பரவளையம் x - அச்சை சமச்சீராக கொண்டிருப்பதால், அது கீழ் அல்லது மேல் நோக்கி திறப்புடையது.
x² = 4ay என்பது சமன்பாடு என்க 
(2, -3) பரவளையத்தின் மேல் உள்ளதால்.
\({ 2 }^{ 2 }=4a(-3)\Rightarrow a=\cfrac { -1 }{ 3 } \) 
\(a=\cfrac { -1 }{ 3 } \) என (1)ல் பிரதியிட கிடைப்பது.
\({ x }^{ 2 }=4\left( \cfrac { -1 }{ 3 } \right) y\Rightarrow { 3 }x^{ 2 }=-4y\) என்பது தேவையான பரவளையத்தின் சமன்பாடாகும்.

\(\overset { \rightarrow }{ OA } =3\overset { \wedge }{ i } -\overset { \wedge }{ j } +2\overset { \wedge }{ k } ,\overset { \rightarrow }{ OB } =\overset { \wedge }{ i } -\overset { \wedge }{ j } -3\overset { \wedge }{ k } ,\overset { \rightarrow }{ OC } =4\overset { \wedge }{ i } -3\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \)
∆ ABC யின் பரப்பு = \(\frac { 1 }{ 2 } \left| \overset { \rightarrow }{ AB } \times \overset { \rightarrow }{ AC } \right| \)
\(\overset { \rightarrow }{ AB } =\overset { \rightarrow }{ OB } -\overset { \rightarrow }{ OA } =\left( \overset { \wedge }{ i } -\overset { \wedge }{ j } -3\overset { \wedge }{ k } \right) -\left( \overset { \wedge }{ i } -\overset { \wedge }{ j } +2\overset { \wedge }{ k } \right) =-2\overset { \wedge }{ i } -5\overset { \wedge }{ k } \)
\(\overset { \rightarrow }{ AC } =\overset { \rightarrow }{ OC } -\overset { \rightarrow }{ OA } =\left( 4\overset { \wedge }{ i } -3\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \right) -\left( 3\overset { \wedge }{ i } -\overset { \wedge }{ j } +2\overset { \wedge }{ k } \right) =\overset { \wedge }{ i } -2\overset { \wedge }{ j } -\overset { \wedge }{ k } \)
\(\therefore \overset { \rightarrow }{ AB } \times \overset { \rightarrow }{ AC } =\left| \begin{matrix} \overset { \wedge }{ i } \\ -2 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} \overset { \wedge }{ j } \\ 0 \\ -2 \end{matrix}\begin{matrix} \overset { \wedge }{ k } \\ -5 \\ -1 \end{matrix} \right| \)
\(=\overset { \wedge }{ i } (0-10)-\overset { \wedge }{ j } (2+5)+\overset { \wedge }{ k } (4-0)=10\overset { \wedge }{ i } -7\overset { \wedge }{ j } +4\overset { \wedge }{ k } \)
\(\therefore \left| \overset { \rightarrow }{ AB } \times \overset { \rightarrow }{ AC } \right| =\sqrt { 101+49+16 } =\sqrt { 165 } \)
∴ ∆ABC யின் பரப்பு = \(\frac { 1 }{ 2 } \sqrt { 165 } \)

p(x) = x⁷-6x⁶+7x⁵+5x²+2x+2  என்க 
இது ஒரே ஒரு குறி மாற்றத்தை கொண்டுள்ளது 
இங்கு 
p(-x) = (-x)⁷-6(-x)⁶+7(-x)⁵+5(-x)²+2(-x)+2
= -x⁷-6x⁶-7x⁵+5x²-2x+2
இது இரண்டு குறி மாற்றங்களை கொண்டுள்ளது. எனவே p(x) ஒரு மூலம் மற்றும் குறைந்தபட்சம் இரண்டு குறை மூலங்கள் கொண்டிருக்கும்.

கொடுக்கப்பட்ட tan^-1 x = sin^-1 \(\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) \) = sin^-1 \(\left( sin\frac { \pi }{ 6 } \right) \)
\(\Rightarrow { tan }^{ -1 }x=\frac { \pi }{ 6 } \)
\(\Rightarrow x=tan\frac { \pi }{ 6 } =\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \)
\(\therefore x=\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \)

i²⁵ = (i⁴)⁶ x i¹ = 1⁶ x i = i
∴ |i²⁵| = | i | = 1

கொடுக்கப்பட்ட A³=I ⇒|A³|=|I|
⇒ |A.A.A|=1
⇒ |A|.|A|.|A|=1
⇒ |A|³=1
∴ |A|≠0
எனவே, A ஒரு பூச்சியமற்ற கோவை அணி 

வட்டத்தின் சமன்பாடு x²+y²+x+2y-3 = 0
இங்கு\(2g=-1\Rightarrow g=\cfrac { -1 }{ 2 } \)
2f = 2
\(\Rightarrow\) f = 1 மற்றும் c = -3
மையம் \((-g,-f)=\left( \cfrac { 1 }{ 2 } ,-1 \right) \)
மற்றும் \(r=\sqrt { { g }^{ 2 }+{ f }^{ 2 }-c } \)
= \(\sqrt { \cfrac { 1 }{ 4 } +1+3 } \)
= \(\sqrt { \cfrac { 1 }{ 4 } +4 } =\sqrt { \cfrac { 1+16 }{ 2 } } \)
\(r=\sqrt { \cfrac { 17 }{ 2 } } \) அலகுகள்

\(\sqrt3\) - i
r = 2 மற்றும் α = \(\frac { \pi }{ 6 } \).
\(\sqrt3\) - i என்ற கலப்பெண்ணானது நான்காம் கால்பகுதியில் அமைவதால் முதன்மை வீச்சு
θ = -α = - \(\frac { \pi }{ 6 } \)
ஆகவே, \(\sqrt3\) - i-ன் மட்டு மற்றும் முதன்மை வீச்சு முறையே 2 மற்றும் -\(\frac { \pi }{ 6 } \) ஆகும்.
இந்த நான்கிலும் மட்டு மதிப்புகள் சமம் ஆனால் அதன் வீச்சானது அக்கலப்பெண் அமையும் கால்பகுதியை பொருத்து அமைகின்றது.

sin^-1: [-1, 1] \(\rightarrow \left[ -\frac { \pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right] \) என்பது  sin^-1 x = y என கொடுக்கப்படத் தேவையானதும் மற்றும் போதுமானதுமான நிபந்தனை x-=sin y ஆகும்.
இங்கு −1\(\le x\le \)  மற்றும் \(\frac { \pi }{ 2 } \le y \le \frac { \pi }{ 2 } \). எனவே
\( -\frac{\pi}{3}\)\(\in \left[ -\frac { \pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right] \)என்பதால் \({ \sin }^{ -1 }\left( \sin\left( -\frac { \pi }{ 3 } \right) \right) \) = -\(\frac{\pi}{3}\) ஆகும்.

\(\tan^{ -1 }\left( \frac { d }{ 1+{ a }_{ 1 }{ a }_{ 2 } } \right) =\tan^{ -1 }(\frac { { a }_{ 2 }-{ a }_{ 1 } }{ 1+{ a }_{ 1 }{ a }_{ 2 } } )=\tan^{ -1 }{ a }_{ 2 }-\tan^{ -1 }{ a }_{ 1 }\)
இதே போன்று \(\tan ^{-1}\left(\frac{d}{1+a_2 a_3}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{a_3-a_2}{1+a_2 a_3}\right)=\tan ^{-1} a_3-\tan ^{-1} a_2\)
தொடர்ந்து உய்த்தறிதல் மூலம் 
\(\tan ^{-1}\left(\frac{d}{1+a_n a_{n-1}}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{a_n-a_{n-1}}{1+a_{n-1} a_n}\right)=\tan ^{-1} a_n-\tan ^{-1} a_{n-1}\) என கிடைக்கிறது. 
செங்குத்தாக கூட்டும்போது. 
\(\tan ^{-1}\left(\frac{d}{1+a_1 a_2}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{d}{1+a_2 a_3}\right)+\ldots+\tan ^{-1}\left(\frac{d}{1+a_n a_{n-1}}\right)=\tan ^{-1} a_n-\tan ^{-1} a_1\) என நமக்கு கிடைக்கிறது.
\(\tan \left[\tan ^{-1}\left(\frac{d}{1+a_1 a_2}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{d}{1+a_2 a_3}\right)+\ldots+\tan ^{-1}\left(\frac{d}{1+a_n a_{n-1}}\right)\right]=\tan \left[\tan ^{-1} a_n-\tan ^{-1} a_1\right]\) 
\(=\tan \left[\tan ^{-1}\left(\frac{a_n-a_1}{1+a_1 a_n}\right)\right]=\frac{a_n-a_1}{1+a_1 a_n} .\)

f(x) = tan^-1 \(\sqrt { 9-{ x }^{ 2 } } \) என்க.
\(\sqrt { 9-{ x }^{ 2 } } \) ∈ R ஆனால் \(\sqrt { 9-{ x }^{ 2 } } \) ≥ 0
∴ 9 - x² ≥ 0
⇒ x² - 9 ≤ 0
⇒ (x + 3) (x - 3) ≤ 0
⇒ சார்பகம் [-3, 3]

இருசமபக்க முக்கோணம் ABC-ல், AB = AC, D என்பது BC ன் நடுப்புள்ளி என்க. AD ஐ இணைக்க.
ஆதி A எனக் கருதுக.
B-ன் நிலைவெக்டர் = \(\overrightarrow{A B}=\vec{b}\) (என்க)
C -ன் நிலைவெக்டர் = \(\overrightarrow{A C}=\vec{c}\)(என்க)
D-ன் நிலைவெக்டர் = \(\overrightarrow{A D}=\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}\)
(\(\because\)D என்பது BC ன் நடுப்புள்ளி)
\( \triangle \mathrm{ABC}, \) - \(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C}\)
\(\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B}=\vec{c}-\vec{b}\)
\(\therefore \overrightarrow{A D} \cdot \overrightarrow{B C}=\left(\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}\right) \cdot(\vec{c}-\vec{b})\)
\( \\ =\frac{1}{2}(\vec{c}+\vec{b}) \cdot(\vec{c}-\vec{b})\)
\(=\frac{1}{2}\left[|\vec{c}|^2-|\vec{b}|^2\right]=\frac{1}{2}(0)\)
\( \\ \{\because|\vec{c}|=|\vec{b}|\} \)
\(\overrightarrow{A D} \cdot \overrightarrow{B C}=0 \Rightarrow \overrightarrow{A D} \perp \overrightarrow{B C}\)
எனவே நிறுவப்பட்டது.

பரவளையம் குத்தச்சை உடையதால் மேல் நோக்கி திறப்புடையது 

அதனுடைய சமன்பாடு x² = 4ay
பரவளையத்தின் அடிபகுதி 5 மீ அகலமுடையது 
VA = 2.5மீ மற்றும் வளைவின் உயரம் 10மீ 
A(2, 5, 10) ஆனது பரவளையத்தின் மீதுள்ளது 
(2.5)² = 4a(10)
\(\Rightarrow 6.25=40a\Rightarrow a=\cfrac { 625 }{ 4000 } =\cfrac { 5 }{ 32 } \) 
\(a=\cfrac { 5 }{ 32 } \) 
என (1) ல் பிரதியிட கிடைப்பது 
\({ x }^{ 2 }=4\left( \cfrac { 5 }{ 32 } \right) y={ x }^{ 2 }=\cfrac { 5 }{ 8 } y\) 
உயரம் 2மீ எனில் வளைவின் அகலம் x என்க 
\(\therefore\) (x, 2) பரவளையத்தின் மீதுள்ள புள்ளி 
\({ x }^{ 2 }=\cfrac { 5 }{ 8 } \left( 2 \right) =\cfrac { 5 }{ 4 } \) 
\(\therefore x=\cfrac { \sqrt { 5 } }{ 2 } \) 
மற்றும் \(2x=\cfrac { 2\left( \sqrt { 5 } \right) }{ 2 } =\sqrt { 5 } \)

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு (a²+b²+c²)P²-2(ab+bc+cd)p+(b²+c²+d²)≤0  ...(1)
(1) ஐ மாற்றி எழுதலாம் 
(a²p²-2abp+b²)+(b²p²-2cp+c²)+(c²p²-2cdp+d²)≤0
(ap-b)²+(bp-c)²+(cp-d)²≤0     .....(2)
a,b,c,d, p∈ R எனில் 
(ap-b)²≥0, (bp-c)²≥0 மற்றும் (cp-d)²≥0
∴ (2) நிறைவு செய்யப்பட வேண்டுமெனில் 
ap-b=0, bp-c=0, cp-d=0
\(\frac { b }{ a } =\frac { c }{ b } =\frac { d }{ c } =p\)
⇒ a,b, c,d பெருக்குத் தொடரில் உள்ளன. மற்றும் ad=bc 

கொடுக்கப்பட்ட \(\vec { AB } =\vec { \alpha } ,\vec { AB } =\vec { \beta } \) மற்றும் \(\vec { AC } =2\vec { \alpha } +3\vec { \beta } \)
நாற்கரம் ABCD யின் பரப்பு
∴ ΔABC யின் பரப்பு + ΔACDயின் பரப்பு
= \(\frac { 1 }{ 2 } |\vec { AB } \times \vec { AC } |+\frac { 1 }{ 2 } |\vec { AC } \times \vec { AD } |\)
= \(\frac { 1 }{ 2 } |\vec { a } \times (2\vec { \alpha } +3\vec { \beta } )|+\frac { 1 }{ 2 } |(2\vec { \alpha } +3\vec { \beta } )\times \vec { \beta } |\)
\(=\frac { 1 }{ 2 } |2(\vec { \alpha } \times \vec { \alpha } )+3(\overline { \alpha } \times \overline { \beta } )|+\frac { 1 }{ 2 } |3(\vec { \alpha } \times \vec { \beta } )+3(\vec { \beta } \times \vec { \beta } )|\)
\(=\left( \frac { 3 }{ 2 } +\frac { 2 }{ 2 } \right) \left( \vec { \alpha } \times \vec { \beta } \right) =\left( \frac { 5 }{ 2 } \right) \left| \vec { \alpha } \times \vec { \beta } \right| \) ...(1)
இப்பொழுது, \(\vec { AB } \) மற்றும் \(\vec { AD } \) யை அடுத்துள்ள பக்கங்களாக கொண்ட இணைகரத்தின் பரப்பு
\(=|\vec { AB } \times \vec { AD } |=|\vec { \alpha } \times \vec { \beta } |\) ...(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து, \(\frac { 5 }{ 2 } \left| \vec { \alpha } \times \vec { \beta } \right| =\lambda |\vec { \alpha } \times \vec { \beta } |\) [கொடுக்கப்பட்ட]
\(\lambda =\frac { 5 }{ 2 } \) 

LHS = \({ tan }^{ -1 }\left( \frac { 1-x }{ 1+x } \right) -{ tan }^{ -1 }\left( \frac { 1-y }{ 1+y } \right) \) = tan^-1 (1) - tan^-1 (x) - (tan^-1 (1) - tan^-1 (y))
\(\left[ \because { tan }^{ -1 }\left( \frac { x-y }{ 1+xy } \right) ={ tan }^{ -1 }x-{ tan }^{ -1 }y \right] \)
= tan^-1 (1) - tan^-1 (x) - (tan^-1 (1) - tan^-1 (y))
= tan^-1 (y) - tan^-1 (x)
\(={ tan }^{ -1 }\left( \frac { y-x }{ 1+xy } \right) \)
\(={ sin }^{ -1 }\left( \frac { y-x }{ \sqrt { 1+{ (yx) }^{ 2 }+{ (y-x) }^{ 2 } } } \right) \)
\(={ sin }^{ -1 }\left( \frac { y-x }{ \sqrt { \left( 1+{ x }^{ 2 } \right) \left( 1+{ x }^{ 2 } \right) } } \right) \)
= RHS

LHS = \({ \left( \frac { \sqrt { 3 } +i }{ \sqrt { 3 } -i } \right) }^{ 2\omega }+{ \left( \frac { i-\sqrt { 3 } }{ i+\sqrt { 3 } } \right) }^{ 2\omega }\)
\(={ \left( \frac { \sqrt { 3 } +i }{ \sqrt { 3 } -i } \times \frac { \sqrt { 3 } +i }{ \sqrt { 3 } +i } \right) }^{ 2\omega }+{ \left( \frac { \sqrt { 3 } +i }{ \sqrt { 3 } -i } \times \frac { \sqrt { 3 } -i }{ \sqrt { 3 } -i } \right) }^{ 2\omega }\)
\(={ \left( \frac { 3-1+2\sqrt { 3i } }{ 3+1 } \right) }^{ 2\omega }+{ \left( \frac { -3+1+2\sqrt { 3i } }{ 3+1 } \right) }^{ 2\omega }\)
\(={ \left( \frac { 2+2\sqrt { 3 } i }{ 4 } \right) }^{ 2\omega }+{ \left( \frac { -2+2\sqrt { 3 } i }{ 4 } \right) }^{ 2\omega }\)
\(={ \left( \frac { 1+\sqrt { 3 } i }{ 2 } \right) }^{ 2\omega }+{ \left( \frac { -1+\sqrt { 3 } i }{ 2 } \right) }^{ 2\omega }\)
\(=\left[ -{ \left[ \frac { -1-\sqrt { 3 } i }{ 2 } \right] }^{ 2\omega }+{ \left[ \frac { -1+\sqrt { 3 } i }{ 2 } \right] }^{ 2\omega } \right] \)
= (-ω²)²ω + (ω)²ω [∵ ω = \(\frac { -1+\sqrt { 3 } i }{ 2 } \), ω² = \(\frac { -1-\sqrt { 3 } i }{ 2 } \)]
= ω⁴ω + (ω)²ω
= (ω³)¹³³.ω¹ + (ω³)⁶⁶.ω²
= 1.ω + 1.ω [∵ 1 + ω + ω² = 0 மற்றும் ω³ = 1]
= ω + ω² = -1 = RHS எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது

முக்கோணம் ABC-ல், \(\vec { AD } ,\vec { BE } \) என்ற செங்குத்துக் கோடுகள் வெட்டும் புள்ளி O என்க. AB-ஐ F-ல் சந்திக்குமாறு COவை நீட்டுக. ஆதிப்புள்ளி O என்க. \(\vec { OA } =\vec { a } \), \(\vec { OB } =\vec { b} \)  மற்றும் \(\vec { OC } =\vec { c } \) என்க.
\(\vec { AD } \) என்பது \(\vec { BC } \) க்குச் செங்குத்து என்பதால், \(\vec { OA } \) என்பது \(\vec { BC } \)-க்குச் செங்குத்தாகும். எனவே, \(\vec { OA } \).\(\vec { BC } \) = 0
அதாவது, \(\vec { a } .(\vec { c } -\vec { b } )=0\)
\(\Rightarrow \vec { a } .\vec { c } -\vec { a } .\vec { b } =0\) .....(1)
இதேபோன்று, \(\vec { BE } \) என்பது \(\vec { CA } \)-க்குச் செங்குத்து என்பதால், \(\vec { OB } \) என்பது \(\vec { CA } \) க்குச் செங்குத்தாகும். எனவே, \(\vec { OB } .\vec { CA } \) = 0.
அதாவது \(\vec { b } .(\vec { a } -\vec { c } )=0\), 
\(\Rightarrow \vec { a } .\vec { b } -\vec { b } \vec {​​c } =0\) ....(2)
சமன்பாடுகள் (1) மற்றும் (2) ஆகியவற்றின் கூடுதல் காண, நாம் பெறுவது 
\( \vec { a } .\vec { c } -\vec { b } .\vec {​​c } =0\)
\(\Rightarrow \vec { c } .(\vec { a } -\vec { b } )=0\)
அதாவது, \(\vec { OC } .\vec { BA } =0\). ஆகவே, \(\vec { OC } \) என்பது \(\vec { BA } \)-க்குச் செங்குத்து என்பதால், \(\vec { CF } \) என்பது \(\vec { AB } \) க்குச் செங்குத்தாகும். அதாவது, C-யிலிருந்து பக்கம் AB-க்கு வரையப்பட்ட செங்குத்துக் கோடு O வழியாகச் செல்கிறது. எனவே, ஒரு முக்கோணத்தின் குத்துக்கோடுகள் ஒரு புள்ளி வழிச் செல்லும் கோடுகளாகும். 

x²=y என பிரதியிடு (அ)
⇒ y²-14y+45=0
⇒ (y-9)(y-5)=0
⇒ y=9 (அ) y=5
⇒ x2=9 (அ) x2=5
⇒ x=±3 (அ) x=±\(\sqrt{5}\)
எனவே, மூலங்கள் 3, -3, \(\sqrt{5}\) மற்றும் -\(\sqrt{5}\). 

ஆய அச்சுகளை பொருத்தமாக தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம் நேர்க்கோட்டுக்கான சமன்பாட்டை
y = mx + c  ........(1)
மற்றும் பரவளையத்திற்கான சமன்பாட்டை y² = 4 ax என எடுத்துக் கொள்ளலாம்.  .....(2)
(1) ஐ (2) -ல் பிரதியிட கிடைப்பது,
(mx + c)² = 4 ax
⇒ m²x² + c² + 2mcx = 4ax
⇒ m² x² + x(2mc - 4a) + c² = 0
இது x ல் அமைந்த இருபடிச் சமன்பாடு.
இந்த சமன்பாடு இரண்டு தீர்வுகளுக்கு மேல் கொண்டிருக்காது. எனவே ஒரு நேர்க்கோடும் ஒரு பரவளையமும் இரு புள்ளிகளுக்கு மேற்பட்டு வெட்டிக் கொள்ளாது.

சமன்பாட்டின் உறுப்புகளை வரிசைப்படுத்தி அதிபரவளையத்தின் திட்டவடிவமாக மாற்ற
11(x² - 4x) - 25( y² - 2y) - 256 = 0
11(x-2)²-25(y-1)² = 256 - 44 + 25
11(x-2)²-25y(-1)² = 275
\(\frac { { (x-2) }^{ 2 } }{ 25 } -\frac { { (y-1) }^{ 2 } }{ 11 } =1\)
மையம் (2,1), a² = 25, b² = 11
c² = a² + b²
= 25 + 11 = 36
எனவே c = ±6
\(e=\frac { c }{ a } =\frac { 6 }{ 5 } \) மற்றும் குவியங்கள் (8, 1) மற்றும் (-4, 1)

(i) A=\(\left[ \begin{matrix} 2 & 0 & -7 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \) என்க. A-ஆனது 3 x 3 வரிசையுடைய அணி மற்றும் \(\rho \)(A) ≤ 3
மூன்றாம் வரிசையுடைய சிற்றணிக்கோவை |A|=\(\left| \begin{matrix} 2 & 0 & -7 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right| \)=(2)(3)(1)=6≠0
எனவே, \(\rho \)(A)=3
எனவே இங்கு மூன்று அபூச்சிய நிரைகள் உள்ளன என்பதைக் கூர்ந்து நோக்குக.
(ii) A=\(\left[ \begin{matrix} -2 & 2 & -1 \\ 0 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right] \) என்க. A ஆனது 3 x 3 வரிசையுடைய அணி எனவே \(\rho \)(A)≤3.
மூன்றாம் வரிசையுடைய சிற்றணிக்கோவை |A| = \(\left| \begin{matrix} -2 & 2 & -1 \\ 0 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right| \) = (2)(5)(0) = 0. எனவே \(\rho \)(A) ≤ 2.
பல இரண்டாம் வரிசையுடைய சிற்றணிக்கோவைகள் உள்ளன. அவற்றுள் ஒன்று \(\left| \begin{matrix} -2 & 2 \\ 0 & 5 \end{matrix} \right| \) =(-2)(5) = -10 ≠ 0. எனவே, \(\rho \)(A) = 2
இங்கு இரண்டு அபூச்சிய நிரைகள் உள்ளன என்பதை நோக்குக. மூன்றாவது நிரை பூச்சிய நிரையாகும்.
(iii) A=\(\left[ \begin{matrix} 6 \\ 0 \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{matrix}\begin{matrix} -9 \\ 0 \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{matrix} \right] \)என்க. A ஆனது 4 x 3 வரிசையுடைய அணியாகும் மற்றும் \(\rho \)(A) ≤3. அனைத்து மூன்றாம் வரிசையுடைய சிற்றணிக் கோவைகளின் மதிப்பு 0 ஆகும். எனவே \(\rho \)(A) <3.
கடைசி இரு நிரைகள் பூச்சிய நிரைகளாகும். நிறைய இரண்டாம் வரிசையுடைய சிற்றணிக்கோவைகள் உள்ளன. அவற்றுள் ஒன்று \(\left| \begin{matrix} 6 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right| \)=(6) (2)=12≠0. எனவே, \(\rho \)(A)=2
இரண்டு அபூச்சிய நிரைகள் உள்ளன என்பதை நோக்குக மூன்றாவது மற்றும் நான்காவது நிரைகள் பூச்சிய நிரைகளாகும்.

கொடுக்கப்பட்ட இணைகரத் திண்மத்தின் கன அளவு \([\vec{a} \times \vec{b}, \vec{b} \times \vec{c}, \vec{c} \times \vec{a}]=8\)
இணைகரத் திண்மத்தின் கன அளவு
\({[(\vec{a} \times \vec{b}) \times(\vec{b} \times \vec{c}),(\vec{b} \times \vec{c}) \times(\vec{c} \times \vec{a}),(\vec{c} \times \vec{a}) \times(\vec{a} \times \vec{b})] }   =8^2 \\ =64\)

\(\sum_{r=0}^n{ }^n C_r(-1)^r \dot{x}^r=1-{ }^n C_1 x+{ }^n C_2 x^2-{ }^n C_3 x^3+\ldots(-1)^n x^n\)
P(x) என்பது 'n' மாற்றங்களைக் கொண்டுள்ளது.எனவே, இது 'n' மிகை மூலங்களைக் கொண்டிருக்கும்.
P(-x)ல் குறிமாற்றங்கள் இல்லை, எனவே குறையெண் மூலங்கள் கிடையாது.

\(\triangle O O^{\prime} A ,\\ (1+y)^2  =(1-y)^2+1 \\ 1+y^2+2 y  =1+y^2-2 y+1 \\ 4 y  =1 \Rightarrow y=\frac{1}{4} \)

\(\mathrm{i}^n+\mathrm{i}^{n+1}+\mathrm{i}^{n+2}+\mathrm{i}^{n+3}  =\mathrm{i}^n\left[1+i+i^2+i^3\right] \)
\( =i^n[1+i-1-i] =i^n(0)=0\)

|adj(adj A)| = |A|⁹
\(|A|^{(n-1)^2}=|\mathrm{A}|^9\)
(n - 1)² = 9 = 3²
n - 1 = 3 \(\Rightarrow\) n = 4

\( \tan ^{-1}\left(\frac{1}{4}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{2}{9}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{1}{4}+\frac{2}{9}}{1-\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{9}}\right) \\ =\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{9+8}{36}}{\frac{36-2}{36}}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{17}{34}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) \)

குவியங்கள் y -அச்சில் அமைவதால் நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு \(^{ }\cfrac { { x }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } =1\left( a<b \right) \)
\(\therefore { b }^{ 2 }={ a }^{ 2 }\left( 1-{ e }^{ 2 } \right) ={ a }^{ 2 }\left( 1-\cfrac { 9 }{ 16 } \right) ={ a }^{ 2 }\left( \cfrac { 7 }{ 16 } \right) \) 
\(\Rightarrow b=\cfrac { a\sqrt { 7 } }{ 4 } \) 
\(\therefore\) நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ \frac { { 7a }^{ 2 } }{ 16 } } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } =1\) 
\(\cfrac { { 16x }^{ 2 } }{ 7{ a }^{ 2 } } +\cfrac { 16 }{ { a }^{ 2 } } =1\) 
(6,4)வழிச் செல்கிறது 
\(\cfrac { 16(36) }{ 7{ a }^{ 2 } } +\cfrac { 16 }{ { a }^{ 2 } } =1\) 
\(\Rightarrow \cfrac { 16 }{ { a }^{ 2 } } \left( \cfrac { 36 }{ 7 } +1 \right) =1\Rightarrow \cfrac { 36+7 }{ 7 } =\cfrac { { a }^{ 2 } }{ 16 } \) 
\(\Rightarrow \cfrac { 43 }{ 7 } \times 16={ a }^{ 2 }\Rightarrow { a }^{ 2 }=\cfrac { 43\times 16 }{ 7 } \) 
\({ a }^{ 2 }=\cfrac { 43\times 16 }{ 7 } \) என(1) ல் பிரதியிட கிடைப்பது 
\(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 7\left( \frac { 43\times 16 }{ 7 } \right) } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ \left( \frac { 43\times 16 }{ 7 } \right) } =1\) 
\(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 688 } +\cfrac { { 7y }^{ 2 } }{ 688 } =1\)

\(\overset { \rightarrow }{ a } -\overset { \rightarrow }{ b } =\left( \overset { \wedge }{ i } -\overset { \wedge }{ j } \right) -\left( \overset { \wedge }{ j } -\overset { \wedge }{ k } \right) =\left( \overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ k } \right) \)
\(\overset { \rightarrow }{ b } -\overset { \rightarrow }{ c } =\left( \overset { \wedge }{ j } -\overset { \wedge }{ k } \right) -\left( \overset { \wedge }{ k } -\overset { \wedge }{ i } \right) =\overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } -2\overset { \wedge }{ k } \)
\(\overset { \rightarrow }{ c } -\overset { \rightarrow }{ a } =\left( \overset { \wedge }{ k } -\overset { \wedge }{ i } \right) -\left( \overset { \wedge }{ i } -\overset { \wedge }{ j } \right) =-2\overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \)
\(\therefore \left[ \overset { \rightarrow }{ a } -\overset { \rightarrow }{ b } ,\overset { \rightarrow }{ b } -\overset { \rightarrow }{ c } ,\overset { \rightarrow }{ c } -\overset { \rightarrow }{ a } \right] =\left| \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{matrix} \right| \)
= 1(1 + 2) + 0 + 1 (1 + 2)
= 3 + 3 = 6

பிரதியிடு \(y=\frac { x-1+x-5 }{ 2 } =x-3\)
⇒ x = y + 3
∴ (x-1)⁴+(x-5)⁴ = 82
⇒ (y+3-1)⁴+(y+3-5)⁴ = 82
⇒ (y+2)⁴+ (y-2)⁴ = 82
⇒ 2(y⁴+ 24y²+16) = 82
⇒ y⁴+ 24y²+16 = 41
⇒ y⁴+ 24y²-25 = 0
⇒ (y²+ 25)(y²-1) = 0
⇒ y = 土5i, y = 土1
∴ x = 3土5i, 4, 2.

A(3, 2) B(0, 5) C(-3, 2) மற்றும் D(0, -1) ஆர்கண்ட தளத்தில் உள்ள புள்ளிகள் என்க
∴ AB = |(3 + 2i) - (0 + 5i)| = |3 - 3i|
= \(\sqrt { 9+9 } =\sqrt { 18 } =3\sqrt { 2 } \)
BC = |(0 + 5i) - (-3 +2i)| = |3 + 3i|
= \(\sqrt { 9+9 } =\sqrt { 18 } =3\sqrt { 2 } \)
CD = |(-3 + 2i) - (0 - i)| = |-3 + 3i|
= \(\sqrt { 9+9 } =\sqrt { 18 } =3\sqrt { 2 } \)
DA = |(0 - i) - (3 + 2i)| = |-3 - 3i|
= \(\sqrt { 9+9 } =\sqrt { 18 } =3\sqrt { 2 } \)
∴ AB = BC = CD = DA
மேலும் AC = |(3 + 2i) - (-3 + 2i)|
= |6| = \(\sqrt{36}\) = 6
BD = |(0 + 5i) - (0 - i)| = |6i|
 = \(\sqrt{36}\) = 6
∴ AC = BD
எனவே ABCD ஒரு சதுரம்.

\({ tan }^{ -1 }\left( \frac { 2x }{ 1-{ x }^{ 2 } } \right) +{ cot }^{ -1 }\left( \frac { 1-{ x }^{ 2 } }{ 2x } \right) =\frac { \pi }{ 3 } \)
\(\left[ \because { cot }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ x } \right) ={ tan }^{ -1 }(x) \right] \)
\(\Rightarrow 2{ tan }^{ -1 }\left( \frac { 2x }{ 1-{ x }^{ 2 } } \right) =\frac { \pi }{ 3 } \)
\(\Rightarrow { tan }^{ -1 }\left( \frac { 2x }{ 1-{ x }^{ 2 } } \right) =\frac { \pi }{ 6 } \)
\(\Rightarrow \frac { 2x }{ 1-{ x }^{ 2 } } =tan\left( \frac { \pi }{ 6 } \right) =\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \)
\(\Rightarrow 2\sqrt { 3 } x=1-{ x }^{ 2 }\)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }+2\sqrt { 3 } x-1=0\)
\(\Rightarrow x=\frac { -2\sqrt { 3 } \pm \sqrt { 12-4(1)(-1) } }{ 2 } \)
\(\left[ \because x=\frac { -b\pm \sqrt { { b }^{ 2 }-4ac } }{ 2a } \right] \)
\(\Rightarrow x=\frac { -2\sqrt { 3 } \pm \sqrt { 16 } }{ 2 } \Rightarrow x=\frac { -2\sqrt { 3 } \pm 4 }{ 2 } \)
\(\Rightarrow x=2\left( \frac { -\sqrt { 3 } \pm 2 }{ 2 } \right) \Rightarrow x=-\sqrt { 3 } \pm 2\)
\(\Rightarrow x=2-\sqrt { 3 } or-2-\sqrt { 3 } \)
x > 0 ஆதலால், \(x=-2-\sqrt { 3 } \) சாத்தியமில்லை.
\(\therefore x=2-\sqrt { 3 } \) 

கொடுக்கப்பட்ட\(\left[ \begin{matrix} \lambda & -1 & 0 \\ 0 & \lambda & -1 \\ -1 & 0 & \lambda \end{matrix} \right]\)தரம் என்பது 2
⇒ மூன்றாம் வரிசை அணியின் தரம் பூச்சியம் 
\(\Rightarrow \left[ \begin{matrix} \lambda & -1 & 0 \\ 0 & \lambda & -1 \\ -1 & 0 & \lambda \end{matrix} \right] =0\)
\(\Rightarrow \begin{vmatrix} \lambda & -1 \\ 0 & \lambda \end{vmatrix}+1\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ -1 & \lambda \end{vmatrix}+0=0\)
\(\Rightarrow \lambda ({ \lambda }^{ 2 }-0)+1(0-1)=0\)
\(\Rightarrow { \lambda }^{ 3 }-1=0\Rightarrow { \lambda }^{ 3 }=1\Rightarrow \lambda =1\)
\(\therefore \lambda =1\)

A= \(\left[ \begin{matrix} 1 \\ 3 \\ \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ -1 \\ \begin{matrix} -2 \\ -1 \end{matrix} \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ 2 \\ \begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix} \end{matrix} \right] \)
\(\left.\xrightarrow[R_4 \rightarrow R_4-R_1]{\substack{R_2 \rightarrow R_2-3 R_1 \\ R_3 \rightarrow R_3-R_1}} \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \\ 0 & -7 & 5 \\ 0 & -4 & 4 \\ 0 & -3 & 2 \end{array}\right.\right]\)
\(\begin{aligned} & \xrightarrow[R_4 \rightarrow(-1) R_4]{\substack{R_2 \rightarrow(-1) R_2 \\ R_3 \rightarrow(-1) R_3}}\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 7 & -5 \\ 0 & 4 & -4 \\ 0 & 3 & -2 \end{array}\right] \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} & \xrightarrow[R_4 \rightarrow 7 R_4-3 R_2]{R_3 \rightarrow 7 R_3-4 R_2}\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 7 & -5 \\ 0 & 0 & -8 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} & \xrightarrow{R_3 \rightarrow \frac{R_3}{-8}}\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 7 & -5 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} & \xrightarrow{R_4 \rightarrow R_4-R_3}\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 7 & -5 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \end{aligned}\)
கடைசி சமான அணி ஏறுபடி வடிவத்தில் உள்ளது. இது மூன்று அபூச்சிய நிறைகளைப் பெற்றுள்ளது. 
\(\therefore\) \(ρ\)(A) = 3

p(x) =x²-5x+6 என்க.


p(x) க்கு இரண்டு குறி மாற்றங்கள் நிகழ்ந்துள்ளது. ஆகையால் p(x) க்கு அதிகபட்சம் இரண்டு மெய் மூலங்கள் இருக்கும்.
Q(x) =x²-5x+16 என்க.
p(-x)=(-x)²-5(-x)+6
=x²+5x+6
p(-x) க்கு குறி மாற்றம் இல்லை. எனவே குறை மூலங்கள் இல்லை.
Q(x)=x²-5x+6 என்க
Q(x) இரண்டு குறி மாற்றம் நிகழ்ந்துள்ளது மற்றும் Q(-x) க்கு குறி மாற்றம் இல்லை.
[∵ Q(-x)=(-x)²-5(-x)+16=x²+5x+16]
∴ அதற்கு அதிகபட்சம் இரண்டு மிகை மூலங்கள் மற்றும் குறை மூலங்கள் இல்லை.

பரவளையத்தின் சமன்பாடு y² = 4ax.
குவியம் முனையிலிருந்து 2மீ என்பதால் a = 2
எனவே பரவளையத்தின் சமன்பாடு y² = 8x
முனையிலிருந்து 3மீ தூரத்தில் பரவளையத்தின் மீதுள்ள புள்ளி P எனில் P என்பது (3,y)ஆக இருக்கும்
y² = 8 x 3
\(y=\sqrt { 8\times 3 } \)
\(=2\sqrt { 6 } \)
முனையிலிருந்து 3மீ தூரத்தில் அலைவாங்கியின் அகலம் 4\(\\ \\ \sqrt { 6 } \)மீ ஆகும்.

\(z^3+27=0\)
\(z^3=-27=27(-1) \)
\(=27[\cos (\pi+2 k \pi)+i \sin (\pi+2 k \pi)], k \in \mathrm{Z} \)
\(\therefore z=(27)^{\frac{1}{3}}[\cos (2 k+1) \pi+i \sin (2 k+1) \pi]^{\frac{1}{3}}, k \in \mathrm{Z}\)
\(=3\left[\cos \frac{(2 k+1) \pi}{3}+i \sin \frac{(2 k+1) \pi}{3}\right], k=0,1,2\)
k = 0 எனில், \(\mathrm{z}=3\left(\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}\right)\)
k = 1 எனில், = 3[cos π + i sin π]= 3 (- 1 + 0) = - 3
k = 2 எனில், \(\mathrm{z}=3\left(\cos \frac{5 \pi}{3}+i \sin \frac{5 \pi}{3}\right)\)

தளத்தின் சமன்பாட்டிற்கான வெக்டர் வடிவம் 
\(\vec { r } .\left( 6\hat { i } +4\hat { j } -3\hat { k } \right) =12\) 
\(\vec { r } =x\hat { i } +y\hat { j } +z\hat { k } \) 
\(\Rightarrow \left( x\hat { i } +y\hat { j } +z\hat { k } \right) .\left( 6\hat { i } +4\hat { j } -3\hat { k } \right) =12\) 
\(\Rightarrow 6x+4y-3z=0\) 
12 ஆல் வகுக்க கிடைப்பது \(\cfrac { 6x }{ 12 } +\cfrac { 4y }{ 12 } -\cfrac { 3z }{ 12 } =1\) 
[\(\therefore \cfrac { x }{ a } +\cfrac { y }{ b } +\cfrac { z }{ c } =1\) என்பது தளத்தின் வெட்டுத்துண்டு வடிவச் சமன்பாடு ]
\(\Rightarrow \cfrac { x }{ 2 } +\cfrac { y }{ 3 } +\cfrac { z }{ -4 } =1\)
\(\therefore\) தளத்தின் x-வெட்டுத்துண்டு 2, y வெட்டுத்துண்டு 3 மற்றும் z-வெட்டுத்துண்டு -4.

(i) \(\left| z \right| =\left| z-i \right| \)
⇒ \(\left| x+iy \right| =\left| x+iy-i \right| \)
⇒ \(\sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } =\sqrt { { x }^{ 2 }+({ y-1) }^{ 2 } } \)
⇒ x² + y² = x² + y² - 2y + 1
⇒ 2y - 1 = 0
(ii) |2z−3−i|=3
|2(x+iy)−3−i|=3
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த,
|(2x−3)+(2y−1)i|²= 9
⇒ (2x−3)²+(2y−1)² = 9
⇒ 4x² + 4y² - 12x - 4y + 1 = 0, என்பது கார்ட்டீசியன் வடிவில் z-ன் நியமப்பாதை ஆகும்

இங்கு மதிப்பிடப்படவேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை 3.
தொகுப்பின் அணி வடிவம் AX=B, இங்கு
A = \(\left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ \begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix} & \begin{matrix} -1 \\ -1 \end{matrix} & \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \end{matrix} \right] ,X\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] ,B=\left[ \begin{matrix} -9 \\ 4 \\ \begin{matrix} 6 \\ 7 \end{matrix} \end{matrix} \right] \)
[A|B] என்ற விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியில் தொடக்கநிலை நிரைச் செயலிகள் பயன்படுத்தக் கிடைப்பது,
[A|B] = \(\left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ \begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix} & \begin{matrix} -1 \\ -1 \end{matrix} & \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \end{matrix}|\begin{matrix} -9 \\ 4 \\ \begin{matrix} 6 \\ 7 \end{matrix} \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-2{ R }_{ 1 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-3{ R }_{ 1 }\\ { R }_{ 4 }\rightarrow { R }_{ 4 }-4{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} & \begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix} & \begin{matrix} -2 \\ -2 \end{matrix} \end{matrix}|\begin{matrix} -9 \\ 22 \\ \begin{matrix} 33 \\ 43 \end{matrix} \end{matrix} \right] \\ \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-2{ R }_{ 2 }\\ { R }_{ 4 }\rightarrow { R }_{ 4 }-3{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} & \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} & \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \end{matrix}|\begin{matrix} -9 \\ 22 \\ \begin{matrix} -11 \\ -23 \end{matrix} \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 3 }\leftrightarrow { R }_{ 4 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} & \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} & \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \end{matrix}|\begin{matrix} -9 \\ 22 \\ \begin{matrix} -23 \\ -11 \end{matrix} \end{matrix} \right] \)
எனவே  ρ(A) = 3  மற்றும் ρ([A|B]) = 4. எனவே ρ(A) ≠ ρ([A|B])
ஏறுபடி வடிவத்திலுள்ள அணியிலிருந்து கிடைக்கும் சமான சமன்பாடுகளின் தொகுப்பானது
x - y + z = -9, y - z = 22, z = -23, 0 = -11
கடைசி சமன்பாடானது முரண்பாடாக உள்ளது. எனவே கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுகளின் தொகுப்பானது ஒருங்கமைவற்றது மற்றும் தொகுப்பிற்கு தீர்வு கிடையாது.

துணையச்சு y அச்சுக்கு இணை 

(4) திசை வேகம் 
குறிப்பு: a, b, c திசையிலிகள் அதே சமயத்தில் d ஒரு வெக்டர்.

3) \(\frac{2}{3}\)

A செங்கோண அணி 
குறிப்பு: 1,2,3 சமச்சீர் அணியின் பண்புகள் 

(2) z₁ = \({ \bar { z } }_{ 2 }\)

(3) tan^-1 \(\left( \frac { tan3\pi }{ 5 } \right) =\frac { 3\pi }{ 5 } \)
குறிப்பு: tan^-1 \(\left( \frac { tan3\pi }{ 5 } \right)\) = \(\frac { -2\pi }{ 5 } \epsilon \left( \frac { -\pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right) \)