கொடுக்கப்பட்ட நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு 
\(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1\) என்க
கொடுக்கப்பட்ட செவ்வகத்தின் நீளம் 
= \(\cfrac { 1 }{ 2 } \) (நெட்டச்சின் நீளம்)
\(\Rightarrow \cfrac { { 2b }^{ 2 } }{ a } =\cfrac { 1 }{ 2 } \left( 2a \right) \Rightarrow \cfrac { { 2b }^{ 2 } }{ a } \Rightarrow { 2b }^{ 2 }={ a }^{ 2 }\) 
\(\therefore e=\sqrt { 1-\cfrac { { b }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } } =\sqrt { 1-\cfrac { { b }^{ 2 } }{ { 2b }^{ 2 } } } =\sqrt { 1-\cfrac { 1 }{ 2 } } =\sqrt { \cfrac { 1 }{ 2 } } =\cfrac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \) 

கொடுக்கப்பட்ட விசைகளின் விளைவு \(\overset { \rightarrow }{ F } \) என்க.
\(\overset { \rightarrow }{ F } =\left( 2\overset { \wedge }{ i } +7\overset { \wedge }{ j } \right) +\left( 2\overset { \wedge }{ i } -5\overset { \wedge }{ j } +6\overset { \wedge }{ k } \right) +\left( -\overset { \wedge }{ i } +2\overset { \wedge }{ j } -\overset { \wedge }{ k } \right) \)
\(=3\overset { \wedge }{ i } +4\overset { \wedge }{ j } +5\overset { \wedge }{ k } \)
\(\overset { \rightarrow }{ r } \) = P-ன் நி.வெ - Q-ன் நி.வெ 
\(\left( 4\overset { \wedge }{ i } -3\overset { \wedge }{ j } +2\overset { \wedge }{ k } \right) -\left( 6\overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } -3\overset { \wedge }{ k } \right) =-2\overset { \wedge }{ i } -4\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \)
\(\therefore \tau =\overset { \rightarrow }{ r } \times \overset { \rightarrow }{ F } =\left| \begin{matrix} \overset { \wedge }{ i } \\ 3 \\ -2 \end{matrix}\begin{matrix} \overset { \wedge }{ j } \\ 4 \\ -4 \end{matrix}\begin{matrix} \overset { \wedge }{ k } \\ 5 \\ 1 \end{matrix} \right| \)
\(=\overset { \wedge }{ i } (-20-4)-\overset { \wedge }{ j } (-10-3)+\overset { \wedge }{ k } (-8+12)\)
\(=-24\overset { \wedge }{ i } +13\overset { \wedge }{ j } +4\overset { \wedge }{ k } \)

நம்மிடம் x = \(\sqrt{2+x}\)
⇒ x² = 2+x  ⇒ x²-x-2 = 0
\(\Rightarrow x=\frac { 1\pm \sqrt { 1+8 } }{ 2 } \Rightarrow x=\frac { 1\pm 3 }{ 2 } \)
\(\Rightarrow x=\frac { 1+3 }{ 2 } ,\frac { 1-3 }{ 2 } \Rightarrow x=2,-1\)
மேலும் x > 0, நமக்கு கிடைப்பது x = 2

\({ cos }^{ -1 }\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) =\theta \Rightarrow cos\theta =\frac { 4 }{ 5 } \) என்க.
\(\therefore sin\left( \frac { 1 }{ 2 } { cos }^{ -1 }\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) \right) =sin\left( \frac { 1 }{ 2 } \theta \right) \)
\(=sin\frac { \theta }{ 2 } =\sqrt { \frac { 1-cos\theta }{ 2 } } \)
\(=\sqrt { \frac { 1-\frac { 4 }{ 5 } }{ 2 } } =\sqrt { \frac { 5-4 }{ 5(2) } } =\sqrt { \frac { 1 }{ 10 } } \)

(cos θ + i sin θ)² = cos 2θ + isin 2θ [டி மாய்வரின் தேற்றப்படி]
⇒ cos 2θ + isin 2θ = x + iy
மெய் மற்றும் கற்பனை பகுதிகளை சமப்படுத்த கிடைப்பது
x = cos 2θ, y = isin 2θ
∴ x² + y² = cos²θ + sin²2θ = 1
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி 
\([A|B]\left[ \begin{matrix} 2 & 5 \\ 6 & 15 \end{matrix}|\begin{matrix} 7 \\ 13 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }{ \rightarrow R }_{ 2 }-{ 3R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 2 & 5 \\ 0 & 0 \end{matrix}|\begin{matrix} 7 \\ -5 \end{matrix} \right] \)
இங்கு ρ(A)=2 மற்றும் ρ([A|B])=3
∴ ρ(a) ≠ρ([A|B])
எனவே தொகுப்பு ஒருங்கிமைவற்றது.

cos^-1\(\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) \) = x மற்றும்  sin^-1(-1) = y என்க.
⇒ \(\frac { 1 }{ 2 } \) = cos x மற்றும் -1 = sin y
⇒ cos x = \(\frac { 1 }{ 2 } \) = cos \(\frac { \pi }{ 3 } \)
x = \(\frac { \pi }{ 3 } \)
sin y = -1 = -sin \(\left( \frac { -\pi }{ 2 } \right) \)
= sin \(\left( \frac { -\pi }{ 2 } \right) \)
[∵ sin (-θ) = -sin θ மற்றும் \(\frac { \pi }{ 2 } \) ∈ \(\left[ \frac { -\pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right] \)]
⇒ y = \(\frac { -\pi }{ 2 } \) 
∴ cos^-1\(\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) \) + sin^-1(-1) = x + y
= \(\frac { \pi }{ 3 } \) - \(\frac { \pi }{ 2 } \) = \(\frac { 2\pi -3\pi }{ 6 } =\frac { -\pi }{ 6 } \)
∴ cos^-1\(\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) \) + sin^-1(-1) = \(\frac { -\pi }{ 6 } \)

அச்சு y-அச்சுக்கு இணை என்பதால் தேவையான பரவளையத்தின் சமன்பாடு
(x+1)² = 4a(y+2)
இது (3, 6) வழிச்செல்வதால் 
(3 + 1)² = 4a(6 + 2)
\(\Rightarrow\) a = \(\frac{1}{2}\)
எனவே பரவளையத்தின் சமன்பாடு (x + 1)² = 2(y + 2)
இதைச் சுருக்க x² + 2x - 2y - 3 = 0 எனக் கிடைக்கும்.

x₁² + y₁² + 2gx₁ + 2fy₁ + c = 2² + 3² − 6 × 2 − 8 × 3 + 12
= 4 + 9 −12 − 24 +12 = −11< 0.
எனவே புள்ளி (2, 3) தேற்றம் 5.3-ன் படி வட்டத்திற்கு உள்ளே அமையும்.

6x²<1 எனில், tan^-1 2x + tan^-13x = tan^-1\(\\ \left( \frac { 2x+3x }{ 1-{ 6x }^{ 2 } } \right) \)
\({ \tan }^{ -1 }\left( \frac { 5x }{ 1-{ 6x }^{ 2 } } \right) =\frac { \pi }{ 4 } \) என்பதால் \(\frac { 5x }{ 1-6{ x }^{ 2 } } =\tan\frac { \pi }{ 4 } =1\)
ஆகையால், 1 - 6x² = 5x, என்பதிலிருந்து 6x² + 5x -1 = 0
ஆகவே, \(x=\frac { 1 }{ 6 } ,-1\)
x = -1 என்பது சமன்பாட்டின் இடப்புறம் குறையெண் மதிப்பையும் மற்றும் வலப்புறம் மிகையெண் மதிப்பையும் தருகிறது என்பதை கவனிக்கவும். ஆகையால், x = -1 என்பது தீர்வாகாது. எனவே, \(x=\frac{1}{6}\) மட்டுமே சமன்பாட்டிற்குத் தீர்வாக அமையும்.

cos^-1 x : [-1, 1] \(\rightarrow\) [0, \(\pi\)]  எனும் நேர்மாறு கொசைன் சார்பு வரையறையின்படி, cos⁻¹x = y எனில், எனில் மட்டுமே cos y = x. இங்கு \(-1\le x\le1 \) மற்றும் \(0\le y \le\pi\) ஆகையால்,
i) cos^-1 \((-\frac{1}{\sqrt2})\) = \(\frac{3\pi}{4}\), ஏனெனில் \(\frac{3\pi}{4}\)\(\in[0,\pi]\) மற்றும் cos\(\frac{3\pi}{4}\) = cos\((\pi-\frac{\pi}{4})=-cos \frac{\pi}{4}=-\frac{1}{\sqrt2}\)
ii) cos^-1\((\cos(-\frac{\pi}{3}))\) = cos^-1\((cos(\frac{\pi}{3}))\) = \(\frac{\pi}{3}\), ஏனெனில் -\(\frac{\pi}{3}\)\(\notin \)[0,\(\pi\)], ஆனால் \(\frac{\pi}{3}\in[0, \pi]\)
iii) cos^-1\((\cos(\frac{7\pi}{6}))\) = \(\frac{5\pi}{6}\), ஏனெனில் cos\((\frac{7x}{6})=\cos(\pi+\frac{\pi}{6})=-\frac{\sqrt3}{2}=\cos(\frac{5\pi}{6})\) மற்றும் \( (\frac{5\pi}{6})\in[0, \pi].\)

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு என்பது x² = -36y ...(1)
குவியம் (0, -9) = (0, -9)மற்றும் செவ்வகலம் என்பது (1)ல் y = -9

நமக்கு கிடைப்பது 
\({ x }^{ 2 }=-36(-9)\Rightarrow \sqrt { 36(9) } =6(3)=18\) 
\(\Delta AOB\) ன் பரப்பு  2(\(\Delta OSB\) ன் பரப்பு )
= \(2\left( \cfrac { 1 }{ 2 } \times b\times h \right) =2\left( \cfrac { 1 }{ 2 } \times 18\times 9 \right) \) 
[\(\therefore\) b = SB = 18, h = OS = 9]

\(\overset { \rightarrow }{ a } -\overset { \rightarrow }{ b } =\left( \overset { \wedge }{ i } -\overset { \wedge }{ j } \right) -\left( \overset { \wedge }{ j } -\overset { \wedge }{ k } \right) =\left( \overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ k } \right) \)
\(\overset { \rightarrow }{ b } -\overset { \rightarrow }{ c } =\left( \overset { \wedge }{ j } -\overset { \wedge }{ k } \right) -\left( \overset { \wedge }{ k } -\overset { \wedge }{ i } \right) =\overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } -2\overset { \wedge }{ k } \)
\(\overset { \rightarrow }{ c } -\overset { \rightarrow }{ a } =\left( \overset { \wedge }{ k } -\overset { \wedge }{ i } \right) -\left( \overset { \wedge }{ i } -\overset { \wedge }{ j } \right) =-2\overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \)
\(\therefore \left[ \overset { \rightarrow }{ a } -\overset { \rightarrow }{ b } ,\overset { \rightarrow }{ b } -\overset { \rightarrow }{ c } ,\overset { \rightarrow }{ c } -\overset { \rightarrow }{ a } \right] =\left| \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{matrix} \right| \)
= 1(1 + 2) + 0 + 1 (1 + 2)
= 3 + 3 = 6

கொடுக்கப்பட்ட sin(ex) = 5^x + 5^-x 
நம்மிடம் \({ 5 }^{ x }+5={ 5 }^{ -x }={ \left( { 5 }^{ \frac { x }{ 2 } }-{ 5 }^{ \frac { -x }{ 2 } } \right) }^{ 2 }+2\ge 2\)
sin(ex) = 5^x+5^-x க்கு தீர்வு இருக்குமெனில் நாம் பெறுவது sin (e^x) ≥ 2 இது எந்த மெய் மதிப்புடைய x க்கும் சாத்தியமில்லை, sin 0 ≤ 1 எல்லா θ ∈ R க்கும் 
∴ sin (e^x) = 5^x + 5^-x க்கு தீர்வு இல்லை.

P (x, y), A(2, 1), மற்றும் B(1, -2) என்பன கொடுக்கப்பட்ட கலப்பெண்கள் என்க.
∴ கொடுக்கப்பட்ட PA = PB ⇒ PA² = PB²
⇒(x - 2)² + (y - 1)² = (x - 1)² + (y + 2)²
 =
⇒ -4x - 2y + 5 = -2x + 4y + 5
⇒ -2x - 6y = 0
⇒ x + 3y = 0

L.H.S = tan^-1 \(\left( \frac { m }{ n } \right) \) - tan^-1 \(\left( \frac { m-n }{ m+n } \right) =\frac { \pi }{ 4 } \)
\(={ tan }^{ -1 }\left( \frac { \frac { m }{ n } -\frac { m-n }{ m+n } }{ 1+\frac { m }{ n } .\left( \frac { m-n }{ m+n } \right) } \right) \)
\(={ tan }^{ -1 }\left( \frac { \frac { m(m+n)-n(m-n) }{ m(m+n) } }{ \frac { n(m+n)+m(m-n) }{ n(m+n) } } \right) \)

\(={ tan }^{ -1 }\left( \frac { { m }^{ 2 }+{ n }^{ 2 } }{ { m }^{ 2 }+{ n }^{ 2 } } \right) ={ tan }^{ -1 }(1)=\frac { \pi }{ 4 } =RHS\)
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

சமன்பாடு தொகுப்பின் அணி வடிவம் 
\(\left[ \begin{matrix} 2 & -3 \\ 4 & -6 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 7 \\ 14 \end{matrix} \right] \Rightarrow AX=B\)
\(A=\left[ \begin{matrix} 2 & -3 \\ 4 & -6 \end{matrix} \right] ,X=\left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right] \) மற்றும் \(B=\left[ \begin{matrix} 7 \\ 14 \end{matrix} \right] \)
விரிவுபடுத்தப்பட் அணியை ஏறுபடி வடிவில் உருமாற்ற கிடைப்பது.
\([A|B]=\left[ \begin{matrix} 2 & -3 \\ 4 & -6 \end{matrix}|\begin{matrix} 7 \\ 14 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-{ 2 }R_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 2 & -3 \\ 0 & 0 \end{matrix}|\begin{matrix} 7 \\ 14 \end{matrix} \right] \)
இங்கு ρ(A)=1, ρ[A|B]=1
∴ ρ(A)=ρ[A|B]=1< மாறிலிகளின் எண்ணிக்கை தொகுப்பு ஒருங்கமைவுடையது மற்றும் ஒரு சாராமாறிக் குடும்பமாக தீர்வுகள் இருக்கும்.
∴ y=t, என பிரதியிட, இங்கு t ∈ R 
ஏறுபடி வடிவத்தை சமன்பாடுகளாக எழுத கிடைப்பது 
2x-3y=7
∴ 2x-3t=7
⇒ 2x=7+3t
⇒ x=\(\frac{1}{2}(7+3t)\)
∴ தீர்வு கணம்{\(\frac{1}{2}(7+3t)\),t} இங்கு t ∈ R

விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியில் தொடக்கநிலை நிரை செயலிகள் பயன்படுத்தக் கிடைப்பது.
\([A|B]=\left[ \begin{matrix} 2 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & -2 \\ 3 & 1 & 3 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 1 }\leftrightarrow { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & -2 \\ 2 & 3 & -1 \\ 3 & 1 & 3 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-{ 2R }_{ 1 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-{ 3R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & -2 \\ 0 & 5 & 3 \\ 0 & 4 & 9 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-\frac { 4 }{ 5 } { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & -2 \\ 0 & 5 & 3 \\ 0 & 0 & \frac { 33 }{ 5 } \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
இங்குρ(A)=3 மற்றும் ρ([A|0])=3
∴ ρ(A)=ρ([A|0])=3= மதிப்பிட வேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை 
ஆகையால் தொகுப்பு ஒருங்கமைவுடன் ஒரே ஒரு தீர்வை கொண்டிருக்கும்.
ஆகையால் தொகுப்பு வெளிப்படை தீர்வை மட்டும் கொண்டிருக்கும்.

கனச் செவ்வகத்தின் நீளம் மற்றும் அகலம்
x+1, x+2, மற்றும் x+3
[∴ 1,2,3 அலகுகள் அதிகரிப்பதால்]
மேலும் கொள்ளளவு =V+52
[V என்பது அதிகரிப்பதால் 52]
 ∴ V+52 =(x+1)(x+2)(x+3)   .....(1)
⇒ V=(x+1)(x+2)(x+3)-52
இங்கு α=-1, β=-2, \(\gamma \)=-3
⇒ V=x³-x²(α+β+\(\gamma \))+x(αβ+β\(\gamma \)+\(\gamma \)α)-αβ\(\gamma \)-52
⇒ V=x³-x²(-1-2-3)+x(2+6+3)-(-1)(-2)(-3)-52
⇒ V=x³-x²(-6)+x(11)+6-52
⇒ x³=x³+6x²+11x+6-52
⇒ 6x²+11x-46=0
⇒ (6x+23)(x-2)=0
⇒ x=2
∴ கனச்சதுரத்தின் கொள்ளளவு =x³=2³=8 கன அலகுகள்
கனசெவ்வகத்தின் கன அளவு = 52 + 8 = 60 கன அலகுகள் 
[∵ x=\(\frac{-23}{6}\) என்பது சாத்தியமில்லை x ஆனது கனத்தின் பக்கத்தை குறிக்கிறது.

z = (cos θ + i sin θ) என்க.
டி மாய்வரின் தேற்றப்படி
zⁿ = (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos nθ + i sin nθ
\(\frac { 1 }{ { z }^{ n } } \) = z^-n =  cos nθ + i sin nθ
ஆகவே, \({ z }^{ n }+\frac { 1 }{ { z }^{ n } } \) = (cos nθ + i sin nθ) + (cos nθ - i sin nθ)
\({ z }^{ n }+\frac { 1 }{ { z }^{ n } } \) = 2 cos nθ.
இதுபோலவே,
\({ z }^{ n }-\frac { 1 }{ { z }^{ n } } \) = (cos nθ + i sin nθ) - (cos nθ - i sin nθ)
\({ z }^{ n }-\frac { 1 }{ { z }^{ n } } \) = 2i sin nθ.

இப்பொழுது, \(\frac { z-1 }{ z+1 } =\frac { x+iy-1 }{ x+iy+1 } =\frac { [(x-1)+iy][(x+1)-iy] }{ [(x+1)iy][(x+1)-iy] } \)
⇒ \(\frac { z-1 }{ z+1 } =\frac { ({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }-1)+i(2y) }{ ({ x+1) }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \)
கொள்கை arg\(\left( \frac { z-1 }{ z+1 } \right) =\frac { \pi }{ 2 } \Rightarrow { \tan }^{ -1 }\left( \frac { 2y }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }-1 } \right) =\frac { \pi }{ 2 } \)
⇒ \(\frac { 2y }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+1 } =\tan\frac { \pi }{ 2 } \)
⇒ x² + y² = 1.

x³+px²+qx+r=0 எனும் சமன்பாட்டின் மூலங்கள் α, β, மற்றும் γ என்பதால்
Σ₁ α+β+γ=-p மற்றும் Σ₃ αβγ =-r
எனவே,
\(\Sigma \frac { 1 }{ \beta \gamma } =\frac { 1 }{ \beta \gamma } +\frac { 1 }{ \gamma \alpha } +\frac { 1 }{ \alpha \beta } =\frac { \alpha +\beta +\gamma }{ \alpha \beta \gamma } =\frac { -p }{ -r } =\frac { p }{ r } \).

\(\left| 3z-5+i \right| =4\) என்ற சமன்பாட்டை \(3\left| z-\frac { 5-i }{ 3 } \right| \) = 4 ⇒ \(\left| z-\left( \frac { 5 }{ 3 } -\frac { i }{ 3 } \right) \right| =\frac { 4 }{ 3 } \) என எழுதலாம்.
இது \(\left| z-{ z }_{ \circ } \right| \) = r என்ற வடிவில் உள்ளது. ஆகவே இது வட்டத்தைக் குறிக்கின்றது. இதன் மையம் மற்றும் ஆரம் ஆகியவை முறையே \(\left( \frac { 5 }{ 3 } ,-\frac { 1 }{ 3 } \right) \) மற்றும் \(\frac { 4 }{ 3 } \) ஆகும்.

விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியின் மீது காஸ்-ஜோர்டான் முறையைப் பயன்படுத்த, நமக்குக் கிடைப்பது,
[A|I₃] =  \(\left[ \begin{matrix} 2 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{matrix}|\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 1 }\rightarrow \frac { 1 }{ 2 } { R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & (1/2) & (1/2) \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{matrix}|\begin{matrix} (1/2) & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-3{ R }_{ 1 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-2R_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & (1/2) & (1/2) \\ 0 & (1/2) & -(1/2) \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}|\begin{matrix} (1/2) & 0 & 0 \\ -(3/2) & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow 2{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & (1/2) & (1/2) \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}|\begin{matrix} (1/2) & 0 & 0 \\ -3 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 1 }\rightarrow { R }_{ 1 }\frac { 1 }{ 2 } { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \\ \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}|\begin{matrix} 2 & -1 & 0 \\ - & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 1 }\rightarrow { R }_{ 1 }-{ R }_{ 3 }\\ { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }+{ R }_{ 3 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}|\begin{matrix} 3 & -1 & -1 \\ -4 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \)
எனவே, A^-1 =\(\left[ \begin{matrix} 3 & -1 & -1 \\ -4 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \)

RHS :  A^T =\(\frac { 1 }{ 9 } \left[ \begin{matrix} -8 & 1 & 4 \\ 4 & 4 & 7 \\ 1 & -8 & 4 \end{matrix} \right] \)
LHS : A என்பது வரிசை 3 உடைய அணி என்பதால் 
A^T=\(\frac { 1 }{ 9 } \left[ \begin{matrix} -8 & 4 & 1 \\ 1 & 4 & -8 \\ 4 & 7 & 4 \end{matrix} \right] \)                        ....(1)
\({ (\lambda A) }^{ -1 }=\frac { 1 }{ \lambda } .{ A }^{ -1 }\)எனவே அறிவோம்.
\({ A }^{ -1 }={ \left\{ \frac { 1 }{ 9 } \left[ \begin{matrix} -8 & 1 & 4 \\ 4 & 4 & 7 \\ 1 & -8 & 4 \end{matrix} \right] \right\} }^{ -1 }=\frac { 1 }{ \frac { 1 }{ 9 } } { \left[ \begin{matrix} -8 & 1 & 4 \\ 4 & 4 & 7 \\ 1 & -8 & 4 \end{matrix} \right] }^{ T }\)
இங்கு \(\lambda =\frac { 1 }{ 9 } \)
\({ A }^{ -1 }=9{ B }^{ -1 }\) இங்கு \(\\ B={ \left[ \begin{matrix} -8 \\ 4 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ -8 \end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ 7 \\ 4 \end{matrix} \right] }^{ T }\)      ...(2)
இங்கு, |B|=-8\(\left| \begin{matrix} 4 & 7 \\ -8 & 4 \end{matrix} \right| -1\left| \begin{matrix} 4 & 7 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right| +4\left| \begin{matrix} 4 & 4 \\ 1 & -8 \end{matrix} \right| \)
= -8(16 + 56) -1(16 - 7) + 4 (-32 - 4)
=-8(72) -1(9) + 4(-36) = 576 - 9 - 144
= -729
\(adj\ B={ \left[ \begin{matrix} +\begin{vmatrix} 4 & 7 \\ -8 & 4 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} 1 & 4 \\ -8 & 4 \end{vmatrix} \\ +\begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 4 & 7 \end{vmatrix} \end{matrix}\begin{matrix} -\begin{vmatrix} 4 & 7 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} \\ +\begin{vmatrix} -8 & 4 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} -8 & 4 \\ 4 & 7 \end{vmatrix} \end{matrix}\begin{matrix} +\begin{vmatrix} 4 & 4 \\ 1 & -8 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} -8 & 1 \\ 1 & -8 \end{vmatrix} \\ +\begin{vmatrix} -8 & 1 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} \end{matrix} \right] }^{ T }\)
\(=\left[ \begin{matrix} +(16+56) \\ -(4+32) \\ +(7-16) \end{matrix}\begin{matrix} -(16-7) \\ +(-32-4) \\ -(-56-16) \end{matrix}\begin{matrix} +(-32-4) \\ +(64-1) \\ +(-32-4) \end{matrix} \right] ^T\)
\(={ \left[ \begin{matrix} 72 \\ -36 \\ -9 \end{matrix}\begin{matrix} -9 \\ -36 \\ 72 \end{matrix}\begin{matrix} -36 \\ -63 \\ -36 \end{matrix} \right] }^{ T }=\left[ \begin{matrix} 72 \\ -9 \\ -36 \end{matrix}\begin{matrix} -36 \\ -36 \\ -63 \end{matrix}\begin{matrix} -9 \\ 72 \\ -36 \end{matrix} \right] \)
\(=\frac {1}{81} \times 9\left[ \begin{matrix} 8 \\ -1 \\ -4 \end{matrix}\begin{matrix} -4 \\ -4 \\ -7 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ +8 \\ -4 \end{matrix} \right] \)
\(\therefore { B }^{ -1 }=\frac { 1 }{ |B| } adj\quad B=\frac { -9 }{ 729 } \left[ \begin{matrix} 8 \\ -1 \\ -4 \end{matrix}\begin{matrix} -4 \\ -4 \\ -7 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ +8 \\ -4 \end{matrix} \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 82 } \left[ \begin{matrix} -8 \\ 1 \\ 4 \end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ 4 \\ 7 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -8 \\ 4 \end{matrix} \right] \)
(2) பிரதியிட கிடைப்பது, 
\({ A }^{ -1 }=9.\frac { 1 }{ 81 } \left[ \begin{matrix} -8 \\ 1 \\ 4 \end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ 4 \\ 7 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -8 \\ 4 \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 9 } \left[ \begin{matrix} -8 \\ 1 \\ 4 \end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ 4 \\ 7 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -8 \\ 4 \end{matrix} \right] \quad ...(3)\)
(1) மற்றும் (3) லிருந்து கிடைப்பது, A^T = A^-1

பரவளையம் குத்தச்சை உடையதால் மேல் நோக்கி திறப்புடையது 

அதனுடைய சமன்பாடு x² = 4ay
பரவளையத்தின் அடிபகுதி 5 மீ அகலமுடையது 
VA = 2.5மீ மற்றும் வளைவின் உயரம் 10மீ 
A(2, 5, 10) ஆனது பரவளையத்தின் மீதுள்ளது 
(2.5)² = 4a(10)
\(\Rightarrow 6.25=40a\Rightarrow a=\cfrac { 625 }{ 4000 } =\cfrac { 5 }{ 32 } \) 
\(a=\cfrac { 5 }{ 32 } \) 
என (1) ல் பிரதியிட கிடைப்பது 
\({ x }^{ 2 }=4\left( \cfrac { 5 }{ 32 } \right) y={ x }^{ 2 }=\cfrac { 5 }{ 8 } y\) 
உயரம் 2மீ எனில் வளைவின் அகலம் x என்க 
\(\therefore\) (x, 2) பரவளையத்தின் மீதுள்ள புள்ளி 
\({ x }^{ 2 }=\cfrac { 5 }{ 8 } \left( 2 \right) =\cfrac { 5 }{ 4 } \) 
\(\therefore x=\cfrac { \sqrt { 5 } }{ 2 } \) 
மற்றும் \(2x=\cfrac { 2\left( \sqrt { 5 } \right) }{ 2 } =\sqrt { 5 } \)

\(\frac { x-3 }{ 3 } =\frac { y-8 }{ -1 } =\frac { z-3 }{ 1 } \) என்ற கோட்டிலிருந்து கிடைப்பது 
\(\overset { \rightarrow }{ a } =3\overset { \wedge }{ i } +8\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } ,\overset { \rightarrow }{ b } =3\overset { \wedge }{ i } -\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \)
\(\frac { x+3 }{ -3 } =\frac { y+7 }{ 2 } =\frac { z-6 }{ 4 } \) என்ற கோட்டிலிருந்து கிடைப்பது 
\(\overset { \rightarrow }{ c } =-3\overset { \wedge }{ i } -7\overset { \wedge }{ j } +6\overset { \wedge }{ k } \) மற்றும் \(\overset { \rightarrow }{ d } =-3\overset { \wedge }{ i } +2\overset { \wedge }{ j } +4\overset { \wedge }{ k } \)
கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் இணையில்லாததால் கோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட குறைந்தபட்ச தூரம் 
\(d=\left| \frac { \left( \overset { \rightarrow }{ c } -\overset { \rightarrow }{ a } \right) .\left( \overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ d } \right) }{ \left| \overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ d } \right| } \right| \)
\(\overset { \rightarrow }{ c } -\overset { \rightarrow }{ a } =-6\overset { \wedge }{ i } -15\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } \)
\(\overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ d } =\left| \begin{matrix} \overset { \wedge }{ i } \\ 3 \\ -3 \end{matrix}\begin{matrix} \overset { \wedge }{ j } \\ -1 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} \overset { \wedge }{ k } \\ 1 \\ 4 \end{matrix} \right| \)
\(=\overset { \wedge }{ i } (-4-2)-\overset { \wedge }{ j } (12+3)+\overset { \wedge }{ k } (6-3)\)
\(=-6\overset { \wedge }{ i } -15\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } \)
\(\therefore \left| \overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ d } \right| =\sqrt { 36+225+9 } =\sqrt { 270 } \)
\(\therefore \left( \overset { \rightarrow }{ c } -\overset { \rightarrow }{ a } \right) .\left( \overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ d } \right) =\left( -6\overset { \wedge }{ i } -15\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } \right) .\left( -6\overset { \wedge }{ i } -15\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } \right) \)
= -6 (-6) + 15 (15) + 3 (3)
= 270 ≠ 0
கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் வெட்டுவதுமில்லை இணையுமில்லை ஆதலால் அவைகள் ஒரு தளம் அமைய கோடுகள்  எனப்படும்.
\(\therefore d=\frac { 270 }{ \sqrt { 270 } } =\sqrt { 270 } \) அலகுகள்.

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு (a²+b²+c²)P²-2(ab+bc+cd)p+(b²+c²+d²)≤0  ...(1)
(1) ஐ மாற்றி எழுதலாம் 
(a²p²-2abp+b²)+(b²p²-2cp+c²)+(c²p²-2cdp+d²)≤0
(ap-b)²+(bp-c)²+(cp-d)²≤0     .....(2)
a,b,c,d, p∈ R எனில் 
(ap-b)²≥0, (bp-c)²≥0 மற்றும் (cp-d)²≥0
∴ (2) நிறைவு செய்யப்பட வேண்டுமெனில் 
ap-b=0, bp-c=0, cp-d=0
\(\frac { b }{ a } =\frac { c }{ b } =\frac { d }{ c } =p\)
⇒ a,b, c,d பெருக்குத் தொடரில் உள்ளன. மற்றும் ad=bc 

கொடுக்கப்பட்ட \(\frac { \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } -\sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } +\sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } } \) = α
\(\Rightarrow \frac { \left( \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } -\sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } \right) +\left( \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } +\sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } \right) }{ \left( \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } -\sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } \right) -\left( \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } +\sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } \right) } \)
\(=\frac { tan\alpha +1 }{ tan\alpha -1 } \)
\(\Rightarrow \frac { 2\sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } }{ -2\sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } } =\frac { tan\alpha +1 }{ tan\alpha -1 } \)
\(\Rightarrow \sqrt { \frac { 1-{ x }^{ 2 } }{ 1+{ x }^{ 2 } } } =\frac { 1-tan\alpha }{ 1+tan\alpha } \)
\(\Rightarrow \sqrt { \frac { 1-{ x }^{ 2 } }{ 1+{ x }^{ 2 } } } =\frac { cos\alpha -sin\alpha }{ cos\alpha +sin\alpha } \)
\(\Rightarrow \frac { 1-{ x }^{ 2 } }{ 1+{ x }^{ 2 } } ={ \left( \frac { cos\alpha -sin\alpha }{ cos\alpha +sin\alpha } \right) }^{ 2 }\)
\(\Rightarrow \frac { 1-{ x }^{ 2 } }{ 1+{ x }^{ 2 } } =\frac { 1-sin2\alpha }{ 1+sin2\alpha } \Rightarrow { x }^{ 2 }=sin2\alpha \)

LHS = (1+ 5ω² + ω⁴) (1 + 5ω + ω²) (1 + 5ω + ω²) (5 + ω + ω⁵)
= (1+ 5ω² + ω⁴) (1 + 5ω + ω²) (1 + 5ω + ω²) (5 + ω + ω⁵) [∵  ω⁴ = ω³ . ω¹ = ω]
= (1 + ω + 5ω²) (1 + ω² + 5ω) (5 + ω + ω²)
= (-ω² + 5ω²) (-ω + 5ω) (5 - 1)
= (4ω²) (4ω)(4) = 64(1) = 64 [∵ ω³ = 1]
= RHS எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது

\(\frac { x-1 }{ 2 } =\frac { y-2 }{ 3 } =\frac { z-3 }{ 4 } \) = s (என்க). இக்கோட்டில் உள்ள ஏதேனும் ஒரு புள்ளியின் வடிவம் (2s + 1, 3s + 2, 4s + 3) ஆகும். \(\frac { x-4 }{ 5 } =\frac { y-1 }{ 2 } =z\) = t (என்க). இக்கோட்டில் உள்ள ஏதேனும் புள்ளியின் வடிவம் (5t + 4, 2t + 1, t) ஆகும்.
கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் வெட்டிக் கொள்ளுமானால், வெட்டும் புள்ளியில், ஒரு சில s, t -ன் மதிப்புகளுக்கு, (2s + 1, 3s + 2, 4s + 3) = (5t + 4, 2t + 1, t)
எனவே, 2s - 5t = 3, 3s - 2t = -1 மற்றும் 4s - t = -3. இம்மூன்று சமன்பாடுகளில், முதல் இரண்டு சமன்பாடுகளின்தீர்வு காண t = −1, s = −1 எனக் கிடைக்கிறது. s மற்றும் t-ன்இம்மதிப்புகள் மூன்றாவது சமன்பாட்டை நிறைவு செய்கின்றன. எனவே, கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் வெட்டும் கோடுகளாகும். t அல்லது s -ன் மதிப்பினை உரிய புள்ளிகளில் பிரதியிட, கோடுகள் வெட்டும் புள்ளி (-1, -1, -1) எனக் கிடைக்கிறது

சமன்பாட்டின் கெழுக்கள் அனைத்தும் விகிதமுறு எண்கள் என்பதாலும் 2+i மற்றும் 3-\(\sqrt { 2 } \)  ஆகியவை மூலங்கள் என்பதாலும் கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாட்டிற்கு 2-i மற்றும் 3+\(\sqrt { 2 } \) ஆகியவையும் மூலங்களாக அமையும். எனவே (x − (2 + i)) (x − (2 − i)) (x − (3− \(\sqrt { 2 } \))) மற்றும் (x − (3 + \(\sqrt { 2 } \))) ஆகியவையும் காரணிகளாகும். ஆகையால் இவற்றின் பெருக்கல்
((x − (2 + i)) (x − (2 − i)) (x − (3− \(\sqrt { 2 } \))) (x − (3 + \(\sqrt { 2 } \))) என்பதும் கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாட்டிற்கு ஒரு காரணியாகும். அதாவது (x²-4x+5)(x²-6x+7)
என்பது ஒரு காரணி. கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாட்டை இக்காரணியால் வகுக்க, மற்றொரு காரணியாக (x²-3x-4) பெறப்படுகிறது. இதிலிருந்து 4 மற்றும் −1ஆகியவை மற்ற இரு மூலங்களாகும். எனவே 2+i, 2-i, 3+\(\sqrt { 2 } \), 3-\(\sqrt { 2 } \), -1, மற்றும் 4 ஆகியவை கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாட்டின் மூலங்களாகும்.

கூம்பு வளைவின் வரையறைப்படி \(\frac{SP}{PM}=e \) அல்லது SP² = e²PM².
இதனால், (x-2)² + (y-3)² = \(\frac {1}{4}\)(x-7)²
\(\Rightarrow \) 3x² + 4y² − 2x − 24y + 3 = 0, இதை பின்வருமாறு எழுதலாம்
\(\Rightarrow 3{ \left( x-\frac { 1 }{ 3 } \right) }^{ 2 }+4{ (y-3) }^{ 2 }=3\left( \frac { 1 }{ 9 } \right) +4\times 9-3=\frac { 100 }{ 3 } \)
\(\Rightarrow \frac { { \left( x-\frac { 1 }{ 3 } \right) }^{ 2 } }{ \frac { 100 }{ 9 } } +\frac { { (y-3) }^{ 2 } }{ \frac { 100 }{ 12 } } =1\) இது திட்ட வடிவம் ஆகும்.
எனவே நெட்டச்சின் நீளம் = 2a = 2\(\\ \sqrt { \frac { 100 }{ 9 } } =\frac { 20 }{ 3 } \) மற்றும் 
குற்றச்சின் நீளம் = 2b = 2\(\\ \sqrt { \frac { 100 }{ 12 } } =\frac { 10 }{ \sqrt { 3 } } \)

\(\vec { r } =(6\hat { i } +\hat { j } +2\hat { k } )+s(\hat { i } +2\hat { j } -3\hat { k } )\)
\(\vec { a } =(6\hat { i } +\hat { j } +2\hat { k } )\)மற்றும்  \(\vec {b}=s(\hat { i } +2\hat { j } -3\hat { k } )\)
\(\vec { r } =(3\hat { i } +2\hat { j } -2\hat { k } )+t(2\hat { i } +4\hat { j } -5\hat { k } )\)
\(\vec { c } =3\hat { i } +2\hat { j } -2\hat { k } \)  மற்றும் \(\vec { d } =2\hat { i } +4\hat { j } -5\hat { k } \) 
ஆதலால் \(\vec { b } \neq \vec { d } \) இணை இல்லை மற்றும் வெட்டுவதில்லை.
எனவே இரு கோடுகளும் ஒரு தளம் அமையா கோடுகள் 
ஒரு தளம் அமையா கோடுகளுக்கு  இடைப்பட்ட குறைந்தபட்ச தூரம் 
\(\delta =\cfrac { \left| \left( \vec { a } -\vec { c } \right) \left( \vec { b } \times \vec { d } \right) \right| }{ \left| \vec { b } \times \vec { d } \right| } \)  
= \(\hat { i } \left( -10+12 \right) -\hat { j } \left( -5+6 \right) +\hat { k } \left( 4-4 \right) \) 
= \(2\hat { i } -\hat { j } \Rightarrow \left| \vec { b } \times \vec { d } \right| =\sqrt { { 2 }^{ 2 }+\left( -1 \right) ^{ 2 } } =\sqrt { 5 } \) 
\(\vec { c } =\vec { a } =\left( 3\hat { i } +2\hat { j } -2\hat { k } \right) -\left( 6\hat { i } +\hat { j } +2\hat { k } \right) \) 
= \(-3\hat { i } +\hat { j } -4\hat { k } \) 
\(\therefore \left( \vec { c } -\vec { a } \right) .\left( \vec { b } \times \vec { d } \right) =\left( -3\hat { i } +\hat { j } -4\hat { k } \right) .\left( 2\hat { i } -\hat { j } \right) \)
= -6-1=-7
\(\therefore \delta =\cfrac { \left| -7 \right| }{ 5 } =\cfrac { 7 }{ \sqrt { 5 } } \) அலகுகள்

\(\vec { a } =2\hat { i } +3\hat { j } -\hat { k } ,\vec { b } =3\hat { i } +5\hat { j } +2\hat { k } \) மற்றும் \(\vec { c } =-\hat { i } -2\hat { j } +3\hat { k } \)
\((\vec { a } \times \vec { b } )=\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 2 & 3 & -1 \\ 3 & 5 & 2 \end{matrix} \right| \)
= \(\hat { i } \left| \begin{matrix} 3 & -1 \\ 5 & 2 \end{matrix} \right| -\hat { j } \left| \begin{matrix} 2 & -1 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right| +\hat { k } \left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{matrix} \right| \)
= \(\\ \hat { i } (6+5)-\hat { j } (4+3)+\hat { k } (10-9)=11\hat { i } -7\hat { j } +\hat { k } \)
∴ LHS = \((\vec { a } \times \vec { b } )\times \vec { c } \)
= \(\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 2 & 3 & -1 \\ 3 & 5 & 2 \end{matrix} \right| =\hat { i } \left| \begin{matrix} -7 & 1 \\ -2 & 3 \end{matrix} \right| -\hat { j } \left| \begin{matrix} 11 & 1 \\ -1 & 3 \end{matrix} \right| +\hat { k } \left| \begin{matrix} 11 & -7 \\ -1 & -2 \end{matrix} \right| \)
= \(\hat { i } (-21+2)+\hat { j } (33+1)+\hat { k } (-22-7)\)
= \(-19\hat { i } -34\hat { j } -29\hat { k } \) ..............(1)
RHS :
\(\vec { a } .\vec { i } =(2\hat { i } +3\hat { j } -\hat { k } ).(-\hat { i } -2\hat { j } +3\hat { k } )\)
= -2-6-3 = -11
\(\vec { b } .\vec { c } =(3\hat { i } +5\hat { j } +2\hat { k } ).(-\hat { i } -2\hat { j } +3\hat { k } )\)
= -3-10+6 = -7
∴ RHS = \((\vec { a } .\vec { c } )\vec { b } -(\vec { b } .\vec { c } )\vec { a } \)
= \(-11(3\hat { i } +5\hat { j } +2\hat { k } )+7(2\hat { i } +3\hat { j } -\hat { k } )\)
= \(-33\hat { i } -55\hat { j } -22\hat { k } +14\hat { i } +21\hat { j } -7\hat { k } \)
= \(-19\hat { i } -34\hat { j } -29\hat { k } \)  .......... (2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து LHS = RHS
எனவே \((\vec { a } \times \vec { b } )\times \vec { c } =(\vec { a } .\vec { c } )\vec { b } -(\vec { b } .\vec { c } )\vec { a } \)
(ii) \(\vec { b } \times \vec { c } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 3 & 5 & 2 \\ -1 & -2 & 3 \end{matrix} \right| \)
= \(\hat { i } \left| \begin{matrix} 5 & 2 \\ -2 & 3 \end{matrix} \right| -\hat { j } \left| \begin{matrix} 3 & 2 \\ -1 & 3 \end{matrix} \right| +\hat { k } \left| \begin{matrix} 3 & 5 \\ -1 & -2 \end{matrix} \right| \)
= \(\hat { i } (15+4)-\hat { j } (9+2)+\hat { k } (-6+5)\)
= \(19\hat { i } -11\hat { j } -\hat { k } \)
∴ \(\vec { a } (\vec { b } \times \vec { c } )=\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 2 & 3 & -1 \\ 19 & -11 & -1 \end{matrix} \right| \)
= \(\hat { i } \left| \begin{matrix} 3 & -1 \\ -11 & -1 \end{matrix} \right| -\hat { j } \left| \begin{matrix} 2 & -1 \\ 19 & -1 \end{matrix} \right| +\hat { k } \left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 19 & -11 \end{matrix} \right| \)
= \(\hat { i } (-3-11)-\hat { j } (-2+19)+\hat { k } (-22-57)\)
= \(-14\hat { i } -17\hat { j } -79\hat { k } \) ......(1)
RHS : 
\(\vec { a } .\vec { c } =-11\Rightarrow (\vec { a } .\vec { c } )\vec { b } =-11(3\hat { i } +5\hat { j } +2\hat { k } )\)
= -\(33\hat { i } -55\hat { j } -22\hat { k } \)
\(\vec { a } .\vec { b } =(2\hat { i } +3\hat { j } -\hat { k } ).(3\hat { i } +5\hat { j } +2\hat { k } )\)
= 6+15-2 = 19
\((\vec { a } .\vec { b } )\vec { c } =19(-\hat { i } -2\hat { j } +3\hat { k } )=-19\hat { i } -38\hat { j } +57\hat { k } \)
RHS = \((\vec { a } .\vec { c } )\vec { b } -(\vec { a } .\vec { b } )\vec { c } \)
= \(-33\hat { i } -55\hat { j } -22\hat { k } -(-19\hat { i } -38\hat { j } +57\hat { k } )\)
= \(-14\hat { i } -17\hat { j } -79\hat { k } \) .......(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து LHS = RHS
∴ \(\vec { a } \times (\vec { b } \times \vec { c } )=(\vec { a } .\vec { c } )\vec { b } -(\vec { a } .\vec { b } )\vec { c } \)

கொடுக்கப்பட்டது \(\vec{r}=(6 \hat{i}-\hat{j}-3 \hat{k})+t(-\hat{i}+4 \hat{k})\)
\(\frac{x-6}{-1}=\frac{y+1}{0}=\frac{z+3}{4}=t \Rightarrow(-t+6,-1,4 t-3)\)
என்பது \(x+y-z=3\) ஐச் சந்திக்கிறது.
\(-t+6-1-4 t+3  =3 \Rightarrow-5 t+5=0 \\ 5 t  =5 \Rightarrow t=1\)
\(\therefore (5,-1,1)\)

\((1+\omega)^7  =A+B \omega \Rightarrow\left(-\omega^2\right)^7=A+B \omega \)
\(-\omega^{14}  =A+B \omega \Rightarrow-\omega^2=A+B \omega \)
\(1+\omega  =A+B \omega\)
ஒப்பிடக் கிடைப்பது \(\mathrm{A}=1, \mathrm{~B}=1\).

\(a^2=9, \quad b^2=4 \\  2 x-y=1 \Rightarrow y=2 x-1 \\  m=2 \\  c=\sqrt{a^2 m^2-b^2}=\sqrt{9(4)-4} \\  =\sqrt{36-4}=\sqrt{32} \\  c= \pm 4 \sqrt{2} \\ =\left(\frac{-a^2 m}{c}, \frac{-b^2}{c}\right) \\  =\left(\frac{-9 \times 2}{-4 \sqrt{2}}, \frac{-4}{-4 \sqrt{2}}\right) \text { (or) }\left(\frac{-9 \times 2}{4 \sqrt{2}}, \frac{-4}{4 \sqrt{2}}\right) \\  =\left(\frac{9}{2 \sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \text { (or) }\left(\frac{-9}{2 \sqrt{2}}, \frac{-1}{\sqrt{2}}\right) \\ \)

\(A B=I \Rightarrow B=A^{-1}=\frac{1}{1+\tan ^2 \frac{\theta}{2}}\left[\begin{array}{cr} 1 & -\tan \frac{\theta}{2} \\ \tan \frac{\theta}{2} & 1 \end{array}\right] \)
\(=\frac{1}{\sec ^2 \frac{\theta}{2}}\left[\begin{array}{cc} 1 & -\tan \frac{\theta}{2} \\ \tan \frac{\theta}{2} & 1 \end{array}\right]=\cos ^2 \frac{\theta}{2} A^{\top}\)

\( -1 \leq x^2-3 \leq 1 \\ -1+3 \leq x^2 \leq 1+3 \\ \Rightarrow 2 \leq x^2 \leq 4 \\ \pm \sqrt{2} \leq x \leq \pm 2 \\ \therefore \quad[-2,-\sqrt{2}] \cup[\sqrt{2}, 2] \)

\((acos\theta ,bsin\theta )\) ;1,2,3 வட்டத்தின் துணையலகு வடிவம் 

(2) sin²α + sin²β + sin²⋎ =1

3) tan x=1
குறிப்பு: 1,2,4 க்கு தீர்வு இல்லை 

3 ஆக இருக்கலாம் 
குறிப்பு: ρ(A)≤(3,4)-ன் மீச்சிறு 
⇒ ρ(A)≤3 மேலும் 4 ஆக இருக்க முடியாது 

(1) tan (tan^-1 x) = x, x ∈ R எனில் 
குறிப்பு: 2, 3 மற்றும் தலைகீழ் முற்றொருமை ஆனால் 1 அல்ல.

(4) மூலங்களின் பெருகற்பலன் 0 மற்றும் கூடுதல் 土 1