7 \end{vmatrix}+9\left| \begin{matrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right| \)
=3(14-12)-1(21-24)+9(3-4)
=6+3-9=9-9=0
|A|=0 எனில், சமப்படித்தான சமன்பாடுகளின் தொகுப்பிற்கு வெளிப்படையற்ற தீர்வுகளும் உண்டு.

\(x+iy=3-i\sqrt { 3 } \) என்க.
\(=r(cos\theta +isin\theta )\)
\(r=\sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } =\sqrt { { 3 }^{ 2 }+(-{ \sqrt { 3 } ) }^{ 2 } } =\sqrt { 9+3 } \)
\(=\sqrt { 12 } =2\sqrt { 3 } \)
\(\alpha ={ tan }^{ -1 }\left| \frac { y }{ x } \right| ={ tan }^{ -1 }\left| \frac { -\sqrt { 3 } }{ 3 } \right| ={ tan }^{ -2 }\left| \frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \right| =\frac { \pi }{ 6 } \) 
\(3-i\sqrt { 3 } \) என்ற கலப்பெண்கள் நான்காம் கால்பகுதியில் அமைவதால்,
\([\because x\rightarrow +ve,y\rightarrow -ve]\)
அதன் முதன்மைவீச்சு \(\theta =\alpha \)
⇒ \(\theta =-\frac { \pi }{ 6 } \)
∴ துருவ வடிவம் 
\(3-i\sqrt { 3 } =2\sqrt { 3 } \)
\(2\sqrt { 3 } \left( cos\left( 2k\pi +\frac { \pi }{ 6 } \right) +isin\left( 2k\pi +\frac { \pi }{ 6 } \right) \right) ,K ∈ Z\)

z = x + iy என்க. இங்கு x என்பது Re (z) மற்றும் y என்பது Im (z).
பிறகு \(\bar { z } \) = x - iy
z  + \(\bar { z } \) = x + iy + x - iy = 2x
\(\therefore \frac { z+\bar { z } }{ 2 } =x\)
\( \frac { z+\bar { z } }{ 2 } =Re(z)\)
மேலும் z- z = x + iy-(x-iy)
= x + iy - x + iy = 2iy
\(\frac { z-\bar { z } }{ 2i } =y\)
\(\therefore \frac { z-\bar { z } }{ 2i } =Im(z)\)

y = 4 sin (-2x)
sin x-ன் வீச்சு 1
⇒ sin (-2x)- ன் வீச்சு 4 x 1 = 4
sin (-2x) ன் காலம் 2x = 2π ⇒ x = \(\frac { 2\pi }{ 2 } \) = π

கொடுக்கப்பட்ட மூலங்கள் 1, 2 மற்றும் 3
இங்கு α=1, β=2 மற்றும் \(\gamma \)=3
α,β,\(\gamma \) என்பது மூலங்களாக உடைய ஒரு முப்படி சமன்பாடு
x³-(α+β+\(\gamma \))x² + (αβ+β\(\gamma \)+\(\gamma \)α)x -αβ\(\gamma \)=0
⇒ x³-(1+2+3)x²+(2+6+3)x-6=0
⇒ x³-6x²+11x-6=0

வட்டத்தின் சமன்பாடு x²+(y+2)² = 0
(x-h)²+(y-k)² = r²
h = 0, k = -2, r² = 0
மையம்(0, -2) மற்றும் ஆரம் 0

 cosec^-1(-1) = y என்க. எனவே, cosec y = -1
y = cosec^-1x-ன் முதன்மை மதிப்பிற்குரிய வீச்சகம்  \([-\frac { \pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 }]\)\{0} ஆகும்.
மேலும், cosec (−\(\frac{\pi}{2}\)) = −1 என்பதால், y = −\(\frac{\pi}{2}\) என்றிருக்க வேண்டும்.
இங்கு −\(\frac{\pi}{2}\)∈ \([\frac { \pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 }]\)\{0} என்பதை கவனிக்க.
எனவே, cosec⁻¹ (−1) -ன் முதன்மை மதிப்பு −\(\frac{\pi}{2}\) ஆகும்.

வட்டத்தின் மையம் O. AB என்பது வட்டத்தின் நாண் மற்றும் OP என்பது ABஐ இரண்டு சமபாகங்களாகப் பிரிக்கிறது. AP = PB
நிரூபிக்க: \(\overrightarrow{O P} \perp \overrightarrow{A B}\)
O என்பது நிலை வெக்டர்
\(\therefore \overrightarrow{O A}=\overrightarrow{O B}=\) ஆரம் 
Pன் நிலை வெக்டர்
\( \overrightarrow{O P} =\frac{\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}}{2} \\ \overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{A B} =\overrightarrow{O P} \cdot(\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A}) \\ =\left(\frac{\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O A}}{2}\right) \cdot(\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A}) \)
\( =\frac{1}{2}\left[|\overrightarrow{O B}|^2-|\overrightarrow{O A}|^2\right]=0 \\ \)
\((\because \overrightarrow{O A}=\overrightarrow{O B}=\) ஆரம்)
\(\therefore \overrightarrow{O P} \perp \overrightarrow{A B} \) எனவே நிறுவப்பட்டது.

குவியங்கள் y -அச்சில் அமைவதால் நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு \(^{ }\cfrac { { x }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } =1\left( a<b \right) \)
\(\therefore { b }^{ 2 }={ a }^{ 2 }\left( 1-{ e }^{ 2 } \right) ={ a }^{ 2 }\left( 1-\cfrac { 9 }{ 16 } \right) ={ a }^{ 2 }\left( \cfrac { 7 }{ 16 } \right) \) 
\(\Rightarrow b=\cfrac { a\sqrt { 7 } }{ 4 } \) 
\(\therefore\) நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ \frac { { 7a }^{ 2 } }{ 16 } } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } =1\) 
\(\cfrac { { 16x }^{ 2 } }{ 7{ a }^{ 2 } } +\cfrac { 16 }{ { a }^{ 2 } } =1\) 
(6,4)வழிச் செல்கிறது 
\(\cfrac { 16(36) }{ 7{ a }^{ 2 } } +\cfrac { 16 }{ { a }^{ 2 } } =1\) 
\(\Rightarrow \cfrac { 16 }{ { a }^{ 2 } } \left( \cfrac { 36 }{ 7 } +1 \right) =1\Rightarrow \cfrac { 36+7 }{ 7 } =\cfrac { { a }^{ 2 } }{ 16 } \) 
\(\Rightarrow \cfrac { 43 }{ 7 } \times 16={ a }^{ 2 }\Rightarrow { a }^{ 2 }=\cfrac { 43\times 16 }{ 7 } \) 
\({ a }^{ 2 }=\cfrac { 43\times 16 }{ 7 } \) என(1) ல் பிரதியிட கிடைப்பது 
\(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 7\left( \frac { 43\times 16 }{ 7 } \right) } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ \left( \frac { 43\times 16 }{ 7 } \right) } =1\) 
\(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 688 } +\cfrac { { 7y }^{ 2 } }{ 688 } =1\)

கொடுக்கப்பட்ட தளங்களின் வெட்டுக்கோடு வழி செல்லும் தளத்தின் சமன்பாடு 
(2x - 3y + z - 4) + λ (x - y + z + 1) = 0     ...(1)
⇒ (2 + λ)x - (3 + λ)y + (1 + λ)z - 4 + λ = 0
இந்த தளம் x + 2y - 3z + 6 = 0 க்கு செங்குத்து ஆதலால் 
1(2 + λ) - 2(3 + λ) - 3 (1 + λ) = 0
⇒ -4λ - y = 0 ⇒ \(\lambda =\frac { 7 }{ 4 } \)
\(\lambda =\frac { 7 }{ 4 } \) என (1) ல் பிரதியிட கிடைப்பது
(2x - 3y + z - 4) - \(\frac { -7 }{ 4 } \) (x - y + z + 1) = 0
⇒ 4(2x - 3y + z - 4) - 7(x - y + z + 1) = 0
⇒ x - 5y - 3z - 23 = 0 தேவையான தளத்தின் சமன்பாடு.

பிரதியிடு \(y=\frac { x-1+x-5 }{ 2 } =x-3\)
⇒ x = y + 3
∴ (x-1)⁴+(x-5)⁴ = 82
⇒ (y+3-1)⁴+(y+3-5)⁴ = 82
⇒ (y+2)⁴+ (y-2)⁴ = 82
⇒ 2(y⁴+ 24y²+16) = 82
⇒ y⁴+ 24y²+16 = 41
⇒ y⁴+ 24y²-25 = 0
⇒ (y²+ 25)(y²-1) = 0
⇒ y = 土5i, y = 土1
∴ x = 3土5i, 4, 2.

∴ \(\frac { \bar { z } +1 }{ \bar { z } -1 } =\frac { x+iy+1 }{ x+iy-i } =\frac { (x+1)+iy }{ x+i(y-i) } \)
\(=\frac { (x+1)+iy }{ x+i(y-1) } \times \frac { x-i(y-1) }{ x-i(y-1) } \)
மெய் பகுதியை மட்டும் தேர்ந்தெடுக்க கிடைப்பது.
\(\frac { (x+1)x-{ i }^{ 2 }y(y-1) }{ { x }^{ 2 }+({ y-1) }^{ 2 } } =0\)
⇒ x (x + 1) +y (y - 1) = 0
⇒ x²+ x + y² - y = 0 என்பது z - ன் நியமப்பாதை.

cos (tan^-1 x) = sin \(\left( { cot }^{ -1 }\frac { 3 }{ 4 } \right) \)
\(\Rightarrow sin\left( { tan }^{ -1 }\frac { 4 }{ 3 } \right) =sin\left( { sin }^{ -1 }\left( \frac { 4 }{ \sqrt { { 3 }^{ 2 }+{ 4 }^{ 2 } } } \right) \right) \)
\(\left[ \because { tan }^{ -1 }x={ sin }^{ -1 }\left( \frac { x }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } \right) \right] \)
\(\Rightarrow sin\left( { sin }^{ -1 }\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) \right) =\frac { 4 }{ 5 } \)
⇒ cos (tan^-1 x) = cos (-tan^-1 x) = \(\frac { 4 }{ 5 } \)
[ ∵ cos x = cos (-x)]
⇒ tan^-1 x = -tan^-1 x = cos^-1 \(\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) \)
⇒ tan^-1 x = - tan^-1 x = tan^-1 \(\frac { 3 }{ 4 } \)
\(\left[ \because { cos }^{ -1 }x={ tan }^{ -1 }\sqrt { \frac { 1-{ x }^{ 2 } }{ x } } ;{ cos }^{ -1 }\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) ={ tan }^{ -1 }\sqrt { \frac { 1-\frac { 16 }{ 25 } }{ \frac { 4 }{ 5 } } } \right] \)
\(x=\frac { 3 }{ 4 } ,\frac { 3 }{ 4 } \)

விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி \([A|B]=\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 2 & 2 & 6 \\ 2 & 1 & 1 \end{matrix}|\begin{matrix} 4 \\ 7 \\ 10 \end{matrix} \right] \)
\([A|B]\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-{ 2R }_{ 1 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-2{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -5 \end{matrix}|\begin{matrix} 4 \\ -1 \\ 2 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\leftrightarrow { R }_{ 3 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & -5 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}|\begin{matrix} 4 \\ 2 \\ -1 \end{matrix} \right] \)
இங்குρ(A)=2 [2 அபூச்சிய நிரைகள் மட்டும்]
மட்டும் ρ([A|B]=2 [3 அபூச்சிய நிரைகள் மட்டும்]
∴ ρ(A)≠ρ([A|B]
∴ தொகுப்பு ஒருங்கமைவற்றது 

ax⁴+bx³+cx²+dx+e=0 மூலங்கள் α,β,γ மற்றும் δ என்க. எனவே,
∑₁ =α+β+γ+ δ=-\(\frac{b}{a}\)
∑₂ =αβ+αγ+αδ+βγ+γδ=\(\frac{c}{a}\)
∑₃ =αβγ+ αβδ+αγδ+βγδ=-\(\frac{d}{a}\)
∑₄ =αβγδ=\(\frac{e}{a}\)
α²+β²+γ²+δ² -ன் மதிப்பைக் காணவேண்டுமெனில்
(a+b+c+d)² ≡ a²+b²+c²+d²+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)
எனும் முற்றொருமையினைப் பயன்படுத்த வேண்டும். எனவே,
α²+β²+γ²+δ² =(α+β+γ+δ)² -2(αβ+αγ+αδ+βγ+βδ+γδ)
=\(\left( -\frac { b }{ a } \right) ^{ 2 }-2\left( \frac { c }{ a } \right) \)
=\(\frac { { b }^{ 2 }-2ac }{ { a }^{ 2 } } \).

கொடுக்கப்பட்ட   \(\vec { a } =2\hat { i } +6\hat { j } +3\hat { k } \) 
\(\vec { n } =\hat { i } +3\hat { j } +5\hat { k } \) 
(\(\vec { n } \)) புள்ளி வழிச் செல்லும் மற்றும் வெக்டருக்கு செங்குத்தான வெக்டர் வடிவ சமன்பாடு 
\(\vec { r } .\vec { n } =\vec { a } .\vec { n } \) 
= \(\vec { r } .\left( \hat { i } +3\hat { j } +5\hat { k } \right) \) 
= \(\left( 2\hat { i } +6\hat { j } +3\hat { k } \right) .\left( \hat { i } +3\hat { j } +5\hat { k } \right) =2+18+15\) 
\(\Rightarrow \vec { r } .\left( \hat { i } +3\hat { j } +5\hat { k } \right) =35\) 
அதனுடைய கார்டீசியன் 
\(a(x-{ x }_{ 1 })+b(y-{ y }_{ 1 })+c(z-{ z }_{ 1 })=0\) 
\(1(x-2)+3\left( y-6 \right) +5\left( z-3 \right) =0\) 
[\(\therefore\) (x₁,y₁,z₁)=(2,6,3) மற்றும் a,b,c =1,3,5]
\(\Rightarrow -2+3y-18+5z-15=0\) 
\(\Rightarrow x+3y+5z-35=0\) 
\(\Rightarrow x+3y+5z=35\)

i) \({ \tan }^{ -1 }\left( -\sqrt { 3 } \right) ={ \tan }^{ -1 }\left( \tan\left( -\frac { \pi }{ 3 } \right) \right) =-\frac { \pi }{ 3 } \), ஏனெனில் \(-\frac { \pi }{ 3 } \in \left( -\frac { \pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right) \)
ii) \({ \tan }^{ -1 }\left( \tan\frac { 3\pi }{ 5 } \right) \)
tan \(\theta\) = tan \(\frac{3\pi}{5}\) எனுமாறு \(\theta \in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\) ஐ நாம் கண்டறிய வேண்டும்.
தொடுகோட்டுச் சார்பின் காலம் \(\pi \) என்பதால், \( \tan \frac{3\pi}{5}=\tan(\frac{3\pi}{5}-\pi)=\tan(-\frac{2\pi}{5})\)
எனவே, \({ \tan }^{ -1 }\left( \tan\frac { 3\pi }{ 5 } \right) ={ \tan }^{ -1 }\left( \tan\left( -\frac { 2\pi }{ 5 } \right) \right) =-\frac { 2\pi }{ 5 } ,\) ஏனெனில் \(-\frac {2\pi }{ 5 } \in \left( -\frac { \pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right) .\)
iii) tan(tan^-1 x) = x, x ∈ R, என்பதால், tan(tan^-1(2019)) = 2019 ஆகும்.

|A| = \(\left[ \begin{matrix} 8 & -6 & 2 \\ -6 & 7 & -4 \\ 2 & -4 & 3 \end{matrix} \right] \)= 8(21-16)+6(-18+8)+2(24-14) = 40 - 60 + 20 = 0
சேர்ப்பு அணியின் வரையறைப்படி கிடைப்பது
adj A = \(\left| \begin{matrix} (21-16) & -(18+8) & (24-14) \\ -(-18+8) & (24-4) & -(32+12) \\ (24-14) & -(32+12) & (56-36) \end{matrix} \right| ^{ T }=\left| \begin{matrix} 5 & 10 & 10 \\ 10 & 20 & 20 \\ 10 & 20 & 20 \end{matrix} \right| \)
எனவே,
A(adj A) =\(\left[ \begin{matrix} 8 & -6 & 2 \\ -6 & 7 & -4 \\ 2 & -4 & 3 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 5 & 10 & 10 \\ 10 & 20 & 20 \\ 10 & 20 & 20 \end{matrix} \right] \)
= \(\left[ \begin{matrix} 40-60+20 & 80-120+40 & 80-120+40 \\ -30+70-40 & -60+140-80 & -60+140-80 \\ 10-40+30 & 20-80+60 & 20-80+60 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right] \) = 0I₃ = |A|I₃.
இதேபோல், நமக்குக் கிடைப்பது
(adj A)A =\(\left[ \begin{matrix} 5 & 10 & 10 \\ 10 & 20 & 20 \\ 10 & 20 & 20 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 8 & -6 & 2 \\ -6 & 7 & -4 \\ 2 & -4 & 3 \end{matrix} \right] \)
=\(\left[ \begin{matrix} 40-60+20 & -30+70-40 & 10-40+30 \\ 80-120+40 & -60+140-80 & 20-80+60 \\ 80-120+40 & -60+140-80 & 20-80+60 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right] \) = 0I₃ = |A|I₃.
எனவே, A(adj A) = (adj A)A = |A| I₃ என்பது சரிபார்க்கப்பட்டது.

கொடுக்கப்பட்ட F₁P + F₂P = 8
நீள்வட்டத்தின் குவியங்களின் பண்புபடி 
F₁P + F₂P = 2a
\(\therefore 2a=8\) 
\(\Rightarrow a=4\) 
நீள்வட்டத்தின் குவியங்களின் பண்புபடி 
= F₁F₂ = 6
2ae = 6
\(\Rightarrow\) ae = 3
\(\therefore\) 4(e) = 3
\(\Rightarrow e=\cfrac { 3 }{ 4 } \) 

\(\therefore { b }^{ 2 }={ a }^{ 2 }(1-e^{ 2 })\) 
= \(16\left( 1-\left( \frac { 3 }{ 4 } \right) ^{ 2 } \right) =16\left( 1-\cfrac { 7 }{ 16 } \right) =7\) 
\(\therefore\) அவர் ஓடுகின்ற பாதை ஒரு நீள் வட்டம் மற்றும் அதனுடைய சமன்பாடு
\(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1\)
\(\Rightarrow \cfrac { { x }^{ 2 } }{ 16 } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ 7 } =1\)

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு (a²+b²+c²)P²-2(ab+bc+cd)p+(b²+c²+d²)≤0  ...(1)
(1) ஐ மாற்றி எழுதலாம் 
(a²p²-2abp+b²)+(b²p²-2cp+c²)+(c²p²-2cdp+d²)≤0
(ap-b)²+(bp-c)²+(cp-d)²≤0     .....(2)
a,b,c,d, p∈ R எனில் 
(ap-b)²≥0, (bp-c)²≥0 மற்றும் (cp-d)²≥0
∴ (2) நிறைவு செய்யப்பட வேண்டுமெனில் 
ap-b=0, bp-c=0, cp-d=0
\(\frac { b }{ a } =\frac { c }{ b } =\frac { d }{ c } =p\)
⇒ a,b, c,d பெருக்குத் தொடரில் உள்ளன. மற்றும் ad=bc 

கொடுக்கப்பட்ட \(\vec { AB } =\vec { \alpha } ,\vec { AB } =\vec { \beta } \) மற்றும் \(\vec { AC } =2\vec { \alpha } +3\vec { \beta } \)
நாற்கரம் ABCD யின் பரப்பு
∴ ΔABC யின் பரப்பு + ΔACDயின் பரப்பு
= \(\frac { 1 }{ 2 } |\vec { AB } \times \vec { AC } |+\frac { 1 }{ 2 } |\vec { AC } \times \vec { AD } |\)
= \(\frac { 1 }{ 2 } |\vec { a } \times (2\vec { \alpha } +3\vec { \beta } )|+\frac { 1 }{ 2 } |(2\vec { \alpha } +3\vec { \beta } )\times \vec { \beta } |\)
\(=\frac { 1 }{ 2 } |2(\vec { \alpha } \times \vec { \alpha } )+3(\overline { \alpha } \times \overline { \beta } )|+\frac { 1 }{ 2 } |3(\vec { \alpha } \times \vec { \beta } )+3(\vec { \beta } \times \vec { \beta } )|\)
\(=\left( \frac { 3 }{ 2 } +\frac { 2 }{ 2 } \right) \left( \vec { \alpha } \times \vec { \beta } \right) =\left( \frac { 5 }{ 2 } \right) \left| \vec { \alpha } \times \vec { \beta } \right| \) ...(1)
இப்பொழுது, \(\vec { AB } \) மற்றும் \(\vec { AD } \) யை அடுத்துள்ள பக்கங்களாக கொண்ட இணைகரத்தின் பரப்பு
\(=|\vec { AB } \times \vec { AD } |=|\vec { \alpha } \times \vec { \beta } |\) ...(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து, \(\frac { 5 }{ 2 } \left| \vec { \alpha } \times \vec { \beta } \right| =\lambda |\vec { \alpha } \times \vec { \beta } |\) [கொடுக்கப்பட்ட]
\(\lambda =\frac { 5 }{ 2 } \) 

\(\bar { z } =x-iy\) என்பது கொடுக்கப்பட்ட கலப்பெண் என்க
∴ z\(\bar { z } \) = (x + iy)(x - iy) = x² + y²
∴ z\(\bar { z } \) -(2+ 3i)z -(2 -3i) \(\bar { z } \) + 9
⇒ x² + y² - (2 + 3i) (x + iy) - (2 - 3i)(x - iy) + 9 = 0
⇒ x² + y² - [ 2x + 2iy + 3ix + 3i²y] - [2x - 2iy - 3ix + 3i²y] + 9 = 0

⇒ x² + y² - 4x + 6y + 9 = 0
இங்கு 2u = -4 ⇒u = -2
2v = 6 ⇒ v = 3 மற்றும் d = 9
∴ வட்டத்தின் மையம் (-u, -v) = (2, -3)
ஆரம் = \(\sqrt { { u }^{ 2 }+{ v }^{ 2 }-d } =\sqrt { 4+9-9 } \)
= \(\sqrt { 4 } =2\) அலகுகள்
எனவே வட்டத்தின் மையம் (2, -3) மற்றும் ஆரம் 2 அலகுகள்.

sin^-1 x ன் சார்பகம் [-1, 1]
∴ f (x) = sin^-1 (2x - 3) ஒவ்வொரு x க்கும் வரையறுக்கப்பட்டது.
-1 ≤ 2x - 3 ≤ 1
⇒ 3 - 1 ≤ 2x ≤ 1 + 3
⇒ 2 ≤ 2x ≤ 4 ⇒ 1 ≤ x ≤ 2 ⇒ x ∈ [1, 2]
∴ f (x) = sin^-1 (2x - 3) ன் சார்பகம் [1, 2] 

விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி   \([A|B]\quad is\left[ \begin{matrix} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{matrix}|\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix} \right] \)
\([A|B]\overset { { R }_{ 1 }\leftrightarrow { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{matrix}|\begin{matrix} b \\ a \\ c \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }+{ R }_{ 1 }\\ R_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & -3 & 3 \\ 0 & 3 & -3 \end{matrix}|\begin{matrix} b \\ a+2b \\ c-b \end{matrix} \right] \)
\(\overset { R_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & -3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}|\begin{matrix} b \\ c+2b \\ a+b+c \end{matrix} \right] \)
இங்கு ρ(A)=2
கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பு ஒருங்கமைவுடன் உள்ளது எனில் மட்டும் ρ([A}B])=2
எனில் மட்டும் a+b+c=0
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு 
18x²+12y²-144x+48y+120 = 0
18x² - 144x + 12y + 48y = -120
\(\Rightarrow\)18(x² - 8x) + 12(y²+4y) = -120
\(\Rightarrow\)  18(x²-8x+ 16-16)+ 12(y²+4y+4-4) = -120
18(x-4)²-288 + 12(y-2)²-48 = -120
\(\Rightarrow\)18(x-4)²+12(y+2)² = -120+288 + 48
\(\Rightarrow\) 18(x-4)²+12(y+2)² = 216
216 ஆல் வகுக்க கிடைப்பது 
\(\cfrac { 18\left( x-4 \right) ^{ 2 } }{ 216 } +\cfrac { 12\left( y+2 \right) ^{ 2 } }{ 216 } =1\)
\(\Rightarrow \cfrac { \left( x-4 \right) ^{ 2 } }{ 12 } +\cfrac { \left( y+2 \right) ^{ 2 } }{ 18 } =1\)
நெட்டச்சு y-அச்சுக்கு இணையான நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு 
\(\therefore\) a² = 18, b² = 12
\(\therefore\) c² = a²-b² = 18 -12 = 6 \(\Rightarrow\) c = \(\sqrt { 6 } \)
\(e=\sqrt { 1-\cfrac { { b }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } } =\sqrt { 1-\cfrac { 12 }{ 18 } } =\sqrt { \cfrac { 18-12 }{ 18 } } \)

(a) மையம் (4, -2)
\(\Rightarrow\) h = 4, k = -2
(b) முனைகள் (h, k-a), (h, k+a)
\(\Rightarrow (4,-2-\sqrt { 2 } ),\left( 4,-2+3\sqrt { 2 } \right) \)
\(\left[ \because { a }^{ 2 }=18\Rightarrow a=\sqrt { 18 } =\sqrt { 2 } \right] \)
(c) குவியங்கள்(h, k-c); (h, k+c)
\(\Rightarrow \left( 4,-2-\sqrt { 6 } \right) ,\left( 4,-2+\sqrt { 6 } \right) \)
(d) இயக்குவரைகளின் சமன்பாடுகளின் 
\(y+2=\pm \cfrac { a }{ e } \)
\(\Rightarrow y+2=\pm 3\sqrt { 6 } ,y+2=-3\sqrt { 6 } \)
\(\Rightarrow y=-2+3\sqrt { 6 } \) மற்றும்\(y=-2-3\sqrt { 3 } \)

\({ \left( -\sqrt { 3 } +3i \right) }^{ 31 }\)
\(-\sqrt { 3 } +3i\) = r(cos θ + isin θ) என்க.
r = \(\sqrt { { (-\sqrt { 3 } ) }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 } } =\sqrt { 12 } =2\sqrt { 3 } \)
\(\alpha ={ tan }^{ -1 }\left| \frac { 3 }{ -\sqrt { 3 } } \right| ={ tan }^{ -1 }\sqrt { 3 } =\frac { \pi }{ 3 } \)
θ = π - a = π - \(\frac { \pi }{ 3 } =\frac { 2\pi }{ 3 } \) (∵ \(-\sqrt { 3 } +3i \) ஆனது II-ஆம் கால் பகுதியில் உள்ளதால்)
ஆகவே, \(-\sqrt { 3 } +3i \) = \(2\sqrt { 3 } \) \(\left( cos\frac {2 \pi }{ 3 } +isin\frac { 2\pi }{ 3 } \right) \)
இருபுறமும் 31-ன் அடுக்கிற்கு உயர்த்த,
\({ (-\sqrt { 3 } +3i) }^{ 31 }={ (2\sqrt { 3 } ) }^{ 31 }\) \(\left( cos\frac {2 \pi }{ 3 } +isin\frac { 2\pi }{ 3 } \right) ^{31}\)
=\({ (2\sqrt { 3 } ) }^{ 31 }\) \(\left( cos\left( 20\pi +\frac {2 \pi }{ 3 } \right) +isin\left( 20\pi +\frac { \pi }{ 3 } \right) \right) \)
= \({ (2\sqrt { 3 } ) }^{ 31 }\) \(\left( cos\frac {2 \pi }{ 3 } +isin\frac {2 \pi }{ 3 } \right) \)
= \({ (2\sqrt { 3 } ) }^{ 31 }\)\(\left( cos\left( \pi +\frac { \pi }{ 3 } \right) +isin\left( \pi +\frac { \pi }{ 3 } \right) \right) \)
= \({ (2\sqrt { 3 } ) }^{ 31 }\)\(\left( -cos\frac { \pi }{ 3 } +isin\frac { \pi }{ 3 } \right) \) = \({ (2\sqrt { 3 } ) }^{ 31 }\)\(\left( -\frac { 1 }{ 2 } +i\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) \)

\(\vec { r } =(\hat { i } +3\hat { j } -\hat { k } )+t(2\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } )\) என்ற கோட்டின் கார்டீசியன் சமன்பாடு
\(\frac { x-1 }{ 2 } =\frac { y-3 }{ 3 } =\frac { z+1 }{ 2 } \) = s(என்க)
இக்கோட்டின் மீதுள்ள ஏதேனுமொரு புள்ளியின் அமைப்பு (2s + 1, 3s + 3, 2s - 1) ....... (1)
இரண்டாவது கோட்டின் கார்டீசியன் சமன்பாடு \(\frac { x-2 }{ 1 } =\frac { y-4 }{ 2 } =\frac { z+3 }{ 4 } \) = t (என்க)
இக்கோட்டின் மீதுள்ள ஏதேனுமொரு புள்ளியின் அமைப்பு (t + 2, 2t + 4, 4t - 3) ..... (2)
கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் வெட்டிக் கொள்ளுமானால், ஒரு பொதுவான புள்ளி இருக்க வேண்டும். எனவே, ஒரு சில s, t ∊ R களுக்கு,
(2s + 1, 3s + 3, 2s - 1) = (t + 2, 2t + 4, 4t - 3)
x, y மற்றும் z -ன் அச்சுத்தூரங்களை சமப்படுத்த, நாம் பெறுவது
2s - 1 = 1, 3s - 2t = 1 மற்றும் s - 2t = -1.
இம்மூன்று சமன்பாடுகளில் முதல் இரண்டு சமன்பாடுகளின் தீர்வு காண்பதால் s = 1 மற்றும் t = 1 எனக் கிடைக்கிறது. s மற்றும் t -ன் இம்மதிப்புகள் மூன்றாவது சமன்பாட்டை நிறைவு செய்கின்றன. எனவே, கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் வெட்டும் கோடுகளாகும். இப்பொழுது, s -ன் மதிப்பை சமன்பாடு (1)-ல் அல்லது t -ன் மதிப்பை சமன்பாடு (2)-ல் பிரதியிட, இவ்விரு கோடுகளின் வெட்டும் புள்ளி (3, 6, 1) எனக் கிடைக்கிறது.
\(\vec { b } =2\hat { i } +3\hat { j } +2\hat { k } \) மற்றும் \(\vec { d } =\hat { i } +2\hat { j } +4\hat { k } \) என எடுத்துக் கொண்டால்,
\(\vec { b } \times \vec { d } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 2 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{matrix} \right| =8\hat { i } -6\hat { j } +\hat { k } \) எனக் கிடைக்கிறது.
இவ்வெக்டர் கொடுக்கப்பட்ட இரு கோடுகளுக்கும் செங்குத்தான வெக்டராகும்.
எனவே, தேவையான நேர்க்கோடு (3, 6, 1) என்ற புள்ளி வழியாகச் செல்வதுடன் இரு நேர்க்கோடுகளுக்கும் செங்குத்தானதும் ஆகும். ஆகவே, தேவையான நேர்க்கோடு (3, 6, 1) என்ற புள்ளி வழியாகச் செல்வதுடன் \(8\hat { i } -6\hat { j } +\hat { k } \) என்ற வெக்டருக்கு இணையாகவும் இருக்கும். எனவே, தேவையான நேர்க்கோட்டின் வெக்டர் சமன்பாடு
\(\vec { r } =(3\hat { i } +6\hat { j } +\hat { k } )+m(8\hat { i } -6\hat { j } +\hat { k }) \), m ∊ R

இது இரட்டைப்படை முதல் வகை தலைகீழ் சமன்பாடாகும். எனவே இதனை,
\( { x }^{ 2 }[ \left( { x }^{ 2 }+\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } \right) -10\left( x+\frac { 1 }{ x } \right) \)+26\(] \)=0 x ≠ 0 எனவே \(\left( { x }^{ 2 }+\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } \right) -10\left( x+\frac { 1 }{ x } \right)+26 = 0 \)
என மாற்றி எழுதலாம் y=\(\left( x+\frac { 1 }{ x } \right) \) என்க.
[(y²-2)-10y+26]=0 ⇒ (y²-10y+24)=0 ⇒ (y-6)(y-4)=0
நிலை (i)
y = 6 எனில், x+\(\frac { 1 }{ x } \)=6 ⇒ x=3+\(2\sqrt { 2 } \), x=3-\(2\sqrt { 2 } \)
நிலை (ii)
y=4, எனில், x+\(\frac { 1 }{ x } \)=4 ⇒ x=2+\(\sqrt { 3 } \), x=2-\(\sqrt { 3 } \)
எனவே, மூலங்கள் \(3\pm 2\sqrt { 2 } ,2\pm \sqrt { 3 } \) ஆகும்.

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு \(\frac { { (x-3) }^{ 2 } }{ 225 } +\frac { { (y-4) }^{ 2 } }{ 289 } =1\)
இது அதிபரவளையத்தின் சமன்பாடு a² = 289
b² = 225 மற்றும் c² = a² + b²\(\Rightarrow\) 289 - 225 = 64
\(\Rightarrow\) c = 8
\(e=\sqrt { 1\frac { { b }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } } =\sqrt { 1-\cfrac { 225 }{ 289 } } =\sqrt { \cfrac { 2589-225 }{ 289 } } \)
\(\sqrt { \cfrac { 64 }{ 289 } } =\cfrac { 8 }{ 17 } \)
(a) மையம் (3,4) \(\Rightarrow\) h = 3, k = 4
(b) குவியங்கள் (h,k+c), (h,k-c), (h,k+a)
\(\Rightarrow\) (3, 4+8), (3, 4-8) \(\Rightarrow\) (3,12), (3,-4)
(c) முனைகள் (h, k-a), (h,k+a)
\(\Rightarrow\) (3,4,-17), (3,4+17) \(\Rightarrow\) (3,-13), (3,21)
(d) இயக்குவரைகளின் சமன்பாடுகள்
\(y-4=\pm \cfrac { a }{ e } \)
\(\Rightarrow y-4=\pm \cfrac { 17 }{ 18 } \Rightarrow y-4\pm \cfrac { 289 }{ 9 } \)
\(\Rightarrow y=\cfrac { 289 }{ 8 } +4\) மற்றும் \(y=\cfrac { -289 }{ 8 } +4\)
\(\Rightarrow y=\cfrac { 289+32 }{ 2 } \)  மற்றும் \(y=\cfrac { -257 }{ 8 } \)

(i) A = \(\left[ \begin{matrix} 3 & 2 & 5 \\ 1 & 1 & 2 \\ 3 & 3 & 6 \end{matrix} \right] \) என்க. A ஆனது 3 x 3 வரிசையுடைய அணி. எனவே \(\rho \)(A) ≤ min{3,3} = 3
உச்ச சிற்றணிக்கோவையின் வரிசை 3.
A-விற்கு ஒரே ஒரு 3 வரிசையுடைய சிற்றணிக்கோவைதான் உண்டு. அதன் மதிப்பு
\(\left| \begin{matrix} 3 & 2 & 5 \\ 1 & 1 & 2 \\ 3 & 3 & 6 \end{matrix} \right| \) = 3(6-6)-2(6-6)+5(3-3) = 0. எனவே, \(\rho \)(A) < 3
அடுத்து 2 வரிசையுடைய சிற்றணிக்கோவை தேர்வு செய்வோம். அதில் ஒரு 2 வரிசையுடைய சிற்றணிக்கோவை \(\left| \begin{matrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right| \) = 3-2 = 1 ≠ 0. எனவே \(\rho \)(A) = 2.
(ii) A = \(\left[ \begin{matrix} 4 \\ -3 \\ 6 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ -1 \\ 7 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -2 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 4 \\ 2 \end{matrix} \right] \) என்க. A ஆனது 3 x 4 வரிசையுடைய அணி.
எனவே \(\rho \)(A) ≤ min{3, 4} = 3
உச்ச சிற்றணிக்கோவையின் வரிசை 3. அவை
\(\left| \begin{matrix} 4 & 3 & 1 \\ -3 & -1 & -2 \\ 6 & 7 & -1 \end{matrix} \right| =0;\left| \begin{matrix} 4 & 3 & -2 \\ -3 & -1 & 4 \\ 6 & 7 & 2 \end{matrix} \right| =0;\left| \begin{matrix} 4 & 1 & -2 \\ -3 & -2 & 4 \\ 6 & -1 & 2 \end{matrix} \right| =0;\left| \begin{matrix} 3 & 1 & -2 \\ -1 & -2 & 4 \\ 7 & -1 & 2 \end{matrix} \right| =0\)
எனவே, \(\rho \)(A) < 3 அடுத்து 2-ஆம் வரிசையின் பூச்சியமற்ற சிற்றணிக்கோவை ஏதேனும் ஒன்று A உள்ளதா எனப்பார்ப்போம். இது சாத்தியமாகும்.
ஏனெனில் \(\left| \begin{matrix} 4 & 3 \\ -3 & -1 \end{matrix} \right| \)= -4 + 9 = 5 ≠ 0
எனவே, \(\rho \)(A) = 2.

\(\left(\frac{1+\sqrt{3} i}{1-\sqrt{3} i}\right)^{10} =\left[\frac{\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}}{\cos \left(-\frac{\pi}{3}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right)}\right] ^{10}\)
\( =\left[\cos \left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}\right)\right] ^{10}\)
\( =\left(\cos \frac{2 \pi}{3}+i \sin \frac{2 \pi}{3}\right)^{10}=\cos \frac{20 \pi}{3}+i \sin \frac{20 \pi}{3} \)
\( =\cos \left(6 \pi+\frac{2 \pi}{3}\right)+i \sin \left(6 \pi+\frac{2 \pi}{3}\right) \)
\( =\cos \left(\frac{2 \pi}{3}\right)+i \sin \left(\frac{2 \pi}{3}\right)=\operatorname{cis} \frac{2 \pi}{3} \)

\(\Delta \geq 0 \)
\(\mathbf{k}^2-4(1)(9) \geq 0 \)
\(\mathbf{k}^2 \geq 36 \Rightarrow|k| \geq 6\)

x = a cos \(\theta\); y = b sin \(\theta\)
நீளம் = 2acos\(\theta\); அகலம் = 2bsin\(\theta\)
பரப்பு A = l \(\times\) b = 4absin\(\theta\)cos\(\theta\)
A = 2ab sin 2\(\theta\)
\(\frac{dA}{d \theta}\)= 2ab cos2\(\theta\) (2) = 4ab cos2\(\theta\)
மீப்பெரும பரப்பிற்கு
\(\frac{dA}{d \theta}\) = 0 \(\Rightarrow\) cos2\(\theta\) = 0
\(\begin{aligned} 2 \theta & =\frac{\pi}{2} \Rightarrow \theta=\frac{\pi}{4} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \therefore A = 2 a b \sin 2\left(\frac{\pi}{4}\right)=2 a b \sin \frac{\pi}{2} \end{aligned}\)
A = 2ab

|adj(adj A)| = |A|⁹
\(|A|^{(n-1)^2}=|\mathrm{A}|^9\)
(n - 1)² = 9 = 3²
n - 1 = 3 \(\Rightarrow\) n = 4

\( \tan ^{-1} x+\cos ^{-1} x =\frac{\pi}{2} \\ \tan ^{-1} x =\frac{\pi}{2}-\cot ^{-1} x=\frac{\pi}{2}-\frac{2 \pi}{5} \\ =\frac{5 \pi-4 \pi}{10}=\frac{\pi}{10} \)

இயக்குவரையின் சமன்பாடு x=h+a

(4) திசை வேகம் 
குறிப்பு: a, b, c திசையிலிகள் அதே சமயத்தில் d ஒரு வெக்டர்.

4) 0
குறிப்பு: 1,2,3 மற்றும் p -ன் மதிப்புகள் 

A செங்கோண அணி 
குறிப்பு: 1,2,3 சமச்சீர் அணியின் பண்புகள் 

(3) arg \(\left( \frac { { z }_{ 1 } }{ { z }_{ 2 } } \right) \) = arg (z₁) + arg (z₂)

(4) நேர்மாறு தொடுக்கோட்டுச் சார்பு அதிகரிக்கிறது.
குறிப்பு: இது திடமாக ஏறும் சார்பு